Nakon što se broj zaokružuje. Kako zaokružiti brojeve gore-dolje s Excel funkcijama

Danas ćemo razmotriti prilično dosadnu temu, bez razumijevanja koje nije moguće nastaviti. Ova tema se zove "zaokruživanje brojeva" ili drugim riječima "približne vrijednosti brojeva".

Sadržaj lekcije

Približne vrijednosti

Približne (ili približne) vrijednosti koriste se kada se ne može pronaći točna vrijednost nečega ili ta vrijednost nije važna za predmet koji se proučava.

Recimo, može se verbalno reći da u nekom gradu živi pola milijuna ljudi, ali ta tvrdnja neće biti točna, jer se broj ljudi u gradu mijenja – ljudi dolaze i odlaze, rađaju se i umiru. Stoga bi bilo ispravnije reći da grad živi približno pola milijuna ljudi.

Još jedan primjer. Nastava počinje u devet ujutro. Iz kuće smo krenuli u 8:30. Nešto kasnije, na putu smo sreli našeg prijatelja, koji nas je pitao koliko je sati. Kad smo izašli iz kuće bilo je 8:30, proveli smo nepoznato vrijeme na putu. Ne znamo koliko je sati, pa prijatelju odgovorimo: „sada približno oko devet sati."

U matematici su približne vrijednosti označene posebnim znakom. Ovako izgleda:

Čita se kao "približno jednako".

Da bi označili približnu vrijednost nečega, pribjegavaju takvoj operaciji kao što je zaokruživanje brojeva.

Zaokruživanje brojeva

Da biste pronašli približnu vrijednost, operacija kao što je zaokruživanje brojeva.

Riječ zaokruživanje govori sama za sebe. Zaokružiti broj znači učiniti ga okruglim. Okrugli broj je broj koji završava nulom. Na primjer, sljedeći brojevi su okrugli,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Bilo koji broj se može zaokružiti. Proces kojim se broj zaokružuje naziva se zaokruživanje broja.

Već smo se bavili "zaokruživanjem" brojeva kod dijeljenja velikih brojeva. Podsjetimo se da smo za ovo ostavili nepromijenjenu znamenku koja čini najznačajniju znamenku, a preostale znamenke zamijenili nulama. Ali to su bile samo skice koje smo napravili da bismo olakšali podjelu. Neka vrsta hakiranja. Zapravo, to čak i nije bilo zaokruživanje brojeva. Zato smo na početku ovog odlomka riječ zaokruživanje uzeli u navodnike.

Zapravo, bit zaokruživanja je pronaći najbližu vrijednost od izvorne. U isto vrijeme, broj se može zaokružiti na određenu znamenku - na znamenku desetica, znamenku stotina, znamenku tisućica.

Razmotrimo jednostavan primjer zaokruživanja. Zadan je broj 17. Potrebno ga je zaokružiti na znamenku desetica.

Bez gledanja unaprijed, pokušajmo razumjeti što znači "zaokružiti na znamenku desetica". Kada kažu zaokružiti broj 17, od nas se traži da nađemo najbliži okrugli broj za broj 17. U isto vrijeme, tijekom ove pretrage, broj koji je na mjestu desetica u broju 17 (tj. jedinica) također može biti biti promijenjen.

Zamislimo da svi brojevi od 10 do 20 leže na ravnoj liniji:

Slika pokazuje da je za broj 17 najbliži okrugli broj 20. Dakle, odgovor na zadatak će biti ovakav: 17 je približno jednako 20

17 ≈ 20

Našli smo približnu vrijednost za 17, odnosno zaokružili smo je na desetice. Vidi se da se nakon zaokruživanja na mjestu desetica pojavio novi broj 2.

Pokušajmo pronaći približan broj za broj 12. Da biste to učinili, ponovno zamislite da svi brojevi od 10 do 20 leže na ravnoj liniji:

Slika pokazuje da je najbliži okrugli broj za 12 broj 10. Dakle, odgovor na zadatak će biti ovakav: 12 je približno jednako 10

12 ≈ 10

Pronašli smo približnu vrijednost za 12, odnosno zaokružili smo je na desetice. Ovaj put broj 1, koji je bio na mjestu desetica od 12, nije bio pogođen zaokruživanjem. Zašto se to dogodilo, razmotrit ćemo kasnije.

Pokušajmo pronaći broj najbliži broju 15. Opet, zamislimo da svi brojevi od 10 do 20 leže na ravnoj liniji:

Na slici se vidi da je broj 15 jednako udaljen od okruglih brojeva 10 i 20. Postavlja se pitanje koji će od ovih okruglih brojeva biti približna vrijednost za broj 15? Za takve slučajeve dogovorili smo se uzeti veći broj kao aproksimaciju. 20 je veće od 10, tako da je približna vrijednost za 15 broj 20

15 ≈ 20

Veliki brojevi također se mogu zaokružiti. Naravno, nije im moguće nacrtati ravnu liniju i prikazati brojeve. Postoji način za njih. Na primjer, zaokružimo broj 1456 na desetice.

