Po jakém čísle se zaokrouhlují. Jak zaokrouhlit čísla nahoru a dolů pomocí funkcí Excelu

Dnes budeme uvažovat o poměrně nudném tématu, bez pochopení kterého není možné pokračovat. Toto téma se nazývá „zaokrouhlování čísel“ nebo jinými slovy „přibližné hodnoty čísel“.

Obsah lekce

Přibližné hodnoty

Přibližné (nebo přibližné) hodnoty se používají, když nelze zjistit přesnou hodnotu něčeho nebo tato hodnota není pro studovaný předmět důležitá.

Například lze verbálně říci, že ve městě žije půl milionu lidí, ale toto tvrzení nebude pravdivé, protože počet lidí ve městě se mění – lidé přicházejí a odcházejí, rodí se a umírají. Proto by bylo správnější říci, že město žije přibližně půl milionu lidí.

Další příklad. Vyučování začíná v devět hodin ráno. Z domu jsme odešli v 8:30. Po nějaké době jsme cestou potkali našeho kamaráda, který se nás zeptal, kolik je hodin. Když jsme opustili dům, bylo 8:30, strávili jsme nějaký neznámý čas na cestě. Nevíme, kolik je hodin, a tak kamarádovi odpovídáme: „Teď přibližně kolem deváté hodiny."

V matematice jsou přibližné hodnoty označeny speciálním znakem. Vypadá to takto:

Čte se jako „přibližně stejné“.

K označení přibližné hodnoty něčeho se uchýlí k takové operaci, jako je zaokrouhlování čísel.

Zaokrouhlování čísel

Pro zjištění přibližné hodnoty je třeba provést operaci jako např zaokrouhlování čísel.

Slovo zaokrouhlení mluví samo za sebe. Zaokrouhlit číslo znamená zaokrouhlit. Kulaté číslo je číslo, které končí nulou. Například následující čísla jsou kulatá,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Libovolné číslo lze zaokrouhlit. Proces, kterým se zaokrouhluje číslo, se nazývá zaokrouhlení čísla.

Už jsme se zabývali „zaokrouhlováním“ čísel při dělení velkých čísel. Připomeňme, že za tímto účelem jsme ponechali číslici tvořící nejvýznamnější číslici nezměněnou a zbývající číslice jsme nahradili nulami. Ale to byly jen náčrtky, které jsme udělali, abychom usnadnili rozdělení. Nějaký hack. Vlastně to ani nebylo zaokrouhlování čísel. Proto jsme na začátku tohoto odstavce vzali slovo zaokrouhlování v uvozovkách.

Ve skutečnosti je podstatou zaokrouhlování najít nejbližší hodnotu od originálu. Zároveň lze číslo zaokrouhlit na určitou cifru nahoru - na desítky, stovky, tisíce.

Zvažte jednoduchý příklad zaokrouhlení. Je uvedeno číslo 17. Je nutné jej zaokrouhlit nahoru na desítky.

Aniž bychom se dívali dopředu, zkusme pochopit, co to znamená „zaokrouhlit na desítky“. Když říkají zaokrouhlit číslo 17, jsme povinni najít nejbližší kulaté číslo pro číslo 17. Zároveň se při tomto hledání může změnit i číslo, které je na místě desítek v čísle 17 (tedy jednotky).

Představte si, že všechna čísla od 10 do 20 leží na přímce:

Obrázek ukazuje, že pro číslo 17 je nejbližší kulaté číslo 20. Takže odpověď na problém bude taková: 17 se přibližně rovná 20

17 ≈ 20

Našli jsme přibližnou hodnotu 17, to znamená, že jsme ji zaokrouhlili na desítky. Je vidět, že po zaokrouhlení se na místě desítek objevilo nové číslo 2.

Zkusme najít přibližné číslo pro číslo 12. K tomu si znovu představte, že všechna čísla od 10 do 20 leží na přímce:

Obrázek ukazuje, že nejbližší kulaté číslo pro 12 je číslo 10. Takže odpověď na problém bude taková: 12 se přibližně rovná 10

12 ≈ 10

Našli jsme přibližnou hodnotu 12, to znamená, že jsme ji zaokrouhlili na desítky. Tentokrát se zaokrouhlování netýkalo čísla 1, která byla na místě desítek z 12. Proč se to stalo, zvážíme později.

Zkusme najít nejbližší číslo k číslu 15. Znovu si představme, že všechna čísla od 10 do 20 leží na přímce:

Obrázek ukazuje, že číslo 15 je stejně vzdálené od kulatých čísel 10 a 20. Nabízí se otázka: které z těchto kulatých čísel bude přibližnou hodnotou pro číslo 15? Pro takové případy jsme se dohodli, že vezmeme větší číslo jako aproximaci. 20 je větší než 10, takže přibližná hodnota pro 15 je číslo 20

15 ≈ 20

Velká čísla lze také zaokrouhlit. Přirozeně není možné, aby nakreslili rovnou čáru a znázornili čísla. Existuje pro ně cesta. Zaokrouhleme například číslo 1456 na desítky.

