Zbërthimi i një numri të përbërë në numra të thjeshtë. Zbërthimi i numrave në faktorë të thjeshtë, metoda dhe shembuj të zbërthimit

Çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i faktorëve të thjeshtë. Për shembull,

48 = 2 2 2 2 3, 225 = 3 3 5 5, 1050 = 2 3 5 5 7.

Për numra të vegjël ky dekompozim është i lehtë bëhet në bazëTabelat e shumëzimit. Për numra të mëdhenj, ne rekomandojmë përdorimin e metodës së mëposhtme, të cilën do ta konsiderojmë duke përdorur një shembull specifik. Le të faktorizojmë numrin 1463 në faktorë të thjeshtë. Për ta bërë këtë, përdorni tabelën e numrave të thjeshtë:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Rendisim numrat në këtë tabelë dhe ndalemi te numri që është pjesëtues i këtij numri. Në shembullin tonë, kjo është 7. Ndani 1463 me 7 dhe merrni 209. Tani përsërisim procesin e kërkimit të numrave të thjeshtë për 209 dhe ndalemi te numri 11, që është pjesëtuesi i tij (shih). Pjestoni 209 me 11 dhe merrni 19, i cili, sipas të njëjtës tabelë, është një numër i thjeshtë. Kështu, ne kemi:

Faktorizimi i një numri të madh nuk është një detyrë e lehtë. Shumica e njerëzve e kanë të vështirë të kuptojnë numrat katër ose pesë shifrorë. Për ta bërë procesin më të lehtë, shkruani numrin sipër dy kolonave.

• Le të faktorizojmë numrin 6552.

Pjesëtojmë numrin e dhënë me pjesëtuesin kryesor më të vogël (përveç 1) që e pjesëton numrin e dhënë pa lënë mbetje. Shkruani këtë pjesëtues në kolonën e majtë dhe shkruajeni rezultatin e pjesëtimit në kolonën e djathtë. Siç u përmend më lart, numrat çift janë të lehtë për t'u faktorizuar sepse faktori i tyre më i vogël i thjeshtë do të jetë gjithmonë 2 (numrat tek kanë faktorë të thjeshtë më të vegjël të ndryshëm).

• Në shembullin tonë, 6552 është një numër çift, kështu që 2 është faktori kryesor i tij më i vogël. 6552 ÷ 2 = 3276. Shkruani 2 në kolonën e majtë dhe 3276 në kolonën e djathtë.

Më pas, pjesëtoni numrin në kolonën e djathtë me faktorin kryesor më të vogël (përveç 1) që e ndan numrin pa mbetje. Shkruani këtë pjesëtues në kolonën e majtë dhe në kolonën e djathtë shkruani rezultatin e ndarjes (vazhdoni këtë proces derisa të mos mbetet 1 në kolonën e djathtë).

• Në shembullin tonë: 3276 ÷ 2 = 1638. Shkruani 2 në kolonën e majtë dhe 1638 në kolonën e djathtë. Tjetra: 1638 ÷ 2 = 819. Shkruani 2 në kolonën e majtë dhe 819 në kolonën e djathtë.

Ju keni një numër tek; Për numra të tillë, gjetja e pjesëtuesit më të vogël të thjeshtë është më e vështirë. Nëse merrni një numër tek, provoni ta pjesëtoni atë me numrat më të vegjël tek: 3, 5, 7, 11.

• Në shembullin tonë, ju morët një numër tek 819. Ndajeni me 3: 819 ÷ 3 = 273. Shkruani 3 në kolonën e majtë dhe 273 në kolonën e djathtë.
• Kur kërkoni faktorë, provoni të gjithë numrat e thjeshtë deri në rrënjën katrore të faktorit më të madh që gjeni. Nëse asnjë pjesëtues nuk e ndan numrin me një të tërë, atëherë me shumë mundësi keni një numër të thjeshtë dhe mund të ndaloni llogaritjen.

Vazhdoni procesin e pjesëtimit të numrave me faktorët e thjeshtë derisa të mbeteni me një 1 në kolonën e djathtë (nëse merrni një numër të thjeshtë në kolonën e djathtë, ndajeni në vetvete për të marrë një 1).

• Le të vazhdojmë llogaritjet në shembullin tonë:
  • Pjestojeni me 3: 273 ÷ 3 = 91. Nuk ka mbetje. Shkruani 3 në kolonën e majtë dhe 91 në kolonën e djathtë.
  • Pjestohet me 3. 91 pjesëtohet me 3 me mbetje, pra pjesëtohet me 5. 91 pjesëtohet me 5 me mbetje, pra pjesëtojeni me 7: 91 ÷ 7 = 13. Nuk ka mbetje. Shkruani 7 në kolonën e majtë dhe 13 në kolonën e djathtë.
  • Pjestohet me 7. 13 pjesëtohet me 7 me mbetje, pra pjesëtohet me 11. 13 pjesëtohet me 11 me mbetje, pra pjesëtojeni me 13: 13 ÷ 13 = 1. Nuk ka mbetje. Shkruani 13 në kolonën e majtë dhe 1 në kolonën e djathtë. Llogaritjet tuaja janë të plota.