Moramo zaokružiti 1456 na desetice. Broj desetica počinje s pet:

Sada privremeno zaboravljamo na postojanje prvih znamenki 1 i 4. Broj 56 ostaje

Sada gledamo koji okrugli broj je bliži broju 56. Očito, najbliži okrugli broj za 56 je broj 60. Dakle, broj 56 zamijenimo brojem 60

Dakle, zaokruživanjem broja 1456 na mjesto desetica dobivamo 1460

1456 ≈ 1460

Vidi se da su nakon zaokruživanja broja 1456 na znamenku desetica promjene zahvatile i samu znamenku desetica. Novi rezultirajući broj sada ima 6 umjesto 5 na mjestu desetica.

Brojeve možete zaokružiti ne samo na znamenku desetica. Također možete zaokružiti na više stotina, tisuća, desetaka tisuća.

Nakon što postane jasno da zaokruživanje nije ništa drugo do pronalaženje najbližeg broja, možete primijeniti gotova pravila koja znatno olakšavaju zaokruživanje brojeva.

Prvo pravilo zaokruživanja

Iz prethodnih primjera postalo je jasno da se kod zaokruživanja broja na određenu znamenku niže znamenke zamjenjuju nulama. Znamenke koje su zamijenjene nulama nazivaju se odbačene figure.

Prvo pravilo zaokruživanja izgleda ovako:

Ako je prilikom zaokruživanja brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada pohranjena znamenka ostaje nepromijenjena.

Na primjer, zaokružimo broj 123 na desetice.

Prije svega, nalazimo pohranjenu znamenku. Da biste to učinili, morate pročitati sam zadatak. U razrješenju, koje se spominje u zadatku, nalazi se pohranjena brojka. Zadatak kaže: broj 123 zaokruži naviše znamenka desetica.

Vidimo da je dvojka na mjestu desetica. Dakle, pohranjena znamenka je broj 2

Sada nalazimo prvu od odbačenih znamenki. Prva znamenka koju treba odbaciti je znamenka koja slijedi nakon znamenke koju treba zadržati. Vidimo da je prva znamenka nakon dvojke broj 3. Dakle, broj 3 je prva odbačena znamenka.

Sada primijenite pravilo zaokruživanja. Kaže da ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada pohranjena znamenka ostaje nepromijenjena.

Tako i radimo. Pohranjenu znamenku ostavljamo nepromijenjenu, a sve niže znamenke zamjenjujemo nulama. Drugim riječima, sve što slijedi iza broja 2 zamjenjuje se nulama (točnije nulom):

123 ≈ 120

Dakle, zaokruživanjem broja 123 na znamenku desetica dobivamo približan broj 120.

Pokušajmo sada zaokružiti isti broj 123, ali naviše stotine mjesta.

Moramo zaokružiti broj 123 na stoticu. Opet tražimo spremljenu figuru. Ovaj put, pohranjena znamenka je 1 jer zaokružujemo broj na stoticu.

Sada nalazimo prvu od odbačenih znamenki. Prva znamenka koju treba odbaciti je znamenka koja slijedi nakon znamenke koju treba zadržati. Vidimo da je prva znamenka nakon jedinice broj 2. Dakle, broj 2 je prva odbačena znamenka:

Sada primijenimo pravilo. Kaže da ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada pohranjena znamenka ostaje nepromijenjena.

Tako i radimo. Pohranjenu znamenku ostavljamo nepromijenjenu, a sve niže znamenke zamjenjujemo nulama. Drugim riječima, sve što slijedi nakon broja 1 zamjenjuje se nulama:

123 ≈ 100

Dakle, zaokruživanjem broja 123 na stoticu dobivamo približan broj 100.

Primjer 3 Zaokružite broj 1234 na desetice.

Ovdje je znamenka koju treba zadržati 3. A prva znamenka koju treba odbaciti je 4.

Dakle, ostavimo spremljeni broj 3 nepromijenjen, a sve iza njega zamijenimo nulom:

1234 ≈ 1230

Primjer 4 Zaokružite broj 1234 na stoticu.

Ovdje je pohranjena znamenka 2. A prva odbačena znamenka je 3. Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada ostaje zadržana znamenka nepromijenjeno.

Dakle, ostavljamo spremljeni broj 2 nepromijenjen, a sve iza njega zamijenimo nulama:

1234 ≈ 1200

Primjer 3 Zaokružite broj 1234 na tisućiti dio.

Ovdje je pohranjena znamenka 1. A prva odbačena znamenka je 2. Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada ostaje zadržana znamenka nepromijenjeno.

Dakle, ostavljamo spremljeni broj 1 nepromijenjen, a sve nakon njega zamijenimo nulama:

1234 ≈ 1000

Drugo pravilo zaokruživanja

Drugo pravilo zaokruživanja izgleda ovako:

Ako je prilikom zaokruživanja brojeva prva odbačena znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se pohranjena znamenka povećava za jedan.

Na primjer, zaokružimo broj 675 na desetice.

Prije svega, nalazimo pohranjenu znamenku. Da biste to učinili, morate pročitati sam zadatak. U razrješenju, koje se spominje u zadatku, nalazi se pohranjena brojka. Zadatak kaže: zaokruži broj 675 naviše znamenka desetica.

Vidimo da je u kategoriji desetica sedmerac. Dakle, pohranjena znamenka je broj 7

Sada nalazimo prvu od odbačenih znamenki. Prva znamenka koju treba odbaciti je znamenka koja slijedi nakon znamenke koju treba zadržati. Vidimo da je prva znamenka nakon sedam broj 5. Dakle, broj 5 je prva odbačena znamenka.

