Historie prvočísel. prvočíslo

Molokov Maxim

Letos jsme studovali téma „Prvočísla a složená čísla“ a zajímalo mě, kteří vědci je studují, jak získat jiná prvočísla než ta, která jsou obsažena na letáku naší učebnice (od 1 do 1000), to se stalo cílem dokončit tato práce.
úkoly:
1. Prostudujte si historii objevování prvočísel.
2. Seznamte se s moderními metodami hledání prvočísel.
3. Zjistěte, ve kterých vědních oborech se používají prvočísla.
4. Jsou mezi ruskými vědci jména těch, kteří studovali prvočísla?

Stažení:

Náhled:

Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com

Popisky snímků:

Historie prvočísel MBOU Sukhovskaja střední škola Autor: žák 6. třídy Molokov Maxim Vedoucí: učitelka matematiky Babkina L. A. p. Novosukhovy Prosinec 2013

Letos jsme studovali téma „Prvočísla a složená čísla“ a zajímalo mě, kteří vědci je studují, jak získat jiná prvočísla než ta, která jsou obsažena na letáku naší učebnice (od 1 do 1000), to se stalo cílem dokončit tato práce. Cíle: 1. Prostudovat historii objevování prvočísel. 2. Seznamte se s moderními metodami hledání prvočísel. 3. Zjistěte, ve kterých vědních oborech se používají prvočísla. 4. Jsou mezi ruskými vědci jména těch, kteří studovali prvočísla?

Každý, kdo studuje prvočísla, je fascinován a zároveň se cítí bezmocný. Definice prvočísel je tak jednoduchá a zřejmá; najít další prvočíslo je tak snadné; zohlednění primárních faktorů je taková přirozená akce. Proč prvočísla tak tvrdošíjně odolávají našim pokusům pochopit řád a vzorce jejich uspořádání? Možná v nich není vůbec žádný řád, nebo jsme tak slepí, že to nevidíme? C. Userell.

Pythagoras a jeho studenti studovali otázku dělitelnosti čísel. Číslo rovné součtu všech jeho dělitelů (bez čísla samotného) nazvali dokonalým číslem. Například čísla 6 (6 = 1 + 2 +3), 28 (28 = 1+2+4+7+14) jsou dokonalá. Následující dokonalá čísla jsou 496, 8128, 33550336.. Pythagoras (VI. století před naším letopočtem)

Pythagorejci znali pouze první tři dokonalá čísla. Čtvrtý - 8128 - se stal známým v prvním století našeho letopočtu. Pátý - 33550336 - byl nalezen v 15. století. V roce 1983 jich bylo známo již 27 perfektní čísla. Ale vědci stále nevědí, zda existují lichá dokonalá čísla, nebo zda existuje největší dokonalé číslo.

Zájem starověkých matematiků o prvočísla je dán tím, že jakékoli číslo je buď prvočíslo, nebo je lze reprezentovat jako součin prvočísel, tzn. Prvočísla jsou jako cihly, ze kterých je postaven zbytek přirozených čísel.

Pravděpodobně jste si všimli, že prvočísla v řadě přirozených čísel se vyskytují nerovnoměrně – v některých částech řady jich je více, v jiných méně. Čím dále se ale po číselné řadě pohybujeme, tím méně častá jsou prvočísla.

Nabízí se otázka: existuje poslední (největší) prvočíslo? Starořecký matematik Euklides (3. století př. n. l.) ve své knize („Prvky“), která byla hlavní učebnicí matematiky po 2000 let, dokázal, že prvočísel je nekonečně mnoho, tzn. za každým prvočíslem je větší prvočíslo Euklides (3. století př.n.l.)

Další řecký matematik Eratosthenes přišel s touto metodou hledání prvočísel. Zapsal si všechna čísla od jedničky do nějakého čísla a pak vyškrtl jedno, které není prvočíslo ani složené číslo, pak přes jedničku přeškrtal všechna čísla, která přišla za 2. číslem, násobky dvou, tzn. 4,6,8 atd.

První zbývající číslo po dvojce bylo 3. Po dvojce se pak všechna čísla po trojici (čísla násobky 3, tj. 6,9,12 atd.) přeškrtla. Nezkřížená zůstala nakonec jen prvočísla.

Vzhledem k tomu, že si Řekové dělali poznámky na voskem potažené tabulky nebo na kreslený papyrus a čísla se neškrtali, ale vypichovali jehlou, připomínala tabulka na konci výpočtů síto. Proto se Eratosthenova metoda nazývá Eratosthenovo síto: v tomto sítu jsou prvočísla „vysévána“ ze složených čísel.

Prvočísla od 2 do 60 jsou tedy 17 čísel: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. a v V současné době se sestavují tabulky prvočísel, ale s pomocí počítačů.

Euklides (3. století př. n. l.) dokázal, že mezi přirozeným číslem n a n! Musí existovat alespoň jedno prvočíslo. Tak dokázal, že přirozená řada čísel je nekonečná. V polovině 11. stol. Ruský matematik a mechanik Pafnutij Lvovič Čebyšev dokázal silnější větu než Euklides. Mezi přirozeným číslem n a číslem 2x větším než je ono, tzn. 2 n obsahuje alespoň jedno prvočíslo. To znamená, že v Euklidově větě číslo n! nahrazeno číslem 2n. Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) ruský matematik a mechanik

Vyvstává další otázka: „Pokud je tak obtížné najít další prvočíslo, kde a k čemu lze tato čísla v praxi použít? Nejběžnější použití prvočísel je v kryptografii (šifrování dat). Nejbezpečnější a nejobtížněji dešifrovatelné kryptografické metody jsou založeny na použití prvočísel s více než třemi sty číslicemi.

Závěr Problém absence vzorců v distribuci prvočísel zaměstnává mysl lidstva od dob starověcí řečtí matematici. Díky Euklidovi víme, že prvočísel je nekonečně mnoho. Erastophenes navrhl první algoritmus pro testování čísel na primálnost. Čebyšev a mnozí další slavní matematici se snažili a stále snaží vyřešit hádanku prvočísel. K dnešnímu dni bylo nalezeno a navrženo mnoho elegantních algoritmů a vzorů, ale všechny jsou použitelné pouze pro konečnou řadu prvočísel nebo prvočísel speciálního typu. Špičková věda ve studiu prvočísel v nekonečnu je považována za důkaz Riemannovy hypotézy. Je to jeden ze sedmi nevyřešených problémů tisíciletí, za jehož důkaz nebo vyvrácení nabídl Clay Mathematical Institute cenu 1 000 000 dolarů.

Internet – zdroje a literatura http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Učebnice „Matematika“ pro šestou třídu vzdělávacích institucí /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburg - M. Mněmosyně 2010/

Odbor školství a politiky mládeže administrativy

Yalčik okres Čuvašské republiky

Projekt
Prvočísla...

Je jejich příběh tak jednoduchý?