Musíme zaokrouhlit 1456 na desítky. Desítky začínají na pětce:

Nyní dočasně zapomeneme na existenci prvních číslic 1 a 4. Číslo 56 zůstává

Nyní se podíváme na to, které kulaté číslo je blíže číslu 56. Je zřejmé, že nejbližší kulaté číslo pro 56 je číslo 60. Takže nahradíme číslo 56 číslem 60

Když tedy zaokrouhlíme číslo 1456 na desítky, dostaneme 1460

1456 ≈ 1460

Je vidět, že po zaokrouhlení čísla 1456 na desítky se změny dotkly i samotné desítky. Nové výsledné číslo má nyní na místě desítek 6 místo 5.

Čísla můžete zaokrouhlovat nejen na desítky. Můžete také zaokrouhlit nahoru na vybití stovek, tisíců, desetitisíců.

Poté, co bude jasné, že zaokrouhlování není nic jiného než nalezení nejbližšího čísla, můžete použít hotová pravidla, která zaokrouhlování čísel výrazně usnadní.

První pravidlo zaokrouhlování

Z předchozích příkladů vyplynulo, že při zaokrouhlování čísla na určitou číslici jsou nižší číslice nahrazeny nulami. Volají se číslice, které jsou nahrazeny nulami vyřazené figurky.

První pravidlo zaokrouhlování vypadá takto:

Pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, uložená číslice zůstane nezměněna.

Zaokrouhleme například číslo 123 na desítky.

Nejprve najdeme uloženou číslici. Chcete-li to provést, musíte si přečíst samotný úkol. Ve výboji, který je v úkolu zmíněn, je uložená figurka. Úkol zní: zaokrouhlete číslo 123 nahoru desítková číslice.

Vidíme, že na místě desítek je dvojka. Uložená číslice je tedy číslo 2

Nyní najdeme první z vyřazených číslic. První číslice, která má být vyřazena, je číslice, která následuje za číslicí, která má být zachována. Vidíme, že první číslice po dvojce je číslo 3. Takže číslo 3 je první vyřazená číslice.

Nyní použijte pravidlo zaokrouhlování. Říká, že pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, pak uložená číslice zůstane nezměněna.

Takže my ano. Uloženou číslici ponecháme beze změny a všechny nižší číslice nahradíme nulami. Jinými slovy, vše, co následuje po čísle 2, je nahrazeno nulami (přesněji nulou):

123 ≈ 120

Takže při zaokrouhlení čísla 123 na desítky dostaneme přibližné číslo 120.

Nyní zkusme zaokrouhlit stejné číslo na 123, ale nahoru stovky míst.

Potřebujeme zaokrouhlit číslo 123 na stovky. Opět hledáme uloženou figurku. Tentokrát je uložená číslice 1, protože zaokrouhlujeme číslo na stovky.

Nyní najdeme první z vyřazených číslic. První číslice, která má být vyřazena, je číslice, která následuje za číslicí, která má být zachována. Vidíme, že první číslice za jednotkou je číslo 2. Tedy číslo 2 je první vyřazená číslice:

Nyní použijeme pravidlo. Říká, že pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, pak uložená číslice zůstane nezměněna.

Takže my ano. Uloženou číslici ponecháme beze změny a všechny nižší číslice nahradíme nulami. Jinými slovy, vše, co následuje po čísle 1, je nahrazeno nulami:

123 ≈ 100

Když tedy zaokrouhlíme číslo 123 na stovky, dostaneme přibližné číslo 100.

Příklad 3 Zaokrouhlete číslo 1234 na desítky.

Zde je číslice, která má být ponechána, 3. A první číslice, která má být vyřazena, je 4.

Uložené číslo 3 tedy ponecháme beze změny a vše za ním nahradíme nulou:

1234 ≈ 1230

Příklad 4 Zaokrouhlete číslo 1234 na stovky.

Zde je uložená číslice 2. A první vyřazená číslice je 3. Podle pravidla, pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, ponechaná číslice zůstane nezměněna.

Uložené číslo 2 tedy ponecháme beze změny a vše za ním nahradíme nulami:

1234 ≈ 1200

Příklad 3 Zaokrouhlete číslo 1234 na tisící místo.

Zde je uložená číslice 1. A první vyřazená číslice je 2. Podle pravidla, pokud při zaokrouhlování čísel je první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, ponechaná číslice zůstane nezměněna.

Uložené číslo 1 tedy ponecháme beze změny a vše za ním nahradíme nulami:

1234 ≈ 1000

Druhé pravidlo zaokrouhlování

Druhé pravidlo zaokrouhlování vypadá takto:

Pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 5, 6, 7, 8 nebo 9, pak se uložená číslice zvýší o jednu.

