Povijest prostih brojeva. glavni broj

Molokov Maksim

Ove smo godine učili temu "Prosti i složeni brojevi", a ja sam se pitao koji ih znanstvenici proučavaju, kako doći do prostih brojeva osim onih koji se nalaze na zaletu našeg udžbenika (od 1 do 1000), to je postao cilj završetka ovaj posao.
Zadaci:
1. Proučite povijest otkrića prostih brojeva.
2. Upoznati suvremene metode pronalaženja prostih brojeva.
3. Saznajte u kojim se znanstvenim područjima koriste prosti brojevi.
4. Postoje li među ruskim znanstvenicima imena onih koji su proučavali proste brojeve?

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Povijest prostih brojeva MBOU Sukhovskaya Secondary School Autor: učenik 6. razreda Molokov Maxim Voditelj: učiteljica matematike Babkina L. A. p. Novosukhovy prosinac 2013.

Ove smo godine učili temu "Prosti i složeni brojevi", a ja sam se pitao koji ih znanstvenici proučavaju, kako doći do prostih brojeva osim onih koji se nalaze na zaletu našeg udžbenika (od 1 do 1000), to je postao cilj završetka ovaj posao. Ciljevi: 1. Proučiti povijest otkrića prostih brojeva. 2. Upoznati suvremene metode pronalaženja prostih brojeva. 3. Saznajte u kojim se znanstvenim područjima koriste prosti brojevi. 4. Postoje li među ruskim znanstvenicima imena onih koji su proučavali proste brojeve?

Svatko tko proučava proste brojeve fasciniran je, a istovremeno se osjeća nemoćnim. Definicija prostih brojeva je tako jednostavna i očita; pronalaženje sljedećeg prostog broja je tako jednostavno; rastavljanje na proste faktore je tako prirodna radnja. Zašto se prosti brojevi tako tvrdoglavo opiru našim pokušajima da shvatimo redoslijed i obrasce njihova rasporeda? Možda u njima uopće nema reda ili smo toliko slijepi da ga ne vidimo? C. Userell.

Pitagora i njegovi učenici proučavali su pitanje djeljivosti brojeva. Broj jednak zbroju svih svojih djelitelja (bez samog broja) nazivali su savršenim brojem. Na primjer, brojevi 6 (6 = 1 + 2 +3), 28 (28 = 1+2+4+7+14) su savršeni. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, 33550336.. Pitagora (VI stoljeće pr. Kr.)

Pitagorejci su poznavali samo prva tri savršena broja. Četvrti - 8128 - postao je poznat u prvom stoljeću nove ere. Peti - 33550336 - pronađen je u 15. stoljeću. Do 1983. već ih je bilo poznato 27 savršeni brojevi. Ali znanstvenici još uvijek ne znaju postoje li neparni savršeni brojevi ili postoji najveći savršeni broj.

Zanimanje drevnih matematičara za proste brojeve je zbog činjenice da je svaki broj ili prost ili se može prikazati kao produkt prostih brojeva, tj. Prosti brojevi su poput cigli od kojih su izgrađeni ostali prirodni brojevi.

Vjerojatno ste primijetili da se prosti brojevi u nizu prirodnih brojeva pojavljuju neravnomjerno - u nekim dijelovima niza ih je više, u drugima - manje. Ali što dalje idemo nizom brojeva, to su prosti brojevi manje uobičajeni.

Postavlja se pitanje postoji li posljednji (najveći) prosti broj? Starogrčki matematičar Euklid (3. st. pr. Kr.) u svojoj knjizi (“Elementi”), koja je bila glavni udžbenik iz matematike 2000 godina, dokazao je da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva, tj. iza svakog prostog broja stoji veći prosti broj Euklid (3. st. pr. Kr.)

Drugi grčki matematičar Eratosten smislio je ovu metodu za pronalaženje prostih brojeva. Zapisao je sve brojeve od jedan do nekog broja, a zatim precrtao jedan, koji nije prost ili složen broj, zatim precrtao kroz jedan sve brojeve koji dolaze iza 2. broja, višekratnike dva, tj. 4,6,8 itd.

Prvi preostali broj nakon dva bio je 3. Zatim su, nakon dva, svi brojevi koji su dolazili nakon tri (brojevi višestruki od 3, tj. 6,9,12 itd.) bili prekriženi. Na kraju su samo prosti brojevi ostali neprekrižani.

Budući da su Grci zapisivali na pločicama premazanim voskom ili na nacrtanom papirusu, a brojke nisu prekriživali, nego ih izbadali iglom, tablica na kraju računanja podsjećala je na sito. Stoga se Eratostenova metoda naziva Eratostenovo sito: u tom se situ prosti brojevi "prosijavaju" iz složenih brojeva.

Dakle, prosti brojevi od 2 do 60 su 17 brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. na ovaj način i u Trenutno se sastavljaju tablice prostih brojeva, ali uz pomoć računala.

Euklid (3. st. pr. Kr.) je dokazao da između prirodnog broja n i n! Mora postojati barem jedan prosti broj. Time je dokazao da je prirodni niz brojeva beskonačan. Sredinom 11.st. Ruski matematičar i mehaničar Pafnutiy Lvovich Chebyshev dokazao je jači teorem od Euklida. Između prirodnog broja n i broja 2 puta većeg od njega, tj. 2 n sadrži barem jedan prost broj. To jest, u Euklidovom teoremu broj n! zamijenjen brojem 2n. Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) ruski matematičar i mehaničar

Postavlja se sljedeće pitanje: “Ako je tako teško pronaći sljedeći prosti broj, gdje se onda i za što ti brojevi mogu koristiti u praksi?” Najčešća uporaba prostih brojeva je u kriptografiji (šifriranje podataka). Najsigurnije i najzahtjevnije kriptografske metode temelje se na upotrebi prostih brojeva s više od tri stotine znamenki.

Zaključak Problem nepostojanja obrazaca u distribuciji prostih brojeva zaokuplja umove čovječanstva od vremena starogrčki matematičari. Zahvaljujući Euklidu, znamo da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Erastofen je predložio prvi algoritam za testiranje primarnosti brojeva. Čebišev i mnogi drugi poznati matematičari pokušavali su i još uvijek pokušavaju riješiti zagonetku prostih brojeva. Do danas je pronađeno i predloženo mnogo elegantnih algoritama i obrazaca, ali svi su oni primjenjivi samo za konačan niz prostih brojeva ili prostih brojeva posebne vrste. Vrhunac znanosti u proučavanju prostih brojeva u beskonačnosti smatra se dokazom Riemannove hipoteze. To je jedan od sedam neriješenih problema tisućljeća, za čiji je dokaz ili opovrgavanje Clay Mathematical Institute ponudio nagradu od 1.000.000 dolara.

Internet - izvori i literatura http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Udžbenik "Matematika" za šesti razred obrazovnih ustanova /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburg - M. Mnemosyne 2010./

Odjel za obrazovanje i politiku mladih Uprave

Okrug Yalchik u Čuvaškoj Republici

Projekt
Primarni brojevi...

Je li njihova priča tako jednostavna?

Završio učenik 7. razreda općinske obrazovne ustanove "Srednja škola Novoshimkusskaya okruga Yalchik Republike Čuvaške" Efimova Marina

Voditelj: Učitelj matematike I kategorije, Općinska obrazovna ustanova "Srednja škola Novoshimkus, okrug Yalchik, Republika Čuvaška" Kirillova S.M.

selo New Shimkusy - 2007

Definiranje prostih brojeva 3
Eulerove zasluge 3
Temeljni teorem aritmetike 4
Mersenovi prosti brojevi 4
Fermat 5 prostih brojeva
Eratostenovo sito 5
Otkriće P. L. Čebiševa 6
Goldbachov problem 7
I.M.Vinogradova 8
Zaključak 8
Književnost 10

Definicija prostih brojeva

Interes za proučavanje prostih brojeva pojavio se među ljudima u davna vremena. I to nije bilo uzrokovano samo praktičnom nuždom. Privlačila ih je njihova izuzetna magična moć. Brojevi kojima se može izraziti količina bilo kojeg predmeta. Neočekivana, au isto vrijeme prirodna svojstva prirodnih brojeva koje su otkrili stari matematičari iznenadila su ih svojom izuzetnom ljepotom i potaknula nova istraživanja.

