Prirodni brojevi manji od 5 i njihove suprotnosti. Brojke
Cijeli brojevi su brojevi koji se koriste za brojanje stvari. Prirodni brojevi ne uključuju:
- Negativni brojevi (na primjer, -1, -2, -100).
- Razlomci (na primjer, 1,1 ili 6/89).
- Broj 0.
Napiši prirodne brojeve manje od 5
Bit će nekoliko takvih brojeva:
1, 2, 3, 4 - sve su to prirodni brojevi manji od 5. Takvih brojeva više nema.
Sada preostaje zapisati brojeve koji su suprotni pronađenim prirodnim brojevima. Brojevi nasuprot podacima su brojevi koji imaju suprotan predznak (drugim riječima, to su brojevi pomnoženi s -1). Da bismo pronašli brojeve suprotne brojevima 1, 2, 3, 4, moramo sve te brojeve napisati sa suprotnim predznakom (pomnožiti s -1). Učinimo to:
-1, -2, -3, -4 - sve su to brojevi koji su suprotni brojevima 1, 2, 3, 4. Zapišimo odgovor.
Odgovor: prirodni brojevi manji od 5 su brojevi 1, 2, 3, 4;
brojevi koji su suprotni pronađenim brojevima su brojevi -1, -2, -3, -4.
Jednostavno, to je povrće kuhano u vodi po posebnom receptu. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i vodu) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, to se može prikazati kao pravokutnik u kojem jedna strana označava zelenu salatu, a druga vodu. Zbroj ove dvije strane označit će boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršča" čisto su matematički pojmovi i nikada se ne koriste u receptima za boršč.
Kako se zelena salata i voda pretvaraju u boršč u matematičkom smislu? Kako se zbroj dva segmenta može pretvoriti u trigonometriju? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam linearne kutne funkcije.
U udžbenicima matematike nećete pronaći ništa o funkcijama linearnog kuta. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, djeluju bez obzira znamo li da postoje ili ne.
Linearne kutne funkcije su zakoni zbrajanja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.
Može li se bez linearnih kutnih funkcija? Možete, jer matematičari se ipak snalaze i bez njih. Trik matematičara leži u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami mogu riješiti, a nikada nam ne govore o problemima koje ne mogu riješiti. Vidjeti. Ako znamo rezultat zbrajanja i jednog člana, oduzimanjem ćemo pronaći drugi član. Svi. Druge probleme ne poznajemo i nismo u stanju riješiti ih. Što učiniti ako znamo samo rezultat zbrajanja, a ne znamo oba člana? U ovom slučaju, rezultat zbrajanja mora se rastaviti na dva člana pomoću linearnih kutnih funkcija. Nadalje, sami biramo što može biti jedan član, a linearne kutne funkcije pokazuju koliki bi trebao biti drugi član da bi rezultat zbrajanja bio upravo ono što nam treba. Takvih parova članova može biti beskonačno mnogo. U Svakidašnjica jako dobro idemo bez rastavljanja zbroja, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u znanstvenim proučavanjima zakona prirode, proširenje zbroja u članove može biti vrlo korisno.
Još jedan zakon zbrajanja o kojem matematičari ne vole govoriti (još jedan njihov trik) zahtijeva da članovi imaju istu mjernu jedinicu. Za zelenu salatu, vodu i boršč to mogu biti jedinice težine, volumena, cijene ili mjerne jedinice.
Slika prikazuje dvije razine razlike za matematiku. Prva razina su razlike u polju brojeva, koje su naznačene a, b, c. To je ono što matematičari rade. Druga razina su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglatim zagradama i označene slovom U. To je ono što fizičari rade. Možemo razumjeti treću razinu - razlike u opsegu opisanih objekata. Različiti predmeti mogu imati isti broj istih mjernih jedinica. Koliko je to važno, vidimo na primjeru borške trigonometrije. Ako istom zapisu dodamo indekse za mjerne jedinice različitih objekata, možemo točno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se ona mijenja tijekom vremena ili u vezi s našim djelovanjem. pismo W Označit ću vodu slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Evo kako bi izgledale funkcije linearnog kuta za boršč.
Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili spajati zečiće i patke? Bilo je potrebno pronaći koliko će životinja ispasti. Što su nas onda učili činiti? Učili su nas odvajati jedinice od brojeva i zbrajati brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. To je izravan put u autizam moderne matematike - ne razumijemo što, nije jasno zašto, a jako slabo razumijemo kakav je to odnos sa stvarnošću, jer od tri razine razlika matematičari operiraju samo na jednoj. Bilo bi ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.
I zečići, i patke, i male životinje mogu se nabrojati u komadiće. Jedan zajednička jedinica mjerenja za različite objekte omogućuje nam da ih zbrojimo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Što dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.
Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i pribrajamo je raspoloživoj gotovini. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novcu.
Druga opcija. Možete dodati broj zečića broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo količinu pokretnine u komadima.
Kao što vidite, isti zakon zbrajanja omogućuje vam da dobijete različite rezultate. Sve ovisi o tome što točno želimo znati.
Ali vratimo se našem boršču. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi kada različita značenja kut linearnih kutnih funkcija.
Kut je nula. Imamo salatu, ali nemamo vode. Ne možemo kuhati boršč. Količina boršča također je nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednako nula vode. Nula boršč također može biti na nuli salata (pravi kut).
Za mene osobno ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To je zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se odnositi prema tome kako god želite, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, stoga odbacite svoju logiku i glupo natrpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje s nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen s nulom jednako nuli" , "iza točke nule" i ostale gluposti. Dovoljno je da se jednom sjetite da nula nije broj i više nikada nećete imati pitanje je li nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje uglavnom gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj . To je kao da pitate kojoj boji pripisati nevidljivu boju. Dodati nulu broju je kao slikati bojom koja ne postoji. Mahali su suhim kistom i svima govorili da smo "slikali". Ali malo sam skrenuo s teme.
Kut je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stupnjeva. Imamo puno zelene salate, ali malo vode. Kao rezultat, dobivamo gusti boršč.
Kut je četrdeset pet stupnjeva. Imamo jednake količine vode i zelene salate. Ovo je savršen boršč (neka mi kuhari oproste, to je samo matematika).
Kut je veći od četrdeset pet stupnjeva, ali manji od devedeset stupnjeva. Imamo puno vode, a malo zelene salate. Uzmite tekući boršč.
Pravi kut. Imamo vodu. Od salate ostaju samo sjećanja, dok nastavljamo mjeriti kut od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo kuhati boršč. Količina boršča je nula. U tom slučaju, pričekajte i pijte vodu dok je ima)))
Ovdje. Nešto kao ovo. Ovdje mogu ispričati druge priče koje će ovdje biti više nego prikladne.
Dva prijatelja imala su svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon ubojstva jednog od njih, sve je pripalo drugome.
Pojava matematike na našem planetu.
Sve te priče ispričane su jezikom matematike pomoću linearnih kutnih funkcija. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na trigonometriju boršča i razmotrimo projekcije.
Subota, 26. listopada 2019
Srijeda, 7. kolovoza 2019
Zaključujući razgovor o , trebamo razmotriti beskonačan skup. Dao je u tome da koncept "beskonačnosti" djeluje na matematičare, kao udav na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdrav razum. Evo primjera:
Izvorni izvor je lociran. Alfa označava realan broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima označava da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako kao primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, tada se razmatrani primjeri mogu prikazati na sljedeći način:
Kako bi vizualno dokazali svoj slučaj, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Osobno na sve te metode gledam kao na plesove šamana s tamburama. U suštini, svi se svode na to da ili neka soba nije zauzeta i u nju se smjeste novi gosti ili da se dio posjetitelja izbaci u hodnik kako bi se napravio prostor za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se temelji moje zaključivanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja oduzima beskonačno mnogo vremena. Nakon što ispraznimo prvu gostinjsku sobu, uvijek će jedan od posjetitelja hodati hodnikom od svoje sobe do sljedeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena može se glupo zanemariti, ali to će već biti iz kategorije "zakon nije napisan za budale". Sve ovisi o tome što radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.
Što je "beskonačni hotel"? Infinity inn je gostionica koja uvijek ima neograničen broj slobodnih mjesta, bez obzira koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskrajnom hodniku "za posjetitelje" zauzete, ostaje još jedan beskrajni hodnik sa sobama za "goste". Takvih će hodnika biti beskonačno mnogo. Istodobno, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj katova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju svemira koje je stvorio beskonačan broj Bogova. Matematičari, pak, ne mogu se odmaknuti od banalnih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Tako matematičari pokušavaju žonglirati rednim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće "ugurati nenagurane".