Imamo prvu od odbačenih znamenki 5. Dakle, moramo povećati pohranjenu znamenku 7 za jedan, i zamijeniti sve nakon nje s nulom:

675 ≈ 680

Dakle, zaokruživanjem broja 675 na znamenku desetica dobivamo približan broj 680.

Pokušajmo sada zaokružiti isti broj 675, ali naviše stotine mjesta.

Moramo zaokružiti broj 675 na stoticu. Opet tražimo spremljenu figuru. Ovaj put, pohranjena znamenka je 6, jer zaokružujemo broj na stoticu:

Sada nalazimo prvu od odbačenih znamenki. Prva znamenka koju treba odbaciti je znamenka koja slijedi nakon znamenke koju treba zadržati. Vidimo da je prva znamenka nakon šestice broj 7. Dakle, broj 7 je prva odbačena znamenka:

Sada primijenite drugo pravilo zaokruživanja. Kaže da ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se zadržana znamenka povećava za jedan.

Imamo prvu od odbačenih znamenki 7. Dakle, moramo povećati pohranjenu znamenku 6 za jedan i zamijeniti sve nakon nje nulama:

675 ≈ 700

Dakle, zaokruživanjem broja 675 na stoticu dobivamo približan broj 700.

Primjer 3 Zaokružite broj 9876 na desetice.

Ovdje je znamenka koju treba zadržati 7. A prva znamenka koju treba odbaciti je 6.

Dakle, pohranjeni broj 7 povećavamo za jedan, a sve što se nalazi iza njega zamijenimo nulom:

9876 ≈ 9880

Primjer 4 Zaokružite broj 9876 na stoticu.

Ovdje je pohranjena znamenka 8. A prva odbačena znamenka je 7. Prema pravilu, ako je prva od odbačenih znamenki 5, 6, 7, 8 ili 9 prilikom zaokruživanja brojeva, tada se pohranjena znamenka povećava za jedan.

Dakle, pohranjeni broj 8 povećavamo za jedan, a sve što se nalazi iza njega zamijenimo nulama:

9876 ≈ 9900

Primjer 5 Zaokružite broj 9876 na tisućiti dio.

Ovdje je pohranjena znamenka 9. A prva odbačena znamenka je 8. Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9, tada je zadržana znamenka povećan za jedan.

Dakle, spremljeni broj 9 povećavamo za jedan, a sve što se nalazi iza njega zamijenimo nulama:

9876 ≈ 10000

Primjer 6 Zaokružite broj 2971 na najbližu stotinu.

Kod zaokruživanja ovog broja na stotine treba biti oprezan jer je ovdje zadržana znamenka 9, a prva odbačena znamenka je 7. Dakle, znamenka 9 mora se povećati za jedan. Ali činjenica je da nakon povećanja devet za jedan, dobivate 10, a ova brojka neće stati u stotine novih brojeva.

U tom slučaju na stotici novog broja treba napisati 0, a jedinicu prenijeti na sljedeću znamenku i dodati je broju koji se tamo nalazi. Zatim zamijenite sve znamenke nakon pohranjene nule:

2971 ≈ 3000

Zaokruživanje decimala

Kod zaokruživanja decimalnih razlomaka treba biti posebno oprezan, jer se decimalni razlomak sastoji od cijelog i razlomka. I svaki od ova dva dijela ima svoje rangove:

Bitovi cijelog dijela:

• znamenka jedinice
• mjesto desetica
• stotine mjesta
• tisuća znamenki

Razlomci:

• deseto mjesto
• stoto mjesto
• tisućito mjesto

Razmotrimo decimalni razlomak 123.456 - sto dvadeset tri zareza četiri stotine pedeset šest tisućinki. Ovdje je cijeli broj 123, a razlomak 456. Štoviše, svaki od ovih dijelova ima svoje znamenke. Vrlo je važno ne zbuniti ih:

Za cjelobrojni dio vrijede ista pravila zaokruživanja kao i za obične brojeve. Razlika je u tome što se nakon zaokruživanja cijelog dijela i zamjene svih znamenki nakon pohranjene znamenke nulama, razlomački dio potpuno odbacuje.

Na primjer, zaokružimo razlomak 123,456 na znamenka desetica. Točno do mjesto desetica, ali ne deseto mjesto. Vrlo je važno ne miješati ove kategorije. Pražnjenje deseci nalazi se u cjelobrojnom dijelu, a pražnjenje desetine u frakcijskom.

Moramo zaokružiti 123.456 na desetice. Znamenka koja se ovdje pohranjuje je 2, a prva znamenka koja se odbacuje je 3

Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada zadržana znamenka ostaje nepromijenjena.

To znači da će pohranjena znamenka ostati nepromijenjena, a sve ostalo će biti zamijenjeno nulom. Što je s razlomačkim dijelom? Jednostavno se odbacuje (uklanja):

123,456 ≈ 120

Sada pokušajmo zaokružiti isti razlomak 123,456 naviše znamenka jedinice. Znamenka koja će se ovdje pohraniti bit će 3, a prva znamenka koja će se odbaciti je 4, koja se nalazi u razlomku:

Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 0, 1, 2, 3 ili 4, tada zadržana znamenka ostaje nepromijenjena.