Mora da je jedno od prvih svojstava brojeva koje je čovjek otkrio da se neki od njih mogu rastaviti na dva ili više faktora, npr.

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, dok se ostali, poput 3, 7, 13, 37, ne mogu proširiti na ovaj način.

Kada je broj c = Ab je umnožak dva broja A i b , zatim brojke a ib se zovu množitelji ili razdjelnici brojevi s. Svaki broj se može prikazati kao umnožak dva faktora. Na primjer, sa = 1 *c = c*1.

Jednostavan je broj koji je djeljiv samo sa sobom i jedinicom.

Jedinica koja ima samo jedan djelitelj nije prost broj. Ne odnosi se ni na složene brojeve. Jedinica zauzima posebno mjesto u nizu brojeva. Pitagorejci su učili da je jedan majka svih brojeva, duh iz kojeg sve dolazi. vidljivi svijet, ona je razum, dobrota, sloga.

Na sveučilištu u Kazanu profesor Nikolsky je uz pomoć jedinice uspio dokazati postojanje Boga. Rekao je: "Kao što ne može postojati broj bez jednog, tako ni svemir ne može postojati bez jednog Gospodara."

Jedan je doista broj s jedinstvenim svojstvima: djeljiv je samo sa sobom, ali svaki drugi broj je djeljiv s njim bez ostatka, svaki njegov stupanj jednak je istom broju - jedan!

Nakon dijeljenja s njim ne mijenja se niti jedan broj, a ako bilo koji broj podijelite sam sa sobom, opet dobivate jedan! Nije li ovo iznenađujuće? Nakon razmišljanja o ovome, Euler je rekao: "Moramo isključiti jedinicu iz niza prostih brojeva; ona nije ni prosta ni složena."

To je već bio suštinski poredak u mračnom i složenom pitanju prostih brojeva.

Eulerove zasluge

Leonard Euler

(1707-1783)

Kod Eulera su učili svi – i u zapadnoj Europi i u Rusiji. Raspon njegovog stvaralaštva je širok: diferencijalni i integralni račun, algebra, mehanika, dioptrija, topništvo, pomorska znanost, teorija planetarnog i lunarnog gibanja, teorija glazbe - ne može se sve nabrojati. U cijelom tom znanstvenom mozaiku je i teorija brojeva. Euler je u to uložio mnogo truda i postigao mnogo. On je, kao i mnogi njegovi prethodnici, tražio čarobna formula, što bi omogućilo odabir prostih brojeva iz beskonačnog skupa brojeva prirodne serije, odnosno od svih brojeva koji se mogu zamisliti. Euler je napisao više od stotinu radova o teoriji brojeva.

...Dokazano je npr. da je broj prostih brojeva neograničen, odnosno: 1) ne postoji najveći prost broj; 2) ne postoji zadnji prost broj iza kojeg bi svi brojevi bili složeni. Prvi dokaz ove pozicije pripada znanstvenicima drevna grčka(V-III st. pr. Kr.), drugi dokaz je Euler (1708-1783).

Temeljni teorem aritmetike

Svašta nešto prirodni broj, različit od 1, ili je prost ili se može prikazati kao umnožak prostih brojeva, i to nedvosmisleno, ako ne obratite pozornost na redoslijed faktora.

Dokaz. Uzmimo prirodni broj n≠ 1. Ako je n prost, onda je to slučaj spomenut u zaključku teorema. Sada pretpostavimo da je n složen. Zatim se predstavlja kao proizvod n = ab, gdje su prirodni brojevi a i b manji od n. Opet, ili su a i b jednostavni, onda je sve dokazano, ili je barem jedan od njih složen, to jest sastavljen od manjih faktora, i tako dalje; na kraju ćemo dobiti prostu faktorizaciju.

Ako broj n nije djeljiv niti jednim prostim brojem koji ne prelazi√n, onda je jednostavno.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, neka je n složeno i P = ab, gdje je 1 ≤b a p je prosti djelitelj broja A, dakle brojevi n. Po stanju P nije djeljiv ni jednim prostim brojem koji ne prelazi √ n. Stoga, r >√n. Ali onda a >√n I √ n ≤ A≤ b ,

gdje n = ab = √ n√ n = P; došao do kontradikcije, pretpostavka je bila netočna, teorem je dokazan.

Primjer 1. Ako c = 91 zatim √ s = 9, ... provjerite proste brojeve 2, 3, 5, 7. Nalazimo da je 91 = 7 13.

Primjer 2. Ako je c = 1973, tada nalazimo √ c = √ 1973 =44, ...

budući da prije nije bilo prostih brojeva 43 ne dijeli sa, onda je ovaj broj prost.

Primjer 3. Nađi prost broj iza 1973. Odgovor: 1979.

Mersenovi prosti brojevi

Nekoliko stoljeća trajala je potraga za prostim brojevima. Mnogi matematičari natjecali su se za čast da budu otkritelji najvećeg poznatog prostog broja.

Mersenovi prosti brojevi su prosti brojevi posebnog oblika M p = 2 p - 1

Gdje R - još jedan prosti broj.

Ovi brojevi su već dugo uključeni u matematiku; pojavljuju se u euklidskim razmišljanjima o moderni brojevi. Ime su dobili u čast francuskog redovnika Merennea Mersena (1589.-1648.), koji je dugo radio na problemu modernih brojeva.

Ako izračunamo brojeve pomoću ove formule, dobivamo:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – prost;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – jednostavno;

M 5 = 2 5 – 1 = 31 – jednostavno;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – jednostavno;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Opći način za pronalaženje velikih Mersenovih prostih brojeva je testiranje svih brojeva M p za različite proste brojeve R.

Ti se brojevi povećavaju vrlo brzo, a troškovi rada za njihovo pronalaženje rastu jednako brzo.

U proučavanju Mersenovih brojeva može se razlikovati rana faza, koja je kulminirala 1750., kada je Euler ustanovio da je broj M 31 prost broj. Do tada je pronađeno osam Mersenovih prostih brojeva: "r

R= 2, r = 3, r = 5 , r = 7, r= 13, p = 17, p = 19, R =31.

Eulerov broj M 31 ostao je najveći poznati prosti broj više od sto godina.

Godine 1876. francuski matematičar Lucas ustanovio je da golemi broj M 127 ima 39 znamenki. 12 Mersenovih prostih brojeva izračunato je samo pomoću olovke i papira, a sljedeći su izračunati pomoću mehaničkih stolnih strojeva za zbrajanje.

Pojava računala na električni pogon omogućila je nastavak potrage, dovodeći je do R = 257.

Međutim, rezultati su bili razočaravajući, a među njima nije bilo novih Mersenovih prostih brojeva.

Zatim je zadatak prebačen na računalo.

Najveći trenutno poznati prosti broj ima 3376 znamenki. Ovaj broj pronađen je na računalu na Sveučilištu Illinois (SAD). Odjel za matematiku ovog sveučilišta bio je toliko ponosan na njihov uspjeh da su ovaj broj prikazali na svom poštanskom žigu, reproducirajući ga tako na svakom pismu koje su poslali na javni uvid.