Dokončeno studentem 7. třídy městské vzdělávací instituce "Novoshimkusskaya Střední škola Yalchik District of Chuvash Republic" Marina Efimova

Vedoucí: učitel matematiky I. kategorie, Městské vzdělávací zařízení „Novoshimkus Secondary School, Yalchik District, Chuvash Republic“ Kirillová S.M.

obec Nové Shimkusy - 2007

Definování prvočísel 3
Přednosti Eulera 3
Základní věta aritmetiky 4
Mersen prvočísla 4
Fermat 5 prvočísel
Eratosthenovo síto 5
Objev P. L. Čebyševa 6
Goldbachův problém 7
I.M.Vinogradov 8
Závěr 8
Literatura 10

Definice prvočísel

Zájem o studium prvočísel vznikl mezi lidmi ve starověku. A bylo to způsobeno nejen praktickou nutností. Přitahovala je jejich mimořádná magická síla. Čísla, která lze použít k vyjádření množství libovolného předmětu. Nečekané a zároveň přirozené vlastnosti přirozených čísel objevené starověkými matematiky je překvapily svou pozoruhodnou krásou a inspirovaly nový výzkum.

Muselo být jednou z prvních vlastností čísel objevených člověkem, že některá z nich mohla být rozložena do dvou nebo více faktorů, např.

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, zatímco ostatní, například 3, 7, 13, 37, nelze tímto způsobem rozšířit.

Když číslo c = Ab je součin dvou čísel A a b , pak čísla ab jsou nazývány multiplikátory nebo děličečísla s. Každé číslo může být reprezentováno jako součin dvou faktorů. Například s = 1*c = c*1.

Jednoduchý je číslo, které je dělitelné pouze sebou samým a jedničkou.

Jednotka, která má pouze jednoho dělitele, není prvočíslo. Neplatí ani pro složená čísla. Jednotka zaujímá v číselné řadě zvláštní postavení. Pythagorejci učili, že člověk je matkou všech čísel, duchem, ze kterého všechny věci pocházejí. viditelný svět, ona je rozum, dobrota, harmonie.

Na Kazaňské univerzitě se profesoru Nikolskému s pomocí jednotky podařilo prokázat existenci Boha. Řekl: "Stejně jako nemůže existovat číslo bez jednoho, tak vesmír nemůže existovat bez jediného Pána."

Jeden je skutečně číslo s jedinečnými vlastnostmi: je dělitelné jen samo sebou, ale každé jiné číslo je jím dělitelné beze zbytku, jakýkoli jeho stupeň se rovná stejnému číslu – jedničce!

Po jejím vydělení se nezmění ani jedno číslo, a pokud libovolné číslo vydělíte samo, dostanete opět jedničku! Není to překvapivé? Po přemýšlení o tom Euler řekl: "Je třeba vyloučit jednotku z posloupnosti prvočísel; není ani prvočíslo, ani složené."

To již bylo zásadní uspořádání v temné a složité otázce prvočísel.

Eulerovy zásluhy

Leonard Euler

(1707-1783)

U Eulera studovali všichni – jak v západní Evropě, tak v Rusku. Rozsah jeho kreativity je široký: diferenciální a integrální počet, algebra, mechanika, dioptrie, dělostřelectvo, námořní věda, teorie planetárního a lunárního pohybu, hudební teorie - nemůžete vyjmenovat všechno. V celé této vědecké mozaice je teorie čísel. Euler tomu věnoval mnoho úsilí a hodně dosáhl. Stejně jako mnoho jeho předchůdců hledal kouzelná formule, což by umožnilo vybrat prvočísla z nekonečné množiny čísel přírodní série, tedy ze všech čísel, která si lze představit. Euler napsal více než sto prací o teorii čísel.

...Je např. prokázáno, že počet prvočísel je neomezený, to znamená: 1) neexistuje největší prvočíslo; 2) neexistuje žádné poslední prvočíslo, po kterém by byla všechna čísla složená. První důkaz tohoto postoje patří vědcům Starověké Řecko(V-III století před naším letopočtem), druhý důkaz je Euler (1708-1783).

Základní věta aritmetiky

Všelijaké věci přirozené číslo, odlišný od 1, je buď prvočíslo, nebo může být reprezentován jako součin prvočísel, a to jednoznačně, pokud nedáváte pozor na pořadí faktorů.

Důkaz. Vezměme si přirozené číslo n≠ 1. Je-li n prvočíslo, pak je to případ zmíněný v závěru věty. Nyní předpokládejme, že n je složené. Poté je reprezentován jako produkt n = ab, kde přirozená čísla a a b jsou menší než n. Opět platí, že buď a a b jsou jednoduché, pak je vše dokázáno, nebo alespoň jeden z nich je složený, tedy složený z menších činitelů a tak dále; nakonec dostaneme prvočíselný rozklad.

Není-li číslo n dělitelné žádným prvočíslem nepřesahujícím√n, pak je to jednoduché.

Důkaz. Předpokládejme opak, nechť n je složené a P = ab, kde 1 ≤b a p je prvočíselný dělitel čísla A, proto čísla n. Podle stavu P není dělitelné žádným prvočíslem nepřesahujícím √ n. Proto, р >√n. Ale pak a >√n A √ n ≤ A≤ b ,

kde n = ab = √ n√ n = P; došlo k rozporu, předpoklad byl nesprávný, věta byla prokázána.

Příklad 1. Li c = 91 pak √ с = 9, ... zkontrolujte prvočísla 2, 3, 5, 7. Zjistíme, že 91 = 7 13.

Příklad 2 Pokud c = 1973, pak najdeme √ C = √ 1973 =44, ...

protože předtím žádné prvočíslo 43 nedělí s, pak je toto číslo prvočíslo.

Příklad 3 Najděte prvočíslo následující za prvočíslem 1973. Odpovědět: 1979.

Mersen připraví

Po několik století probíhala honba za prvočísly. Mnoho matematiků soutěžilo o čest objevitele největšího známého prvočísla.

Mersenova prvočísla jsou prvočísla speciálního tvaru M p = 2 p - 1

Kde R - další prvočíslo.

Tato čísla jsou součástí matematiky již dlouhou dobu, objevují se v euklidovských úvahách o moderní čísla. Své jméno dostali na počest francouzského mnicha Merenne Mersen (1589-1648), který dlouho pracoval na problému moderních čísel.

Pokud spočítáme čísla pomocí tohoto vzorce, dostaneme:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – prvočíslo;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – jednoduché;

M 5 = 2 5 – 1 = 31 – jednoduché;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – jednoduché;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Obecným způsobem, jak najít velká Mersenova prvočísla, je otestovat všechna čísla Mp na různá prvočísla R.

Tato čísla se velmi rychle zvyšují a stejně rychle rostou i náklady na práci na jejich nalezení.

Při studiu Mersenových čísel lze rozlišit ranou fázi, která kulminuje v roce 1750, kdy Euler zjistil, že číslo M 31 je prvočíslo. Do té doby bylo nalezeno osm Mersenových prvočísel: „r

R= 2, r= 3, r = 5 , р = 7, р= 13, p = 17, p = 19, R =31.

Eulerovo číslo M 31 zůstalo po více než sto let největším známým prvočíslem.

V roce 1876 francouzský matematik Lucas zjistil, že obrovské číslo M 127 má 39 číslic. 12 Mersenových prvočísel bylo vypočteno pouze pomocí tužky a papíru a další byly vypočteny pomocí mechanických stolních sčítacích strojů.

Příchod elektricky poháněných počítačů umožnil pokračovat v pátrání a přivedl jej k R = 257.

Výsledky však byly zklamáním a žádná nová Mersenova prvočísla mezi nimi nebyla.

Poté byl úkol přenesen do počítače.

Největší aktuálně známé prvočíslo má 3376 číslic. Toto číslo bylo nalezeno na počítači na University of Illinois (USA). Matematická katedra této univerzity byla na svůj úspěch tak hrdá, že toto číslo zobrazila na poštovním razítku, a tak ho reprodukovala na každém dopise, který poslali, aby jej všichni viděli.