To znači da će pohranjena znamenka ostati nepromijenjena, a sve ostalo će biti zamijenjeno nulom. Preostali razlomački dio bit će odbačen:

123,456 ≈ 123,0

Nula koja ostane nakon decimalne točke također se može odbaciti. Dakle, konačni odgovor će izgledati ovako:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Sada se pozabavimo zaokruživanjem razlomaka. Za zaokruživanje razlomljenih dijelova vrijede ista pravila kao i za zaokruživanje cijelih dijelova. Pokušajmo zaokružiti razlomak 123,456 na deseto mjesto. Na desetom mjestu je broj 4, što znači da je to pohranjena znamenka, a prva odbačena znamenka je 5, koja je na stotom mjestu:

Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se zadržana znamenka povećava za jedan.

Tako će se pohranjeni broj 4 povećati za jedan, a ostatak će biti zamijenjen nulama

123,456 ≈ 123,500

Pokušajmo zaokružiti isti razlomak 123,456 na stoto mjesto. Ovdje pohranjena znamenka je 5, a prva znamenka koju treba odbaciti je 6, koja se nalazi na mjestu tisućinki:

Prema pravilu, ako je pri zaokruživanju brojeva prva odbačena znamenka 5, 6, 7, 8 ili 9, tada se zadržana znamenka povećava za jedan.

Tako će se spremljeni broj 5 povećati za jedan, a ostatak će biti zamijenjen nulama

123,456 ≈ 123,460

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

Metode

Različita polja mogu koristiti različite metode zaokruživanja. U svim ovim metodama, "ekstra" znakovi se postavljaju na nulu (odbacuju se), a znak koji im prethodi ispravlja se prema nekom pravilu.

• Zaokruživanje na najbliži cijeli broj(Engleski) zaokruživanje) - najčešće korišteno zaokruživanje, u kojem se broj zaokružuje na cijeli broj, modul razlike s kojim taj broj ima minimum. Općenito, kada se broj u decimalnom sustavu zaokružuje na N-to decimalno mjesto, pravilo se može formulirati na sljedeći način:
  • Ako N+1 znak< 5 , tada se N-ti predznak zadržava, a N+1 i svi sljedeći postavljaju se na nulu;
  • Ako N+1 znakova ≥ 5, tada se N-ti znak povećava za jedan, a N + 1 i svi sljedeći postavljaju se na nulu;
  Na primjer: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Zaokruživanje po modulu(zaokruživanje prema nuli, integer eng. fix, truncate, integer) je "najjednostavnije" zaokruživanje, budući da se nakon nuliranja "dodatnih" znakova zadržava prethodni znak. Na primjer, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Zaokruživanje(zaokruži na +∞, zaokruži, eng. strop) - ako nulti predznaci nisu jednaki nuli, predznak se povećava za jedan ako je broj pozitivan ili se zadržava ako je broj negativan. U ekonomskom žargonu - zaokruživanje u korist prodavatelja, vjerovnika(osobe koja prima novac). Konkretno, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Zaokruživanje prema dolje(zaokruži na −∞, zaokruži prema dolje, engl. kat) - ako nulti predznaci nisu jednaki nuli, prethodni predznak se zadržava ako je broj pozitivan ili se povećava za jedan ako je broj negativan. U ekonomskom žargonu - zaokruživanje u korist kupca, dužnika(osoba koja daje novac). Ovdje je 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Zaokruživanje modula(zaokruži prema beskonačnosti, zaokruži od nule) je relativno rijetko korišten oblik zaokruživanja. Ako znakovi s mogućnošću NULL nisu jednaki nuli, prethodni se znak povećava za jedan.

Opcije zaokruživanja 0,5 na najbliži cijeli broj

Pravila zaokruživanja zahtijevaju poseban opis za poseban slučaj kada (N+1) znamenka = 5 i sljedeće znamenke su nula. Ako u svim ostalim slučajevima zaokruživanje na najbliži cijeli broj daje manju pogrešku zaokruživanja, onda je za ovaj slučaj karakteristično da je za jedno zaokruživanje formalno svejedno je li “gore” ili “dolje” - u oba slučaja, uvodi se pogreška od točno 1/2 najmanje značajne znamenke. Za ovaj slučaj postoje sljedeće varijante pravila zaokruživanja na najbliži cijeli broj:

• Matematičko zaokruživanje- zaokruživanje je uvijek nagore (prethodna znamenka se uvijek povećava za jedan).
• Bankovno zaokruživanje(Engleski) bankarsko zaokruživanje) - zaokruživanje u ovom slučaju događa se na najbliži paran broj, tj. 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Nasumično zaokruživanje- zaokruživanje prema gore ili prema dolje nasumično, ali s jednakom vjerojatnošću (može se koristiti u statistici).
• Naizmjenično zaokruživanje- Zaokruživanje se događa naizmjenično gore ili dolje.

U svim slučajevima, kada (N + 1)-ti predznak nije jednak 5 ili sljedeći predznaci nisu jednaki nuli, zaokruživanje se odvija prema uobičajenim pravilima: 2,49 → 2; 2.51 → 3.