Fermatovi prosti brojevi

Postoji još jedna vrsta prostih brojeva s dugom i zanimljivom poviješću. Prvi ih je predstavio francuski pravnik Pierre Fermat (1601.-1665.), koji se proslavio svojim izvanrednim matematičkim djelima.

Pierre Fermat (1601.-1665.)
Fermatovi prvi prosti brojevi bili su brojevi koji su zadovoljavali formulu F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

No, ta je pretpostavka poslana u arhivu neopravdanih matematičkih hipoteza, ali nakon što je Leonhard Euler napravio korak dalje i pokazao da sljedeći Fermatov broj F 5 = 641 6 700 417 je složen.

Moguće je da bi povijest Fermatovih brojeva bila dovršena da se Fermatovi brojevi nisu pojavili u sasvim drugom problemu - konstruiranju pravilnih poligona pomoću šestara i ravnala.

Međutim, niti jedan Fermatov prosti broj nije pronađen, a mnogi matematičari sada vjeruju da oni više ne postoje.
Eratostenovo sito

Postoje tablice prostih brojeva koje se protežu do vrlo velikih brojeva. Kako pristupiti sastavljanju takve tablice? Taj je problem u određenom smislu riješio (oko 200. pr. Kr.) Eratosten, matematičar iz Aleksandrije. -

Njegova shema je sljedeća. Napišimo niz svih cijelih brojeva od 1 do broja kojim želimo završiti tablicu.

Počnimo s prostim brojem 2. Izbacit ćemo svaki drugi broj. Počnimo s 2 (osim samog broja 2), tj. parne brojeve: 4, 6, 8, 10 itd., podcrtajte svaki od njih.

Nakon ove operacije prvi nepodcrtani broj bit će 3. On je prost jer nije djeljiv s 2. Ostavljajući nepodcrtan broj 3, podcrtat ćemo svaki treći broj iza njega, tj. brojeve 6, 9, 12. , 15... Neki od njih su već podcrtani jer su parni. U sljedećem koraku, prvi nepodcrtani broj bit će broj 5; jednostavan je, jer nije djeljiv ni s 2 ni s 3. Ostavimo broj 5 nepodcrtan, ali podcrtajmo svaki peti broj iza njega, odnosno brojeve 10, 15, 20... Kao i do sada, neki su se pokazali kao biti podcrtan. Sada će najmanji nenaglašeni broj biti broj 7. On je prost jer nije djeljiv ni s jednim od svojih manjih prostih brojeva 2, 3, 5. Ponavljajući ovaj proces, na kraju ćemo dobiti niz nenaglašenih brojeva; svi oni (osim broja 1) su prosti. Ova metoda prosijavanja brojeva poznata je kao "Eratostenovo sito". Bilo koja tablica prostih brojeva kreirana je prema ovom principu.

Eratosten je napravio tablicu prostih brojeva od 1 do 120 prije više od 2000 godina. Pisao je na papirusu razapetom preko okvira ili na voštanoj pločici, a nije precrtavao, kao mi, nego je bušio složene brojeve. Rezultat je bilo nešto poput sita kroz koje su složeni brojevi "prosijani". Stoga se tablica prostih brojeva naziva "Eratostenovo sito".

Koliko ima prostih brojeva? Postoji li posljednji prosti broj, odnosno onaj nakon kojeg će svi brojevi biti složeni? Ako takav broj postoji, kako ga pronaći? Sva ova pitanja zanimala su znanstvenike od davnina, ali odgovor na njih nije bilo tako lako pronaći.

Eratosten je bio vrlo duhovit čovjek. Ovaj Arhimedov suvremenik i prijatelj, s kojim se neprestano dopisivao, bio je matematičar, astronom i mehaničar, što se smatralo prirodnim za velikane toga doba. Prvi je izmjerio promjer zemaljske kugle, ne napuštajući aleksandrijsku knjižnicu u kojoj je radio. Točnost njegovih mjerenja bila je nevjerojatno visoka, čak i veća od one kojom je Arhimed mjerio Zemlju.

Eratosten je izumio genijalnu napravu - mesolabit, sa uz pomoć kojega je mehanički riješio dobro poznati problem udvostručenja kocke, na koji je bio vrlo ponosan, pa je dao nalog da se ta naprava prikaže na stupu u Aleksandriji. Štoviše, ispravio je egipatski kalendar tako što je četiri godine dodao jedan dan - u prijestupnoj godini.

Eratostenovo sito - ovo je primitivan, au isto vrijeme genijalan izum, koji Euklidu nije ni pao na pamet - sugerira dobro poznatu ideju da je sve genijalno jednostavno.

Eratostenovo sito dobro je funkcioniralo za istraživače brojeva koji nisu prosti. Vrijeme je prolazilo. Tragalo se za načinima da se uhvate prosti brojevi. Počelo je svojevrsno natjecanje u traženju najvećeg prostog broja od davnina do Čebiševa pa čak i do danas.
Otkriće P.L. Čebiševa

I Dakle, broj prostih brojeva je beskonačan. Već smo vidjeli da su prosti brojevi poredani bez ikakvog reda. Pogledajmo to detaljnije.

2 i 3 su prosti brojevi. Ovo je jedini par prostih brojeva koji su susjedni.

Zatim dolaze 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19 itd. To su takozvani susjedni prosti brojevi ili blizanci. Postoji mnogo blizanaca: 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73, 101 i 103, 827 i 829, itd. Najveći par blizanaca koji je sada poznat je: 10016957 i 10.016.959.

Panfutije Ljvovič Čebišev

Kako su prosti brojevi raspoređeni u prirodnom nizu u kojem nema niti jednog prostog broja? Ima li zakona u njihovoj raspodjeli ili ne?

Ako da, koji? Kako ga pronaći? Ali odgovor na ova pitanja nije pronađen više od 2000 godina.

Prvi i vrlo veliki korak u rješavanju ovih pitanja napravio je veliki ruski znanstvenik Panfutije Ljvovič Čebišev. Godine 1850. dokazao je da između bilo kojeg prirodnog broja (koji nije jednak 1) i broja dvostruko većeg od njega (tj. između n i 2n) postoji barem jedan prost broj.
Provjerimo to jednostavnim primjerima. Uzmimo nekoliko proizvoljnih vrijednosti n za n . i prema tome pronađite vrijednost 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Vidimo da je za razmatrane primjere Čebiševljev teorem istinit.

Chebyshev je to dokazao za svaki slučaj, za bilo koji n. Zbog ovog teorema nazvan je pobjednikom prostih brojeva. Zakon raspodjele prostih brojeva koji je otkrio Čebišev bio je istinski temeljni zakon u teoriji brojeva nakon zakona koji je otkrio Euklid o beskonačnosti broja prostih brojeva.

Možda najljubazniji, najentuzijastičniji odgovor na Čebiševljevo otkriće stigao je iz Engleske od slavnog matematičara Sylvestera: “...Daljnji uspjesi u teoriji prostih brojeva mogu se očekivati kada se rodi netko tko će svojom pronicljivošću i promišljenošću nadmašiti Čebiševa kao Čebišev je superiorniji od ovih kvaliteta običnih ljudi."

Više od pola stoljeća kasnije, njemački matematičar E. Landau, istaknuti stručnjak za teoriju brojeva, ovoj je tvrdnji dodao sljedeće: “Prvi nakon Euklida, Čebišev je krenuo pravim putem u rješavanju problema prostih brojeva i postigao važne rezultate .”
Goldbachov problem

Zapišimo sve proste brojeve od 1 do 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Sada pokušajmo s bilo kojim brojem od 4 do 50 predstaviti kao zbroj dva ili tri prosta broja. Uzmimo nasumično nekoliko brojeva:

Kao što vidite, zadatak smo obavili bez poteškoća. Je li to uvijek moguće? Može li se bilo koji broj prikazati kao zbroj nekoliko prostih brojeva? I ako da, koliko: dva? tri? deset?