Kolona e majtë tregon faktorët kryesorë të numrit origjinal. Me fjalë të tjera, kur shumëzoni të gjithë numrat në kolonën e majtë, do të merrni numrin e shkruar sipër kolonave. Nëse i njëjti faktor shfaqet më shumë se një herë në listën e faktorëve, përdorni eksponentë për ta treguar atë. Në shembullin tonë, 2 shfaqet 4 herë në listën e shumëzuesve; shkruani këta faktorë si 2 4 në vend të 2*2*2*2.

• Në shembullin tonë, 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Ju faktorizuat 6552 në faktorët kryesorë (rendi i faktorëve në këtë shënim nuk ka rëndësi).

Çdo numër i përbërë mund të faktorizohet në faktorë të thjeshtë. Mund të ketë disa metoda të dekompozimit. Secila metodë jep të njëjtin rezultat.

Si të faktorizojmë një numër në faktorët kryesorë në mënyrën më të përshtatshme? Le të shohim se si ta bëjmë më mirë këtë duke përdorur shembuj specifikë.

Shembuj. 1) Faktoroni numrin 1400 në faktorët kryesorë.

1400 plotpjesëtohet me 2. 2 është një numër i thjeshtë, nuk ka nevojë të faktorizohet. Marrim 700. E pjestojme me 2. Marrim 350. Gjithashtu pjestojme 350 me 2. Numri qe rezulton 175 mund te pjestohet me 5. Rezultati eshte 35 - pjesetoje perseri me 5. Gjithsej - 7. Mund te ndahet vetem me 7. Marrim 1, ndarja mbi.

I njëjti numër mund të faktorizohet ndryshe:

Është e përshtatshme për të pjesëtuar 1400 me 10. 10 nuk është një numër i thjeshtë, prandaj duhet të faktorizohet në faktorët kryesorë: 10=2∙5. Rezultati është 140. E ndajmë sërish me 10=2∙5. Marrim 14. Nëse 14 pjesëtohet me 14, atëherë duhet të zbërthehet edhe në një prodhim të faktorëve kryesorë: 14=2∙7.

Kështu, përsëri arritëm në të njëjtin zbërthim si në rastin e parë, por më shpejt.

Përfundim: kur zbërthehet një numër, nuk është e nevojshme ta ndajmë atë vetëm në faktorët kryesorë. Ne ndajmë me atë që është më e përshtatshme, për shembull, me 10. Thjesht duhet të mbani mend të zbërtheni pjesëtuesit e përbërë në faktorë të thjeshtë.

2) Faktoroni numrin 1620 në faktorët kryesorë.

Mënyra më e përshtatshme për të pjesëtuar numrin 1620 është me 10. Meqenëse 10 nuk është numër i thjeshtë, ne e paraqesim atë si prodhim të faktorëve të thjeshtë: 10=2∙5. Morëm 162. Është e përshtatshme ta ndajmë me 2. Rezultati është 81. Numri 81 mund të ndahet me 3, por me 9 është më i përshtatshëm. Meqenëse 9 nuk është një numër i thjeshtë, ne e zgjerojmë atë si 9=3∙3. Marrim 9. Gjithashtu e ndajmë me 9 dhe e zgjerojmë në prodhimin e faktorëve kryesorë.

Në këtë artikull do të gjeni të gjitha informacionet e nevojshme për t'iu përgjigjur pyetjes, si të faktorizojmë një numër në faktorë të thjeshtë. Së pari, jepet një ide e përgjithshme e zbërthimit të një numri në faktorët kryesorë dhe jepen shembuj të zbërthimit. Më poshtë tregon formën kanonike të zbërthimit të një numri në faktorët kryesorë. Pas kësaj, jepet një algoritëm për zbërthimin e numrave arbitrar në faktorë të thjeshtë dhe jepen shembuj të zbërthimit të numrave duke përdorur këtë algoritëm. Konsiderohen gjithashtu metoda alternative që ju lejojnë të faktorizoni shpejt numrat e plotë të vegjël në faktorë kryesorë duke përdorur testet e pjesëtueshmërisë dhe tabelat e shumëzimit.

Navigimi i faqes.

Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?

Së pari, le të shohim se cilët janë faktorët kryesorë.

Është e qartë se meqenëse fjala "faktorë" është e pranishme në këtë frazë, atëherë ka një produkt të disa numrave, dhe fjala kualifikuese "i thjeshtë" do të thotë se çdo faktor është një numër i thjeshtë. Për shembull, në një produkt të formës 2·7·7·23 ka katër faktorë kryesorë: 2, 7, 7 dhe 23.

Çfarë do të thotë faktorizimi i një numri në faktorët kryesorë?