Matematičko zaokruživanje jednostavno formalno odgovara općem pravilu zaokruživanja (vidi gore). Nedostatak mu je što kod zaokruživanja velikog broja vrijednosti može doći do akumulacije. greške zaokruživanja. Tipičan primjer: zaokruživanje novčanih iznosa na cijele rublje. Dakle, ako u registru od 10.000 redaka postoji 100 redaka s iznosima koji sadrže vrijednost 50 u kopejkama (a to je vrlo realna procjena), onda kad se svi takvi redovi zaokruže “naviše”, zbroj “ ukupno” prema zaokruženom registru bit će 50 rubalja više od točnog .

Ostale tri opcije su samo izmišljene kako bi se smanjila ukupna pogreška zbroja pri zaokruživanju velikog broja vrijednosti. Zaokruživanje "na najbliže parno" pretpostavlja da će s velikim brojem zaokruženih vrijednosti koje imaju 0,5 u zaokruženom ostatku, u prosjeku, pola biti lijevo, a pola desno od najbližeg parnog broja, tako da će se greške zaokruživanja poništiti jedni druge van. Strogo govoreći, ova pretpostavka je istinita samo kada skup brojeva koji se zaokružuju ima svojstva slučajnog niza, što je obično točno u računovodstvenim aplikacijama gdje govorimo o cijenama, iznosima na računima i slično. Ako se pretpostavka prekrši, tada zaokruživanje "na čak" može dovesti do sustavnih pogrešaka. Za takve slučajeve najbolje funkcioniraju sljedeće dvije metode.

Posljednje dvije opcije zaokruživanja osiguravaju da se približno polovica posebnih vrijednosti zaokružuje na jedan način, a polovica na drugi. Ali implementacija takvih metoda u praksi zahtijeva dodatne napore u organizaciji računskog procesa.

Prijave

Zaokruživanje se koristi za rad s brojevima unutar onog broja znamenki koji odgovara stvarnoj točnosti parametara izračuna (ako su te vrijednosti stvarne vrijednosti izmjerene na ovaj ili onaj način), realno ostvarivoj točnosti izračuna ili željenu točnost rezultata. U prošlosti je zaokruživanje srednjih vrijednosti i rezultata bilo od praktične važnosti (jer pri računanju na papiru ili korištenju primitivnih uređaja kao što je abakus, uzimanje u obzir dodatnih decimalnih mjesta može ozbiljno povećati količinu posla). Sada ostaje element znanstvene i inženjerske kulture. U računovodstvenim aplikacijama, osim toga, može biti potrebna upotreba zaokruživanja, uključujući srednje, za zaštitu od računalnih pogrešaka povezanih s konačnim bitnim kapacitetom računalnih uređaja.

Korištenje zaokruživanja pri radu s brojevima ograničene preciznosti

Realne fizikalne veličine uvijek se mjere s nekom konačnom točnošću, koja ovisi o instrumentima i metodama mjerenja, a procjenjuje se najvećim relativnim ili apsolutnim odstupanjem nepoznate stvarne vrijednosti od izmjerene, što u decimalnom prikazu vrijednosti odgovara ili određeni broj značajne figure, ili određeno mjesto u zapisu broja, sve znamenke iza (desno) koje su beznačajne (leže unutar pogreške mjerenja). Sami izmjereni parametri bilježe se tolikim brojem znakova da su sve brojke pouzdane, možda je posljednja dvojbena. Pogreška u matematičkim operacijama s brojevima ograničene preciznosti se čuva i mijenja prema poznatim matematičkim zakonima, pa kada se u daljnjim izračunima pojave međuvrijednosti i rezultati s velikim brojem znamenki, samo je dio tih znamenki značajan. Preostale brojke, koje su prisutne u vrijednostima, zapravo ne odražavaju nikakvu fizičku stvarnost i zahtijevaju samo vrijeme za izračune. Kao rezultat toga, srednje vrijednosti i rezultati u izračunima s ograničenom točnošću zaokružuju se na broj decimalnih mjesta koji odražavaju stvarnu točnost dobivenih vrijednosti. U praksi se obično preporučuje pohranjivanje još jedne znamenke u međuvrijednostima za duge "lančane" ručne izračune. Pri korištenju računala međuzaokruživanja u znanstvenim i tehničkim primjenama najčešće gube smisao, a zaokružuje se samo rezultat.

Tako, na primjer, ako je sila od 5815 gf dana s točnošću od grama sile i duljina ramena od 1,4 m s točnošću od centimetra, tada je moment sile u kgf prema formuli, u slučaju formalnog izračuna sa svim predznacima, bit će jednak: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Međutim, ako uzmemo u obzir pogrešku mjerenja, tada dobivamo da je granična relativna pogreška prve vrijednosti 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , drugi - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , relativna pogreška rezultata prema pravilu pogreške operacije množenja (pri množenju približnih vrijednosti, relativne pogreške se zbrajaju) bit će 7,3 10 −3 , što odgovara najvećoj apsolutnoj pogrešci rezultata ±0,059 kgf m! To jest, u stvarnosti, uzimajući u obzir pogrešku, rezultat može biti od 8,082 do 8,200 kgf m, dakle, u izračunatoj vrijednosti od 8,141 kgf m, samo je prva znamenka potpuno pouzdana, čak je i druga već upitna! Ispravno je zaokružiti rezultat izračuna na prvu sumnjivu znamenku, odnosno na desetinke: 8,1 kgf m, ili, ako je potrebno, točniji pokazatelj margine pogreške, predstaviti ga u obliku zaokruženom na jedan ili dva decimalna mjesta s naznakom greške: 8,14 ± 0,06 kgfm.