Godine 1742. Goldbach, član Sanktpeterburške akademije znanosti, u pismu Euleru, sugerirao je da je svaki pozitivni cijeli broj veći od pet zbroj najviše tri prosta broja.

Goldbach je testirao mnogo brojeva i nikada nije naišao na broj koji se ne bi mogao rastaviti na zbroj dva ili tri jednostavna člana. Ali hoće li uvijek biti ovako, nije dokazao. Znanstvenici već dugo proučavaju ovaj problem koji se naziva "Goldbach problem" i formuliran je na sljedeći način.

Morate dokazati ili opovrgnuti prijedlog:

Svaki broj veći od jedan zbroj je najviše tri prosta broja.

Gotovo 200 godina istaknuti znanstvenici pokušavali su riješiti Goldbach-Eulerov problem, ali bez uspjeha. Mnogi su došli do zaključka da je to nemoguće riješiti.

Ali njegovo rješenje, gotovo potpuno, pronašao je 1937. godine sovjetski matematičar I.M. Vinogradov.

IH. Vinogradov

Ivan Matvejevič Vinogradov jedan je od najvećih modernih matematičara. Rođen je 14. rujna 1891. u selu Milolub, Pskovska gubernija. Godine 1914. diplomirao je na Petrogradskom sveučilištu i ostavljen da se priprema za profesorsko mjesto.

Njegov prvi znanstveni rad I.M. Vinogradov je napisao 1915. Od tada je napisao više od 120 različitih znanstveni radovi. U njima je riješio mnoge probleme na kojima su znanstvenici diljem svijeta radili desecima i stotinama godina.

Ivan Matvejevič Vinogradov
Za usluge iz oblasti matematike I.M. Vinogradov je priznat od strane svih svjetskih znanstvenika kao jedan od prvih matematičara našeg doba, te je biran u broj članova mnogih akademija diljem svijeta.

Ponosni smo na našu divnu sunarodnjakinju.

Zaključak.
Od učionice do svemira

Započnimo naš razgovor o prostim brojevima fascinantnom pričom o imaginarnom putovanju iz učionice u svemir. Ovo zamišljeno putovanje osmislio je poznati sovjetski učitelj matematike profesor Ivan Kozmič Andronov (rođen 1894.). “...a) mentalno uzeti ravnu žicu koja izlazi iz učionice u svjetski prostor, probijajući zemljinu atmosferu, idući do mjesta gdje Mjesec rotira, a zatim iza vatrene kugle Sunca, i dalje u beskonačnost svijeta;

b) u mislima objesite žarulje na žicu svaki metar, numerirajući ih počevši od najbliže: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1.000.000...;

c) u mislima uključiti struju na način da svijetle sve žarulje s prostim brojevima i samo one s prostim brojevima; : .

d) mentalno letjeti blizu žice.

Pred nama će se otkriti sljedeća slika.

1. Žarulja broj 1 ne svijetli. Zašto? Jer jedan nije prost broj.

2. Sljedeće dvije žarulje, označene brojevima 2 i 3, svijetle jer su 2 i 3 prosti brojevi. Mogu li se dvije susjedne goruće žarulje susresti u budućnosti? Ne, ne mogu. Zašto? Svaki prosti broj osim dva je neparan broj, a oni susjedni prostom broju s obje strane bit će parni brojevi, a svaki paran broj osim dva je složeni broj, budući da je djeljiv s dva.

3. Zatim promatramo par žarulja kako gori kroz jednu žarulju s brojevima 3 i 5, 5 i 7 itd. Jasno je zašto gore: to su blizanke. Primjećujemo da se u budućnosti javljaju rjeđe; svi parovi blizanaca, kao i parovi prostih brojeva, imaju oblik 6n ± 1; Na primjer

6*3 ± 1 je jednako 19 i 17

ili 6*5 ± 1 jednako je 31 i 29, ...;

ali 6*20 ± 1 jednako je 121 i 119 - ovaj par nije blizanac, budući da postoji par složenih brojeva.

Dolazimo do para blizanaca 10 016 957 i 10 016 959. Hoće li biti još parova blizanaca? Moderna znanost zasad ne daje odgovor: ne zna se postoji li konačan ili beskonačan skup parova blizanaca.

4. Ali tada počinje djelovati zakon velike praznine, ispunjene samo složenim brojevima: letimo u mraku, gledamo unatrag - tama, a naprijed se ne vidi svjetlo. Sjećamo se svojstva koje je otkrio Euklid i hrabro idemo naprijed, jer bi pred nama trebale biti svjetleće žarulje, a trebalo bi ih biti beskonačno mnogo.

5. Odletjevši na mjesto u prirodnom nizu, gdje je već prošlo nekoliko godina našeg kretanja u mraku, sjećamo se svojstva koje je dokazao Chebyshev, i smirimo se, uvjereni da u svakom slučaju ne trebamo letjeti više od letjeli smo da vidimo barem jednu svjetleću žarulju."
Književnost
1. Veliki majstor indukcije, Leonhard Euler.

2. Iza stranica udžbenika matematike.

3. Prudnikov N.I. P.L. Čebišev.

4. Srpski I. A.Što znamo i ne znamo o prostim brojevima.

5. Izdavačka kuća “Prvi rujan”. Matematika broj 13, 2002

6. Izdavačka kuća “Prvi rujan”. Matematika broj 4, 2006

Činjenice o brojevima. Ovo su prosti brojevi i mnogi drugi. Neke brojeve, kao što je Pi i niz drugih, uključili smo u zasebne materijale. Stoga vam savjetujemo da ih i vi pročitate. Evo nekoliko zabavne činjenice o brojevima, što će vam vjerojatno biti zanimljivo.

Činjenice o negativnim brojevima

Danas su negativni brojevi poznati mnogima, ali to nije uvijek bio slučaj. Negativni brojevi su prvi put korišteni u Kini u 3. stoljeću, ali su se smjeli koristiti samo u iznimnim slučajevima, jer su se smatrali besmislicom. Nešto kasnije, negativni brojevi počeli su se koristiti u Indiji za označavanje dugova.

Tako u djelu “Matematika” u devet knjiga, objavljenom 179. godine. Kr., za vrijeme dinastije Han i komentirao ga je 263. Liu Hui, kineski sustav brojanja štapićima koristio je crne štapiće za negativne brojeve, a crvene za pozitivne brojeve. Također, Liu Hui je koristio nagnute štapiće za brojanje za označavanje negativnih brojeva.

Znak "-", koji se sada koristi za označavanje negativnih brojeva, prvi put je viđen u drevnom Bakhshali rukopisu u Indiji, ali nema konsenzusa među znanstvenicima o tome kada je sastavljen, s neslaganjem u rasponu od 200. godine do 600. godine. e.

Negativni brojevi bili su poznati u Indiji već 630. godine. e.. Koristio ih je matematičar Brahmagupta (598-668).

Negativni brojevi prvi put su korišteni u Europi oko 275. godine. Kr. U upotrebu ih je uveo grčki matematičar Diofant iz Aleksandrije, no na Zapadu su ih smatrali apsurdnim sve do pojave knjige “Ars Magna” (“Velika umjetnost”), koju je 1545. godine napisao talijanski matematičar Girolamo Cardano (1501. -1576).

Činjenice o prostim brojevima

Brojevi 2 i 5 jedini su u nizu prostih brojeva koji završavaju na 2 i 5.

Druge činjenice o brojevima

Broj 18 je jedini broj (osim 0) čiji je zbroj znamenki 2 puta manji od njega samog.