Kjo do të thotë që ky numër duhet të përfaqësohet si produkt i faktorëve të thjeshtë dhe vlera e këtij produkti duhet të jetë e barabartë me numrin origjinal. Si shembull, merrni parasysh prodhimin e tre numrave të thjeshtë 2, 3 dhe 5, ai është i barabartë me 30, kështu që zbërthimi i numrit 30 në faktorë të thjeshtë është 2·3·5. Zakonisht zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë shkruhet si barazi; në shembullin tonë do të jetë kështu: 30=2·3·5. Theksojmë veçmas se faktorët kryesorë në zgjerim mund të përsëriten. Kjo ilustrohet qartë nga shembulli i mëposhtëm: 144=2·2·2·2·3·3. Por një paraqitje e formës 45=3·15 nuk është zbërthim në faktorë të thjeshtë, pasi numri 15 është një numër i përbërë.

Shtrohet pyetja e mëposhtme: "Cilët numra mund të zbërthehen në faktorë të thjeshtë?"

Në kërkim të një përgjigjeje për të, ne paraqesim arsyetimin e mëposhtëm. Numrat e thjeshtë, sipas përkufizimit, janë ndër ata më të mëdhenj se një. Duke marrë parasysh këtë fakt dhe , mund të argumentohet se produkti i disa faktorëve kryesorë është një numër i plotë pozitiv më i madh se një. Prandaj, faktorizimi në faktorët kryesorë ndodh vetëm për numrat e plotë pozitivë që janë më të mëdhenj se 1.

Por a mund të faktorizohen të gjithë numrat e plotë më të mëdhenj se një në faktorët kryesorë?

Është e qartë se nuk është e mundur të faktorizohen numrat e plotë të thjeshtë në faktorët kryesorë. Kjo është për shkak se numrat e thjeshtë kanë vetëm dy faktorë pozitivë - një dhe vetveten, kështu që ata nuk mund të përfaqësohen si prodhim i dy ose më shumë numrave të thjeshtë. Nëse numri i plotë z mund të përfaqësohet si prodhim i numrave të thjeshtë a dhe b, atëherë koncepti i pjesëtueshmërisë do të na lejonte të konkludojmë se z është i pjesëtueshëm me a dhe b, gjë që është e pamundur për shkak të thjeshtësisë së numrit z. Megjithatë, ata besojnë se çdo numër i thjeshtë është në vetvete një dekompozim.

Po në lidhje me numrat e përbërë? A zbërthehen numrat e përbërë në faktorë të thjeshtë dhe a janë të gjithë numrat e përbërë ndaj një zbërthimi të tillë? Teorema themelore e aritmetikës jep një përgjigje pohuese për një numër prej këtyre pyetjeve. Teorema bazë e aritmetikës thotë se çdo numër i plotë a që është më i madh se 1 mund të zbërthehet në produktin e faktorëve kryesorë p 1, p 2, ..., p n, dhe zbërthimi ka formën a = p 1 · p 2 · … · p n, dhe ky zgjerim është unik, nëse nuk merrni parasysh renditjen e faktorëve

Faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë

Në zgjerimin e një numri, faktorët kryesorë mund të përsëriten. Faktorët kryesorë të përsëritur mund të shkruhen më kompakt duke përdorur . Le të ndodhë në zbërthimin e një numri faktori kryesor p 1 s 1 herë, faktori kryesor p 2 – s 2 herë, dhe kështu me radhë, p n – s n herë. Atëherë faktorizimi i thjeshtë i numrit a mund të shkruhet si a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Kjo formë e regjistrimit është e ashtuquajtura faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë.

Le të japim një shembull të zbërthimit kanonik të një numri në faktorë të thjeshtë. Na tregoni dekompozimin 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, shënimi i tij kanonik ka formën 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Faktorizimi kanonik i një numri në faktorë të thjeshtë ju lejon të gjeni të gjithë pjesëtuesit e numrit dhe numrin e pjesëtuesve të numrit.

Algoritmi për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë

Për të përballuar me sukses detyrën e zbërthimit të një numri në faktorët kryesorë, duhet të keni njohuri shumë të mira të informacionit në artikullin numrat e thjeshtë dhe të përbërë.

Thelbi i procesit të zbërthimit të një numri të plotë pozitiv a që tejkalon një është i qartë nga vërtetimi i teoremës themelore të aritmetikës. Çështja është të gjejmë në mënyrë sekuenciale pjesëtuesit kryesorë më të vegjël p 1, p 2, ..., p n të numrave a, a 1, a 2, ..., a n-1, gjë që na lejon të marrim një seri barazish a=p 1 ·a 1, ku a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, ku a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , ku a n =a n-1:p n . Kur rezulton a n =1, atëherë barazia a=p 1 ·p 2 ·…·p n do të na japë zbërthimin e dëshiruar të numrit a në faktorë të thjeshtë. Këtu duhet theksuar gjithashtu se p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Mbetet të kuptojmë se si të gjejmë faktorët kryesorë më të vegjël në çdo hap, dhe do të kemi një algoritëm për zbërthimin e një numri në faktorët kryesorë. Një tabelë e numrave të thjeshtë do të na ndihmojë të gjejmë faktorët kryesorë. Le të tregojmë se si ta përdorim atë për të marrë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit z.