Pokazat ću vam logiku svog zaključivanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji točan odgovor na ovo pitanje, budući da smo sami izmislili brojeve, brojeva u prirodi nema. Da, priroda zna savršeno računati, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Budući da smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva postoji. Razmotrite obje mogućnosti, kako i priliči pravom znanstveniku.
Prva opcija. "Neka nam je dan" jedan skup prirodnih brojeva, koji spokojno leži na polici. Uzimamo ovaj set s police. To je to, drugih prirodnih brojeva nema više na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu jer ga već imamo. Što ako to stvarno želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedinicu iz seta koji smo već preuzeli i vratiti je na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobivamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:
Zapisao sam operacije u algebarskom zapisu i u zapisu teorije skupova, detaljno navodeći elemente skupa. Indeks označava da imamo jedan i jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako mu se oduzme jedan i doda isti takav.
Druga opcija. Na polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam – RAZLIČITI, unatoč tome što se praktički ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzmemo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodamo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak zbrojiti dva skupa prirodnih brojeva. Evo što dobivamo:
Indeksi "jedan" i "dva" označavaju da su ti elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao izvorni skup. Ako se jednom beskonačnom skupu doda još jedan beskonačni skup, rezultat je novi beskonačni skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.
Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao ravnalo za mjerenje. Sada zamislite da ste ravnalu dodali jedan centimetar. Ovo će već biti druga linija, koja nije jednaka izvorniku.
Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje razmišljanje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite jeste li na putu lažnog zaključivanja, kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, satovi matematike, prije svega, formiraju stabilan stereotip razmišljanja u nama, a tek onda nam dodaju mentalne sposobnosti (ili obrnuto, lišavaju nas slobodnog razmišljanja).
pozg.ru
Nedjelja, 4. kolovoza 2019
Pisao sam postskriptum na članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:
Čitamo: "... bogata teorijska osnova babilonske matematike nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza."
Wow! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Je li nam slabo promatrati modernu matematiku u istom kontekstu? Lagano parafrazirajući gornji tekst, osobno sam dobio sljedeće:
Bogata teorijska osnova moderne matematike nema holistički karakter i svedena je na skup različitih dijelova, lišenih zajedničkog sustava i baze dokaza.
Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim posvetiti cijeli ciklus publikacija najočitijim zabludama moderne matematike. Vidimo se uskoro.
Subota, 3. kolovoza 2019
Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu mjernu jedinicu, koja je prisutna u nekim od elemenata odabranog skupa. Razmotrite primjer.
Neka nas bude mnogo A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na temelju "ljudi". Označimo elemente ovog skupa slovom A, indeks s brojem označit će redni broj svake osobe u ovom skupu. Uvedimo novu mjernu jedinicu "spolno svojstvo" i označimo ga slovom b. Budući da su spolne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na spolu b. Primijetite da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi sa spolom". Nakon toga spolna obilježja možemo podijeliti na muška bm i ženskih bw rodne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filtar: odaberemo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako je prisutan u osobi, onda ga množimo s jedinicom, ako nema tog znaka, množimo ga s nulom. I onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi što se dogodilo.
Nakon množenja, smanjivanja i preslagivanja, dobili smo dva podskupa: muški podskup bm i podskup žena bw. Približno na isti način matematičari razmišljaju kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali ne daju nam detalje, već nam daju gotov rezultat - "puno ljudi sastoji se od podskupa muškaraca i podskupa žena." Naravno, možda imate pitanje koliko je ispravno primijenjena matematika u gornjim transformacijama? Usuđujem vas uvjeriti da su zapravo transformacije učinjene ispravno, dovoljno je znati matematičko opravdanje aritmetike, Booleove algebre i drugih dijelova matematike. Što je? Neki drugi put ću vam pričati o tome.
Što se tiče supersetova, moguće je spojiti dva skupa u jedan superset odabirom mjerne jedinice koja je prisutna u elementima ta dva skupa.
Kao što vidite, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova stvar prošlosti. Znak da s teorijom skupova nije sve u redu je to što su matematičari smislili vlastiti jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su učinili ono što su nekoć učinili šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Ovo "znanje" nas uče.
