Činjenice iz povijesti brojeva. Istraživački rad na temu "povijest brojeva"
Pojava brojeva u našim životima nije slučajnost. Nemoguće je zamisliti komunikaciju bez upotrebe brojeva. Povijest brojeva je fascinantna i tajanstvena. Čovječanstvo je uspjelo uspostaviti niz zakona i obrazaca svijeta brojeva, odgonetnuti neke misterije i iskoristiti svoja otkrića u Svakidašnjica. Bez izvanredne znanosti o brojevima – matematike – danas nije nezamisliva ni prošlost ni budućnost. A koliko još neriješenih!
Drevni ljudi nisu znali računati. A nisu imali što brojati, jer je predmeta kojima su se služili - oruđa - bilo vrlo malo: jedna sjekira, jedno koplje.Postupno se broj stvari povećavao, njihova razmjena postajala sve složenija i pojavila se potreba za brojanjem. Dugo su se vremena brojevi ljudima činili nečim tajanstvenim. Svaki se predmet mogao vidjeti i opipati. Broj se ne može dotaknuti, au isto vrijeme brojevi stvarno postoje, jer se svi predmeti mogu prebrojati. Ova neobičnost navela je ljude da brojevima pripisuju nadnaravna svojstva.
U našem brzom dobu velikih brzina - dobu velikog obilja informacija, raznih tiskanih publikacija i virtualnog svijeta, ljude je teško bilo čime iznenaditi. Napišite, stvorite nešto, tako da bude zanimljivo čitati! Tako
Od ranog djetinjstva upoznajemo se s brojevima. A koje su brojke? Pokušao sam odgovoriti na to pitanje u svom radu. Moj rad je moguć - ovo je mini-vodič za upoznavanje s tako zanimljivim konceptom kao što su "Brojevi". Možda nije sve detaljno, ali sam u svom radu pokušao dotaknuti sve aspekte vezane uz odabranu temu. Ovo djelo mogu koristiti oni koji o matematici žele znati više od običnog učenika.
Povijest razvoja brojeva
U prvim fazama postojanja ljudskog društva brojevi su služili za primitivno brojanje predmeta, dana, koraka. U primitivnom društvu, osoba je trebala samo prvih nekoliko brojeva. S razvojem civilizacije, morao je izmišljati sve više brojeva, taj se proces nastavio stoljećima i zahtijevao je intenzivan intelektualni rad. Prilikom razmjene proizvoda postalo je potrebno uspoređivati brojeve, pojavili su se pojmovi više, manje, jednako. U istoj fazi ljudi su počeli zbrajati brojeve, zatim su naučili oduzimati, dijeliti i množiti. Pri dijeljenju dva prirodni brojevi pojavili su se razlomci, pri oduzimanju - negativni brojevi.
Potreba za izvođenjem aritmetičkih operacija dovela je do pojma racionalnih brojeva. U IV stoljeću. PRIJE KRISTA e. Grčki matematičari otkrili su nesamjerljive segmente čije duljine nisu bile izražene ni cijelim ni razlomkom (na primjer, duljina dijagonale kvadrata sa stranicom jednakom 1). Bilo je potrebno više od stotinu godina da matematičari razviju način zapisivanja takvih brojeva kao beskonačni neperiodični decimalni razlomak. Tako su se pojavili iracionalni brojevi, koji su zajedno s racionalnim brojevima nazvani realni brojevi.
Ali onda se pokazalo da najjednostavnije kvadratne jednadžbe, na primjer, x2 + 1 = 0, nemaju rješenja u skupu realnih brojeva.Matematičari su došli do potrebe proširiti pojmove broja kako bi se uvijek mogao izvući kvadratni korijen u novom setu. Novi skup nazvan je skup kompleksnih brojeva, uvodeći koncept imaginarne jedinice: i2 = - 1.
Izraz oblika a + bi nazivao se kompleksnim brojem. Dugo ih mnogi znanstvenici nisu prepoznavali kao brojeve. Tek nakon što je pronađena mogućnost geometrijskog prikazivanja imaginarnog broja, tzv. imaginarni brojevi našli su svoje mjesto u skupu brojeva.
N su prirodni brojevi.
Q su racionalni brojevi.
R su realni brojevi.
Kompleksni brojevi se nazivaju a + bi, gdje su a i b realni brojevi, i je imaginarna jedinica: i2 \u003d - 1. a se zove realni dio, a bi je imaginarni dio kompleksnog broja.
Definicija. Dva kompleksna broja nazivamo jednakima ako su njihovi realni dijelovi i koeficijenti imaginarnih dijelova jednaki, tj. a + bi = c + di a = c, b = d.
Za kompleksne brojeve ne postoje odnosi "veće od" ili "manje od".
matematičari koji su pridonijeli
Doprinos razvoju teorije brojeva
Živimo u svijetu velike brojke
Jeste li ikada razmišljali o tome koliko kilometara prijeđe čovjek u životu, koliko se dobara svakoga sata proizvede i postane neupotrebljiva unutar nekog grada, države? Koliko je puta brzina putničkog mlaznog zrakoplova veća od brzine utreniranog sportaša-pješaka? Odgovori na ova i tisuće sličnih pitanja izraženi su brojevima koji često zauzimaju cijeli red ili čak i više u broju svojih decimalnih mjesta.
Da bi se smanjio zapis velikih brojeva, dugo se koristi sustav količina u kojem je svaki od sljedećih tisuću puta veći od prethodnog:
1000 jedinica je samo tisuću (1000 ili 1000)
1000 tisuća - 1 milijun
1000 milijuna - 1 milijarda (ili 1 milijarda)
1000 milijardi - 1 bilijun
1000 trilijuna - 1 kvadrilijun
1000 kvadrilijuna - 1 kvintilijun
1000 kvintilijuna - 1 sekstilijun
1000 sextillion - 1 septillion
1000 nonillion - 1 decillion, itd.
Tako će 1 decilion biti zapisan u decimalnom sustavu kao jedinica s 3 * 11 = 33 nule. 1. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000. 000.
“Uzalud misle da nula igra malu ulogu”
Samuil Yakovlevich Marshak
Stupanj broja je umnožak samog sebe traženi broj puta, što se naziva eksponent (a sam broj je njegova baza). Na primjer, 3 * 3 = 32 (ovdje je 3 baza, 2 je eksponent), 2 * 2 * 2 = 23, 10 * 10 = 102 = 100, 105 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100 000 .
Imajte na umu da je broj nula potencije broja 10 uvijek jednak eksponentu:
101=10, 102=100, 103=1000 itd.
I još nešto: matematičari diljem svijeta odavno su prihvatili da je svaki broj na nultu potenciju jednak jedan (a0 = 1). Pri pisanju velikih brojeva često se koristi stepen 10.
Jedinica - 100=1
Tisuća - 103 = 1000
Milijun - 106 = 1000 000
Milijarda - 109= 1000.000.000
Trilijun - 1012=1000.000.000.000
Kvadrilion - 1015 = 1000.000.000.000.000
Kvintilion - 1018 = 1000 000 000 000 000 000
Sextillion - 1021 = 1000,000,000,000,000,000,000
Septilion - 1024 = 1000.000.000.000.000.000.000.000
Oktilion - 1027 = 1000 000 000 000 000 000 000 000 000
Sada nekoliko zanimljivih informacija:
Polumjer Zemlje je 6400 km.
Duljina Zemljinog ekvatora je oko 40 tisuća km.
Površina globusa je 510 milijuna km.
Prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca je 150 milijuna km.
Promjer naše Galaksije je 85 tisuća svjetlosnih godina.
Od početka naše ere prošlo je nešto više od milijardu sekundi.
Broj Šeherezade
Postoje brojevi koji nose imena velikih matematičara: Arhimedov broj -, Napierov broj - baza prirodnih logaritama e \u003d 2, 718281 [Napier John (150-1617), škotski matematičar, izumitelj logaritama].
Dotični broj nije ništa manje popularan. Ovo je 1001. Ponekad se naziva Šeherezadin broj, poznat svima koji su čitali priče iz Tisuću i jedne noći. Broj 1001 ima niz zanimljivih svojstava:
1. Ovo je najmanji prirodni četveroznamenkasti broj koji se može prikazati kao zbroj kubova dvaju prirodnih brojeva: 1001=103+13.
2. Sastoji se od 77 "zlosretnih prokletih desetaka". (1001=77*13), od 91 jedanaestice ili 143 sedmice (sjetimo se da se broj "7" smatrao magičnim brojem); nadalje, ako pretpostavimo da godina ima 52 tjedna, tada je 1001=143*7=(104+26+13)*7=2 godine + ½ godine + ¼ godine
3. Metoda za određivanje djeljivosti broja sa 7, sa 11 i sa 13 temelji se na svojstvima broja 1001.
Razmotrite ovu metodu s primjerima:
Je li 348285 djeljivo sa 7?
348285=348*1000+285=348*1000+348-348+285=348*1001-(348-285)
Kako je 1001 djeljivo sa 7, pa je 348285 djeljivo sa 7, dovoljno je da je razlika 348-285 djeljiva sa 7. Kako je 348-285=63, onda je 348285 djeljivo sa 7.
Dakle, da bismo saznali je li neki broj djeljiv sa 7 (s 11 ili 13), potrebno je od tog broja bez posljednje tri znamenke oduzeti broj od posljednje tri znamenke; ako je ta razlika djeljiva sa 7 (11 ili 13), tada za dati broj također djeljiv sa 7 (11 ili 13).
Razmislite o tome, možda ćete pronaći basnoslovan broj. Doprinesite kraljici znanosti - MATEMATICI!!!
Recipročni brojevi
Recipročna vrijednost (recipročna vrijednost, recipročna vrijednost) je broj s kojim treba pomnožiti dati broj da bi se dobio jedan. Dva takva broja nazivamo recipročnim brojevima.
Primjeri: 5 i 1/5, −6/7 i −7/6, π i 1/π
Za svaki broj a koji nije jednak nuli, postoji inverz 1/a.
Ptice žive na kugli zemaljskoj - nepogrešivi sastavljači vremenske prognoze za ljeto. Ime ovih ptica šifrirano je primjerima napisanim na ploči. Dosljedno rješavajući primjere i zamjenjujući odgovore slovima, pročitat ćete nazive ptica – meteoropata.
1. 17/8 5/6 6/5;
2. 3,4 7/3 3/7;
3. 11/12 5,6 12/11;
4. 2,5 0,4 3;
5. 2/3 0,1 3/2;
6. 41/2 1/2 2;
8. 11/12 31/3 12/11.
17/8 31/3 0,1 3,4 3 41/2 5,6 1
f o i l m n a g
primarni brojevi
"Prosti brojevi ostaju uvijek spremni izbjeći istragu"
Ako redom ispisujemo prirodne brojeve, a na mjestima gdje stoje prosti brojevi upalimo svjetiljke, onda u ovom redu nije bilo mjesta gdje bi bio potpuni mrak. Lampioni bi bili vrlo bizarno raspoređeni. Između njih postoji samo jedan broj - paran, ovo je 2, a ostali su neparni. 2 i 3 uzastopna prirodna broja, najmanji prosti - takav je par jedinstven, gdje je jedan broj paran, a drugi neparan.