Fermat připraví

Existuje další typ prvočísel s dlouhou a zajímavou historií. Poprvé je představil francouzský právník Pierre Fermat (1601-1665), který se proslavil svými vynikajícími matematickými pracemi.

Pierre Fermat (1601-1665)
První Fermatova prvočísla byla čísla, která splňovala vzorec F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F1 =
+ 1 = 5;

F2 =
+ 1 = 17;

F3 =
+ 1 = 257;

F4 =
+ 1 = 65537.

Tento předpoklad byl však poslán do archivu neopodstatněných matematických hypotéz, ale poté, co Leonhard Euler udělal ještě jeden krok dále a ukázal, že další Fermatovo číslo F 5 = 641 6 700 417 je složený.

Je možné, že by historie Fermatových čísel byla završena, kdyby se Fermatova čísla neobjevila v úplně jiném problému – sestrojování pravidelných mnohoúhelníků pomocí kružítka a pravítka.

Nebylo však nalezeno jediné Fermatovo prvočíslo a mnozí matematici se dnes přiklánějí k názoru, že již neexistují.
Eratosthenovo síto

Existují tabulky prvočísel, které se rozšiřují na velmi velká čísla. Jak přistupovat k sestavení takové tabulky? Tento problém byl v jistém smyslu vyřešen (asi 200 př. n. l.) Eratosthenem, matematikem z Alexandrie. -

Jeho schéma je následující. Napišme posloupnost všech celých čísel od 1 do čísla, kterým chceme tabulku ukončit.

Začneme prvočíslem 2. Vyhodíme každé druhé číslo. Začněme 2 (kromě samotného čísla 2), tedy sudá čísla: 4, 6, 8, 10 atd., každé z nich podtrhněte.

Po této operaci bude první nepodtržené číslo 3. Je prvočíslo, protože není dělitelné 2. Necháme-li číslo 3 nepodtržené, podtrhneme každé třetí číslo za ním, tedy čísla 6, 9, 12 , 15... Některé z nich již byly podtrženy, protože jsou sudé. V dalším kroku bude prvním nepodtrženým číslem číslo 5; je to jednoduché, protože není dělitelné ani 2, ani 3. Číslo 5 necháme nepodtržené, ale podtrhneme každé páté číslo za ním, tedy čísla 10, 15, 20... Stejně jako dříve se ukázalo, že být podtržen . Nyní bude nejmenším nepřízvučným číslem číslo 7. Je prvočíslo, protože není dělitelné žádným ze svých menších prvočísel 2, 3, 5. Opakováním tohoto procesu nakonec dostaneme posloupnost nepřízvučných čísel; všechny (kromě čísla 1) jsou prvočísla. Tato metoda prosévání čísel je známá jako „Eratosthenovo síto“. Podle tohoto principu je vytvořena jakákoli tabulka prvočísel.

Eratosthenes vytvořil tabulku prvočísel od 1 do 120 před více než 2000 lety. Psal na papyrus natažený přes rám nebo na voskovou tabulku a neškrtal jako my, ale propichoval složená čísla. Výsledkem bylo něco jako síto, přes které byla složená čísla „proseta“. Proto se tabulka prvočísel nazývá „Eratosthenovo síto“.

Kolik je prvočísel? Existuje poslední prvočíslo, tedy takové, po kterém budou všechna čísla složená? Pokud takové číslo existuje, jak ho najít? Všechny tyto otázky zajímaly vědce již od starověku, ale odpověď na ně nebylo tak snadné najít.

Eratosthenes byl velmi vtipný muž. Tento současník a přítel Archiméda, se kterým si neustále dopisoval, byl matematik, astronom a mechanik, což bylo pro tehdejší velikány považováno za přirozené. Jako první změřil průměr zeměkoule, aniž by opustil alexandrijskou knihovnu, kde pracoval. Přesnost jeho měření byla úžasně vysoká, dokonce vyšší, než s jakou měřil Archimedes Zemi.

Eratosthenes vynalezl důmyslné zařízení - mesolabit, s s jehož pomocí mechanicky vyřešil známý problém zdvojení krychle, na který byl velmi hrdý, a proto dal pokyn k vyobrazení tohoto zařízení na sloupu v Alexandrii. Navíc opravil egyptský kalendář přidáním jednoho dne ke čtyřem rokům - v přestupném roce.

Eratosthenovo síto - to je primitivní a zároveň důmyslný vynález, který Eukleida ani nenapadl - naznačuje známou myšlenku, že vše důmyslné je jednoduché.

Eratosthenovo síto fungovalo dobře pro badatele zdaleka ne prvočísla. Čas vypršel. Hledaly se způsoby, jak chytit prvočísla. Jakási konkurence začala nacházet největší prvočíslo od starověku po Čebyšev a dokonce až do současnosti.
Objev P.L. Čebyševová

A Počet prvočísel je tedy nekonečný. Již jsme viděli, že prvočísla jsou uspořádána bez jakéhokoli pořadí. Pojďme se na to podívat podrobněji.

2 a 3 jsou prvočísla. Toto je jediná dvojice prvočísel, která spolu sousedí.

Pak přijdou 3 a 5, 5 a 7, 11 a 13, 17 a 19 atd. Jedná se o tzv. sousední prvočísla neboli dvojčata. Existuje mnoho dvojčat: 29 a 31, 41 a 43, 59 a 61, 71 a 73, 101 a 103, 827 a 829 atd. Největší známý pár dvojčat je nyní: 10016957 a 10 016 959.

Panfutiy Lvovič Čebyšev

Jak jsou distribuována prvočísla v přirozené řadě, ve které není jediné prvočíslo? Platí v jejich distribuci nějaký zákon nebo ne?

Pokud ano, který? Jak to najít? Ale odpověď na tyto otázky nebyla nalezena více než 2000 let.

První a velmi velký krok v řešení těchto problémů učinil velký ruský vědec Panfuty Lvovič Čebyšev. V roce 1850 dokázal, že mezi libovolným přirozeným číslem (nerovno 1) a číslem dvakrát jeho velikosti (tj. mezi n a 2n) existuje alespoň jedno prvočíslo.
Pojďme si to ověřit na jednoduchých příkladech. Vezměme několik libovolných hodnot n pro n . a podle toho najděte hodnotu 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Vidíme, že pro uvažované příklady platí Čebyševova věta.

Čebyšev to dokázal pro jakýkoli případ, pro jakékoli n. Pro tuto větu byl nazýván vítězem prvočísel. Zákon rozdělení prvočísel objevený Chebyshevem byl skutečně základním zákonem v teorii čísel po Eukleidově objeveném zákoně o nekonečnosti počtu prvočísel.

Snad nejlaskavější a nejnadšenější odezva na Čebyševův objev přišla z Anglie od slavného matematika Sylvestera: „...Další úspěchy v teorii prvočísel lze očekávat, když se narodí někdo, kdo Čebyševovi převyšuje nadhled a přemýšlivost jako Čebyšev je lepší než tyto vlastnosti obyčejných lidí."

O více než půl století později německý matematik E. Landau, významný specialista na teorii čísel, k tomuto tvrzení přidal toto: „Jako první po Euklidovi se Čebyšev vydal správnou cestou při řešení problému prvočísel a dosáhl důležitých výsledků. .“
Goldbachův problém

Zapišme si všechna prvočísla od 1 do 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Nyní zkusme libovolné číslo od 4 do 50 reprezentovat to jako součet dvou nebo tří prvočísel. Vezměme si namátkou několik čísel:

Jak vidíte, úkol jsme splnili bez potíží. Je to vždy možné? Lze libovolné číslo vyjádřit jako součet několika prvočísel? A pokud ano, kolik: dva? tři? deset?