Ne marrim në mënyrë sekuenciale numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë (2, 3, 5, 7, 11, e kështu me radhë) dhe ndajmë numrin e dhënë z me ta. Numri i parë i thjeshtë me të cilin z ndahet në mënyrë të barabartë do të jetë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël. Nëse numri z është i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël do të jetë vetë numri z. Duhet të kujtojmë këtu se nëse z nuk është numër i thjeshtë, atëherë pjesëtuesi kryesor i tij më i vogël nuk e kalon numrin , ku është nga z. Kështu, nëse midis numrave të thjeshtë që nuk e tejkalojnë , nuk kishte asnjë pjesëtues të vetëm të numrit z, atëherë mund të konkludojmë se z është një numër i thjeshtë (më shumë për këtë është shkruar në seksionin e teorisë nën titullin Ky numër është i thjeshtë ose i përbërë ).

Si shembull, ne do të tregojmë se si të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit 87. Le të marrim numrin 2. Ndani 87 me 2, marrim 87:2=43 (mbetet 1) (nëse është e nevojshme, shihni artikullin). Kjo do të thotë, kur pjesëtohet 87 me 2, pjesa e mbetur është 1, kështu që 2 nuk është pjesëtues i numrit 87. Ne marrim numrin tjetër të thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë, ky është numri 3. Pjestoni 87 me 3, marrim 87:3=29. Kështu, 87 pjesëtohet me 3, prandaj, numri 3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit 87.

Vini re se në rastin e përgjithshëm, për të faktorizuar një numër a në faktorë të thjeshtë, na duhet një tabelë me numra të thjeshtë deri në një numër jo më të vogël se . Ne do të duhet t'i referohemi kësaj tabele në çdo hap, ndaj duhet ta kemi pranë. Për shembull, për të faktorizuar numrin 95 në faktorë të thjeshtë, do të na duhet vetëm një tabelë me numra të thjeshtë deri në 10 (pasi 10 është më e madhe se ). Dhe për të zbërthyer numrin 846,653, do t'ju duhet tashmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 1,000 (pasi 1,000 është më i madh se ).

Tani kemi informacion të mjaftueshëm për të shkruar algoritmi për faktorizimin e një numri në faktorë të thjeshtë. Algoritmi për zbërthimin e numrit a është si më poshtë:

• Duke renditur në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 1 të numrit a, pas të cilit llogarisim një 1 =a:p 1. Nëse a 1 =1, atëherë numri a është i thjeshtë dhe ai vetë është zbërthimi i tij në faktorë të thjeshtë. Nëse a 1 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·a 1 dhe kalojmë në hapin tjetër.
• Ne gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 2 të numrit a 1 , për ta bërë këtë ne renditim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 , dhe më pas llogarisim një 2 =a 1:p 2 . Nëse a 2 =1, atëherë zbërthimi i kërkuar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a=p 1 ·p 2. Nëse a 2 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·p 2 ·a 2 dhe kalojmë në hapin tjetër.
• Duke kaluar nëpër numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2, gjejmë pjesëtuesin më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit a 2, pas së cilës llogarisim një 3 =a 2:p 3. Nëse a 3 =1, atëherë zbërthimi i kërkuar i numrit a në faktorë të thjeshtë ka formën a=p 1 ·p 2 ·p 3. Nëse a 3 nuk është e barabartë me 1, atëherë kemi a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 dhe kalojmë në hapin tjetër.
• Pjesëtuesin kryesor më të vogël p n të numrit a n-1 e gjejmë duke renditur numrat e thjeshtë, duke filluar me p n-1, si dhe a n =a n-1:p n, dhe a n është e barabartë me 1. Ky hap është hapi i fundit i algoritmit; këtu marrim zbërthimin e kërkuar të numrit a në faktorë të thjeshtë: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.

Për qartësi, të gjitha rezultatet e marra në çdo hap të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë janë paraqitur në formën e tabelës së mëposhtme, në të cilën numrat a, a 1, a 2, ..., a n shkruhen në mënyrë sekuenciale. në një kolonë në të majtë të vijës vertikale, dhe në të djathtë të vijës - pjesëtuesit kryesorë përkatës më të vegjël p 1, p 2, ..., p n.

Mbetet vetëm të shqyrtojmë disa shembuj të aplikimit të algoritmit që rezulton për zbërthimin e numrave në faktorët kryesorë.