1, 2, 3,4 ,5 ,6, 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20
Dva uzastopna neparna broja, od kojih je svaki prost, nazivamo brojevima – blizancima.
Prvi prosti brojevi blizanci su:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61),
(71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193),
(197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349),
(419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619),
(641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
Grčki znanstvenik Euklid je u svojoj knjizi "Počeci" rekao sljedeće: "Ne postoji najveći broj." Još uvijek se ne zna postoje li najveći brojevi blizanaca. I još uvijek nema odgovora na pitanje: postoji li beskonačno mnogo parova primarni brojevi-Blizanci.
Ruski matematičar Pafnuty Lvovich Chebyshev prvi je temeljito istražio kako su prosti brojevi raspršeni među prirodnim brojevima. Ali do sada matematičari ne znaju formulu kojom se mogu dobiti prosti brojevi jedan po jedan, čak ne postoji formula koja daje samo proste brojeve.
Aleksandrijski učenjak Eratosten, koji je živio u 3. stoljeću prije Krista, razmišljao je o tome kako napraviti popis prostih brojeva. Njegovo je ime ušlo u znanost u vezi s metodom pronalaženja prostih brojeva. U antičko doba pisali su na voštane pločice stilom oštrog štapića, pa je Eratosten oštrim krajem stila “izbadao” složene brojeve. Nakon punktiranja svih složenih brojeva, stol je izgledao kao sito. Otuda naziv "Eratostenovo sito". Drevne grčke znanstvenike zanimalo je: koliko prostih brojeva može biti u prirodnom nizu.
Godine 1750. Leonard Eimer ustanovio je da je broj 231 - 1 prost broj. Ostao je najveći poznati prosti broj više od sto godina. Godine 1876. francuski matematičar Lucas ustanovio je da je ogroman broj
2127 - 1 = 170.141.183.460.469.231.731.678.303.715.884.105.727 je također prost broj. Sadrži 39 znamenki. Za njegovo izračunavanje korišteni su mehanički stolni računski strojevi. Godine 1957. pronađen je sljedeći prosti broj: 23217-1, a prosti broj 244497-1 sastoji se od 13000 znamenki.
Racionalni brojevi
Racionalni broj (lat. ratio - omjer, dijeljenje, razlomak) - broj predstavljen običnim razlomkom, gdje je m cijeli broj, a n prirodan broj. U tom slučaju se broj m naziva brojnik, a broj n nazivnik razlomka. Takav razlomak treba intuitivno shvatiti kao rezultat dijeljenja m s n, čak i ako se ne može u potpunosti podijeliti. U stvaran život racionalni brojevi mogu se koristiti za brojanje dijelova nekih cijelih, ali djeljivih predmeta, kao što su kolači ili druga hrana koja se prije konzumiranja izreže na nekoliko dijelova, ili za grubu procjenu prostornih odnosa proširenih objekata.
Savršene brojke
Savršen broj (drugi grčki ἀριθμὸς τέλειος) je prirodan broj jednak zbroju svih svojih vlastitih djelitelja (to jest, svih pozitivnih djelitelja osim samog broja).
Prvi savršen broj- 6 (1 + 2 + 3 = 6), sljedeći - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28). Kako se prirodni brojevi povećavaju, savršeni brojevi postaju sve rjeđi. Treći savršeni broj je 496, četvrti savršeni je 8128, peti je 33,550,336, a šesti je 8,589,869,056 (OEIS niz A000396).
“Prestanite tražiti zanimljive brojeve!
Ostavite barem jedan nezanimljiv broj za interes!”
Iz pisma čitatelja Martinu Gardneru
Među svim zanimljivim prirodnim brojevima koje matematičari dugo proučavaju, posebno mjesto zauzimaju savršeni i blisko povezani prijateljski brojevi.
Savršen broj je broj jednak zbroju svih svojih djelitelja (uključujući 1, ali isključujući sam broj). Najmanji savršeni broj 6 jednak je zbroju svoja tri djelitelja 1, 2 i 3. Sljedeći savršeni broj je 28=1+2+4+7+14. Rani komentatori Stari zavjet, piše Martin Gardner u svojoj knjizi Mathematical Novels, vidio je posebno značenje u savršenstvu brojeva 6 i 28. Nije li svijet stvoren za 6 dana, uzvikivali su, i zar se mjesec ne obnavlja za 28 dana?
Prvo veliko postignuće u teoriji savršenih brojeva bio je Euklidov teorem da je broj 2n-1(2n-1) paran i savršen ako je broj 2n-1 prost broj 1. Samo dvije tisuće godina kasnije Euler je dokazao da Euklidova formula sadrži svi parni savršeni brojevi. Budući da nije poznat neparan savršeni broj (čitatelji ga imaju priliku pronaći i proslaviti svoje ime), kada se govori o savršenim brojevima, obično se misli na paran savršen broj.
Promatrajući pomno Euklidovu formulu, vidjet ćemo povezanost savršenih brojeva s članovima geometrijske progresije 1, 2, 4, 8, 16. Ta se veza najbolje vidi u primjeru drevna legenda, prema kojem je raja izumitelju šaha obećao bilo kakvu nagradu. Izumitelj je tražio da se na prvo polje šahovske ploče stavi jedno zrno pšenice, na drugo polje dva zrna, na treće četiri, na četvrto osam i tako dalje. Na posljednju, 64. ćeliju treba sipati 263 zrna, a ukupno će na šahovskoj ploči biti “hrpa” od 264-1 zrna pšenice. To je više nego što je prikupljeno u svim žetvama u povijesti čovječanstva.
Ako na svaku ćeliju šahovske ploče napišemo koliko bi zrna pšenice za nju dobio izumitelj šaha, a zatim iz svake ćelije uklonimo po jedno zrno, tada će broj preostalih zrna točno odgovarati izrazu u zagradama u Euklidovom formula. Ako je ovaj broj prost, tada ga pomnožimo s brojem zrna na prethodnoj ćeliji (odnosno s 2n-1), dobivamo savršeni broj! Prosti brojevi oblika 2n-1 nazivaju se Mersenneovi brojevi prema francuskom matematičaru iz 17. stoljeća. Na šahovskoj ploči s po jednim zrnom uklonjenim iz svake ćelije nalazi se devet Mersenneovih brojeva koji odgovaraju devet prostih brojeva manjih od 64, naime: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 i 61. Množenjem s brojem zrnaca na prethodnim ćelijama, dobivamo prvih devet savršenih brojeva. (Brojevi n=29, 37, 41, 43, 47, 53 i 59 ne daju Mersenneove brojeve, tj. odgovarajući brojevi 2n-1 su složeni.)
Euklidova formula olakšava dokazivanje brojnih svojstava savršenih brojeva. Na primjer, svi savršeni brojevi su trokutasti. To znači da, uzimajući savršeni broj kuglica, uvijek možemo dodati jednakostranični trokut iz njih. Još jedno zanimljivo svojstvo savršenih brojeva slijedi iz iste Euklidove formule: svi savršeni brojevi, osim 6, mogu se predstaviti kao djelomični zbrojevi niza kubova uzastopnih neparnih brojeva 13+33+53+ uključujući sebe, uvijek je jednako 2. Na primjer, uzimajući djelitelje savršenog broja 28, dobivamo:
Osim toga, zanimljivi su prikaz savršenih brojeva u binarnom obliku, izmjena zadnjih znamenki savršenih brojeva i druga zanimljiva pitanja koja se mogu naći u literaturi o zabavnoj matematici. One glavne - postojanje neparnog savršenog broja i postojanje najvećeg savršenog broja - još nisu razriješene.
Od savršenih brojeva, priča neizbježno teče do prijateljskih brojeva. To su dva takva broja, od kojih je svaki jednak zbroju djelitelja drugog prijateljskog broja. Najmanji od prijateljskih brojeva 220 i 284 bili su poznati Pitagorejcima, koji su ih smatrali simbolom prijateljstva. Sljedeći par prijateljskih brojeva 17296 i 18416 otkrio je francuski pravnik i matematičar Pierre de Fermat tek 1636. godine, a sljedeće brojeve pronašli su Descartes, Euler i Legendre. Šesnaestogodišnji Talijan Niccolo Paganini (imenjak slavnog violinista) šokirao je matematički svijet 1867. godine porukom da su brojevi 1184 i 1210 prijateljski! Ovaj par, najbliži brojevima 220 i 284, zanemarili su svi poznati matematičari koji su proučavali prijateljske brojeve.
prijateljski brojevi
Sporazumni brojevi su dva prirodna broja kod kojih je zbroj svih pravih djelitelja prvog broja jednak drugom broju, a zbroj svih pravih djelitelja drugog broja jednak je prvom broju. Ponekad se savršeni brojevi smatraju posebnim slučajem prijateljskih brojeva: svaki savršeni broj je prijatelj sam sebi.
Slijede parovi prijateljskih brojeva manji od 130.000.
6. 10744 i 10856
7. 12285 i 14595
8. 17296 i 18416
9. 63020 i 76084
10. 66928 i 66992
11. 67095 i 71145
12. 69615 i 87633
13. 79750 i 88730
14. 100485 i 124155
15. 122265 i 139815
16. 122368 i 123152
U grobu počiva Diofantov pepeo: čudite joj se - i kamen
Starost pokojnika će mu reći mudrom umjetnošću.
Voljom bogova proživio je šestinu života kao dijete
I dočekao je polovicu šeste s paperjem na obrazima.
Tek sedmi prošao, zaručio se s djevojkom;
Nakon pet godina provedenih s njom, mudrac je čekao svog sina.
Proživio je samo pola života voljeni sin svoga oca,
Od oca ga je rani grob uzeo.
Dva puta dvije godine roditelj je oplakivao tešku tugu,
Ovdje sam vidio granicu svog tužnog života.
Koliko je godina živio Diofant?
vitičasti brojevi
Nekada davno, pomažući si pri brojanju kamenčićima, ljudi su obraćali pažnju na ispravne brojke, koji se može postaviti od kamenčića. Možete jednostavno staviti kamenčiće u red: jedan, dva, tri. Ako ih stavimo u dva reda da naprave pravokutnike, vidjet ćemo da su svi parni brojevi dobiveni. Možete postaviti kamenje u tri reda: dobit ćete brojeve koji su djeljivi s tri. Svaki broj koji je nečim djeljiv može se prikazati takvim pravokutnikom, a samo prosti brojevi ne mogu biti "pravokutni". Što ako presavijete trokut? Trokut se dobiva od tri kamenčića: dva u donjem redu, jedan u gornjem, u udubljenju koje čine dva donja kamena. Ako dodate kamen u donji red, pojavit će se još jedno udubljenje; ispunjavajući ga, dobivamo udubinu koju čine dva kamenčića drugog reda; stavljanjem kamena u njega, konačno dobivamo trokut. Pa smo morali dodati tri kamenčića. Sljedeći trokut dobit ćemo dodavanjem četiri kamenčića. Ispada da u svakom koraku dodamo onoliko kamenčića koliko ima u donjem redu. Ako sada pretpostavimo da je jedan kamen ujedno i trokut, onaj najmanji, dobivamo sljedeći niz brojeva: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+ 2+3+4+5=15 itd. Dakle, figurativni brojevi su opći naziv za brojeve čiji je geometrijski prikaz povezan s jednom ili drugom geometrijskom figurom. Brojeve su stari Grci, a zajedno s njima i Pitagora i Pitagorejci, zamišljali vidljivo, u obliku kamenčića položenih na pijesku ili na ploči za brojanje - abakusu.