V roce 1742 Goldbach, člen Petrohradské akademie věd, v dopise Eulerovi navrhl, že každé kladné celé číslo větší než pět je součtem nejvýše tří prvočísel.

Goldbach testoval spoustu čísel a nikdy se nesetkal s číslem, které by se nedalo rozložit na součet dvou nebo tří jednoduchých členů. Zda to tak bude vždy, ale neprokázal. Vědci se již dlouhou dobu zabývají tímto problémem, který se nazývá „Goldbachův problém“ a je formulován následovně.

Musíte potvrdit nebo vyvrátit návrh:

Jakékoli číslo větší než jedna je součtem nejvýše tří prvočísel.

Téměř 200 let se vynikající vědci pokoušeli vyřešit problém Goldbach-Euler, ale neúspěšně. Mnozí dospěli k závěru, že je nemožné to vyřešit.

Ale jeho řešení, téměř úplně, našel v roce 1937 sovětský matematik I.M. Vinogradov.

JIM. Vinogradov

Ivan Matveevich Vinogradov je jedním z největších moderních matematiků. Narodil se 14. září 1891 v obci Milolub v provincii Pskov. V roce 1914 promoval na Petrohradské univerzitě a byl ponechán na přípravu na profesuru.

Jeho první vědecká práce I.M. Vinogradov napsal v roce 1915. Od té doby napsal více než 120 různých vědeckých prací. Vyřešil v nich mnoho problémů, kterými se vědci po celém světě zabývali desítky a stovky let.

Ivan Matveevič Vinogradov
Za zásluhy v oblasti matematiky I.M. Vinogradov je uznáván všemi vědci světa jako jeden z prvních matematiků naší doby a byl zvolen do počtu členů mnoha akademií po celém světě.

Jsme hrdí na našeho úžasného krajana.

Závěr.
Ze třídy do vesmíru

Začněme náš rozhovor o prvočíslech fascinujícím příběhem o imaginární cestě ze třídy do vesmíru. Tuto pomyslnou cestu vymyslel slavný sovětský učitel matematiky profesor Ivan Kozmich Andronov (nar. 1894). „...a) v duchu vezměte rovný drát vycházející ze třídy do světového prostoru, propíchněte zemskou atmosféru, jděte tam, kde se Měsíc otáčí, a pak za ohnivou kouli Slunce a dále do nekonečna světa;

b) mentálně zavěsit žárovky na drát každý metr a očíslovat je od nejbližšího: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;

c) v duchu zapněte proud tak, aby se rozsvítily všechny žárovky s prvočísly a jen ty s prvočísly; : .

d) mentálně létat blízko drátu.

Před námi se objeví následující obrázek.

1. Žárovka číslo 1 nesvítí. Proč? Protože jednička není prvočíslo.

2. Další dvě žárovky očíslované 2 a 3 svítí, protože 2 a 3 jsou obě prvočísla. Mohou se v budoucnu setkat dvě sousední hořící žárovky? Ne, nemohou. Proč? Každé prvočíslo kromě dvou je liché číslo a čísla sousedící s prvočíslem na obou stranách budou sudá čísla a každé sudé číslo jiné než dvě je složené číslo, protože je dělitelné dvěma.

3. Dále pozorujeme propalování dvojice žárovek přes jednu žárovku s čísly 3 a 5, 5 a 7 atd. Je jasné, proč hoří: jedná se o dvojčata. Všimli jsme si, že v budoucnu se vyskytují méně často; všechny dvojice dvojčat mají stejně jako dvojice prvočísel tvar 6n ± 1; Například

6*3 ± 1 se rovná 19 a 17

nebo 6*5 ± 1 se rovná 31 a 29, ...;

ale 6*20 ± 1 se rovná 121 a 119 - tato dvojice není dvojče, protože existuje dvojice složených čísel.

Dostáváme se k páru dvojčat 10 016 957 a 10 016 959. Budou další páry dvojčat? Moderní věda zatím nedává odpověď: není známo, zda existuje konečná nebo nekonečná množina párů dvojčat.

4. Pak ale začne fungovat zákon velké mezery, vyplněné pouze složenými čísly: létáme ve tmě, díváme se zpět – tma a dopředu není vidět žádné světlo. Pamatujeme si vlastnost objevenou Euklidem a odvážně postupujeme vpřed, protože před námi by měly být svítivé žárovky a před námi by jich mělo být nekonečné množství.

5. Když jsme vletěli na místo v přirozené řadě, kde již několik let našeho pohybu uplynulo ve tmě, pamatujeme si vlastnost prokázanou Čebyševem a uklidňujeme se, přesvědčeni, že v žádném případě nepotřebujeme létat déle než letěli jsme, abychom viděli alespoň jednu svítící žárovku."
Literatura
1. Velký mistr indukce, Leonhard Euler.

2. Za stránkami učebnice matematiky.

3. Prudnikov N.I. P.L. Čebyšev.

4. Srbský I.A. Co víme a nevíme o prvočíslech.

5. Nakladatelství „První září“. Matematika č. 13, 2002

6. Nakladatelství „První září“. Matematika č. 4, 2006

Fakta o číslech. Jsou to prvočísla a mnoho dalších. Některá čísla, jako je Pi a řada dalších, jsme zahrnuli do samostatných materiálů. Proto vám doporučujeme, abyste si je také přečetli. Zde je několik zábavná fakta o číslech, která vás pravděpodobně bude zajímat.

Fakta o záporných číslech

Záporná čísla v dnešní době znají mnozí, ale ne vždy tomu tak bylo. Záporná čísla byla poprvé použita v Číně ve 3. století, ale byla povolena pouze ve výjimečných případech, protože byla považována za nesmysl. O něco později se v Indii k označení dluhů začala používat záporná čísla.

Tak v díle „Matematika“ v devíti knihách, vydané v roce 179 n.l. př. nl, během dynastie Han a komentovaný v roce 263 Liu Hui, čínský systém počítání tyčinek používal černé tyče pro záporná čísla a červené pro kladná čísla. Liu Hui také používal šikmé počítací tyčinky k označení záporných čísel.

Znak „-“, který se nyní používá k označení záporných čísel, byl poprvé spatřen ve starověkém rukopisu Bakhshali v Indii, ale mezi učenci neexistuje shoda ohledně toho, kdy byl složen, s nesouhlasem v rozmezí let 200 až 600 našeho letopočtu. E.

Záporná čísla byla známa již v Indii v roce 630 našeho letopočtu. e.. Používal je matematik Brahmagupta (598-668).

Záporná čísla byla poprvé použita v Evropě kolem roku 275 našeho letopočtu. př. n. l. Zavedl je do užívání řecký matematik Diophantus Alexandrijský, ale na Západě byly považovány za absurdní až do vydání knihy „Ars Magna“ („Velké umění“), kterou v roce 1545 napsal italský matematik Girolamo Cardano (1501). -1576).

Fakta o prvočíslech

Čísla 2 a 5 jsou jediná v řadě prvočísel, která končí na 2 a 5.

Další fakta o číslech

Číslo 18 je jediné číslo (kromě 0), jehož součet číslic je 2krát menší než on sám.