Shembuj të faktorizimit të thjeshtë

Tani do të shikojmë në detaje shembuj të faktorizimit të numrave në faktorë të thjeshtë. Gjatë dekompozimit, ne do të përdorim algoritmin nga paragrafi i mëparshëm. Le të fillojmë me raste të thjeshta dhe gradualisht t'i ndërlikojmë ato në mënyrë që të ndeshemi me të gjitha nuancat e mundshme që lindin gjatë zbërthimit të numrave në faktorët kryesorë.

Shembull.

Faktoroni numrin 78 në faktorët kryesorë të tij.

Zgjidhje.

Fillojmë kërkimin për pjesëtuesin e parë më të vogël p 1 të numrit a=78. Për ta bërë këtë, ne fillojmë të renditim në mënyrë sekuenciale numrat e thjeshtë nga tabela e numrave të thjeshtë. Marrim numrin 2 dhe pjesëtojmë 78 me të, marrim 78:2=39. Numri 78 pjesëtohet me 2 pa mbetje, kështu që p 1 = 2 është pjesëtuesi kryesor i parë i gjetur i numrit 78. Në këtë rast, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Kështu vijmë te barazia a=p 1 ·a 1 që ka formën 78=2·39. Natyrisht, një 1 = 39 është e ndryshme nga 1, kështu që kalojmë në hapin e dytë të algoritmit.

Tani po kërkojmë pjesëtuesin kryesor më të vogël p 2 të numrit a 1 =39. Ne fillojmë të numërojmë numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 1 =2. Ndani 39 me 2, marrim 39:2=19 (mbetet 1). Meqenëse 39 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 2, atëherë 2 nuk është pjesëtuesi i tij. Më pas marrim numrin tjetër nga tabela e numrave të thjeshtë (numri 3) dhe pjesëtojmë 39 me të, fitojmë 39:3=13. Prandaj, p 2 =3 është pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit 39, ndërsa a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Barazimin a=p 1 ·p 2 ·a 2 e kemi në trajtën 78=2·3·13. Meqenëse 2 =13 është e ndryshme nga 1, kalojmë në hapin tjetër të algoritmit.

Këtu duhet të gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 2 =13. Në kërkim të pjesëtuesit më të vogël të thjeshtë p 3 të numrit 13, ne do të renditim në mënyrë sekuenciale numrat nga tabela e numrave të thjeshtë, duke filluar me p 2 =3. Numri 13 nuk pjesëtohet me 3, pasi 13:3=4 (pushim 1), gjithashtu 13 nuk pjesëtohet me 5, 7 dhe 11, pasi 13:5=2 (pushim 3), 13:7=1 (pushim. 6) dhe 13:11=1 (pushim. 2). Numri tjetër i thjeshtë është 13, dhe 13 është i pjesëtueshëm me të pa mbetje, prandaj, pjesëtuesi kryesor më i vogël p 3 i 13 është vetë numri 13, dhe a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Meqenëse 3 =1, ky hap i algoritmit është i fundit, dhe zbërthimi i kërkuar i numrit 78 në faktorë të thjeshtë ka formën 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Përgjigje:

78=2·3·13.

Shembull.

Shprehni numrin 83.006 si produkt i faktorëve kryesorë.

Zgjidhje.

Në hapin e parë të algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë gjejmë p 1 =2 dhe a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, nga të cilat 83,006=2·41,503.

Në hapin e dytë, zbulojmë se 2, 3 dhe 5 nuk janë pjesëtues të thjeshtë të numrit a 1 =41,503, por numri 7 është, pasi 41,503:7=5,929. Kemi p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7 = 5,929. Kështu, 83,006=2 7 5 929.

Pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit a 2 =5 929 është numri 7, pasi 5 929:7 = 847. Kështu, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, nga të cilat 83 006 = 2·7·7·847.

Më pas gjejmë se pjesëtuesi kryesor më i vogël p 4 i numrit a 3 =847 është i barabartë me 7. Atëherë a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, pra 83 006=2·7·7·7·121.

Tani gjejmë pjesëtuesin kryesor më të vogël të numrit a 4 =121, ai është numri p 5 =11 (pasi 121 pjesëtohet me 11 dhe nuk pjesëtohet me 7). Pastaj a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 dhe 83 006=2·7·7·7·11·11.

Së fundi, pjesëtuesi kryesor më i vogël i numrit a 5 =11 është numri p 6 =11. Pastaj a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Meqënëse 6 =1, ky hap i algoritmit për zbërthimin e një numri në faktorë të thjeshtë është i fundit dhe zbërthimi i dëshiruar ka formën 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Rezultati i marrë mund të shkruhet si zbërthim kanonik i numrit në faktorë të thjeshtë 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

Përgjigje:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 është një numër i thjeshtë. Në të vërtetë, ai nuk ka një pjesëtues të vetëm kryesor që nuk tejkalon ( mund të vlerësohet përafërsisht si , pasi është e qartë se 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Përgjigje:

897 924 289 = 937 967 991 .