Iz tog razloga Grci nisu poznavali nulu, jer ju je bilo nemoguće "vidjeti". Ali jedinica još nije bila puni broj, nego se predstavljala kao neka vrsta „brojčanog atoma", iz kojeg su nastali svi brojevi. Pitagorejci su jedinicu nazivali „granica između broja i dijelova", odnosno između cijelih brojeva i razlomci, ali istodobno u njemu "sjeme i vječni korijen". Broj je definiran kao skup sastavljen od jedinica. Poseban položaj jedinice kao "numeričkog atoma" povezivao ju je s točkom koja se smatrala "geometrijskim atomom". Zato je Aristotel napisao: "Točka je jedinica koja ima položaj, jedinica je točka bez položaja." Da. Pitagorini brojevi u modernoj terminologiji su prirodni brojevi. Brojevi kamenčića postavljeni su u ispravnom obliku geometrijski oblici, te su brojke bile povjerljive. Tako su postojali brojevi koji se danas nazivaju kovrčavi. Stari Grci, kada su morali množiti brojeve, crtali su pravokutnike; Rezultat množenja tri s pet bio je pravokutnik sa stranicama tri i pet. Ovo je razvoj brojanja na kamenčiće. Mnoge obrasce koji nastaju pri radu s brojevima otkrili su starogrčki znanstvenici proučavajući crteže. I stoljećima se geometrijska metoda, s pravokutnicima, kvadratima, piramidama i kockama, smatrala najboljom potvrdom valjanosti takvih omjera. U 5.-4. stoljeću prije Krista znanstvenici su, kombinirajući prirodne brojeve, od njih napravili zamršene nizove, dajući elementima tih nizova jednu ili drugu geometrijsku interpretaciju. Uz njihovu pomoć možete postaviti ispravne geometrijske oblike: trokute, kvadrate, piramide itd. B. Pascal i P. Fermat bili su zaneseni, i neovisno jedan o drugom, pronalaženjem takvih brojeva.
Još u 17. stoljeću, kada je algebra već bila dobro razvijena sa zapisom veličina slovima, sa znakovima radnji, mnogi su je smatrali barbarskom znanošću, prikladnom za niske svrhe - svakodnevna računanja, pomoćna računanja - ali nikako za plemenite znanstvene djela. Jedan od najvećih matematičara tog vremena, Bonaventure Cavalieri, koristio se algebrom, jer je s njom lakše računati, no da bi potkrijepio svoje znanstvene rezultate, sve algebarske proračune zamijenio je zaključivanjem s geometrijskim likovima.
Među vitičastim brojevima postoje: Linearni brojevi (tj. prosti brojevi) - brojevi koji su djeljivi samo s jedinicom i sami sa sobom te se stoga mogu prikazati kao niz poredanih točaka: (linearni broj 5)
Ravni brojevi - brojevi koji se mogu predstaviti kao umnožak dva faktora: (ravni broj 6)
Čvrsti brojevi izraženi kao umnožak tri faktora: (čvrsti broj 8)
Trokutasti brojevi: (trokutasti brojevi 3,6,10)
Kvadrati brojeva: (kvadrati brojeva 4,9,16)
Peterokutni brojevi: (peterokutni brojevi 5,12)
Od kovrčavih brojeva dolazi izraz "Postavi broj na kvadrat ili kocku".
Predstavljanje brojeva u obliku pravilnih geometrijskih likova pomoglo je Pitagorejcima da pronađu različite numeričke obrasce. Na primjer, da dobijemo opći izraz za n-ugljen broj, koji nije ništa više od zbroja n prirodnih brojeva 1+2+3+. + n, dovoljno je taj broj dopuniti pravokutnim brojem n(n + 1) i vidjeti (očima!) jednakost
Nakon što ste napisali niz kvadratnih brojeva, opet je lako vidjeti svojim očima izraz za zbroj n neparnih brojeva:
Konačno, razbijanjem n-tog peterokutnog broja na tri (n-1) trokutasta (nakon kojih ostaje još n "kamenčića"), lako je pronaći njegov opći izraz
Rastavljanjem na trokutaste brojeve dobiva se i opća formula za n-ti k-kutni broj:
S k=3 dobivamo trokutaste brojeve, a s k=4 kvadratne brojeve, itd.
Slično, možete predstaviti broj u obliku pravokutnika. Za broj 12 to se može učiniti na mnogo načina (sl.), A za broj 13 - samo postavljanjem svih predmeta u jednu liniju. Takvi stari nisu smatrali pravokutnim.
Dakle, svi složeni brojevi su pravokutni brojevi, a prosti brojevi su nepravokutni. Figurativni prikaz brojeva pomogao je pitagorejcima da otkriju zakone aritmetičkih operacija, kao i da lako prijeđu na numeričke karakteristike geometrijskih objekata - mjerenje površina i volumena.
Dakle, predstavljajući broj 10 u dva oblika: 5*2=2*5, lako je "vidjeti" komutativni zakon množenja: a*b=b*a. U istom broju 10: (2+3)*2=2*2+3*2=10 može se "vidjeti" distributivni zakon zbrajanja u odnosu na množenje: (a+b)c=ac+bc.
Konačno, ako se "kamenčići" koji tvore vitičaste brojeve smatraju kvadratima jednake površine, onda njihovim uklapanjem u pravokutni broj ab:. automatski dobivamo formulu za izračunavanje površine pravokutnika: S=ab. U figurirane brojeve spadaju i piramidalni brojevi, koji se dobivaju ako se kuglice sklope u piramidu, kao što su se nekada stavljale u blizinu topa.
Lako je vidjeti da je piramidalni broj jednak zbroju svih trokutastih brojeva - od prvog do n-tog. Formula za izračunavanje n-tog piramidalnog broja je:
"Zabava brojevima"
Ovaj broj je prvenstveno značajan po tome što određuje broj dana u neprestupnoj godini. Kada se podijeli sa 7, ostaje ostatak od 1, ova značajka broja 365 je od velike važnosti za naš sedmodnevni kalendar.
Postoji još jedna značajka broja 365:
365=10×10×11×11×12×12, tj. 365 jednako je zbroju kvadrata tri uzastopna broja počevši od 10:
10²+11²+12²=100+121+144=365.
Ali to nije sve. Broj 365 jednak je zbroju kvadrata sljedeća dva broja, 13 i 14:
13²+14²=169+196=365.
Ako osoba ne zna gornja svojstva broja 365, tada pri rješavanju primjera:
10²+11²+12²+13²+14²
365 će početi izvoditi glomazne izračune.
Na primjer:
10²+11²+12²+13²+14² ‗ 100+121+144+169+196 ‗ 221+313+196 ‗ 730
Osoba koja zna odmah će riješiti ovaj primjer u mislima i dobiti 2 u odgovoru.
10²+11²+12²+13²+14² ‗ 365+365 ‗ 730
Sljedeći broj koji ću opisati je 999.
Mnogo je nevjerojatniji od svoje obrnute slike - 666 - "broj životinje"
Apokalipsa, ulijeva strah u praznovjerne ljude, ali u svojim aritmetičkim svojstvima ne ističe se među ostalim brojevima.
Posebnost broja 999 je u tome što se lako može množiti s troznamenkastim brojevima. Tada dobivate šesteroznamenkasti umnožak: njegove prve tri znamenke su pomnoženi broj, smanjen za jedan, a preostale tri znamenke su dodaci prve tri na 9. Na primjer,
Dovoljno je samo pogledati sljedeći redak da biste razumjeli podrijetlo ove značajke:
573×999=573×(1000-1)= 573
Poznavajući ovu značajku, možemo odmah pomnožiti bilo koji troznamenkasti broj s 999.
Na primjer:
947×999=946053, 509×999=508491, 981×999=980019,
543×999=542457, 167×999=166833, 952×999=951048 itd.
A budući da je 999=9×111=3×3×3×37, onda možete opisati cijele stupce šesteroznamenkastih brojeva koji su višekratnici broja 37. Oni koji nisu upoznati sa svojstvima broja 999 neće moći napravi to.
1. Broj 1001
Prvo, razmislite o broju 1001. To je broj bajki koje je kraljica Šeherezada ispričala kralju Šahrijaru.
Broj 1001 na prvi se pogled čini najčešćim. Može se rastaviti na tri uzastopna prosta faktora 7, 11 i 13. Stoga je njihov umnožak.
Ali činjenica da je 1001=7×11×13 nije zanimljiva. Zanimljivo je da ako ga pomnožite s bilo kojim troznamenkastim brojem, tada će rezultat biti isti broj, napisan dva puta. Moramo primijeniti distributivni zakon množenja.
Rastavimo 1001 na zbroj 1000+1.
Na primjer:
247×1001=247×(1000+1)=247×1000+247×1=247000+247=247247
Broj 111111
Sljedeći broj o kojem želim govoriti je 111111.
Zahvaljujući našem upoznavanju sa svojstvima broja 1001, to odmah vidimo
111 111=111×1001
Ali mi to znamo
111=3×37, 1001=7×11×13.
Slijedi da je naš novi numerički kuriozitet, koji se sastoji od samo jedinica, proizvod pet prostih faktora. Kombinirajući ovih 5 faktora u dvije skupine na sve moguće načine, dobivamo 15 parova faktora koji daju isti broj u umnošku, 111 111.
3×(7×11×13×37)=3×37037=111 111
7×(3×11×13×37)=7×15873=111 111
11×(3×7×13×37)=11×10101=111 111
13×(3×7×11×37)=13×8547=111 111
37×(3×7×11×13)=37×3003=111 111
(3×7)×(11×13×37)=21×5291=111 111
(3×11)×(7×13×37)=33×3367=111 111
(3×13)×(7×11×37)=39×2849=111 111
(3×37)×(7×13×11)=111×1001=111 111
(7×3)×(11×13×37)=21×5291=111 111
(7×11)×(3×13×37)=77×1443=111 111
(7×13)×(11×3×37)=91×1221=111 111
(7×37)×(11×3×13)=259×429=111 111
(11×13)×(7×37×3)=143×777=111 111
(37×11)×(13×7×3)=407×273=111 111
"Trik s brojem"
Aritmetički trikovi su pošteni, savjesni trikovi. Ovdje nitko nikoga ne nastoji prevariti, uvesti u trans ili uspavati pažnju gledatelja. Za izvođenje takvog trika nije potrebna ni čudesna manuelna spretnost, ni nevjerojatna spretnost pokreta, ni bilo kakve druge umjetničke sposobnosti, koje ponekad zahtijevaju dugogodišnje vježbanje. Krug drugova koji nisu upućeni u matematičke tajne može biti pogođen sljedećim trikovima.