2520 je nejmenší číslo, které lze beze zbytku dělit všemi čísly od 1 do 10.

Číslo „pět“ se v thajštině vyslovuje „ha“. Proto číslo složené ze tří pětek – 555, bude vyslovováno jako slangová fráze označující lidský smích – „Ha, ha, ha“.

Všichni víme, že existují palindromická slova. Tedy takové, které lze číst zleva doprava a zprava doleva a jejich význam se nemění. Existují však také palindromická čísla (palindromony). Představují zrcadlové číslo, které bude načteno a bude mít stejnou hodnotu v obou směrech, například 1234321.

Slovo Googol (původ značky Google) představuje číslo 1 následované 100 nulami.

Jediné číslo, které nelze zapsat římskými číslicemi, je „nula“. Také v moderní matematice má nula ve svém výkladu některé zvláštnosti. V ruské matematice tedy není klasifikována jako řada přirozených čísel, ale v zahraniční vědě ano.

Městská vzdělávací instituce "Chastoozersk střední škola"

Výzkumná práce na téma:

"Čísla vládnou světu!"

Práce dokončena:

žák 6. třídy.

Dozorce: ,

učitel matematiky.

S. Chastoozerye.

I. Úvod. -3 stránky

II. Hlavní část. -4 stránky

· Matematika u starých Řeků. - 4 stránky

· Pythagoras ze Samosu. -6 stran

· Pythagoras a čísla. -8pp.

2. Čísla jsou jednoduchá a složená. -10 str.

3. Goldbachův problém. -12pp.

4. Znaky dělitelnosti. -13 str.

5. Kuriózní vlastnosti přirozených čísel.-15pp.

6. Číselné triky. -18pp.

III. Závěr. -22pp.

IV. Bibliografie. -23pp.

I. Úvod.

Relevantnost:

Při studiu tématu „Dělitelnost čísel“ v hodinách matematiky učitel navrhl připravit zprávu o historii objevu prvočísel a složených čísel. Při přípravě zprávy mě zaujala slova Pythagora „Čísla vládnou světu!“

Objevily se otázky:

· Kdy vznikla věda o číslech?

· Kdo přispěl k rozvoji vědy o číslech?

· Význam čísel v matematice?

Rozhodl jsem se materiál o číslech a jejich vlastnostech podrobně prostudovat a shrnout.

Účel studia: studovat prvočísla a složená čísla a ukázat jejich roli v matematice.

Předmět studia: prvočísla a složená čísla.

Hypotéza: Pokud, slovy Pythagora, „Čísla vládnou světu,

jaká je pak jejich role v matematice.

Cíle výzkumu:

I. Shromážděte a shrňte všechny druhy informací o prvočíslech a složených číslech.

II. Ukaž význam čísel v matematice.

III. Ukažte zajímavé vlastnosti přirozených čísel.

Metody výzkumu:

· Teoretický rozbor literatury.

· Způsob systematizace a zpracování dat.

II. Hlavní část.

1. Historie vzniku nauky o číslech.

· Matematika u starých Řeků.

V Egyptě i Babylonu se čísla využívala hlavně k řešení praktických problémů.

Situace se změnila, když Řekové začali s matematikou. V jejich rukou se matematika změnila z řemesla na vědu.

Řecké kmeny se začaly usazovat na severním a východním pobřeží Středozemního moře asi před čtyřmi tisíci lety.

Většina Řeků se usadila na Balkánském poloostrově – kde je nyní stát Řecko. Zbytek se usadil na ostrovech Středozemního moře a podél pobřeží Malé Asie.

Řekové byli vynikající námořníci. Jejich lehké lodě s ostrými nosy brázdily Středozemní moře všemi směry. Přivezli nádobí a šperky z Babylonu, bronzové zbraně z Egypta, zvířecí kůže a chléb z břehů Černého moře. A samozřejmě, stejně jako jiné národy, lodě přivážely do Řecka znalosti spolu se zbožím. Ale Řekové nejsou spravedliví

naučený od jiných národů. Velmi brzy předběhli své učitele.

Řečtí mistři stavěli paláce a chrámy úžasné krásy, které později sloužily jako vzor architektům všech zemí po tisíce let.

Řečtí sochaři vytvořili nádherné sochy z mramoru. A nejen „skutečná“ matematika začala u řeckých vědců, ale také mnoho dalších věd, které ve škole studujeme.

Víte, proč byli Řekové v matematice před všemi ostatními národy? Protože se uměli hádat.

Jak může debata pomoci vědě?

Ve starověku se Řecko skládalo z mnoha malých států. Téměř každé město s okolními vesnicemi bylo samostatným státem. Pokaždé, když bylo třeba vyřešit nějakou důležitou státní otázku, sešli se měšťané na náměstí a diskutovali o ní. Dohadovali se, jak to udělat lépe, a pak hlasovali. Je vidět, že byli dobrými diskutéry: na takových schůzkách museli své odpůrce vyvracet, zdůvodňovat a dokazovat, že mají pravdu. Staří Řekové věřili, že argument pomáhá najít to nejlepší. Nejvíc správné řešení. Dokonce přišli s následujícím výrokem: „Pravda se rodí ve sporu.

A ve vědě začali Řekové dělat totéž. Jako na lidovém setkání. Nejen, že se učili nazpaměť pravidla, ale hledali důvody: proč je správné to dělat takto a ne jinak. Řečtí matematici se snažili vysvětlit každé pravidlo a dokázat, že to není pravda. Hádali se mezi sebou. Uvažovali a snažili se najít chyby v odůvodnění.

Dokážou jedno pravidlo – uvažování vede k jinému, složitějšímu, pak ke třetímu, ke čtvrtému. Zákony byly vytvořeny z pravidel. A vědou o zákonech je matematika.

Sotva se zrodila, řecká matematika se okamžitě pohnula kupředu mílovými kroky. Pomohly jí nádherné vycházkové boty, které dříve jiné národy neměly. Říkalo se jim „uvažování“ a „důkaz“.

· Pythagoras ze Samosu.

První, kdo o číslech mluvil, byl Řek Pythagoras, který se narodil na ostrově Samos v 6. století našeho letopočtu.

Proto se mu často říká Pythagoras ze Samosu. Řekové o tomto myslitelovi vyprávěli mnoho legend.

Pythagoras brzy projevil nadání pro vědu a otec Mnesarchos ho vzal do Sýrie, do Týru, aby ho tam mohli učit chaldejští mudrci. Dozvídá se o tajemstvích egyptských kněží. Pythagoras, zapálený touhou vstoupit do jejich kruhu a stát se zasvěcencem, se začíná připravovat na cestu do Egypta. Stráví rok ve Fénicii, ve škole kněží. Poté navštíví Egypt, Heliopolis. Ale místní kněží byli nepřátelští.

Pythagoras, který prokázal vytrvalost a prošel extrémně náročnými vstupními testy, dosáhne svého cíle - je přijat do kasty.Strávil 21 let v Egyptě, dokonale studoval všechny druhy egyptského písma a četl mnoho papyrů. Fakta známá Egypťanům v matematice ho vedou k jeho vlastním matematickým objevům.

Mudrc řekl: „Na světě jsou věci, o které se musíš snažit. Je to za prvé krásné a slavné, za druhé užitečné pro život, za třetí přináší potěšení. Požitek je však dvojího druhu: jeden, který uspokojuje naši žravost přepychem, je katastrofální; druhý je spravedlivý a nezbytný pro život."