Përdorimi i testeve të pjesëtueshmërisë për faktorizimin e thjeshtë

Në raste të thjeshta, ju mund të zbërtheni një numër në faktorë të thjeshtë pa përdorur algoritmin e zbërthimit nga paragrafi i parë i këtij neni. Nëse numrat nuk janë të mëdhenj, atëherë për t'i zbërthyer në faktorë të thjeshtë shpesh mjafton të njihen shenjat e pjesëtueshmërisë. Le të japim shembuj për sqarim.

Për shembull, ne duhet të faktorizojmë numrin 10 në faktorët kryesorë. Nga tabela e shumëzimit dimë se 2·5=10, dhe numrat 2 dhe 5 janë padyshim të thjeshtë, kështu që faktorizimi i thjeshtë i numrit 10 duket si 10=2·5.

Një shembull tjetër. Duke përdorur tabelën e shumëzimit, ne do të faktorizojmë numrin 48 në faktorët kryesorë. Ne e dimë që gjashtë është tetë - dyzet e tetë, domethënë 48 = 6·8. Megjithatë, as 6 dhe as 8 nuk janë numra të thjeshtë. Por ne e dimë se dy herë tre është gjashtë, dhe dy herë katër është tetë, pra 6=2·3 dhe 8=2·4. Atëherë 48=6·8=2·3·2·4. Mbetet të kujtojmë se dy herë dy është katër, atëherë marrim zbërthimin e dëshiruar në faktorët kryesorë 48 = 2·3·2·2·2. Le ta shkruajmë këtë zgjerim në formë kanonike: 48=2 4 ·3.

Por kur faktorizoni numrin 3400 në faktorët kryesorë, mund të përdorni kriteret e pjesëtueshmërisë. Shenjat e pjesëtueshmërisë me 10, 100 na lejojnë të themi se 3,400 pjesëtohet me 100, me 3,400=34·100, dhe 100 pjesëtohet me 10, me 100=10·10, pra, 3,400=34·10·10. Dhe bazuar në testin e pjesëtueshmërisë me 2, mund të themi se secili nga faktorët 34, 10 dhe 10 është i pjesëtueshëm me 2, marrim 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Të gjithë faktorët në zgjerimin që rezulton janë të thjeshtë, kështu që ky zgjerim është i dëshiruari. Mbetet vetëm të riorganizohen faktorët në mënyrë që ata të shkojnë në rend rritës: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Le të shkruajmë edhe zbërthimin kanonik të këtij numri në faktorët kryesorë: 3 400 = 2 3 · 5 2 ·17.

Kur zbërtheni një numër të caktuar në faktorë të thjeshtë, mund të përdorni me radhë si shenjat e pjesëtueshmërisë ashtu edhe tabelën e shumëzimit. Le të imagjinojmë numrin 75 si produkt i faktorëve kryesorë. Testi i pjesëtueshmërisë me 5 na lejon të deklarojmë se 75 është i pjesëtueshëm me 5, dhe marrim se 75 = 5·15. Dhe nga tabela e shumëzimit dimë se 15=3·5, pra, 75=5·3·5. Ky është zbërthimi i kërkuar i numrit 75 në faktorët kryesorë.

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dhe të tjera.Matematika. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
• Vinogradov I.M. Bazat e teorisë së numrave.
• Mikhelovich Sh.H. Teoria e numrave.
• Kulikov L.Ya. e të tjera.Përmbledhje problemash në algjebër dhe teoria e numrave: Libër mësuesi për nxënësit e fizikës dhe matematikës. specialitete të instituteve pedagogjike.

Çdo numër natyror mund të zbërthehet në një produkt të faktorëve të thjeshtë. Nëse nuk ju pëlqen të merreni me numra të mëdhenj si 5733, mësoni se si t'i faktorizoni në faktorët kryesorë (në këtë rast, 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Një problem i ngjashëm haset shpesh në kriptografinë, e cila merret me problemet e sigurisë së informacionit. Nëse nuk jeni ende gati për të krijuar sistemin tuaj të sigurt të emailit, filloni duke mësuar se si t'i faktorizoni numrat në faktorët kryesorë.

Hapat

Pjesa 1

Gjetja e faktorëve kryesorë

1. Filloni me numrin origjinal. Zgjidh një numër të përbërë më të madh se 3. Nuk ka kuptim të marrësh një numër të thjeshtë, pasi ai është i pjesëtueshëm vetëm me vetveten dhe një.

   • Shembull: le ta zbërthejmë numrin 24 në prodhimin e numrave të thjeshtë.

2. Le ta zbërthejmë këtë numër në produktin e dy faktorëve. Le të gjejmë dy numra më të vegjël prodhimi i të cilëve është i barabartë me numrin origjinal. Ju mund të përdorni çdo faktor, por është më e lehtë të përdorni numrat e thjeshtë. Një mënyrë e mirë është të provoni të pjesëtoni numrin origjinal fillimisht me 2, pastaj me 3, pastaj me 5 dhe të kontrolloni se me cilin nga këta numra të thjeshtë është i pjesëtueshëm pa lënë mbetje.