Fokus broj 1.
Zapiši dva puta broj 365: 365 365.
Dobiveni broj podijelite s 5: 365 365÷5=73 0 73.
Dobiveni količnik podijelite sa 73: 73 0 73÷73=1001.
Dobit ćete Šeherezadin broj, odnosno 1001.
Ključ trika je vrlo jednostavan: broj 365=5×73. Odnosno, podijelimo broj 365365 sa 365 i dobijemo 1001 u odgovoru.
Fokus broj 2.
Neka netko napiše bilo koji troznamenkasti broj, a zatim mu ponovno doda isti broj. Dobit ćete šesteroznamenkasti broj koji se sastoji od ponovljenih znamenki.
Pozovite svog prijatelja da taj broj tajno od vas podijeli sa 7. Rezultat mora proslijediti susjedu, koji ga mora podijeliti s 11. Rezultat se prosljeđuje sljedećem učeniku od kojeg tražite da ovaj broj podijeli s 13.
Prvom suborcu daš rezultat treće lige bez gledanja. Ovo je željeni broj.
Ovaj trik se objašnjava vrlo jednostavno. Ako ga pripišete troznamenkastom broju, to znači da ga pomnožite s 1001, odnosno umnoškom 7 × 11 × 13 = 1001. Šesteroznamenkasti broj koji će vaš prijatelj dobiti nakon što zadanom broju pridoda sebe mora biti djeljiv bez ostatka sa 7, 11 i 13.
Fokus broj 3.
Zapišite bilo koji broj tri puta zaredom. Dobiveni broj podijelite s 37 i s 3. I u odgovoru ćete dobiti svoj broj.
Rješenje: kada troznamenkasti broj zapisan podijelimo s tri isti brojevi prvo za 37, a zatim za 3, a zatim, ne primijetivši, podijelimo sa 111.
Fokus broj 4.
Broj 111 111 također se može koristiti za trikove, poput broja 1001. U tom slučaju morate prijatelju ponuditi jednoznamenkasti broj i zamoliti ga da ga zapiše šest puta zaredom. Ovdje kao djelitelji mogu poslužiti pet prostih brojeva: 3, 7, 11, 13, 37 i iz njih proizašli složeni brojevi: 21, 33, 39 itd. To omogućuje uvelike diverzifikaciju izvedbe trika.
Na primjer: pozovite svoje drugove da zamisle bilo koji broj osim nule. Morate ga pomnožiti s 37. Zatim pomnožite s 3. Ponovno pripišite rezultat s desne strane. Rezultirajući broj podijeljen je s izvorno zamišljenom brojkom.
Ispostavilo se da je broj 111 111.
Ključ trika temelji se na svojstvu broja 111 111. Kada ga pomnožimo s 1001 (sa svojstvima broja 1001 upoznali smo se u prethodnom poglavlju), dobili smo željeni broj napisan na početku. Nadalje, kada se dijeli s predviđenim brojem, jasno se dobiva šest jedinica.
Fokus broj 5.
Neka vaš prijatelj zapiše bilo koji troznamenkasti broj. S desne strane mu morate pripisati tri nule. Od šesteroznamenkastog broja predložite oduzimanje izvornog troznamenkastog broja. Zatim zamolite prijatelja da podijeli s željenim rezultatom. Kvocijent se mora podijeliti sa 37.
Rezultat je broj 27.
Tajnu fokusa lako je razumjeti. Temelji se na svojstvima broja 999.
Broj 999 je proizvod četiri prosta faktora:
3×3×3×37=999 i prema tome 999÷37=27
Kada se njime pomnoži troznamenkasti broj, rezultat su dvije polovice: prva je broj koji se množi umanjen za jedan, a druga je rezultat oduzimanja prve polovice od množitelja.
Fokus broj 6.
Broj 111 111 111: također se može koristiti za naše trikove s brojevima:
Pitajmo kolegu iz razreda njegov omiljeni broj (od 1 do 9).
Zamolimo ovu brojku pomnožiti s 9, a zatim dobiveni umnožak treba pomnožiti s brojem 123456789. Rezultat će biti broj koji se sastoji od omiljenih znamenki razrednika.
Na primjer:
5 je učenikov omiljeni broj, dakle
45×123456789=555 555 555 tj. 9×123456789=111 111 111
Zaključak
Mislim da je moj rad mini-vodič za proučavanje brojčane raznolikosti. Zanimljivi načini Računanje brojeva može biti od velike pomoći u školi, na fakultetu, na poslu i općenito u životu. Dakle, u krugu drugova možete smisliti zanimljive aritmetičke trikove bez prijevare i magije. Na temelju navedenog zaključujem da je poželjno da svi znaju ove i mnoge druge numeričke zanimljivosti. Ovo će vam znanje svakako trebati u životu!
Razvoj ideja o broju važan je dio naše povijesti. To je jedan od osnovnih matematičkih pojmova koji vam omogućuje izražavanje rezultata mjerenja ili brojanja. Koncept broja služi kao polazište za mnoge matematičke teorije. Također se koristi u mehanici, fizici, kemiji, astronomiji i mnogim drugim znanostima. Osim toga, u svakodnevnom životu stalno koristimo brojeve.
Pojava brojeva
Sljedbenici Pitagorinog učenja vjerovali su da brojevi sadrže mističnu bit stvari. Te matematičke apstrakcije upravljaju svijetom, uspostavljaju red u njemu. Pitagorejci su pretpostavili da se svi obrasci koji postoje u svijetu mogu izraziti brojevima. Od Pitagore je teorija o razvoju brojeva počela zanimati mnoge znanstvenike. Ti su simboli smatrani osnovom materijalni svijet, a ne samo izrazi nekog redovnog reda.
Povijest razvoja broja i brojanja započela je stvaranjem praktičnog brojanja predmeta, kao i mjerenja volumena, površina i linija.
Postupno se formirao pojam prirodnih brojeva. Taj je proces bio kompliciran činjenicom da primitivni čovjek nije znao odvojiti apstraktno od konkretnog prikaza. Račun kao rezultat toga je ostao dugo vremena samo materijalno. Korištene su oznake, kamenčići, prsti itd. Za pamćenje njegovih rezultata služili su čvorovi, zarezi itd. Nakon izuma pisma, povijest razvoja broja obilježila je činjenica da su se počela koristiti slova, kao i posebne ikone koje se koriste za skraćenu sliku na slovu velikih brojeva . Obično se reproducira s takvim kodiranjem po principu numeriranja, sličnom onom koji se koristi u jeziku.
Kasnije je došla ideja da se broji deseticama, a ne samo jedinicama. U 100 različitih indoeuropskih jezika nazivi brojeva od dva do deset su slični, kao i nazivi desetica. Posljedično, koncept apstraktnog broja pojavio se jako davno, čak i prije nego što su se ti jezici razdvojili.
Brojanje na prste izvorno je bilo široko rasprostranjeno, pa to objašnjava činjenicu da kod većine naroda u tvorbi brojeva posebno mjesto zauzima simbol koji označava 10. On dolazi odavde. Iako postoje iznimke. Na primjer, 80 se s francuskog prevodi kao "četiri dvadesete", a 90 je "četiri dvadesete plus deset". Ova upotreba seže do brojanja na nožnim prstima i rukama. Brojevi abhazijskog, osetijskog i danskog jezika raspoređeni su na sličan način.
Na gruzijskom je brojanje do dvadeset još jasnije. Asteci i Sumerani izvorno su smatrani peticama. Postoje i egzotičnije opcije koje obilježavaju povijest razvoja broja. Na primjer, Babilonci su u znanstvenim proračunima koristili seksagezimalni sustav. U takozvanim "unarnim" sustavima broj se formira ponavljanjem znaka koji simbolizira jedinicu. ova metoda je korištena otprilike 10-11 tisuća godina pr. e.
Postoje i nepozicijski sustavi u kojima kvantitativne vrijednosti simbola koji se koriste za pisanje ne ovise o njihovom mjestu u brojevnom kodu. Koristi se zbrajanje brojeva.
staroegipatski brojevi
Danas se znanje temelji na dva papirusa koji datiraju oko 1700. pr. e. Matematičke informacije predstavljene u njima potječu iz starijeg razdoblja, oko 3500. pr. e. Egipćani su ovu znanost koristili za izračunavanje težine raznih tijela, volumena žitnica i površine usjeva, iznosa poreza, kao i broja kamenja potrebnog za izgradnju građevina. Međutim, glavno područje primjene matematike bila je astronomija, proračuni vezani uz kalendar. Kalendar je bio neophodan za određivanje datuma raznih vjerski praznici, kao i predviđanja poplava Nila.
Upisivanje Drevni Egipt temeljio se na hijeroglifima. U to je vrijeme sustav brojeva bio inferioran babilonskom. Egipćani su koristili nepozicijski decimalni sustav, u kojem je broj okomitih linija označavao brojeve od 1 do 9. Pojedinačni znakovi uvedeni su za potencije broja deset. Povijest razvoja brojeva u starom Egiptu nastavila se na sljedeći način. Pojavom papirusa uvedeno je hijeratsko pismo (odnosno kurziv). Poseban karakter u njemu se koristio za označavanje brojeva od 1 do 9, kao i višekratnika od 10, 100 itd. Razvoj je u to vrijeme bio spor. Zapisani su kao zbroj razlomaka s brojnikom jednakim jedan.
Brojevi u staroj Grčkoj
Grčki sustav brojeva temeljio se na upotrebi različitih slova abecede. Povijest prirodnih brojeva u našoj zemlji obilježena je činjenicom da su se koristili od 6. do 3. stoljeća pr. e. atički sustav koristio je okomitu crtu za označavanje jedinice, a 5, 10, 100 itd. pisalo se početnim slovima njihovih imena na grčki. U kasnijem jonskom sustavu za označavanje brojeva korištena su 24 aktivna slova abecede, kao i 3 arhaična. Kao prvih 9 brojeva (od 1 do 9) označeni su višekratnici od 1000 do 9000, međutim prije slova "M" se koristilo za označavanje desetaka tisuća (od grčke riječi "mirioi"). Iza njega je stajao broj kojim je trebalo pomnožiti 10.000.