Čísla zaujímala ústřední místo ve filozofii studentů a přívrženců Pythagora:

« Kde není číslo a míra, tam je chaos a chiméry,“

"Nejmoudřejší je číslo"

"Čísla vládnou světu."

Mnozí proto považují Pythagora za otce číslování - komplexní vědu zahalenou tajemstvím, popisující události v ní, odhalující minulost a budoucnost, předpovídající osudy lidí.

· Pythagoras a čísla.

Staří Řekové a s nimi Pythagoras a Pythagorejci mysleli na čísla viditelně ve formě oblázků rozložených na písku nebo na počítací desce – počítadle.

Počty oblázků byly uspořádány ve formě pravidelných geometrické tvary, byla tato čísla klasifikována a takto vznikla čísla, která se dnes nazývají figurovaná čísla: lineární čísla (tj. prvočísla) - čísla, která jsou dělitelná jednou a sama sebou, a proto je lze znázornit jako posloupnost bodů seřazených v přímce.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

pevná čísla vyjádřená součinem tří faktorů

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

čtvercová čísla:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

A. atd. Právě z obrazných čísel vychází výraz „ Čtverec nebo krychle číslo».

Pythagoras se neomezoval na ploché postavy. Od bodů začal sčítat jehlany, krychle a jiná tělesa a zkoumat pyramidová, krychlová a jiná čísla (viz obr. 1). Mimochodem, jméno kostka čísel Používáme to dodnes.

Ale Pythagoras nebyl spokojen s čísly získanými z různých čísel. Koneckonců hlásal, že čísla vládnou světu. Proto musel přijít na to, jak pomocí čísel zobrazit pojmy jako spravedlnost, dokonalost a přátelství.

Pro zobrazení dokonalosti začal Pythagoras pracovat na dělitelích čísel (vzal si dělitele 1, ale nevzal si samotné číslo). Sečetl všechny dělitele čísla, a pokud byl součet menší než číslo, byl prohlášen za nedostatečný, a pokud více, za nadměrný. A teprve když se součet přesně rovnal číslu, byl prohlášen za perfektní. Přátelská čísla byla znázorněna podobným způsobem - dvě čísla se nazývala přátelská, pokud se každé z nich rovnalo součtu dělitelů druhého čísla. Například číslo 6 (6=1+2+3) je dokonalé, číslo 28 (1+2+4+7+17) je dokonalé. Další dokonalá čísla jsou 496, 8128, .

2. Čísla jsou jednoduchá a složená.

Moderní matematika vzpomíná na přátelská či dokonalá čísla s úsměvem jako na dětský koníček.

A koncepty prvočísel a složených čísel zavedené Pythagorem jsou stále předmětem seriózního výzkumu, za který matematici dostávají vysoká vědecká ocenění.

Ze zkušenosti s výpočty lidé věděli, že každé číslo je buď prvočíslo, nebo součin několika prvočísel. Ale nevěděli, jak to dokázat. Pythagoras nebo jeden z jeho následovníků našel důkaz tohoto tvrzení.

Nyní je snadné vysvětlit roli prvočísel v matematice: jsou to stavební kameny, ze kterých se pomocí násobení staví další čísla.

Objev vzorů v řadě čísel je pro matematiky velmi příjemnou událostí: koneckonců lze tyto vzorce použít k vytváření hypotéz, k testování důkazů a vzorců. Jednou z vlastností prvočísel, která zajímá matematiky, je, že se odmítají podřídit jakémukoli vzoru.

Jediný způsob, jak určit, zda je číslo 100 895 598 169 prvočíslo, je použít poměrně pracné „Eratosthenovo síto“.

Tabulka ukazuje jednu z možností pro toto síto.

V této tabulce jsou zakroužkována všechna prvočísla menší než 48. Vyskytují se takto: 1 má jediného dělitele - sama sebe, proto 1 není považována za prvočíslo. 2 je nejmenší (a jediné sudé) prvočíslo. Všechna ostatní sudá čísla jsou dělitelná 2, což znamená, že mají alespoň tři dělitele; proto nejsou jednoduché a lze je přeškrtnout. Další nezaškrtnuté číslo je 3; má právě dva dělitele, je tedy prvočíslo. Všechna ostatní čísla, která jsou násobky tří (tedy ta, která lze beze zbytku dělit 3), se přeškrtnou. Nyní je první nepřeškrtnuté číslo 5; je jednoduchý a všechny jeho násobky lze přeškrtnout.

Pokračováním ve škrtání násobků můžete odstranit všechna prvočísla menší než 48.

3. Goldbachův problém.

Z prvočísel lze násobením získat libovolné číslo. Co se stane, když přidáte prvočísla?

Matematik Goldbach, který žil v 18. století v Rusku, se rozhodl sčítat lichá prvočísla pouze ve dvojicích. Objevil úžasnou věc: pokaždé, když si dokázal představit sudé číslo jako součet dvou prvočísel. (stejně jako v Goldbachově době považujeme 1 za prvočíslo).

4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5 atd.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Goldbach napsal o svém pozorování velkému matematikovi

století Leonhardu Eulerovi, který byl členem Petrohradské akademie věd. Po testování mnohem více sudých čísel byl Euler přesvědčen, že všechna jsou součtem dvou prvočísel. Ale sudých čísel je nekonečně mnoho. Proto Eulerovy výpočty dávaly jen naději, že všechna čísla mají vlastnost, které si všiml Goldbach. Pokusy dokázat, že tomu tak bude vždy, však nikam nevedly.

Matematici se nad Goldbachovým problémem zamýšleli dvě stě let. A pouze ruskému vědci Ivanu Matveevičovi Vinogradovovi se podařilo učinit rozhodující krok. Zjistil, že každé dostatečně velké přirozené číslo je

součet tří prvočísel. Ale číslo, z něhož je Vinogradovovo prohlášení pravdivé, je nepředstavitelně velké.

4. Znaky dělitelnosti.

489566: 11 = ?

Abych zjistil, jaké to je dané číslo– jednoduché nebo složené, nemusíte se vždy dívat do tabulky prvočísel. Často k tomu stačí použít znaky dělitelnosti.

· Test dělitelnosti 2.

Pokud přirozené číslo končí sudou číslicí, pak je číslo sudé a je beze zbytku dělitelné 2.

· Test dělitelnosti 3.

Pokud je součet číslic čísla dělitelný 3, pak je číslo dělitelné 3.

· Test dělitelnosti 4.

Přirozené číslo obsahující alespoň tři číslice je dělitelné čtyřmi, pokud je číslo tvořené posledními dvěma číslicemi tohoto čísla dělitelné čtyřmi.

· Test dělitelnosti 5.

Pokud přirozené číslo končí 0 nebo 5, pak je toto číslo dělitelné 5 beze zbytku.

· Otestujte dělitelnost 7 (13).

Přirozené číslo je dělitelné 7 (13), je-li algebraický součet čísel tvořících plošky tří číslic (počínaje číslicí jednotky), braný se znaménkem „+“ pro lichá místa a se znaménkem „mínus“ pro sudé. obličeje, je děleno, skládáme algebraický součet ploch, počínaje poslední plochou a střídavě znaménka + a -: + 254 = 679. Číslo 679 je dělitelné 7, což znamená, že toto číslo je také dělitelné 7 .

· Test dělitelnosti 8.

Přirozené číslo obsahující alespoň čtyři číslice je dělitelné osmi, pokud je číslo tvořené posledními třemi číslicemi dělitelné osmi.