Na kraju, želim vam pokazati kako matematičari manipuliraju.
Ponedjeljak, 7. siječnja 2019
U petom stoljeću pr starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:
Recimo da Ahilej trči deset puta brže od kornjače i da je tisuću koraka iza nje. Za vrijeme dok Ahil pretrči ovu udaljenost, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Kad Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti unedogled, Ahil nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i danas, znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... u proučavanje problematike uključeni su matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema ..."[Wikipedia," Zenonove aporije "]. Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu je prijevara.
S gledišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s vrijednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko ja razumijem, matematički aparat za primjenu promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, inercijom mišljenja, primjenjujemo konstantne jedinice vremena na recipročne. Fizički gledano, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može prestići kornjaču.
Okrenemo li logikom na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskrajno brzo prestići kornjaču."
Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Zenonovim jezikom to izgleda ovako:
U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača otpuže stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahil će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača puzati sto koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o nesavladivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek trebamo proučiti, promisliti i riješiti. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku miruje, a budući da miruje u svakom trenutku, uvijek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks prevladava se vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da bi se utvrdila činjenica kretanja automobila, potrebne su dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još uvijek su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći). Ono što želim posebno istaknuti je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba miješati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću proces na primjeru. Odaberemo "crvenu krutinu u prištiću" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su te stvari s lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga izdvajamo dio "cjeline" i formiramo komplet "s mašnom". Ovako se šamani hrane povezujući svoju teoriju skupa sa stvarnošću.
Sada napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto u prištiću s lukom" i ujedinimo ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Dobili smo dosta "crvenog". E sad jedno škakljivo pitanje: jesu li primljeni kompleti "mašnom" i "crveni" isti set ili dva različita kompleta? Samo šamani znaju odgovor. Točnije, ni oni sami ne znaju ništa, ali kako oni kažu, tako i bude.
Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada se radi o stvarnosti. u cemu je tajna Formirali smo set "crveni čvrsti prištić s mašnom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crveno), čvrstoća (čvrsto), hrapavost (u kvrgi), ukrasi (s lukom). Samo skup mjernih jedinica omogućuje primjereno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike. Evo kako to izgleda.
Slovo "a" s različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su označene mjerne jedinice prema kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada je izdvojena mjerna jedinica prema kojoj je skup formiran. Zadnji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo jedinice za formiranje skupa, tada rezultat ne ovisi o redoslijedu naših radnji. I to je matematika, a ne plesovi šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, argumentirajući to "očiglednošću", jer mjerne jedinice nisu uključene u njihov "znanstveni" arsenal.
Uz pomoć mjernih jedinica vrlo je lako razbiti jedan ili spojiti više skupova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.
Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u svakodnevnom životu za brojanje stavke, tj. izračunati njihov broj i redoslijed.
Što je prirodni broj: prirodni brojevi imenovati brojeve koji se koriste za brojanje predmeta ili za označavanje serijskog broja bilo kojeg predmeta iz svih homogenih stavke.
Cijeli brojevisu brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.
najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Pri prebrojavanju broja nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.
prirodni niz brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Napiši prirodne brojeve:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
U prirodne serije svaki broj je za jedan veći od prethodnog.
Koliko je brojeva u prirodnom nizu? Prirodni niz je beskonačan, ne postoji najveći prirodni broj.
Decimala budući da 10 jedinica bilo koje kategorije čini 1 jedinicu najvišeg reda. položajni tako kako vrijednost znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju, tj. iz kategorije u kojoj se bilježi.
Klase prirodnih brojeva.
Bilo koji prirodni broj može se napisati s 10 arapskih brojeva:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Za čitanje prirodnih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke. 3 prva brojevi s desne strane su klasa jedinica, sljedeća 3 su klasa tisućica, zatim klase milijuna, milijardi iitd. Svaka od znamenki klase naziva se njezinapražnjenje.
Usporedba prirodnih brojeva.
Od 2 prirodna broja manji je broj koji je ranije pozvan u brojanju. Na primjer, broj 7 manje 11 (napisano ovako:7 < 11 ). Kada je jedan broj veći od drugog, piše se ovako:386 > 99 .