Empirijska pravila aritmetike sa zaokruživanjem

U slučajevima kada nema potrebe točno uzeti u obzir računske pogreške, već je potrebno samo približno procijeniti broj točnih brojeva kao rezultat izračuna po formuli, možete koristiti skup jednostavnih pravila za zaokružene izračune:

1. Sve sirove vrijednosti zaokružuju se na stvarnu točnost mjerenja i bilježe s odgovarajućim brojem značajnih znamenki, tako da su u decimalnom zapisu sve znamenke pouzdane (dopušteno je da zadnja znamenka bude sumnjiva). Ako je potrebno, vrijednosti se bilježe sa značajnim nulama na desnoj strani tako da je stvarni broj pouzdanih znakova naznačen u zapisu (na primjer, ako je duljina od 1 m stvarno izmjerena do najbližeg centimetra, "1,00 m" je napisano tako da se može vidjeti da su dva znaka pouzdana u zapisu iza decimalne točke), ili je točnost izričito naznačena (npr. 2500 ± 5 m - ovdje su samo desetice pouzdane i treba ih zaokružiti naviše) .
2. Međuvrijednosti su zaokružene jednom "rezervnom" znamenkom.
3. Pri zbrajanju i oduzimanju rezultat se zaokružuje na posljednje decimalno mjesto najmanje točnog parametra (na primjer, pri izračunavanju vrijednosti od 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, rezultat se zaokružuje na desetinke metra, tj. je do 2,6 m). Istodobno, preporuča se izvršiti izračune takvim redoslijedom da se izbjegne oduzimanje brojeva koji su bliski po veličini i da se operacije s brojevima izvode, ako je moguće, uzlaznim redoslijedom njihovih modula.
4. Kod množenja i dijeljenja rezultat se zaokružuje na najmanji broj značajne znamenke koje parametri imaju (npr. pri izračunavanju brzine jednolikog kretanja tijela na udaljenosti od 2,5 10 2 m, za 600 s, rezultat treba zaokružiti na 4,2 m/s, budući da je dva znamenke koje imaju udaljenost i vrijeme - tri, pod pretpostavkom da su sve znamenke u unosu značajne).
5. Pri izračunavanju vrijednosti funkcije f(x) potrebno je procijeniti vrijednost modula derivacije ove funkcije u blizini računske točke. Ako (|f"(x)| ≤ 1), tada je rezultat funkcije točan na isto decimalno mjesto kao i argument. U suprotnom, rezultat sadrži manje točnih decimalnih mjesta za iznos log 10 (|f"(x)|), zaokruženo na najbliži cijeli broj.

Unatoč nestriktnosti, navedena pravila prilično dobro funkcioniraju u praksi, posebice zbog prilično velike vjerojatnosti međusobnog poništavanja pogrešaka, što se obično ne uzima u obzir kada se pogreške točno uzimaju u obzir.

Greške

Nerijetko dolazi do zlouporabe neokruglih brojeva. Na primjer:

• Zapišite brojeve koji imaju nisku točnost, u nezaokruženom obliku. U statistici: ako su 4 osobe od 17 odgovorile "da", onda pišu "23,5%" (dok je "24%" točno).
• Korisnici pokazivača ponekad misle ovako: "pokazivač se zaustavio između 5,5 i 6 bliže 6, neka bude 5,8" - to je također zabranjeno (gradacija uređaja obično odgovara njegovoj stvarnoj točnosti). U ovom slučaju morate reći "5,5" ili "6".

vidi također

• Obrada promatranja
• Greške zaokruživanja

Bilješke

Književnost

• Henry S. Warren, ml. Poglavlje 3// Algoritamski trikovi za programere = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Prilikom zaokruživanja ostavljaju se samo ispravni znakovi, ostali se odbacuju.

Pravilo 1. Zaokruživanje se postiže jednostavnim odbacivanjem znamenki ako je prva od odbačenih znamenki manja od 5.

Pravilo 2. Ako je prva od odbačenih znamenki veća od 5, tada se zadnja znamenka povećava za jedan. Posljednja znamenka se također povećava ako je prva od odbačenih znamenki 5 nakon koje slijedi jedna ili više znamenki različitih od nule. Na primjer, različita zaokruživanja broja 35,856 bila bi 35,86; 35,9; 36.

Pravilo 3. Ako je odbačena brojka 5, a iza nje nema značajnih znamenki, tada se zaokružuje na najbližu Parni broj, tj. zadnja pohranjena znamenka ostaje nepromijenjena ako je parna i povećava se za jedan ako je neparna. Na primjer, 0,435 zaokružuje se na 0,44; 0,465 zaokružuje se na 0,46.

8. PRIMJER OBRADE MJERNIH REZULTATA

Određivanje gustoće čvrstih tvari. Pretpostavimo da kruto tijelo ima oblik valjka. Tada se gustoća ρ može odrediti formulom:

gdje je D promjer cilindra, h je njegova visina, m je masa.