· Test dělitelnosti 9.

Pokud je součet číslic čísla dělitelný 9, pak samotné číslo je dělitelné 9.

· Test dělitelnosti 10.

Pokud přirozené číslo končí nulou, pak je dělitelné 10.

· Test dělitelnosti 11.

Přirozené číslo je dělitelné 11, pokud je algebraický součet jeho číslic braný se znaménkem plus, pokud jsou číslice na lichých místech (počínaje číslicí jedniček), a se znaménkem mínus, pokud jsou číslice na sudých místech, je dělitelné, 7 – 1 + 5 = 11, dělitelné 11).

· Test dělitelnosti 25.

Přirozené číslo obsahující alespoň tři číslice je dělitelné 25, pokud je číslo tvořené posledními dvěma číslicemi tohoto čísla dělitelné 25.

· Test dělitelnosti 125.

Přirozené číslo obsahující alespoň čtyři čísla je dělitelné 125, pokud je číslo tvořené posledními třemi číslicemi tohoto čísla dělitelné 125.

5. Zajímavé vlastnosti přirozených čísel.

Přirozená čísla mají mnoho zajímavých vlastností, které se odhalí, když se s nimi provádějí aritmetické operace. Ale stále je jednodušší si těchto vlastností všimnout, než je dokázat. Pojďme si představit několik takových vlastností.

1) Vezměme náhodně nějaké přirozené číslo, například 6, a zapišme všechny jeho dělitele: 1, 2, 3,6. Pro každé z těchto čísel zapište, kolik má dělitelů. Protože 1 má pouze jednoho dělitele (samotné číslo), 2 a 3 mají každý dva dělitele a 6 má 4 dělitele, dostaneme čísla 1, 2, 2, 4. Mají pozoruhodnou vlastnost: pokud tato čísla zvýšíte na kostku a sečtete odpovědi, dostanete přesně stejnou částku, jakou bychom dostali, kdybychom nejprve sečetli tato čísla a pak srovnali součet na druhou, jinými slovy,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Výpočty ukazují, že jak vlevo, tak vpravo je odpověď stejná, konkrétně 324.

Ať vezmeme jakékoli číslo, vlastnost, které jsme si všimli, bude splněna. Ale dokázat to je docela těžké.

2) . Vezměme libovolné čtyřmístné číslo, například 2519, a uspořádejme jeho číslice nejprve sestupně a poté vzestupně: a Od více odečtěte menší: =8262. Udělejme totéž s výsledným číslem: 86=6354. A ještě jeden podobný krok: 65 = 3087. Dále = 8352, = 6174. Už vás nebaví odečítat? Udělejme ještě jeden krok: =6174. Opět se ukázalo, že je 6174.

Nyní jsme, jak říkají programátoři, „ve smyčce“: bez ohledu na to, kolikrát nyní odečteme, nedostaneme nic jiného než 6174. Možná je fakt, že takto bylo vybráno původní číslo 2519? Ukazuje se, že to s tím nemá nic společného: bez ohledu na to, jaké čtyřmístné číslo vezmeme, po nejvýše sedmi krocích určitě dostaneme stejné číslo 6174.

3) . Nakreslíme několik kružnic se společným středem a na vnitřní kružnici napíšeme libovolná čtyři přirozená čísla. Pro každou dvojici sousedních čísel odečtěte menší od většího a výsledek zapište na další kroužek. Ukazuje se, že pokud to zopakujete dostatečně často, na jednom z kruhů budou všechna čísla rovna nule, a proto nadále nebudete dostávat nic jiného než nuly. Obrázek to ukazuje pro případ, kdy jsou na vnitřním kroužku napsána čísla 25, 17, 55, 47.

4) . Vezměme libovolné číslo (i tisícimístné) zapsané v desítkové číselné soustavě. Odmocnime všechna jeho čísla a sečteme je. Udělejme totéž s množstvím. Ukazuje se, že po několika krocích dostaneme buď číslo 1, po kterém už nebudou žádná další čísla, nebo 4, po kterém máme čísla 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 a znovu získat 4. To znamená, že ani zde není žádný cyklus, který by se vyhnul.

5. Vytvořme takovou nekonečnou tabulku. Do prvního sloupce napíšeme čísla 4, 7, 10, 13, 16, ... (každé další je o 3 více než předchozí). Od čísla 4 nakreslíme čáru doprava, přičemž v každém kroku zvýšíme čísla o 3. Od čísla 7 nakreslíme čáru, zvýšíme čísla o 5, od čísla 10 - o 7 atd. Následující tabulka je získal:

Pokud vezmete libovolné číslo z této tabulky, vynásobíte ho 2 a k součinu přičtete 1, vždy dostanete složené číslo. Pokud totéž uděláme s číslem, které není zahrnuto v této tabulce, dostaneme prvočíslo. Vezměme si například z tabulky číslo 45. Číslo 2*45+1=91 je složené, rovná se 7*13. Ale číslo 14 v tabulce není a číslo 2*14+1=29 je prvočíslo.

Tento úžasný způsob, jak odlišit prvočísla od složených čísel, vynalezl v roce 1934 indický student Sundaram. Pozorování čísel odhaluje další pozoruhodná tvrzení. Vlastnosti světa čísel jsou skutečně nevyčerpatelné.

Číselné triky.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Pokud totiž vedle třímístného čísla napíšete stejné číslo znovu, pak se původní číslo vynásobí 1001 (například 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">

A čtyřciferná čísla se jednou zopakují a vydělí 73 137. Řešení je v rovnosti

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Všimněte si, že kostky čísel 0, 1, 4, 5, 6 a 9 končí stejným číslem (například https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24 " height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Kromě toho si musíte zapamatovat následující tabulku, která ukazuje, kde začínají páté mocniny následujících čísel:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">To znamená, že k pětimístnému číslu musíte přidat číslo 3 původně napsané na tabuli vpředu a od výsledného čísla odečtěte 3.

Abyste zabránili divákům uhodnout trik, můžete zmenšit první číslici kteréhokoli z čísel o několik jednotek a celkově snížit odpovídající číslici o stejný počet jednotek. Například na obrázku je první číslice ve třetím termínu snížena o 2 a odpovídající číslice v součtu je snížena o stejnou hodnotu.

Závěr.

Po shromáždění a shrnutí materiálu o prvočíslech a složených číslech jsem dospěl k následujícímu závěru:

1. Studium čísel sahá do starověku a má bohatou historii.

2. Role prvočísel v matematice je skvělá: jsou to stavební kameny, ze kterých se pomocí násobení staví všechna ostatní čísla.

3. Přirozená čísla mají mnoho zajímavých vlastností. Vlastnosti světa čísel jsou skutečně nevyčerpatelné.

4. Materiál, který jsem připravil, lze bezpečně použít v hodinách matematiky a matematických kroužcích. Tento materiál vám pomůže hlouběji se připravit na různé typy olympiád.

Rozkládání přirozených čísel na součin prvočísel

Algoritmy pro vyhledávání a rozpoznávání prvočísel

Jednoduché metody pro nalezení počátečního seznamu prvočísel až do určité hodnoty poskytují Sieve of Eratosthenes, Sieve of Sundaram a Sieve of Atkin.