2520 je najmanji broj koji se bez ostatka može podijeliti sa svim brojevima od 1 do 10.

Broj "pet" se na tajlandskom izgovara "ha". Dakle, broj sastavljen od tri petice - 555, izgovarat ćemo kao žargonski izraz koji označava ljudski smijeh - "Ha, ha, ha".

Svi znamo da postoje palindromne riječi. Odnosno one koje se mogu čitati slijeva nadesno i zdesna nalijevo i njihovo značenje se ne mijenja. Međutim, postoje i palindromski brojevi (palindromoni). Oni predstavljaju zrcalni broj koji će se čitati i imati ista vrijednost u oba smjera, na primjer 1234321.

Riječ Googol (podrijetlo brenda Google) predstavlja broj 1 nakon kojeg slijedi 100 nula.

Jedini broj koji se ne može napisati rimskim brojevima je "nula". Također, u modernoj matematici nula ima neke osobitosti u tumačenju. Dakle, u ruskoj matematici nije klasificiran kao niz prirodnih brojeva, ali u stranoj znanosti jest.

Općinska obrazovna ustanova "Chastoozersk gimnazija"

Istraživački rad na temu:

“Brojke vladaju svijetom!”

Radovi završeni:

Učenica 6. razreda.

Nadglednik: ,

profesorica matematike.

S. Chastoozerye.

I. Uvod. -3 stranice

II. Glavni dio. -4 stranice

· Matematika kod starih Grka. - 4 stranice

· Pitagora sa Samosa. -6 stranica

· Pitagora i brojevi. -8 str.

2. Brojevi su prosti i složeni. -10 str.

3. Goldbachov problem. -12 str.

4. Znakovi djeljivosti. -13 str.

5. Zanimljiva svojstva prirodnih brojeva.-15str.

6. Trikovi s brojevima. -18 str.

III. Zaključak. -22 str.

IV. Bibliografija. -23 str.

I. Uvod.

Relevantnost:

Tijekom proučavanja teme "Djeljivost brojeva" na satovima matematike, učitelj je predložio pripremu izvješća o povijesti otkrića prostih i složenih brojeva. Prilikom pripreme poruke zanimale su me Pitagorine riječi “Brojevi vladaju svijetom!”

Pojavila su se pitanja:

· Kada je nastala znanost o brojevima?

· Tko je pridonio razvoju znanosti o brojevima?

· Značenje brojeva u matematici?

Odlučio sam detaljno proučiti i sažeti gradivo o brojevima i njihovim svojstvima.

Svrha studije: proučavati proste i složene brojeve i pokazati njihovu ulogu u matematici.

Predmet proučavanja: prosti i složeni brojevi.

Hipoteza: Ako, riječima Pitagore, "Brojevi vladaju svijetom,

zatim koja je njihova uloga u matematici.

Ciljevi istraživanja:

I. Prikupiti i sažeti sve vrste informacija o prostim i složenim brojevima.

II. Pokažite značenje brojeva u matematici.

III. Pokažite zanimljiva svojstva prirodnih brojeva.

Metode istraživanja:

· Teorijska analiza književnosti.

· Način sistematizacije i obrade podataka.

II. Glavni dio.

1. Povijest nastanka znanosti o brojevima.

· Matematika kod starih Grka.

I u Egiptu i u Babilonu brojevi su se uglavnom koristili za rješavanje praktičnih problema.

Situacija se promijenila kada su se Grci uhvatili matematike. U njihovim rukama matematika se iz zanata pretvorila u znanost.

Grčka plemena počela su se naseljavati na sjevernim i istočnim obalama Sredozemnog mora prije otprilike četiri tisuće godina.

Većina Grka naselila se na Balkanskom poluotoku - gdje se sada nalazi država Grčka. Ostali su se naselili na otocima Sredozemnog mora i uz obalu Male Azije.

Grci su bili izvrsni pomorci. Njihovi laki brodovi oštrog nosa plovili su Sredozemnim morem u svim smjerovima. Iz Babilona su donosili posuđe i nakit, iz Egipta brončano oružje, s obala Crnog mora životinjske kože i kruh. I naravno, kao i kod drugih naroda, brodovi su u Grčku uz robu donosili i znanje. Ali Grci nisu pravedni

naučio od drugih naroda. Vrlo brzo su prestigli svoje učitelje.

Grčki majstori izgradili su palače i hramove nevjerojatne ljepote, koji su kasnije tisućama godina služili kao uzor arhitektima svih zemalja.

Grčki kipari stvorili su prekrasne kipove od mramora. I nije samo "prava" matematika započela s grčkim znanstvenicima, nego i mnoge druge znanosti koje učimo u školi.

Znate li zašto su Grci bili ispred svih drugih naroda u matematici? Jer su bili dobri u svađi.

Kako debata može pomoći znanosti?

U antičko doba Grčka se sastojala od mnogo malih država. Gotovo svaki grad s okolnim selima bio je zasebna država. Svaki put kad je trebalo riješiti neko važno državno pitanje, građani su se okupljali na trgu i raspravljali o tome. Svađali su se kako to bolje napraviti, a onda glasali. Jasno je da su bili dobri raspravljači: na takvim sastancima morali su pobijati svoje protivnike, rezonirati i dokazati da su u pravu. Stari Grci vjerovali su da argument pomaže pronaći najboljeg. Najviše ispravno rješenje. Čak su smislili i sljedeću izreku: “U svađi se rađa istina”.

I u znanosti su Grci počeli činiti isto. Kao na narodnom zboru. Nisu samo pamtili pravila, već su tražili razloge: zašto je ispravno učiniti to na ovaj način, a ne drugačije. Grčki matematičari pokušali su objasniti svako pravilo i dokazati da ono nije točno. Međusobno su se svađali. Razmišljali su i pokušavali naći greške u razmišljanju.

Dokazat će jedno pravilo - razmišljanje vodi do drugog, složenijeg, pa do trećeg, pa do četvrtog. Zakoni su nastali od pravila. A nauka o zakonima je matematika.

Čim se rodila, grčka je matematika odmah krenula naprijed velikim koracima. Pomogle su joj divne čizme za hodanje, koje drugi narodi prije nisu imali. Zvali su se "obrazloženje" i "dokaz".

· Pitagora sa Samosa.

Prvi koji je govorio o brojevima bio je Grk Pitagora, koji je rođen na otoku Samosu u 6. stoljeću nove ere.

Stoga ga često nazivaju Pitagora sa Samosa. Grci su ispričali mnoge legende o ovom misliocu.

Pitagora je rano pokazao sklonost za znanost, te ga je otac Mnesarchus odveo u Siriju, u Tir, da ga tamo poučavaju kaldejski mudraci. Ona uči o misterijama egipatskih svećenika. Zapaljen željom da uđe u njihov krug i postane inicijant, Pitagora se počinje pripremati za put u Egipat. Godinu dana provodi u Feniciji, u svećeničkoj školi. Zatim će posjetiti Egipat, Heliopolis. Ali lokalni svećenici bili su neprijateljski nastrojeni.

Pokazavši upornost i položivši izuzetno teške prijemne testove, Pitagora postiže svoj cilj - biva primljen u kastu.U Egiptu je proveo 21 godinu, savršeno proučio sve vrste egipatskog pisma i pročitao mnoge papiruse. Činjenice poznate Egipćanima u matematici dovode ga do njegovih vlastitih matematičkih otkrića.

Mudrac je rekao: “Postoje stvari na svijetu kojima trebaš težiti. Ono je, prvo, lijepo i veličanstveno, drugo, korisno za život, treće, pruža zadovoljstvo. Međutim, užitak ima dvije vrste: jedan, koji našu proždrljivost zadovoljava luksuzom, je poguban; drugi je pravedan i neophodan za život.”