Tablica znamenki i klase brojeva.
|
jedinica 1. razreda |
1. znamenka jedinice 2. mjesto deset 3. red stotina |
|
2. klasa tisuća |
1. znamenka jedinica tisuća 2. znamenka desetaka tisuća 3. red stotina tisuća |
|
3. razred milijuni |
1. znamenka jedinica milijun 2. znamenka deseci milijuna 3. znamenka stotine milijuna |
|
4. razred milijarde |
1. znamenka jedinica milijarde 2. znamenka deseci milijardi 3. znamenka stotine milijardi |
|
Brojevi 5. razreda i više odnose se na velike brojke. Jedinice 5. klase - bilijuni, 6 klasa - kvadrilijuni, 7. klasa - kvintilijuni, 8. klasa - sekstilijuni, 9. klasa - eptilioni. Osnovna svojstva prirodnih brojeva.
Djelovanje na prirodne brojeve. 4. Dijeljenje prirodnih brojeva je operacija inverzna množenju. Ako b ∙ c \u003d a, To Formule dijeljenja: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Brojevni izrazi i brojevne jednakosti. Zapis gdje su brojevi povezani znakovima radnje je brojčani izraz. Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Unosi u kojima znak jednakosti povezuje 2 numerička izraza je brojčane jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu. Redoslijed kojim se izvode aritmetičke operacije. Zbrajanje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stupnja, dok su množenje i dijeljenje operacije drugog stupnja. Kada se numerički izraz sastoji od radnji samo jednog stupnja, tada se one izvode uzastopno s lijeva na desno. Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stupnja, tada se radnje prvo izvode drugi stupanj, a zatim - radnje prvog stupnja. Kada u izrazu postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama. Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
Povijest prirodnih brojeva započela je u primitivnim vremenima. Od davnina su ljudi brojali predmete. Na primjer, u trgovini je bio potreban robni račun, ili u građevinarstvu materijalni račun. Da, iu svakodnevnom životu morao sam brojati stvari, proizvode, stoku. Isprva su brojevi služili samo za brojanje u životu, u praksi, ali su kasnije, razvojem matematike, postali dio znanosti.
Cijeli brojevi su brojevi koje koristimo kada brojimo predmete.
Na primjer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....
Nula nije prirodan broj.
Svi prirodni brojevi, ili nazovimo skup prirodnih brojeva, označavaju se simbolom N.
Tablica prirodnih brojeva.
prirodni red.
Prirodni brojevi zapisani rastućim redoslijedom u obliku reda prirodne serije ili niz prirodnih brojeva.
Svojstva prirodne serije:
- Najmanji prirodni broj je jedan.
- U prirodnom nizu sljedeći broj je jedan po jedan veći od prethodnog. (1, 2, 3, …) Tri točke ili tri točke koriste se ako je nemoguće dovršiti niz brojeva.
- Prirodni niz nema najveći broj, on je beskonačan.
Primjer #1:
Napiši prvih 5 prirodnih brojeva.
Riješenje:
Prirodni brojevi počinju s jedinicom.
1, 2, 3, 4, 5
Primjer #2:
Je li nula prirodan broj?
Odgovor: ne.
Primjer #3:
Koji je prvi broj u prirodnom nizu?
Odgovor: prirodni broj počinje s jedinicom.
Primjer #4:
Koji je posljednji broj u prirodnom nizu? Koji je najveći prirodni broj?
Odgovor: Prirodni broj počinje od jedan. Svaki sljedeći broj za jedan je veći od prethodnog, tako da zadnji broj ne postoji. Ne postoji najveći broj.
Primjer #5:
Jedinica u prirodnom nizu ima prethodni broj?
Odgovor: ne, jer je jedan prvi broj u prirodnom nizu.
Primjer #6:
Imenuj sljedeći broj u prirodnom nizu iza brojeva: a) 5, b) 67, c) 9998.
Odgovor: a) 6, b) 68, c) 9999.
Primjer #7:
Koliko se brojeva nalazi u prirodnom nizu između brojeva: a) 1 i 5, b) 14 i 19.
Riješenje:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - tri broja su između brojeva 1 i 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - četiri broja su između brojeva 14 i 19.
Primjer #8:
Iza broja 11 nazovi prethodni broj.
Odgovor: 10.
Primjer #9:
Koji se brojevi koriste za brojanje predmeta?
Odgovor: prirodni brojevi.