V praxi však místo získání seznamu prvočísel často chcete zkontrolovat, zda je dané číslo prvočíslo. Algoritmy, které řeší tento problém, se nazývají testy primality. Existuje mnoho testů polynomiální primality, ale většina z nich je pravděpodobnostních (např. Miller-Rabinův test) a používá se pro potřeby kryptografie. V roce 2002 bylo prokázáno, že problém testu primality v obecný pohled je polynomiálně řešitelný, ale navrhovaný deterministický Agrawal–Kajal–Saxena test má poměrně velkou výpočetní náročnost, což ztěžuje jeho praktické použití.

Pro některé třídy čísel existují specializované účinné testy prvočíselnosti (viz níže).

Nekonečno množiny prvočísel

Prvočísel je nekonečně mnoho. Nejstarší známý důkaz Tuto skutečnost uvedl Euklides v Živlech (Kniha IX, výrok 20). Jeho důkaz lze stručně reprodukovat takto:

Představme si, že počet prvočísel je konečný. Pojďme je vynásobit a přidat jednu. Výsledné číslo není dělitelné žádným z konečné množiny prvočísel, protože zbytek po dělení kterýmkoli z nich dává jedničku. To znamená, že číslo musí být dělitelné nějakým prvočíslem, které není součástí této sady. Kontroverze.

Matematici nabídli další důkazy. Jeden z nich (daný Eulerem) ukazuje, že součet převrácených hodnot prvního n prvočísla, roste neomezeně s růstem n.

Mersennova čísla se od ostatních příznivě liší přítomností účinného testu primálnosti: Luc-Lemaireova testu. I díky němu mersennova prvočísla dlouho držela rekord jako největší známá prvočísla.

Za nalezení prvočísel větších než 100 000 000 a 1 000 000 000 desetinných číslic udělil EFF peněžní odměny ve výši 150 000 USD a 250 000 USD. EFF již dříve udělil ceny za nalezení prvočísel 1 000 000 a 10 000 000 desetinných míst.

Prvočísla zvláštního typu

Existuje řada čísel, jejichž prvočíslo lze efektivně stanovit pomocí specializovaných algoritmů.

Pomocí Brillhart-Lehmer-Selfridge testu ( Angličtina) lze zkontrolovat pravost následujících čísel:

Pro vyhledávání prvočísel určených typů se v současnosti používají distribuované výpočetní projekty GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen nebo Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Některé vlastnosti

Jestliže je prvočíslo a dělí , pak dělí nebo . Důkaz této skutečnosti podal Euklides a je znám jako Euklidovo lemma. Používá se při důkazu základní věty aritmetiky.
Zbytkový kruh je pole právě tehdy, když je jednoduché.
Charakteristikou každého pole je nula nebo prvočíslo.
Jestliže - je prvočíslo a - je přirozené, pak je dělitelné (Fermatova malá věta).
Jestliže je konečná grupa s prvky, pak obsahuje prvek řádu .
Pokud je konečná grupa a je maximální mocninou, která dělí , pak má podgrupu řádu zvanou Sylowova podgrupa, navíc počet Sylowových podgrup je stejný pro nějaké celé číslo (Sylowova věta).
Přirozenost je jednoduchá právě tehdy, když je dělitelná (Wilsonova věta).
Jestliže je přirozené, pak existuje prvočíslo takové, že (Bertrandův postulát).
Řada převrácených hodnot prvočísel se rozchází. Navíc když
Libovolná aritmetická posloupnost tvaru , kde jsou koprimá celá čísla, obsahuje nekonečně mnoho prvočísel (Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti).
Jakékoli prvočíslo větší než 3 může být reprezentováno jako nebo , kde je nějaké přirozené číslo. Pokud je tedy rozdíl mezi několika po sobě jdoucími prvočísly (pro k>1) stejný, pak je nutně násobkem 6 - například: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
Pokud - prvočíslo, pak je to násobek 24 (platí také pro všechny lichá čísla, nedělitelné 3).
Green-Tao teorém. Existují libovolně dlouhé konečné aritmetické posloupnosti skládající se z prvočísel.
n>2, k>1. Jinými slovy, číslo následující za prvočíslem nemůže být druhá mocnina nebo vyšší mocnina se základem větším než 2. Z toho také vyplývá, že pokud má prvočíslo tvar , pak k- prvočíslo (viz Mersennova čísla).
Žádné prvočíslo nemůže mít tvar , kde n>1, k>0. Jinými slovy, číslo před prvočíslem nemůže být krychle nebo vyšší lichá mocnina se základem větším než 1.

obsahující 26 proměnných a mající stupeň 25. Nejmenší stupeň pro známé polynomy tohoto typu je 5 se 42 proměnnými; nejmenší číslo proměnné - 10 se stupněm asi 15905. Tento výsledek je zvláštním případem diofantinské vlastnosti jakékoli vyčíslitelné množiny dokázané Jurijem Matiyasevichem.

Otevřené otázky

Rozdělení prvočísel p n = F (Δ s n); Δ s n = p n+1 ² - p n ². Δ p n = p n+1 - p n ; Δ p n = 2, 4, 6, … .

Stále existuje mnoho otevřených otázek týkajících se prvočísel, z nichž nejslavnější byly uvedeny Edmundem Landauem na pátém mezinárodním matematickém kongresu:

Je také otevřený problém, že existuje nekonečný počet prvočísel v mnoha celočíselných posloupnostech, včetně Fibonacciho čísel, Fermatových čísel atd.

Aplikace

Variace a zobecnění

V teorii prstenů, odvětví abstraktní algebry, je definován pojem prvočíselného prvku a prvočísla.
V teorii uzlů je definován pojem jednoduchého uzlu ( Angličtina), jako netriviální uzel, který nelze reprezentovat jako spojený součet netriviálních uzlů.

viz také

Poznámky

Literatura

Galperin G."Jen o prvočíslech" // Kvantová. - č. 4. - S. 9-14,38.
Nesterenko Yu. V. Algoritmické problémy teorie čísel // Úvod do kryptografie / Editoval V. V. Yashchenko. - Petr, 2001. - 288 s. - ISBN 5-318-00443-1
Vasilenko O.N.Číselné teoretické algoritmy v kryptografii. - M.: MTsNMO, 2003. - 328 s. - ISBN 5-94057-103-4
Cheremushkin A.V.. - M.: MTsNMO, 2002. - 104 s. - ISBN 5-94057-060-7
Knop K."Snaha o jednoduchost"
Kordemský B.A. Matematický důvtip. - M.: GIFML, 1958. - 576 s.
Henry S. Warren, Jr. Kapitola 16. Vzorce pro prvočísla // Algoritmické triky pro programátory = Hacker's Delight. - M.: Williams, 2007. - 288 s. - ISBN 0-201-91465-4
Yu, Matiyaševič. Vzorce pro prvočísla // Kvantová. - 1975. - č. 5. - S. 5-13.
N. Karpushina. Palindromy a „zvraty“ mezi prvočísly // Věda a život. - 2010. - № 5.
D. Zager. Prvních 50 milionů prvočísel // Pokroky v matematických vědách. - 1984. - T. 39. - č. 6(240). - S. 175–190.

Odkazy

The Prime Pages - databáze největších známých prvočísel
PrimeGrid prvočísla - všechna prvočísla nalezená v rámci projektu PrimeGrid
Geometrie prvočísel a dokonalých čísel (španělsky)

Numerické soustavy
Počítací sady	Přirozená čísla () Celá čísla () Racionální () Algebraické () Období Vyčíslitelná aritmetika
Reálná čísla a jejich rozšíření	Skutečné () Komplexní () Čtveřice ()