Neka se kao rezultat mjerenja m, D i h dobiju sljedeći podaci:

Br. p / str	m, g	Δm, g	D, mm	ΔD, mm	h, mm	Δh, mm	, g/cm3	Δ, g / cm 3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
prosjek			12,61		80,2		5,11

Definirajmo srednju vrijednost D̃:

Pronađite pogreške pojedinih mjerenja i njihove kvadrate

Odredimo srednju kvadratnu pogrešku niza mjerenja:

Postavimo vrijednost pouzdanosti α = 0,95 i iz tablice nađemo Studentov koeficijent t α. n=2,8 (za n=5). Određujemo granice intervala pouzdanosti:

Budući da izračunata vrijednost ΔD = 0,07 mm značajno premašuje apsolutnu pogrešku mikrometra, jednaku 0,01 mm (mjereno mikrometrom), dobivena vrijednost može poslužiti kao procjena granice intervala pouzdanosti:

D = D̃ ± Δ D; D= (12,61 ±0,07) mm.

Definirajmo vrijednost h̃:

Stoga:

Za α = 0,95 i n = 5 Studentov koeficijent t α , n = 2,8.

Određivanje granica intervala povjerenja

Budući da je dobivena vrijednost Δh = 0,11 mm istog reda kao i pogreška kalibra jednaka 0,1 mm (h se mjeri kaliperom), granice intervala pouzdanosti treba odrediti formulom:

Stoga:

Izračunajmo prosječnu vrijednost gustoće ρ:

Nađimo izraz za relativnu grešku:

Gdje

7. GOST 16263-70 Mjeriteljstvo. Pojmovi i definicije.

8. GOST 8.207-76 Izravna mjerenja s višestrukim opažanjima. Metode obrade rezultata opažanja.

9. GOST 11.002-73 (čl. SEV 545-77) Pravila za procjenu anomalnih rezultata opažanja.

Tsarkovskaya Nadezhda Ivanovna

Saharov Jurij Georgijevič

Opća fizika

Upute za izvođenje laboratorijskog rada "Uvod u teoriju grešaka mjerenja" za studente svih specijalnosti.

Format 60*84 1/16 Svezak 1 pril.-izd. l. Naklada 50 primjeraka.

Naručite ______ besplatno

Bryansk State Engineering and Technology Academy

Brjansk, avenija Stanke Dimitrova, 3, BGITA,

Uredništvo i nakladništvo

Tiskano - BGITA Operational Printing Unit

Brojevi se također zaokružuju na druge znamenke - desetinke, stotinke, desetice, stotine itd.

Ako je broj zaokružen na neku znamenku, tada se sve znamenke koje slijede iza te znamenke zamjenjuju nulama, a ako su iza decimalne točke, onda se odbacuju.

Pravilo broj 1. Ako je prva od odbačenih znamenki veća ili jednaka 5, tada se zadnja zadržana znamenka pojačava, odnosno povećava za jedan.

Primjer 1. Zadan je broj 45.769 koji se mora zaokružiti na desetinke. Prva odbačena znamenka je 6 ˃ 5. Posljedično, zadnja od pohranjenih znamenki (7) se pojačava, tj. povećava za jedan. I tako bi zaokruženi broj bio 45,8.

Primjer 2. Zadan je broj 5.165 koji se mora zaokružiti na stotinke. Prva odbačena znamenka je 5 = 5. Stoga se posljednja od pohranjenih znamenki (6) pojačava, odnosno povećava za jedan. I tako bi zaokruženi broj bio 5,17.

Pravilo broj 2. Ako je prva od odbačenih znamenki manja od 5, tada nema dobitka.

Primjer: Dan je broj 45.749 koji treba zaokružiti na desetinke. Prva odbačena znamenka je 4

Pravilo broj 3. Ako je odbačena znamenka 5, a iza nje nema značajnih znamenki, tada se zaokružuje na najbliži paran broj. To jest, posljednja znamenka ostaje nepromijenjena ako je parna i povećava se ako je neparna.

Primjer 1: Zaokružujući broj 0,0465 na treću decimalu, pišemo - 0,046. Ne pojačavamo jer je zadnja spremljena znamenka (6) parna.

Primjer 2. Zaokružujući broj 0,0415 na treću decimalu, pišemo - 0,042. Povećavamo jer je zadnja spremljena znamenka (1) neparna.

Zaokružite brojeve u Excelu na nekoliko načina. Korištenje formata ćelija i korištenje funkcija. Ove dvije metode treba razlikovati na sljedeći način: prva je samo za prikaz vrijednosti ili ispis, a druga metoda također za izračune i proračune.

Uz pomoć funkcija moguće je točno zaokruživanje, gore ili dolje, na brojku koju odredi korisnik. A vrijednosti dobivene kao rezultat izračuna mogu se koristiti u drugim formulama i funkcijama. Istodobno, zaokruživanje pomoću formata ćelije neće dati željeni rezultat, a rezultati izračuna s takvim vrijednostima bit će pogrešni. Uostalom, format ćelija zapravo ne mijenja vrijednost, mijenja se samo način prikaza. Kako bismo to brzo i lako razumjeli i ne pogriješili, navest ćemo nekoliko primjera.