Brojevi su zauzimali središnje mjesto u filozofiji učenika i sljedbenika Pitagore:

« Gdje nema broja i mjere, tamo je kaos i himera.”

"Najmudrija stvar je broj"

"Brojke vladaju svijetom."

Stoga mnogi smatraju Pitagoru ocem numeriranja - složene znanosti obavijene misterijom, opisujući događaje u njoj, otkrivajući prošlost i budućnost, predviđajući sudbinu ljudi.

· Pitagora i brojevi.

Stari Grci, a s njima i Pitagora i Pitagorejci, zamišljali su brojeve vidljivo u obliku kamenčića položenih na pijesku ili na ploči za brojanje – abakusu.

Brojevi kamenčića raspoređeni su pravilno geometrijski oblici, te su figure bile klasificirane i tako su nastali brojevi koji se danas nazivaju brojevima s figurama: linearni brojevi (tj. prosti brojevi) - brojevi koji su djeljivi s jedinicom i sami sa sobom i stoga ih je moguće predstaviti kao niz točaka poredanih u liniji.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

čvrsti brojevi izraženi umnoškom tri faktora

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

kvadratni brojevi:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

I. itd. Od figurativnih brojeva dolazi izraz “ Kvadrirajte na kvadrat ili kocku broj».

Pitagora se nije ograničio na ravne figure. Od točaka je počeo zbrajati piramide, kocke i druga tijela te proučavati piramidalne, kubične i druge brojeve (vidi sliku 1). Usput, ime kocka brojeva Koristimo ga i danas.

Ali Pitagora nije bio zadovoljan brojevima dobivenim iz raznih figura. Uostalom, proglasio je da brojke vladaju svijetom. Stoga je morao smisliti kako koristiti brojeve za oslikavanje pojmova kao što su pravda, savršenstvo i prijateljstvo.

Da bi dočarao savršenstvo, Pitagora je počeo raditi na djeliteljima brojeva (uzeo je djelitelj 1, ali nije uzeo sam broj). Zbrajao je sve djelitelje broja, a ako je zbroj bio manji od broja, proglašavao se nedovoljnim, a ako je bio veći, proglašavao se pretjeranim. I tek kad je zbroj bio jednak broju, proglašen je savršenim. Brojevi prijateljstva prikazani su na sličan način - dva broja nazivana su prijateljskim ako je svaki od njih bio jednak zbroju djelitelja drugog broja. Na primjer, broj 6 (6=1+2+3) je savršen, broj 28 (1+2+4+7+17) je savršen. Sljedeći savršeni brojevi su 496, 8128, .

2. Brojevi su prosti i složeni.

Moderna matematika prijateljskih ili savršenih brojeva pamti s osmijehom kao hobija iz djetinjstva.

A pojmovi prostih i složenih brojeva koje je uveo Pitagora i danas su predmet ozbiljnih istraživanja, za što matematičari dobivaju visoka znanstvena priznanja.

Iz iskustva računanja ljudi su znali da je svaki broj ili prost broj ili umnožak više prostih brojeva. Ali nisu znali kako to dokazati. Pitagora ili netko od njegovih sljedbenika pronašao je dokaz za ovu tvrdnju.

Sada je lako objasniti ulogu prostih brojeva u matematici: oni su građevni blokovi od kojih se množenjem izgrađuju drugi brojevi.

Otkriće uzoraka u nizu brojeva vrlo je ugodan događaj za matematičare: na kraju krajeva, ti se uzorci mogu koristiti za izgradnju hipoteza, testiranje dokaza i formula. Jedno od svojstava prostih brojeva koje zanima matematičare jest da odbijaju poštivati bilo koji obrazac.

Jedini način da se utvrdi je li broj 100,895,598,169 prost je korištenje prilično napornog "Eratostenova sita".

Tablica prikazuje jednu od opcija za ovo sito.

U ovoj tablici zaokruženi su svi prosti brojevi manji od 48. Nalaze se ovako: 1 ima jedan djelitelj - sebe, stoga se 1 ne smatra prostim brojem. 2 je najmanji (i jedini paran) prosti broj. Svi ostali parni brojevi djeljivi su s 2, što znači da imaju najmanje tri djelitelja; stoga nisu jednostavni i mogu se prekrižiti. Sljedeći neprecrtani broj je 3; ima točno dva djelitelja, pa je prost. Svi ostali brojevi koji su višekratnici tri (tj. oni koji se mogu podijeliti s 3 bez ostatka) su prekriženi. Prvi broj koji nije prekrižen je 5; jednostavan je i svi njegovi višekratnici mogu se prekrižiti.

Ako nastavite s križanjem višekratnika, možete eliminirati sve proste brojeve manje od 48.

3. Goldbachov problem.

Bilo koji broj može se dobiti iz prostih brojeva množenjem. Što se događa ako zbrojite proste brojeve?

Matematičar Goldbach, koji je živio u Rusiji u 18. stoljeću, odlučio je zbrajati neparne proste brojeve samo u parovima. Otkrio je nevjerojatnu stvar: svaki put kad je bio u stanju zamisliti Parni broj kao zbroj dva prosta broja. (kao što je bio slučaj u Goldbachovo vrijeme, 1 smatramo prostim brojem).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5 itd.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Goldbach je o svom zapažanju pisao velikom matematičaru

XVIII. stoljeća Leonhardu Euleru, koji je bio član Sanktpeterburške akademije znanosti. Nakon testiranja mnogo više parnih brojeva, Euler je bio uvjeren da su svi zbroj dvaju prostih brojeva. Ali ima beskonačno mnogo parnih brojeva. Stoga su Eulerovi proračuni samo davali nadu da svi brojevi imaju svojstvo koje je uočio Goldbach. Međutim, pokušaji da se dokaže da će tako uvijek biti nisu doveli nikamo.

Matematičari su dvjesto godina razmišljali o Goldbachovom problemu. I tek je ruski znanstvenik Ivan Matveevič Vinogradov uspio učiniti odlučujući korak. Utvrdio je da je svaki dovoljno velik prirodan broj

zbroj tri prosta broja. Ali broj u kojem je izjava Vinogradova istinita je nezamislivo velik.

4. Znakovi djeljivosti.

489566: 11 = ?

Da saznam kako je to dati broj– jednostavni ili složeni, ne morate uvijek gledati tablicu prostih brojeva. Često je za to dovoljno koristiti znakove djeljivosti.

· Ispitajte djeljivost s 2.

Ako prirodni broj završava parnom znamenkom, tada je broj paran i djeljiv s 2 bez ostatka.

· Ispitajte djeljivost s 3.

Ako je zbroj znamenki broja djeljiv s 3, tada je broj djeljiv s 3.

· Ispitajte djeljivost s 4.

Prirodni broj koji ima najmanje tri znamenke djeljiv je s 4 ako je broj koji čine posljednje dvije znamenke tog broja djeljiv s 4.

· Ispitajte djeljivost s 5.

Ako prirodni broj završava s 0 ili 5, tada je taj broj djeljiv s 5 bez ostatka.

· Test djeljivosti sa 7 (sa 13).

Prirodni broj je djeljiv sa 7 (sa 13) ako je algebarski zbroj brojeva koji tvore lica tri znamenke (počevši od znamenke jedinice), uzet sa znakom “+” za neparna lica i sa znakom “minus” za parna lica. lica, dijeli se sa, sastavljamo algebarski zbroj lica, počevši od zadnjeg lica i izmjenjujući znak + i -: + 254 = 679. Broj 679 je djeljiv sa 7, što znači da je i ovaj broj djeljiv sa 7 .

· Ispitajte djeljivost s 8.