   • Shembull: Nëse nuk i dini faktorët për numrin 24, provoni ta ndani atë në numra të thjeshtë të vegjël. Pra, do të zbuloni se numri i dhënë është i pjesëtueshëm me 2: 24 = 2 x 12. Ky është një fillim i mbarë.
   • Meqenëse 2 është një numër i thjeshtë, është mirë të përdoret kur faktorizoni numrat çift.

3. Filloni të ndërtoni pemën tuaj të shumëzuesit. Kjo procedurë e thjeshtë do t'ju ndihmojë të faktorizoni një numër në faktorët kryesorë të tij. Për të filluar, vizatoni dy "degë" nga numri origjinal. Në fund të çdo dege shkruani faktorët që gjetët.

   • Shembull:

4. Faktoroni vargun e mëposhtëm të numrave. Hidhini një sy dy numrave të rinj (rreshti i dytë i pemës së faktorit). A janë të dy numra të thjeshtë? Nëse njëri prej tyre nuk është i thjeshtë, faktorizoni atë gjithashtu në dy. Vizatoni edhe dy degë të tjera dhe shkruani dy faktorë të rinj në vijën e tretë të pemës.

   • Shembull: 12 nuk është një numër i thjeshtë, prandaj duhet të faktorizohet. Ne përdorim zgjerimin 12 = 2 x 6 dhe e shkruajmë në rreshtin e tretë të pemës:
   • 2 x 6

5. Vazhdoni poshtë pemës. Nëse një nga faktorët e rinj rezulton të jetë një numër i thjeshtë, vizatoni një "degë" prej tij dhe shkruani të njëjtin numër në fund të tij. Numrat e thjeshtë nuk faktorizohen në numra më të vegjël, kështu që thjesht zhvendosini ato në një nivel.

   • Shembull: 2 është një numër i thjeshtë. Thjesht lëvizni 2 nga rreshti i dytë në të tretën:
   • 2 2 6

6. Vazhdo faktorizimin e numrave derisa të mbeten vetëm numrat e thjeshtë. Kontrolloni çdo rresht të ri të pemës. Nëse ndonjë nga faktorët e rinj nuk është numër i thjeshtë, faktorizoni atë dhe shkruani një rresht të ri. Përfundimisht do të mbeteni vetëm me numrat e thjeshtë.

   • Shembull: 6 nuk është një numër i thjeshtë, kështu që duhet të faktorizohet gjithashtu. Në të njëjtën kohë, 2 është një numër i thjeshtë dhe ne çojmë dy dyshe në nivelin tjetër:
   • 2 2 6
   • / / /\
   • 2 2 2 3

7. Shkruani rreshtin e fundit si produkt i faktorëve kryesorë. Përfundimisht do të mbeteni vetëm me numrat e thjeshtë. Kur kjo ndodh, faktorizimi përfundon. Rreshti i fundit është një grup numrash të thjeshtë, prodhimi i të cilëve jep numrin origjinal.

   • Kontrolloni përgjigjen tuaj: shumëzoni numrat në rreshtin e fundit. Rezultati duhet të jetë numri origjinal.
   • Shembull: Rreshti i fundit i pemës së faktorit përmban numrat 2 dhe 3. Të dy këta numra janë të thjeshtë, kështu që faktorizimi ka përfunduar. Kështu, zbërthimi i numrit 24 në faktorët kryesorë është si më poshtë: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Rendi i faktorëve nuk ka rëndësi. Zgjerimi mund të shkruhet edhe si 2 x 3 x 2 x 2.

8. Nëse dëshironi, thjeshtoni përgjigjen tuaj duke përdorur shënimin e fuqisë. Nëse jeni njohur me ngritjen e numrave në fuqi, mund ta shkruani përgjigjen në një formë më të thjeshtë. Mos harroni se baza është e shkruar në fund, dhe numri i mbishkrimit tregon se sa herë baza duhet të shumëzohet në vetvete.

   • Shembull: sa herë shfaqet numri 2 në zbërthimin e gjetur 2 x 2 x 2 x 3? Tre herë, pra shprehja 2 x 2 x 2 mund të shkruhet si 2 3 . Në shënimin e thjeshtuar marrim 2 3 x 3.

   Pjesa 2

   Duke përdorur faktorizimin e thjeshtë

   1. Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët (GCD) i dy numrave është numri maksimal që i ndan të dy numrat pa lënë mbetje. Shembulli i mëposhtëm tregon se si të përdoret faktorizimi i thjeshtë për të gjetur faktorin më të madh të përbashkët të numrave 30 dhe 36.