Grčka u 3. st. pr. e. nastao je brojevni sustav u kojem je svakoj znamenki odgovarao vlastiti znak abecede. Grci su, počevši od 6. stoljeća, počeli koristiti prvih deset znakova svoje abecede kao brojeve. U ovoj se zemlji aktivno razvijala ne samo povijest prirodnih brojeva, već je rođena i matematika u modernom smislu. U drugim državama tog vremena koristio se ili za svakodnevne potrebe, ili za razne magijski rituali, uz pomoć kojih su saznavali volju bogova (numerologija, astrologija i dr.).
rimska numeracija
U Stari Rim korištena je numeracija koja se, pod nazivom rimska, očuvala do danas. Koristimo ga za označavanje obljetnica, stoljeća, imenovanje konferencija i kongresa, numeriranje strofa pjesme ili poglavlja knjige. Ponavljanjem brojeva 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, koje su redom označavali kao I, V, X, L, C, D, M, zapisani su svi cijeli brojevi. Ako je veći broj ispred manjeg, oni se zbrajaju, ako je veći broj ispred manjeg, onda se od njega oduzima posljednji. Isti broj ne može se unijeti više od tri puta. Dugo su zemlje zapadne Europe koristile rimsko numeriranje kao glavno.
Pozicijski sustavi
To su sustavi u kojima kvantitativne vrijednosti simbola ovise o njihovom mjestu u brojevnom kodu. Njihove glavne prednosti su jednostavnost izvođenja raznih aritmetičkih operacija, kao i mali broj znakova potrebnih za pisanje brojeva.
Postoji dosta takvih sustava. Na primjer, binarni, oktalni, kvinarni, decimalni, vigezimalni, itd. Svaki ima svoju povijest.
Sustav Inka
Quipu je drevni sustav brojanja i mnemotehnike koji je postojao među Inkama, kao i njihovim prethodnicima u Andama. Ona je prilično idiosinkratična. To su složeni čvorovi i spletovi konopa izrađeni od vune lame i alpake ili od pamuka. Može biti u hrpi od nekoliko visećih niti do dvije tisuće. Koristili su ga glasnici za slanje poruka carskim cestama, kao iu raznim aspektima društva (kao topografski sustav, kalendar, za određivanje zakona i poreza itd.). Tumači, posebno obučeni, čitali su i pisali hrpu. Prstima su opipali čvorove, podižući kipu. Većina informacija u njemu su brojevi predstavljeni u decimalnom sustavu.
Babilonske figure
Babilonci su pisali na glinenim pločicama klinastim pismom. Do danas su preživjeli u znatnom broju (više od 500 tisuća, od kojih je oko 400 vezano uz matematiku). Valja napomenuti da su korijeni babilonske kulture u velikoj mjeri naslijeđeni od Sumerana - tehnika brojanja, klinasto pismo itd.
Babilonski sustav brojanja bio je mnogo savršeniji od egipatskog. Babilonci i Sumerani koristili su se položajnim sustavom od 60, koji je danas ovjekovječen u dijeljenju kruga na 360 stupnjeva, kao i sati i minuta na 60 minuta, odnosno sekundi.
Račun u staroj Kini
Razvoj pojma broja također je proveden u Drevna Kina. U ovoj zemlji brojevi su označeni posebnim hijeroglifima koji su se pojavili oko 2 tisuće godina prije Krista. e. Međutim, njihov je obris konačno utvrđen tek u 3. stoljeću pr. e. I danas se ti hijeroglifi koriste. Isprva je metoda snimanja bila multiplikativna. Broj 1946, na primjer, može se prikazati rimskim brojevima umjesto hijeroglifima, kao 1M9S4X6. Ali u praksi su se izračuni vršili na ploči za brojanje, gdje je postojao drugačiji zapis brojeva - položajni, kao u Indiji, a ne decimalni, kao kod Babilonaca. Prazan prostor bio je nula. Tek oko 12. st. po Kr. e. za njega se pojavio poseban hijeroglif.
Povijest numeriranja u Indiji
Dostignuća matematike u Indiji su raznolika i široka. Ova je zemlja dala veliki doprinos razvoju pojma broja. Tu je izumljen nama poznati decimalni položajni sustav. Indijanci su predložili simbole za pisanje 10 znamenki, koji se danas koriste posvuda uz neke izmjene. U ovoj su zemlji također postavljeni temelji decimalne aritmetike.
Moderni brojevi potječu iz indijskih znakova, koji su se koristili još u 1. stoljeću nove ere. e. U početku je indijsko numeriranje bilo izvrsno. U sanskrtu su se koristila sredstva za pisanje brojeva do deset do pedesetog stupnja. Isprva se za brojeve koristio takozvani "siro-fenički" sustav, a od 6. st. pr. e. - "brahmi", sa odvojeni likovi za njih. Ove ikone, nakon što su se donekle promijenile, postale su moderni brojevi, danas zvani arapski.
Nepoznati indijski matematičar oko 500. godine e. izumio je novi sustav notacije – decimalni pozicijski. Izvođenje raznih aritmetičkih operacija u njemu je bilo nemjerljivo lakše nego u drugima. Indijanci su kasnije koristili ploče za brojanje koje su bile prilagođene položajnom zapisu. Razvili su algoritme za aritmetičke operacije, uključujući dobivanje kubičnih i kvadratnih korijena. Indijski matematičar Brahmagupta, koji je živio u 7. stoljeću, uveo je negativne brojeve. Indijci su daleko odmakli u algebri. Njihov je simbolizam bogatiji od Diofantovog, iako pomalo zakrčen riječima.
Povijesni razvoj brojeva u Rusiji
Numeriranje je glavni preduvjet matematičkog znanja. Imao je različit izgled među različitim narodima antike. Pojava i razvoj broja u ranoj fazi podudarao se u raznim dijelovima svijeta. Isprva su ih svi narodi označavali zarezima na štapićima, zvanim pločice. Ovakav način evidentiranja poreza ili dugovanja koristili su polupismeni ljudi diljem svijeta. Na štapu su pravili rezove, koji su odgovarali iznosu poreza ili duga. Zatim je podijeljen na pola, ostavljajući jednu polovicu platitelju ili dužniku. Drugi se čuvao u riznici ili kod zajmodavca. Obje polovice su provjerene presavijanjem prilikom plaćanja.
Brojevi su se pojavili s pojavom pisma. Isprva su izgledali poput zareza na štapićima. Zatim su se za neke od njih pojavile posebne značke, poput 5 i 10. Sva numeracija u to vrijeme nije bila poziciona, već je podsjećala na rimsku. U drevna Rusija, dok su u državama zapadne Europe koristili rimsko numeriranje, koristili su alfabetsko numeriranje slično grčkom, jer je poznato da je naša zemlja, kao i ostale slavenske, bila u kulturnoj komunikaciji s Bizantom.
Brojevi od 1 do 9, a zatim desetice i stotine u starom ruskom numeriranju bili su predstavljeni slovima slavenske abecede (ćirilica, uvedena u devetom stoljeću).
Postojale su neke iznimke od ovog pravila. Dakle, 2 nije označeno kao "bukve", drugo po redu u abecedi, već kao "olovo" (treće), jer se slovo Z u starom ruskom jeziku prenosilo zvukom "v". "Fita" na kraju abecede značila je 9, "crv" - 90. Zasebna slova nisu korištena. Kako bi se označilo da je ovaj znak broj, a ne slovo, iznad njega je napisan znak pod nazivom "titlo", "~". "Mrak" su zvali desetke tisuća. Označavani su zaokruživanjem znakova jedinica. Stotine tisuća zvali su se "legije". Bili su prikazani krugovima od točaka oko znakova jedinica. Milijuni - "leodry". Ti su likovi bili prikazani kao zaokruženi zarezima ili zrakama.
Daljnji razvoj prirodnog broja dogodio se početkom sedamnaestog stoljeća, kada su indijski brojevi postali poznati u Rusiji. Sve do osamnaestog stoljeća u Rusiji se koristilo slavensko numeriranje. Nakon toga zamijenjena je modernom.
Povijest kompleksnih brojeva
Ti su brojevi prvi put uvedeni zbog činjenice da je izolirana formula za izračunavanje korijena kubne jednadžbe. Tartaglia, talijanski matematičar, dobio je u prvoj polovici šesnaestog stoljeća izraz za izračunavanje korijena jednadžbe u smislu određenih parametara, za koje je bilo potrebno napraviti sustav za njihovo pronalaženje. Međutim, pokazalo se da takav sustav nema rješenja za sve kubne jednadžbe.Ovaj fenomen je objasnio Rafael Bombelli 1572. godine, što je u biti predstavljalo uvođenje kompleksnih brojeva. Međutim, dobivene rezultate mnogi su znanstvenici dugo vremena smatrali upitnima, a tek je u devetnaestom stoljeću povijest kompleksnih brojeva obilježena važnim događajem - njihovo postojanje prepoznato je nakon pojave radova K. F. Gaussa.
Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija Rad je dostupan u kartici "Datoteke rada" u PDF formatu
Uvod
Na satu matematike prolazili smo kroz temu "Prirodni brojevi" i postalo mi je zanimljivo:
Kako su izgledale prve brojke?
Što učenici mog razreda znaju o podrijetlu brojeva?
Pokušat ću odgovoriti na ova pitanja u svom radu.
Relevantnost moje teme istraživanja je da su brojevi vrlo važni u našem svijetu. Brojevi nas svugdje prate u životu, ali jesmo li ikada pomislili da kada pokušavamo izbrojiti broj jabuka u kilogramu, koliko stanica moramo ići do kuće ili koliko koraka do kata, koristimo samo prirodne brojeve. povijest prirodnih brojeva potječe iz primitivnog društva . Tada je, naravno, nastao u svom najjednostavnijem obliku, ali brojevi su se razvijali zajedno s čovječanstvom. U početku su služili samo za izračunavanje, mjerenje nečega, tj. pomogao upravo ono što je bilo potrebno u praktičnim aktivnostima ljudi. Tada broj postaje dio matematike, a povijest nastanka i razvoja prirodnih brojeva određuje znanost. U najstarija vremena ljudi su brojali na prste, odnosno nisu imali pojam broja u kojem smo ga navikli shvaćati. S razvojem pisma razvijao se i širio pojam broja. Isprva su to bile crtice, a zatim su uvedene druge oznake za označavanje velikih brojeva. Do nas su došle babilonske klinaste pločice s prvim oznakama prirodnih brojeva. “Rimski brojevi” koji su preživjeli do danas također potječu iz antike. Ogromno otkriće bio je indijski položajni račun, koji je omogućio pisanje brojeva pomoću deset znamenki. Grčki filozofi Pitagora i Arhimed također su pridonijeli povijesti nastanka brojeva. Oni su prvi put, u 3. stoljeću prije Krista, potkrijepili koncept beskonačnosti prirodnog broja.
Zanimljivo je da se nula pojavila u računskim sustavima mnogo kasnije, u početku je najmanji prirodni broj bio 1.
Odlučio sam saznati što dečki iz razreda znaju o pojavi brojeva. Da bih to učinio, uz dopuštenje učitelja matematike, proveo sam malu anketu koja je pokazala da 80% učenika iz razreda ne zna ništa o povijesti prirodnih brojeva. Odlučio sam sam proučiti ovo pitanje i, uz dopuštenje profesora matematike, prenijeti proučavano gradivo svojim kolegama.