Prirodni broj koji ima najmanje četiri znamenke djeljiv je s 8 ako je broj koji čine zadnje tri znamenke djeljiv s 8.

· Ispitajte djeljivost s 9.

Ako je zbroj znamenki broja djeljiv s 9, tada je i sam broj djeljiv s 9.

· Ispitajte djeljivost s 10.

Ako prirodni broj završava s 0, onda je djeljiv s 10.

· Test djeljivosti 11.

Prirodni broj je djeljiv s 11 ako je algebarski zbroj njegovih znamenki, uzet s predznakom plus ako su znamenke na neparnim mjestima (počevši od znamenke jedinica), i uzet s predznakom minus ako su znamenke na parnim mjestima, djeljivo sa, 7 – 1 + 5 = 11, djeljivo sa 11).

· Ispitajte djeljivost s 25.

Prirodni broj koji ima najmanje tri znamenke djeljiv je s 25 ako je broj koji čine zadnje dvije znamenke tog broja djeljiv s 25.

· Testirajte djeljivost sa 125.

Prirodni broj koji sadrži najmanje četiri broja djeljiv je sa 125 ako je broj koji čine zadnje tri znamenke tog broja djeljiv sa 125.

5. Zanimljiva svojstva prirodnih brojeva.

Prirodni brojevi imaju mnoga zanimljiva svojstva koja se otkrivaju kada se nad njima izvode aritmetičke operacije. Ali ipak je lakše uočiti ta svojstva nego ih dokazati. Predstavimo nekoliko takvih svojstava.

1) Uzmimo nasumce neki prirodni broj, na primjer 6, i zapišimo sve njegove djelitelje: 1, 2, 3,6. Za svaki od ovih brojeva napiši koliko ima djelitelja. Budući da 1 ima samo jedan djelitelj (sam broj), 2 i 3 imaju po dva djelitelja, a 6 ima 4 djelitelja, dobivamo brojeve 1, 2, 2, 4. Oni imaju izvanrednu značajku: ako ove brojeve podignete na kocki i zbrojite odgovore, dobit ćete točno isti iznos koji bismo dobili da prvo zbrojimo ove brojeve, a zatim kvadriramo zbroj, drugim riječima,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Izračuni pokazuju da je i na lijevoj i na desnoj strani odgovor isti, odnosno 324.

Koji god broj uzmemo, ispunit će se svojstvo koje smo uočili. Ali to je prilično teško dokazati.

2) . Uzmimo bilo koji četveroznamenkasti broj, na primjer 2519, i posložimo njegove znamenke prvo silaznim, a zatim rastućim redoslijedom: i Od više oduzmi manji: =8262. Učinimo isto s dobivenim brojem: 86=6354. I još jedan sličan korak: 65 = 3087. Dalje, = 8352, = 6174. Niste umorni od oduzimanja? Napravimo još jedan korak: =6174. Opet se pokazalo da je 6174.

Sada smo, kako kažu programeri, "u petlji": koliko god puta sada oduzeli, nećemo dobiti ništa osim 6174. Možda je činjenica da je tako odabran originalni broj 2519? Ispostavilo se da to nema nikakve veze: bez obzira koji četveroznamenkasti broj uzmemo, nakon ne više od sedam koraka sigurno ćemo dobiti isti broj 6174.

3) . Nacrtajmo nekoliko kružnica sa zajedničkim središtem i na unutarnju kružnicu napišimo bilo koja četiri prirodna broja. Za svaki par susjednih brojeva oduzmite manji od većeg i zapišite rezultat u sljedeći krug. Ispostavilo se da će, ako ovo ponovite dovoljno puta, na jednom od krugova svi brojevi biti jednaki nuli, pa ćete stoga i dalje dobivati samo nule. Na slici je to prikazano za slučaj kada su brojevi 25, 17, 55, 47 ispisani na unutarnjem krugu.

4) . Uzmimo bilo koji broj (pa i tisućuznamenkasti) napisan u decimalnom brojevnom sustavu. Kvadrirajmo sve njegove brojeve i zbrojimo ih. Učinimo isto s količinom. Ispada da nakon nekoliko koraka dobivamo ili broj 1, nakon čega neće biti drugih brojeva, ili 4, nakon čega imamo brojeve 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 i opet imamo dobiti 4. To znači da i ovdje nema izbjegavanja ciklusa.

5. Kreirajmo takvu beskonačnu tablicu. U prvi stupac upisat ćemo brojeve 4, 7, 10, 13, 16, ... (svaki sljedeći je za 3 veći od prethodnog). Od broja 4 povlačimo crtu udesno povećavajući brojeve u svakom koraku za 3. Od broja 7 povlačimo crtu povećavajući brojeve za 5, od broja 10 - za 7 itd. Sljedeća tablica je dobiveno:

Ako uzmete bilo koji broj iz ove tablice, pomnožite ga s 2 i umnošku dodate 1, uvijek ćete dobiti složeni broj. Ako učinimo isto s brojem koji nije uključen u ovu tablicu, dobit ćemo prost broj. Na primjer, uzmimo iz tablice broj 45. Broj 2*45+1=91 je složen, jednak je 7*13. Ali broja 14 nema u tablici, a broj 2*14+1=29 je prost.

Ovaj prekrasan način razlikovanja prostih brojeva od složenih brojeva izumio je 1934. indijski student Sundaram. Promatranja brojeva otkrivaju druge izvanredne izjave. Svojstva svijeta brojeva doista su neiscrpna.

Trikovi s brojevima.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Uostalom, ako pored troznamenkastog broja ponovno napišete isti broj, tada će se izvorni broj pomnožiti s 1001 (na primjer, 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">

A četveroznamenkasti brojevi se ponavljaju jednom i dijele sa 73 137. Rješenje je u jednakosti

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Imajte na umu da kocke brojeva 0, 1, 4, 5, 6 i 9 završavaju istim brojem (na primjer, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24 " height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Osim toga, morate zapamtiti sljedeću tablicu koja pokazuje gdje počinju pete potencije sljedećih brojeva:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">To znači da trebate dodati broj 3 peteroznamenkastim brojevima izvorno napisano na ploči ispred, i od dobivenog broja oduzmite 3.

Da spriječite publiku da pogodi trik, možete smanjiti prvu znamenku bilo kojeg od brojeva za nekoliko jedinica i smanjiti odgovarajuću znamenku ukupno za isti broj jedinica. Na primjer, na slici je prva znamenka u trećem članu smanjena za 2 i odgovarajuća znamenka u zbroju smanjena je za isti iznos.

Zaključak.

Nakon što sam prikupio i sažeo materijal o prostim i složenim brojevima, došao sam do sljedećeg zaključka:

1. Proučavanje brojeva seže u davna vremena i ima bogatu povijest.

2. Uloga prostih brojeva u matematici je velika: oni su građevni blokovi od kojih se množenjem grade svi ostali brojevi.

3. Prirodni brojevi imaju mnoga zanimljiva svojstva. Svojstva svijeta brojeva doista su neiscrpna.

4. Materijal koji sam pripremio može se sigurno koristiti u nastavi matematike i nastavi matematičkog kruga. Ovaj materijal pomoći će vam da se dublje pripremite za razne vrste olimpijada.

Rastavljanje prirodnih brojeva na umnoške prostih brojeva

Algoritmi za traženje i prepoznavanje prostih brojeva

Jednostavne metode za pronalaženje početnog popisa prostih brojeva do neke vrijednosti daju Eratostenovo sito, Sundaramovo sito i Atkinovo sito.