Kako zaokružiti broj formatom ćelije

Unesite vrijednost 76,575 u ćeliju A1. Desnim klikom pozivamo izbornik "Format Cells". Isto možete učiniti i putem alata "Broj" na glavnoj stranici Knjige. Ili pritisnite kombinaciju tipki prečaca CTRL+1.

Odaberite format broja i postavite broj decimalnih mjesta na 0.

Rezultat zaokruživanja:

Možete dodijeliti broj decimalnih mjesta u "novčanom" formatu, "financijskom", "postotku".

Kao što vidite, zaokruživanje se odvija prema matematičkim zakonima. Posljednja znamenka koja se pohranjuje povećava se za jedan ako iza nje slijedi znamenka veća ili jednaka "5".

Posebnost ove opcije: što više znamenki nakon decimalne točke ostavimo, točniji će biti rezultat.



Kako pravilno zaokružiti broj u Excelu

Korištenje funkcije ROUND() (zaokružuje na broj decimalnih mjesta koje korisnik traži). Za pozivanje "Čarobnjaka za funkcije" koristite gumb fx. Željena funkcija nalazi se u kategoriji "Matematika".

Argumenti:

1. "Broj" - poveznica na ćeliju s željenu vrijednost(A1).
2. "Broj znamenki" - broj decimalnih mjesta na koje će se broj zaokružiti (0 - zaokružiti na cijeli broj, 1 - ostat će jedno decimalno mjesto, 2 - dva itd.).

Sada zaokružimo cijeli broj (ne decimalu). Upotrijebimo funkciju ROUND:

• prvi argument funkcije je referenca ćelije;
• drugi argument - sa znakom "-" (na desetke - "-1", na stotine - "-2", za zaokruživanje broja na tisuće - "-3" itd.).

Kako zaokružiti broj u Excelu na tisuće?

Primjer zaokruživanja broja na tisuće:

Formula: =OKRUGLO(A3,-3).

Možete zaokružiti ne samo broj, već i vrijednost izraza.

Pretpostavimo da postoje podaci o cijeni i količini robe. Potrebno je pronaći trošak na najbližu rublju (zaokružiti na najbliži cijeli broj).

Prvi argument funkcije je numerički izraz za pronalaženje cijene.

Kako zaokružiti gore i dolje u Excelu

Za zaokruživanje koristite funkciju ROUNDUP.

Ispunjavamo prvi argument prema već poznatom principu - poveznici na ćeliju s podacima.

Drugi argument: "0" - zaokružuje decimalni razlomak na cijeli broj, "1" - funkcija zaokružuje, ostavljajući jedno decimalno mjesto, itd.

Formula: =ROUNDUP(A1,0).

Proizlaziti:

Za zaokruživanje u Excelu koristite funkciju ROUNDDOWN.

Primjer formule: =ROUNDDOWN(A1,1).

Proizlaziti:

Formule ROUNDUP i ROUNDDOWN koriste se za zaokruživanje vrijednosti izraza (umnožaka, zbrojeva, razlika itd.).

Kako zaokružiti na cijeli broj u Excelu?

Za zaokruživanje na cijeli broj koristite funkciju ROUNDUP. Za zaokruživanje na cijeli broj upotrijebite funkciju ROUNDDOWN. Funkcija "ROUND" i format ćelije također omogućuju zaokruživanje na cijeli broj postavljanjem broja znamenki na "0" (vidi gore).

Excel također koristi funkciju "SELECT" za zaokruživanje na cijeli broj. Jednostavno odbacuje decimalna mjesta. Uglavnom, nema zaokruživanja. Formula odsijeca brojeve do naznačene znamenke.

Usporedi:

Drugi argument je "0" - funkcija prekida na cijeli broj; "1" - do desetine; "2" - do stotinke, itd.

Posebna Excel funkcija koja će vratiti samo cijeli broj je INTEGER. Ima jedan argument - "Broj". Možete navesti brojčanu vrijednost ili referencu ćelije.

Nedostatak korištenja funkcije "INTEGER" je taj što zaokružuje samo prema dolje.

Možete zaokružiti na cijeli broj u Excelu pomoću funkcija ROUNDUP i ROUNDDOWN. Zaokruživanje se događa gore ili dolje na najbliži cijeli broj.

Primjer korištenja funkcija:

Drugi argument je indikacija znamenke na koju treba doći zaokruživanje (10 - na desetke, 100 - na stotine, itd.).

Zaokruživanje na najbliži paran cijeli broj vrši funkcija "PAR", na najbliži neparan - "NEPARAN".

Primjer njihove upotrebe:

Zašto Excel zaokružuje velike brojeve?

Ako se u ćelije proračunske tablice unesu veliki brojevi (na primjer, 78568435923100756), Excel ih prema zadanim postavkama automatski zaokružuje ovako: 7,85684E+16 značajka je općeg formata ćelija. Da biste izbjegli takav prikaz velikih brojeva, morate promijeniti format ćelije s podacima veliki broj na "Numeric" (najbrži način je da pritisnete kombinaciju tipki prečaca CTRL + SHIFT + 1). Tada će vrijednost ćelije biti prikazana ovako: 78,568,435,923,100,756.00. Po želji se broj znamenki može smanjiti: "Glavni" - "Broj" - "Smanji dubinu bita".