Svrha mog istraživanja- proučavanje podrijetla prirodnih brojeva i pisanje brojeva.
Zadatak- naučiti povijest nastanka prirodnih brojeva i prenijeti ovaj materijal svojim kolegama.
Metode istraživanja:
Ispitivanje kolega iz razreda.
Korištenje informacija s internetskih izvora.
Studij književnosti.
Generalizacija pronađenog materijala.
Praktični značaj: ovaj materijal se može koristiti u nastavi matematike, kao dodatni materijal iu izvannastavnom radu na predmetu.
Zanimljiva činjenica
Australski starosjedioci iz plemena Gumulgal, čiji je stil života približno isti kao u neolitu, koristili su binarni brojevni sustav, odnosno imali su samo dvije riječi za brojeve: urapon - jedan i ukasar - dva. Svi ostali brojevi formiraju se od ova dva: urapon-ukasar - 3, ukasar-ukasar - 4, ukasar-ukasar-urapon - 5, itd. Lako je vidjeti da ovaj sustav nije baš prikladan za rad s velikim brojevima.
Podrijetlo brojeva
Znanstvenici vjeruju da je povijest nastanka brojeva nastala u prapovijesti, kada su ljudi naučili brojati predmete. Ali znakovi za označavanje brojeva pojavili su se mnogo kasnije: izmislili su ih Sumerani, narod koji je živio 3000-2000 godina prije Krista. PRIJE KRISTA h. u Mezopotamiji (danas u Iraku). Priča kaže da su istisnuli klinaste crtice na glinenim pločicama, a zatim izmislili znakove. Neki znakovi klinastog pisma označavali su brojeve 1, 10, 100, odnosno bili su brojevi, a ostali su brojevi napisani kombinacijom tih znakova. Korištenje brojeva olakšavalo je brojanje: brojali su dane u tjednu, grla stoke, veličinu zemljišnih parcela i količinu usjeva.
Povijest brojeva započela je prije 5 tisuća godina u Egiptu i Mezopotamiji. I premda su se ova dva kulturna sloja malo preklapala, njihovi su sustavi izračuna vrlo slični. U početku se za zapise koristio kamen ili su se na drvu radili zarezi. Kasnije su u Mezopotamiji počeli koristiti glinene pločice, au Egiptu su pisali na papirusu. Izgled Brojevi u tim kulturama su različiti, ali jedno je sigurno: artefakti koje su pronašli arheolozi potvrđuju da to nisu bili samo brojevi, već matematičke operacije.
Umijeće brojanja razvilo se s razvojem čovječanstva. U ona vremena, kada je čovjek samo skupljao plodove u šumi i lovio, bile su mu dovoljne četiri riječi da ih izbroji: jedan, dva, tri i mnogo. Ovako sada vjeruju neka plemena koja žive u džunglama Južne Amerike.
Međutim, kada su se ljudi počeli baviti stočarstvom i poljoprivredom, pojavila se potreba da broje koze u stadu ili broj košara s uzgojenim plodovima (kojih je bilo više od tri) pripremljenih za zimu.
Izmišljene su mnoge metode brojanja: na štapiću su se pravili zarezi prema broju predmeta, na užetu su se vezivali čvorovi, gomilali su se kamenčići. Ali ne možete sa sobom ponijeti štap s urezima, a nije baš ugodno nositi kamenje, a pastir mora znati je li koja koza odlutala od stada. I ovdje u pomoć dolaze prsti - odličan materijal za brojanje, još uvijek ga koriste ne samo učenici prvog razreda. Što ako ima više od deset predmeta? Naravno, možete koristiti i nožne prste, ali što onda? Nije preostalo ništa drugo nego smisliti decimalni sustav koji sada koristimo: brojimo desetice; kad ima deset desetica, zovemo ih stoticom; zatim deset stotina tisuća. U staroj Rusiji deset tisuća nazivalo se "tama". Odatle i izraz "mrak naroda".
Navikli smo uživati u blagodatima civilizacije - automobilu, telefonu, TV-u i ostaloj opremi koja nam život čini lakšim i zanimljivijim. Za to je bilo potrebno tisuću izuma, ali najvažniji su bili oni prvi - kotač i broj. Bez njih ne bi bilo sve naše tehničke raskoši. Ova dva izuma imaju zajedničku značajku - u prirodi ne postoje ni kotač ni broj, a oba su plod aktivnosti ljudskog uma.
Čini se da bi pojam broja trebao nastati istodobno sa sposobnošću brojanja, ali to je daleko od slučaja. Primjećeno je da i mačke i svinje znaju brojati do pet, no da bi se s pet predmeta došlo do broja "pet" bilo je potrebno veliko otkriće, a evo i zašto. Pet pasa ili pet svinja uopće nije kao pet oraha. Uostalom, pet oraha - vrlo malo, pojeli - i nisu primijetili, i pet svinja - puno, oni su dovoljni da dugo hrane veliku obitelj. Pet pasa je čopor koji može dobro zaštititi od divljači, a pet buha na psu je teško vidjeti. Je li ih moguće usporediti?
Poznati ruski putnik N.N. Miklukha-Maclay, nakon što je proveo mnogo godina među domorocima na pacifičkim otocima, otkrio je da neka plemena imaju tri načina brojanja: za ljude, za životinje i za posuđe, oružje i drugo. neživih predmeta. Oni. tamo se u to vrijeme još nije pojavio pojam broja, nije se shvatilo da tri oraha, tri koze i troje djece imaju zajedničko svojstvo - njihov broj je tri.
Tako su se pojavili brojevi 1, 2, 3 ... koji mogu izraziti broj krava u stadu, drveća u vrtu, kose na glavi. Ti su brojevi kasnije nazvani prirodnim brojevima. Mnogo kasnije pojavila se nula koja je označavala odsutnost dotičnih objekata.
Babilonsko numeriranje
Upoznajući se s brojevima, ne možemo ne pozabaviti se znakovima kojima su brojevi označeni na papiru. Ove znakove nazivamo brojevima.
Najstariji digitalni znakovi su babilonski znakovi. Ako pogledamo kartu, vidjet ćemo na njoj rijeke Tigris i Eufrat.
Stari Grci su ovu zemlju nazivali Mezopotamija, što na ruskom znači međurječje, jer se nalazila u dolini između dvije rijeke blizanke. Dio Mezopotamije zauzimala je moćna država, čiji je glavni grad bio grad Babilon. Već prije četiri tisuće godina u Babilonu je cvjetala znanost i postojale su knjižnice. Istina, u ono doba još nije bilo tiskanih knjiga, ali postojale su glinene ploče na kojima su babilonski mudraci pisali svoja djela. Suvremeni znanstvenici pronašli su 44 ploče koje bilježe sve matematičke znanosti poznate Babiloncima. Babilonski su znanstvenici koristili tzv. klinasto pismo. Babilonski brojevi su, strogo govoreći, kombinacije tri klinasta znaka: jedan, deset i stotine.
Uz pomoć ovih znakova mogao se napisati broj tisuću, kao i bilo koji drugi broj, koristeći i princip zbrajanja i množenja, a veći brojevi su uvijek bili ispred manjih.
Egipatsko numeriranje
Gotovo jednako stari su i egipatski brojevi. Da bi svoje misli i riječi izrazili na papiru, Egipćani su koristili znakove koje danas nazivamo hijeroglifima.
Hijeroglifsko pismo je tada zamijenjeno jednostavnijim i hijeratskim pismom. U obje vrste pisma Egipćani su imali posebne znakove za brojeve. Egipćani su prvi pisali brojeve višeg reda, a zatim niže. U ovom slučaju korišten je princip zbrajanja ili množenja. I Egipćani su znali koristiti razlomke. Svi egipatski razlomci imali su jedinicu u brojniku, druge razlomke nisu mogli ni izgovoriti (iznimka je bila 2/3). Razlomci su se zapisivali na isti način kao i prirodni brojevi, samo se iznad njih stavljala točka, a za 1/2 i za 2/3 imali su posebne znakove.
Grčki i rimski brojevi
Rimski brojevi dobro su poznati i koriste se i danas, između ostalog, na brojčanicima satova, natpisima na spomen pločama, kod numeriranja stranica knjiga itd. Poznato je, na primjer, da je L 50, C je 100, D je 500, M je 1000. Znakovi C i M su prva slova riječi "centum" -100 i "mille" - 1000. Znakovi L i D su očito bila i prva slova nekih riječi, ali te riječi nisu došle do nas. Može se samo pretpostaviti da su to bile etruščanske riječi ili izrazi nekog latinskog dijalekta. Ovim brojevima Rimljani su zapisivali brojeve koristeći se pravilima zbrajanja i oduzimanja, npr. LX=60(50+10); XL=40(50-10); CM=900(1000-100); MC=1100(1000+100), itd. Rimski brojevi:
I=1 X=10 C=10^2 M=10^3
Rimljani su koristili razlomke s nazivnicima 60 (babilonski) i s nazivnicima 12, 24, 48:
1/24 je polovica, a 1/48 je jedna četvrtina 1/12.
Rimski su znanstvenici ovladali razlomcima u vezi s brojanjem novca i upotrebom utega i mjera. Rimski novčić As, izvorno kovan od bakra, težio je 1 funtu i bio je podijeljen na 12 unci. Postojao je čak i poseban naziv “deunx” za izraz 11/12 (deunx= de uncia), tj. As bez jedne unce.
Indijsko numeriranje
Brojevi koje trenutno koristimo došli su nam iz Indije.
Europski narodi su ih upoznali zahvaljujući Arapima. Slavni matematičar Leonardo iz Pize prvi ih je spomenuo u svom glavnom djelu The Book of the Arab, objavljenom 1202. godine. Poljska je bila jedna od prvih zemalja koja je uvela indijsko numeriranje - to se dogodilo u 14. stoljeću. Aritmetika temeljena na indijskom numeriranju predavala se u Poljskoj na Krakovskoj akademiji.
Likovi ruskog naroda
Naši preci koristili su abecedno numeriranje, odnosno brojeve su predstavljali slovima, preko kojih se nalazila ikona - nazvana "titlo". Da bi se takva slova - brojevi odvojili od teksta, ispred i iza su stavljene točke.
Ovakav način označavanja brojeva nazivamo brojevima. Slaveni su ga posudili od srednjovjekovnih Grka - Bizanta. Stoga su brojevi označeni samo onim slovima za koje postoje korespondencije u grčkom alfabetu.
Da bi označili velike brojeve, Slaveni su smislili svoj originalni način:
deset tisuća - tama,
deset tema je legija,
deset legija - leord,
deset leorda - gavran,
deset gavranova – špil.
Ovaj način označavanja brojeva, u usporedbi s decimalnim sustavom usvojenim u Europi, bio je vrlo nezgodan. Stoga je Petar 1 uveo deset nama poznatih znamenki u Rusiji, bilježeći abecednu znamenku.