      • Le të faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë. Për numrin 30, zgjerimi është 2 x 3 x 5. Numri 36 faktorizohet si më poshtë: 2 x 2 x 3 x 3.
      • Le të gjejmë një numër që shfaqet në të dy zgjerimet. Le ta kalojmë këtë numër në të dyja listat dhe ta shkruajmë në një rresht të ri. Për shembull, 2 ndodh në dy zgjerime, kështu që ne shkruajmë 2 në një linjë të re. Kjo na lë me 30 = 2 x 3 x 5 dhe 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
      • Përsëriteni këtë veprim derisa të mos mbeten faktorë të përbashkët në zgjerimet. Të dyja listat përmbajnë gjithashtu numrin 3, kështu që ju mund të shkruani në një rresht të ri 2 Dhe 3 . Pas kësaj, krahasoni përsëri zgjerimet: 30 = 2 x 3 x 5 dhe 36 = 2 x 2 x 3 x 3. Siç mund ta shihni, nuk ka mbetur asnjë faktor i përbashkët në to.
      • Për të gjetur faktorin më të madh të përbashkët, duhet të gjeni produktin e të gjithë faktorëve të përbashkët. Në shembullin tonë është 2 dhe 3, kështu që gcd është 2 x 3 = 6 . Ky është numri më i madh që mund të ndahet në 30 dhe 36 pa lënë mbetje.

   2. Duke përdorur GCD ju mund të thjeshtoni thyesat. Nëse dyshoni se një fraksion mund të reduktohet, përdorni faktorin më të madh të përbashkët. Duke përdorur procedurën e përshkruar më sipër, gjeni gcd të numëruesit dhe emëruesit. Pastaj pjesëtojeni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me atë numër. Si rezultat, ju do të merrni të njëjtën fraksion në një formë më të thjeshtë.

      • Për shembull, le të thjeshtojmë thyesën 30/36. Siç kemi përcaktuar më lart, për 30 dhe 36 gcd është 6, kështu që ne ndajmë numëruesin dhe emëruesin me 6:
      • 30 ÷ 6 = 5
      • 36 ÷ 6 = 6
      • 30 / 36 = 5 / 6

   3. Le të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i dy numrave është numri më i vogël që pjesëtohet me të dy numrat e dhënë pa lënë mbetje. Për shembull, LCM e 2 dhe 3 është 6 sepse është numri më i vogël që pjesëtohet me 2 dhe 3. Më poshtë është një shembull i gjetjes së LCM duke përdorur faktorizimin e thjeshtë:

      • Le të fillojmë me dy faktorizim të thjeshtë. Për shembull, për numrin 126, faktorizimi mund të shkruhet si 2 x 3 x 3 x 7. Numri 84 faktorizohet si 2 x 2 x 3 x 7.
      • Le të krahasojmë sa herë çdo faktor shfaqet në zgjerime. Zgjidhni listën ku shumëzuesi shfaqet numrin maksimal të herëve dhe rrethoni atë. Për shembull, numri 2 shfaqet një herë në listë për 126 dhe dy herë në listë për 84, kështu që duhet të rrethoni 2 x 2 në listën e dytë të shumëzuesve.
      • Përsëriteni këtë hap për çdo shumëzues. Për shembull, 3 ndodh më shpesh në zgjerimin e parë, kështu që duhet ta rrethoni atë 3 x 3. Numri 7 shfaqet një herë në të dyja listat, kështu që rrethoni 7 (nuk ka rëndësi se në cilën listë, nëse një shumëzues i dhënë shfaqet në të dyja listat me të njëjtin numër herë).
      • Për të gjetur LCM, shumëzoni të gjithë numrat e rrethuar. Në shembullin tonë, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 126 dhe 84 është 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Ky është numri më i vogël që pjesëtohet me 126 dhe 84 pa mbetje.

   4. Përdorni LCM për të shtuar thyesa. Kur shtoni dy thyesa, duhet t'i sillni ato në një emërues të përbashkët. Për ta bërë këtë, gjeni LCM-në e dy emëruesve. Pastaj shumëzojeni numëruesin dhe emëruesin e çdo thyese me një numër të tillë që emëruesit e thyesave të bëhen të barabartë me LCM. Pas kësaj mund të shtoni thyesat.

      • Për shembull, ju duhet të gjeni shumën 1/6 + 4/21.
      • Duke përdorur metodën e mësipërme, mund të gjeni LCM për 6 dhe 21. Është e barabartë me 42.
      • Le ta transformojmë thyesën 1/6 në mënyrë që emëruesi i saj të jetë i barabartë me 42. Për ta bërë këtë, ju duhet të pjesëtoni 42 me 6: 42 ÷ 6 = 7. Tani shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 7: 1/6 x 7/7 = 7/42.
      • Për ta sjellë thyesën e dytë në emëruesin 42, ndajeni 42 me 21: 42 ÷ 21 = 2. Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin e thyesës me 2: 4 / 21 x 2 / 2 = 8 / 42.
      • Pasi thyesat kanë të njëjtin emërues, ato mund të shtohen lehtësisht: 7/42 + 8/42 = 15/42.