Međutim, u praksi, umjesto da dobijete popis prostih brojeva, često želite provjeriti je li dati broj prost. Algoritmi koji rješavaju ovaj problem nazivaju se testovima primarnosti. Postoji mnogo testova polinomske primarnosti, no većina je probabilističkih (kao što je Miller–Rabin test) i koriste se za potrebe kriptografije. Godine 2002. dokazano je da problem testa primarnosti u opći pogled je polinomski rješiv, ali predloženi deterministički Agrawal–Kajal–Saxena test ima prilično veliku računsku složenost, što otežava njegovu praktičnu primjenu.

Za neke klase brojeva postoje specijalizirani učinkoviti testovi primarnosti (vidi dolje).

Beskonačnost skupa prostih brojeva

Postoji beskonačan broj prostih brojeva. najstariji poznati dokaz Ovu činjenicu iznio je Euklid u Elementima (knjiga IX, izjava 20). Njegov se dokaz može ukratko reproducirati na sljedeći način:

Zamislimo da je broj prostih brojeva konačan. Pomnožimo ih i zbrojimo jedan. Rezultirajući broj nije djeljiv ni s jednim od konačnog skupa prostih brojeva, jer ostatak dijeljenja s bilo kojim od njih daje jedan. To znači da broj mora biti djeljiv s nekim prostim brojem koji nije uključen u ovaj skup. Polemika.

Matematičari su ponudili druge dokaze. Jedan od njih (dao ga je Euler) pokazuje da je zbroj recipročnih vrijednosti prvog n prostih brojeva, raste neograničeno s rastom n.

Mersenneovi brojevi se razlikuju od ostalih po prisutnosti učinkovitog testa primarnosti: Luc-Lemaireovog testa. Zahvaljujući njemu, Mersenneovi prosti brojevi dugo su držali rekord kao najveći poznati prosti brojevi.

Za pronalaženje prostih brojeva s više od 100.000.000 i 1.000.000.000 decimalnih znamenki, EFF je dodijelio novčane nagrade od 150.000 USD, odnosno 250.000 USD. EFF je ranije dodjeljivao nagrade za pronalaženje prostih brojeva od 1.000.000 i 10.000.000 decimalnih znamenki.

Prosti brojevi posebne vrste

Postoji niz brojeva čija se jednostavnost može učinkovito utvrditi pomoću specijaliziranih algoritama.

Korištenje Brillhart-Lehmer-Selfridge testa ( Engleski) može se provjeriti jednostavnost sljedećih brojeva:

Za traženje prostih brojeva naznačenih tipova trenutno se koriste projekti distribuiranog računalstva GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen ili Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Neka svojstva

Ako je premijer i dijeli , zatim dijeli ili . Dokaz ove činjenice dao je Euklid i poznat je kao Euklidova lema. Koristi se u dokazu temeljnog teoreme aritmetike.
Prsten ostataka je polje ako i samo ako je jednostavan.
Karakteristika svakog polja je nula ili prosti broj.
Ako je - prost i - prirodan, onda je djeljiv sa (Fermatov mali teorem).
Ako je konačna grupa s elementima, tada sadrži element reda .
Ako je konačna grupa i maksimalna snaga koja dijeli , tada ima podgrupu reda koja se naziva Sylow podgrupa, štoviše, broj Sylowovih podgrupa je jednak za neki cijeli broj (Sylowljev teorem).
Prirodno je jednostavno ako i samo ako je djeljivo s (Wilsonov teorem).
Ako je prirodan, tada postoji prost takav da (Bertrandov postulat).
Niz inverza prostih brojeva se razilazi. Štoviše, kada
Svaka aritmetička progresija oblika , gdje su međusobno prosti brojevi, sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva (Dirichletov teorem o prostim brojevima u aritmetičkoj progresiji).
Svaki prosti broj veći od 3 može se prikazati kao ili , gdje je neki prirodni broj. Dakle, ako je razlika između nekoliko uzastopnih prostih brojeva (za k>1) ista, onda je ona nužno višekratnik broja 6 - na primjer: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
Ako - prime, onda je višekratnik 24 (također vrijedi za sve neparni brojevi, nije djeljiv sa 3).
Green-Tao teorem. Postoje proizvoljno duge konačne aritmetičke progresije koje se sastoje od prostih brojeva.
n>2, k>1. Drugim riječima, broj koji slijedi nakon proste ne može biti kvadrat ili viša potencija s bazom većom od 2. Iz ovoga također slijedi da ako prosti broj ima oblik , tada k- prosti (vidi Mersenneove brojeve).
Nijedan prosti broj ne može imati oblik , gdje n>1, k>0. Drugim riječima, broj ispred prostog broja ne može biti kub ili veća neparna potencija s bazom većom od 1.

sadrži 26 varijabli i ima stupanj 25. Najmanji stupanj za poznate polinome ovog tipa je 5 s 42 varijable; najmanji broj varijable - 10 sa stupnjem od oko 15905. Ovaj rezultat je poseban slučaj Diofantskog svojstva bilo kojeg nabrojivog skupa koje je dokazao Jurij Matijasević.

Otvorena pitanja

Distribucija prostih brojeva str n = f (Δ s n); Δ s n = str n+1 ² - str n ². Δ str n = str n+1 - str n ; Δ str n = 2, 4, 6, … .

Još uvijek postoje mnoga otvorena pitanja u vezi s prostim brojevima, od kojih je najpoznatija naveo Edmund Landau na Petom međunarodnom matematičkom kongresu:

Također je otvoren problem da postoji beskonačan broj prostih brojeva u mnogim cijelim nizovima, uključujući Fibonaccijeve brojeve, Fermatove brojeve itd.

Prijave

Varijacije i generalizacije

U teoriji prstena, grani apstraktne algebre, definiran je koncept prim elementa i prim ideala.
U teoriji čvorova definiran je pojam jednostavnog čvora ( Engleski), kao netrivijalni čvor koji se ne može prikazati kao povezani zbroj netrivijalnih čvorova.

vidi također

Bilješke

Književnost

Galperin G.“Samo o prostim brojevima” // Kvantni. - Br. 4. - Str. 9-14,38.
Nesterenko Yu V. Algoritamski problemi teorije brojeva // Uvod u kriptografiju / Uredio V. V. Yashchenko. - Petar, 2001. - 288 str. - ISBN 5-318-00443-1
Vasilenko O. N. Algoritmi teorije brojeva u kriptografiji. - M.: MTsNMO, 2003. - 328 str. - ISBN 5-94057-103-4
Čeremuškin A.V.. - M.: MTsNMO, 2002. - 104 str. - ISBN 5-94057-060-7
Knop K."Potraga za jednostavnošću"
Kordemsky B. A. Matematička pamet. - M.: GIFML, 1958. - 576 str.
Henry S. Warren, ml. Poglavlje 16. Formule za proste brojeve // Algoritamski trikovi za programere = Hacker's Delight - M.: Williams, 2007. - 288 str. - ISBN 0-201-91465-4
Yu. Matiyasevich. Formule za proste brojeve // Kvantni. - 1975. - br. 5. - str. 5-13.
N. Karpušina. Palindromi i “preokreti” među prostim brojevima // Znanost i život. - 2010. - № 5.
D. Zager. Prvih 50 milijuna primarnih brojeva // Napredak matematičkih znanosti. - 1984. - T. 39. - Br. 6(240). - Str. 175–190.

Linkovi

The Prime Pages - baza podataka najvećih poznatih prostih brojeva
PrimeGrid liste prostih brojeva - svi prosti brojevi pronađeni unutar projekta PrimeGrid
Geometrija prostih i savršenih brojeva (španjolski)

Numerički sustavi
Brojanje postavlja	Prirodni brojevi () Cijeli brojevi () Racionalni () Algebarski () Periodi Izračunljiva aritmetika
Realni brojevi i njihove ekstenzije	Realni () Kompleksni () Kvaternioni ()