Književnost:
1. Vladimir Levshin “Magistar raspršenih znanosti”. Izdavačka kuća Meshcheryakov, Moskva 2007.
2. Lewis Carroll “Knot Story”. Izdavačka kuća Mir, Moskva 1973.
3. Stanislav Koval “Od zabave do znanja. Matematička mješavina”. WYDAWNICTWA. NAUKOWO-TECHNICZNE WARSZAWA 1972.
4. A.P. Savin, V. V. Stanzo, A. Yu Kotova “Ja poznajem svijet. Matematika". Izdavačka kuća AST-LTD, Moskva 1997.
Internet resursi:
Web stranica RealProjoe.
Znanstveno-praktična konferencija školaraca
"Korak u budućnost"
Povijest nastanka brojeva.
magično značenje brojeva u našim životima.
Emelyanova Valentina
MBOU "Bestyakhskaya srednja škola".
Voditeljica: profesorica matematike
Fedorova Evgenia Gennadievna
2014
Uvodna stranica 3
Poglavlje I. Povijest brojeva str.5
Poglavlje II.Praktični rad „Numerologija“ str.12
Zaključak str.15
Književnost str.16
Primjena. Knjižica "Magija brojeva"
Uvod.
Na satovima matematike naučio sam za mene novi pojam - prirodni broj. Imam pitanja:
Što su brojevi učinili različitih naroda?
Što učenici našeg razreda i škole znaju o brojevima?
Kako datum rođenja utječe na našu sudbinu?
Na ta sam pitanja pokušao odgovoriti u svom radu.
Relevantnost : Nakon što sam proveo anketu u razredu, saznao sam da malo tko iz razreda zna povijest nastanka brojeva i utjecaj brojeva na sudbinu osobe.
Intervjuirao sam 21 studenta: Što oni znaju o podrijetlu broja?
20% je odgovorilo da zna, 72% ne zna, 8% sumnja u svoje znanje.
Predmet proučavanja Ovaj rad je informacija koja sadrži odgovore na naša pitanja.
Ppredmet istraživanja : brojevi, povezanost brojeva s karakterom i sudbinom osobe.
Hipoteza: brojevi utječu na sudbinu osobe
Cilj : proširite svoje znanje o nekim stranicama povijesti brojeva, te značenju brojeva na naš karakter i sudbinu
Zadaci:
Odrediti uzroke i posljedice događaja koji su doveli do nastanka likova i brojeva.
Sažeti informacije vezane uz povijest nastanka brojeva.
Prikupiti, analizirati i obraditi materijale studentskih anketa na temu: “datum rođenja i omiljeni broj”.
Obrazac rada.
Metode rada
1. Analiza literature.
2. Ispitivanje učenika.
3. Statistička obrada rezultata.
ja Povijest brojeva.
Brojevi su jedan od najstarijih izuma. Brojevi se sastoje od brojeva: malih, velikih i vrlo velikih.
Ali je li uvijek bilo ovako?
U svim vremenima i među svim narodima?
1. Prvo se broji na prste
Nema puno za računati primitivni čovjek. Imao je svoje primitivno "računalo" - deset prstiju na ruci. Pružio je prste, zbrojio brojeve. Savijen - oduzet. Zgodno je brojati na prste, ali se rezultat brojanja ne može pohraniti. Ne možete cijeli dan hodati uokolo sa svinutim nožnim prstima. Ovu drevnu "napravu" još uvijek koriste mala djeca kada počnu učiti brojati do deset. Isprva su brojali na prste. Kad su završili prsti na jednoj ruci, prelazilo se na drugu, a ako nije bilo dovoljno na obje ruke, prelazilo se na noge. Dakle, ako bi se u to vrijeme netko hvalio da ima "dvije ruke i jednu nogu kokoši", to je značilo da ima petnaest kokoši, a ako se to zvalo "cijeli čovjek", odnosno dvije ruke i dvije noge.
Donedavno su postojala plemena čiji je jezik sadržavao imena samo dva broja: "jedan" i "dva". pet -ruka, wTamo je -jedan s druge strane, sedam -dva s druge strane, deset -dvije ruke, pola osobe. Petnaest -noga, šesnaest -jedan na drugoj nozi, dvadeset -jedna osoba, dvadeset dvije -dva na ruci druge osobe, četrdeset -dvije osobe, pedeset tri -tri na prvoj nozi trećeg lica. Ranije su ljudi morali uzeti sedam ljudi da bi prebrojali stado od 128 jelena.
2. Korištenje kamenja, čvorova.
drevni čovjek pogodio: za brojanje možete koristiti ne samo prste, već sve što vam dođe pri ruci - kamenje, palice, kosti... U davna vremena, kad je čovjek htio pokazati koliko životinja posjeduje, u veliku je vreću stavio onoliko kamenčića koliko životinja ima. Što više životinja, to više kamenja. Odatle dolazi riječ "kalkulator", "calculus" na latinskom znači "kamen".
Peruanske Inke pratile su životinje i usjeve tako što su na remenima ili vezicama različitih duljina i boja vezivale čvorove koji su se nazivali quipu. Neki bogataši skupili su nekoliko metara ove konopne "knjige računa", probajte, sjetite se za godinu dana što znače 4 čvora na uzici! Stoga se onaj koji je vezao čvorove zvao sjećač.
3. Stari Sumerani
P 
Drevni Sumerani prvi su počeli pisati brojeve, a koristili su samo dvije znamenke. Okomita crta označavala je jednu jedinicu, a kut dvije ležeće crte označavao je deset. Te su crte dobivali u obliku klinova, jer su pisali oštrim štapom po vlažnim glinenim pločicama, koje su zatim sušile i pekle. Ovako su izgledale ploče.
Nakon brojanja zarezima, ljudi su izmislili posebne simbole koji se zovu brojevi. Počeli su se koristiti za označavanje različitih količina bilo kojeg predmeta. Različite civilizacije stvorile su vlastite brojeve
4.Egipatska numerologija
Tako je, na primjer, u staroegipatskom numeriranju, koje je nastalo prije više od 5000 godina, bilo posebni znakovi(hijeroglifi) za pisanje brojeva 1, 10, 100, 1000, ...:
Da bi se prikazao, na primjer, cijeli broj 23145, dovoljno je napisati dva hijeroglifa u nizu koji predstavljaju deset tisuća, zatim tri hijeroglifa za tisuću, jedan za stotinu, četiri za deset i pet hijeroglifa za jedinicu:
Ovaj jedan primjer dovoljan je da naučite pisati brojeve onako kako su ih prikazivali stari Egipćani. Ovaj sustav je vrlo jednostavan i primitivan.
5. Narodi (Babilonci, Asirci, Sumerani) koji su živjeli u Mezopotamiji Tigrisa i Eufrata u razdoblju od II tisućljeća pr. prije početka naše ere,
isprva su brojeve označavali kružićima i polukrugovima različitih veličina, a zatim su počeli koristiti samo dva klinasta znaka - ravni klin i ležeći klin . Ti su narodi koristili seksagezimalni brojevni sustav, na primjer, broj 23 bio je prikazan na sljedeći način: . Broj 60 opet je označavan znakom , npr. broj 92 je zapisan ovako: .
6. Maja Indijanci
Početkom naše ere, Maya Indijanci, koji su živjeli na poluotoku Yucatan u Srednjoj Americi, koristili su drugačiji sustav brojeva - vigesimal. Označavali su 1 točku, a 5 - vodoravnu crtu, na primjer, unos ‗‗‗‗‗ značio je 14. Sustav brojeva Maya također je imao znak za nulu. Po svom obliku podsjećao je na poluzatvoreno oko.
7. Ulaz Drevna grčka
u početku su brojevi 5, 10, 100, 1000, 10000 označavani slovima G, H, X, M, a broj 1 - crticom /. Ovi su simboli korišteni za označavanje G (35) itd. Kasnije su se brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... počeli označavati slovima grčkog alfabeta, kojima su morala biti dodana još tri zastarjela slova. Da bi se brojke razlikovale od slova, iznad slova je stavljena crtica.
8. Stari Indijanci
izmislio znak za svaku znamenku. Evo kako su izgledali
Međutim, Indija je bila odsječena od drugih zemalja - na putu su bile tisuće kilometara udaljenosti i visoke planine.
9. Arapi
U U 5. stoljeću u Indiji se pojavio sustav pisanja, koji poznajemo kao arapske brojke i sada ga aktivno koristimo. Bio je to skup od 9 brojeva od 1 do 9. Svaki je broj bio napisan tako da odgovara broju kutova. Na primjer, u broju 1 - jedan kut, u broju 2 - dva kuta, u broju 3 - tri. I tako sve do 9. Nula još nije postojala, pojavila se kasnije. Umjesto toga, samo su ostavili prazan prostor.
Zapisivanje broja prema broju kutova
Tada se dogodilo nešto zanimljivo: Arapi su usvojili Indijski sustav kalkulus i počeo ga koristiti snažno i snažno. Muslimanski svijet je u to vrijeme bio vrlo razvijen, imao je vrlo bliske veze s azijskom i europskom kulturom i preuzeo je od njih sve što je u to vrijeme bilo najsavršenije i najnaprednije.
Matematičar Muhammad al-Khwarizmi sastavio je priručnik o indijskom numeriranju u 9. stoljeću. U Europu je došao u 12. stoljeću i ovaj brojčani sustav je postao vrlo raširen. Zanimljivo, ali baš zato što su nam ti brojevi došli od Arapa, zovemo ih arapski brojevi, a ne indijski.
Malo kasnije, Arapi su pojednostavili ove ikone, počele su izgledati ovako
Slični su mnogim našim brojevima. Riječ "broj" također nam je došla od Arapa nasljeđivanjem. Arapi su zero, odnosno "prazno", nazivali "sifra". Od tada se pojavila riječ "cifra".
10. Rimska numeracija. Rimsko numeriranje temelji se na načelima zbrajanja (na primjer, VI = V + I) i oduzimanja (na primjer, IX = X -1). Rimski sustav numeriranja je decimalni, ali nepozicijski. Rimski brojevi nisu nastali od slova. U početku su bili označeni, kao u mnogim narodima, "štapićima" (I - jedan, X - 10 - prekriženi štapić, V - 5 - polovina od deset, sto - krug s crticom iznutra, pedeset - polovina ovog znaka itd.).
S vremenom su se neki znakovi promijenili: C - sto, L - pedeset, M - tisuću, D - petsto. Na primjer
: XL - 40, LXXX - 80, XC - 90,
CDLIX - 459, CCCLXXXII - 382,
CMXCI - 991, MCMXCVIII - 1998, MMI - 2001
Došlo je do postupne transformacije izvornih figura u naše moderne figure.
11. Likovi ruskog naroda . Arapski brojevi u Rusiji počeli su se uglavnom koristiti iz 18. stoljeća . Prije toga naši su preci koristili slavensko numeriranje. Iznad slova stavljali su se naslovi (crtice), a zatim su slova označavala brojeve. U jednom od ruskih rukopisa iz 18. stoljeća zapisano je: “... Znajte da postoji stotinu i da postoji tisuća, i da postoji tama, i da postoji legija, i da postoji leodr ...; ... sto je deset deset, a tisuću je deset stotina, a tama je deset tisuća, a legija je deset, a leodre je deset legija ... ". Stotine milijuna zvali su se "špilovi". Prvih devet brojeva napisano je ovako:
U prvom dijelu rada ispričao sam faze razvoja brojeva – od primitivni poredak do danas.
II. Praktični rad "Numerologija"
1. Čarolija brojeva
Nakon što sam saznao porijeklo brojeva, suočio sam se s pitanjem: “Da li matematika koristi samo brojeve?”
Pokazalo se da brojevi od davnina igraju važnu i višestruku ulogu u ljudskom životu. Nije iznenađujuće da su oduvijek budili pažnju na sebe iz uma.
Drevni ljudi su brojevima pripisivali posebna, nadnaravna svojstva, gotovo svaka religija ima svoje " sveti brojevi". Neki su brojevi obećavali sreću i uspjeh, drugi su mogli izazvati udarac sudbine, neki su favorizirali putnike i ratnike, drugi svete misterije.
Priznati stručnjaci u području primjene brojeva bili su stari Indijci, Egipćani, Kaldejci. Tajne njihova učenja povjeravale su se samo uskom krugu posvećenika.
Utemeljitelj europske doktrine brojeva bio je Pitagora.
Sjajno starogrčki matematičar i mistik Pitagora (550 pr. Kr.) rekao je svojim učenicima, da brojevi vladaju svijetom.
Njegovo učenje temeljilo se na činjenici da brojevi sadrže tajnu svemira. Pitagorejci su rekli: Sve se u prirodi mjeri, sve je podložno broju, u broju je bit svih stvari. Poznavati svijet, njegovu strukturu, njegovu pravilnost znači poznavati brojeve koji njime upravljaju. Može se vidjeti priroda i moć broja u svim ljudskim zanimanjima, u svim umjetnostima, zanatima, glazbi. Ne materija, nego broj - početak i osnova stvari.
Pitagora je vjerovao da je duša svake osobe povezana s određenim brojem, da se čak i pojmovi kao što su prijateljstvo, poštenje, pravednost i druge kvalitete mogu opisati određenim brojčanim omjerima. Vjerovao je da neki brojevi donose dobrotu, radost i blagostanje, dok drugi donose propast i pad. Stoga je zadatak mistične matematike otkriti božansko značenje svakog broja.
Pitagora i njegovi učenici su sve brojeve sveli na brojeve od 1 do 9, budući da su to izvorni brojevi iz kojih se mogu izvesti svi ostali.
Magijom broja bavili su se asirski čarobnjaci, egipatski, hebrejski, kineski čarobnjaci. Također su podijelili brojeve na parne i neparne. Parni brojevi smatrali su se ženskim (inertnim), neparnim - muškim (aktivnim).
2. Numerologija.
Numerologija - znanost o brojevima, omogućuje sagledavanje i spoznaju vlastite najdublje suštine, praćenje pokretačkih sila sudbine. Odgovori na pitanja:
Kako postići ciljeve?
Što privlači ljude jedni drugima?
Kako odabrati broj kuće, stana? i mnogo više.
Kako odrediti broj koji tako utječe na našu sudbinu?
Ukupni datum rođenja- ovo je broj suštine osobe (ono što se ne može promijeniti, stalna vrijednost).
Da biste to učinili, morate zbrojiti brojeve dana, mjeseca i godine rođenja.
Na primjer: 02/04/2003 - rođendan: 4+2+2+3=11=1+1=2.
Moj čarobni broj je 2. Ovako ovaj broj karakterizira čovjekovu osobnost: društven, aktivan, strpljiv, uporan, ali često promjenjivog raspoloženja.
Ljudi "dvojke" su društveni, ljubazni, plemeniti. Pravi su prijatelji i vjeruju u snagu dobra. Vole davati darove, ali su skloni živjeti iznad svojih mogućnosti.
Dvojci lako podnose poteškoće svakodnevice, a uz sve nedaće ostaju mala sunca koja mogu grijati. Bolje se manifestiraju u vjeri, filozofiji, umjetnosti i znanosti.
U potpunosti se slažem s ovom karakterizacijom. Mnoge karakterne osobine mi odgovaraju.
Provela sam anketu među učenicima svoje škole. U anketi je sudjelovala 21 osoba. Dečki su razmotrili svoj magični broj, a zatim usporedili svoje karakterne osobine s onima koje odgovaraju ovom broju. Ispostavilo se da se 15 ljudi slaže s opisom svojih karakternih osobina, 5 - djelomično, a samo 1 se ne slaže.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Broj učenika s ovim brojem
Pitao sam i njihov omiljeni broj i usporedio ga s njihovim sudbinskim brojem. Ispostavilo se da se većina tih brojeva ne poklapa.
Zaključak.
Početne ideje o broju pripadaju vrlo dalekoj eri starog kamenog doba - paleolitiku. Interes za proučavanje brojeva pojavio se među ljudima u davnim vremenima, a nije ga uzrokovala samo praktična potreba. Privučen izvanrednim Čarobna sila brojevi koji mogu izraziti broj bilo kojeg predmeta.
Prirodni brojevi označavali su i bogove, i kosmos, i ljude, i njihove odnose. Stoga se proučavanju prirodnih brojeva posvećivala i posvećuje posebna pozornost.
Proučavajući numerologiju došli smo do zaključka da brojevi igraju veliku ulogu u ljudskom životu. Ako koristite njihova značenja, možete razviti svoje snage, ukloniti slabosti i utjecati na događaje u svom životu, glavna stvar je usmjeriti svoju energiju u pravom smjeru kako biste uspjeli. Ali mnogo toga je još nepoznato. Do danas ne mogu nedvosmisleno opovrgnuti ili potvrditi svoju hipotezu, jer. U anketi su sudjelovali samo učenici 5-7 razreda. Planiram nastaviti svoje istraživanje. Ubuduće ću provoditi ankete među odraslim osobama različite dobi i srednjoškolci.
Književnost.
Akimova S. Zabavna matematika. - St. Petersburg; Trigon, 1997. (enciklopedijska natuknica).
Dektyareva Z. A. Matematika nakon škole. - Krasnodar, 1996.
Depman I. Ya. Iza stranica udžbenika matematike. – M.; Prosvjeta, 1989.
Matematika: Školska enciklopedija. – M.; "Velika ruska enciklopedija", 1996.
Myasnikova T. Povijest razvoja pojma negativnog broja. - M., prvi rujna. - 2004. - br. 41.
Pozdnyakova A. G. Matematička večer u školi. / Matematika u školi. - 1989. - br.5.
Trifonov D. Matematičke siluete "životinjskog" broja. / Matematika - 1999. - 1. br.
Sheina O. S., Solovyova G. M. Matematika. Aktivnost školskog kluba. 5-6 razred. - M., NC ENAS, 2001.
Shcherbakova Yu. V. Zabavna matematika u nastavi i izvannastavnim aktivnostima. 5 - 8 razreda. – M.; Globus doo, 2008. (enciklopedijska natuknica).
10. Ja poznajem svijet: Dječja enciklopedija: Matematika./ur. O. G. Heaney. – M.; AST - doo, 1997.
Saznao sam da su prvi dokazi o korištenju drevnih ljudi računi su vučja kost, na kojem su prije 30 tisuća godina napravljeni zarezi.
Sredstva, račun se pojavio prije više od 30 tisuća godina . Ali tada nije bilo brojeva. Samo što je svaki predmet odgovarao jednom zarezu, jednoj crtici.
Ako im prsti nisu bili dovoljni, pozvali su prijatelja da mu već broje ruke i noge. Ali ova metoda je bila nezgodna.
Kada je upravljao kućanstvom, kada je komunicirao s kolegama iz plemena, osoba je koristila prstima, a ponekad i noge, da bi se, na primjer, izbrojilo stoke u stadu ili da bi se pokazalo koliko će muškaraca danas ići u lov.
Zatim su počeli koristiti improvizirane materijale za brojanje ( kamenje, palice...)
Brojevi su se među različitim narodima pojavili u različito vrijeme.
Na primjer, Majanski Indijanci umjesto brojeva koristile su se samo tri oznake: točka, crta i oval, a njima su zapisivali bilo koje brojeve.
U starom Egiptu prije oko 7 tisuća godina koristili su takav zapis brojeva: jedinicu su označavali štapom, stotinu palminim listom.
A sto tisuća označavala je žaba (bilo je puno žaba u delti Nila, pa su ljudi imali takvu asocijaciju: sto tisuća je puno, kao žabe u Nilu).
rimski brojevi pojavio prije 2500 godina. Za male brojeve, ovaj oblik zapisa je prilično zgodan, ali za pisanje velikih brojeva vrlo je težak. I nezgodno je provoditi izračune s njima. Sada se koriste i rimski brojevi, na primjer, za bilježenje stoljeća, rednog broja monarha itd.
Indijanci i narodi stare Azije pri računanju zavezani čvorovi na vezicama različitih duljina i boja.
Neki bogataši nakupili su nekoliko metara ovog užeta " knjiga računa”, probajte, sjetite se za godinu dana što znače četiri čvora na crvenoj vrpci! Stoga se onaj koji je vezao čvorove zvao sjećač.
U 5. stoljeću Indijski sustav pisanja brojeva, što je osnova za moderne brojeve. Indija je bila odsječena od drugih zemalja - na putu su bile tisuće kilometara udaljenosti i visoke planine.
Arapi bili prvi stranci“, koji je brojeve posudio od Indijanaca i donio ih u Europu.
Stoga se vjeruje da je moderna navika za nas brojevi su arapskog porijekla.
Arapi su malo izmijenili indijski sustav pisanja brojeva, prilagodivši ih vlastitom pisanju. No, s vremenom su se brojke promijenile.
Vjeruje se da su arapski matematičari, radi praktičnosti, odlučili izjednačiti broj kutova u unosu broja na svoju numeričku vrijednost. Na primjer, u broju 1 - jedan kut, u broju 2 - dva kuta, u broju 3 - tri. I tako sve do 9. Nula još nije postojala, pojavila se kasnije. Umjesto toga, samo su ostavili prazan prostor.
Oblici brojeva koji su nam poznati su zaokruženiji, jer su kutni brojevi dugi i nisu baš zgodni za pisanje.
Ali, primijetio sam to kutne figure još uvijek se koriste u našim životima kada pišemo indeks na koverti, znamenke u elektronski sat i kalkulatore .
Ipak izgledaju malo drugačije. A s razvojem tiska pojavilo se mnogo različitih fontova i za slova i za brojeve. Ali u ruskim školama svu djecu uče pisati na isti način.
Kao ovo povijest figura i brojeva
. Sada se također koriste različiti brojevi. Neke zemlje, poput arapskih zemalja i Kine, koriste svoje posebne brojeve. Ali, ipak, najrašireniji su arapski brojevi, koji se koriste u cijelom svijetu.