Zaokrouhleme například číslo 675 na desítky.

Nejprve najdeme uloženou číslici. Chcete-li to provést, musíte si přečíst samotný úkol. Ve výboji, který je v úkolu zmíněn, je uložená figurka. Úkol zní: zaokrouhlete číslo 675 nahoru desítková číslice.

Vidíme, že v kategorii desítek je sedmička. Uložená číslice je tedy číslo 7

Nyní najdeme první z vyřazených číslic. První číslice, která má být vyřazena, je číslice, která následuje za číslicí, která má být zachována. Vidíme, že první číslice po sedmičce je číslo 5. Takže číslo 5 je první vyřazená číslice.

První z vyřazených číslic je 5. Musíme tedy zvětšit uloženou číslici 7 o jednu a vše po ní nahradit nulou:

675 ≈ 680

Takže při zaokrouhlení čísla 675 na desítky dostaneme přibližné číslo 680.

Nyní zkusme zaokrouhlit stejné číslo na 675, ale nahoru stovky míst.

Potřebujeme zaokrouhlit číslo 675 na stovky. Opět hledáme uloženou figurku. Tentokrát je uložená číslice 6, protože číslo zaokrouhlujeme na stovky:

Nyní najdeme první z vyřazených číslic. První číslice, která má být vyřazena, je číslice, která následuje za číslicí, která má být zachována. Vidíme, že první číslice po šestce je číslo 7. Takže číslo 7 je první vyřazená číslice:

Nyní použijte druhé pravidlo zaokrouhlování. Říká, že pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 5, 6, 7, 8 nebo 9, pak se ponechaná číslice zvýší o jednu.

První z vyřazených číslic je 7. Musíme tedy zvětšit uloženou číslici 6 o jednu a vše po ní nahradit nulami:

675 ≈ 700

Když tedy číslo 675 zaokrouhlíme na stovky, dostaneme k němu přibližné číslo 700.

Příklad 3 Zaokrouhlete číslo 9876 na desítky.

Zde je číslice, která má být ponechána, 7. A první číslice, která má být vyřazena, je 6.

Uložené číslo 7 tedy zvětšíme o jedničku a vše, co je za ním, nahradíme nulou:

9876 ≈ 9880

Příklad 4 Zaokrouhlete číslo 9876 na stovky.

Zde je uložená číslice 8. A první vyřazená číslice je 7. Podle pravidla, pokud je první z vyřazených číslic při zaokrouhlování čísel 5, 6, 7, 8 nebo 9, pak se uložená číslice zvýší o jednu.

Uložené číslo 8 tedy zvětšíme o jednu a vše, co je za ním, nahradíme nulami:

9876 ≈ 9900

Příklad 5 Zaokrouhlete číslo 9876 na tisící místo.

Zde je uložená číslice 9. A první vyřazená číslice je 8. Pokud je podle pravidla první z vyřazených číslic při zaokrouhlování čísel 5, 6, 7, 8 nebo 9, ponechaná číslice se zvýší o jednu.

Uložené číslo 9 tedy zvětšíme o jedničku a vše, co je za ním, nahradíme nulami:

9876 ≈ 10000

Příklad 6 Zaokrouhlete číslo 2971 na stovky.

Při zaokrouhlování tohoto čísla na stovky byste měli být opatrní, protože zde ponechaná číslice je 9 a první vyřazená číslice je 7. Takže číslice 9 se musí zvýšit o jednu. Faktem ale je, že po zvýšení devítky o jednu dostanete 10 a tento údaj se do stovek nových čísel nevejde.

V tomto případě musíte na místě stovek nového čísla napsat 0 a převést jednotku na další číslici a přidat ji k číslu, které tam je. Dále nahraďte všechny číslice za uloženou nulou:

2971 ≈ 3000

Zaokrouhlování desetinných míst

Při zaokrouhlování desetinných zlomků byste měli být obzvláště opatrní, protože desetinný zlomek se skládá z celého čísla a zlomkové části. A každá z těchto dvou částí má své vlastní úrovně:

Bity celé části:

• číslice jednotky
• desítky místo
• stovky míst
• tisícová číslice

Zlomkové číslice:

• desáté místo
• sté místo
• tisící místo

Uvažujme desetinný zlomek 123,456 – sto dvacet tři tečky čtyři sta padesát šest tisícin. Zde je celočíselná část 123 a zlomková část je 456. Navíc má každá z těchto částí své vlastní číslice. Je velmi důležité je nezaměňovat:

Pro celočíselnou část platí stejná pravidla zaokrouhlování jako pro běžná čísla. Rozdíl je v tom, že po zaokrouhlení celé části a nahrazení všech číslic za uloženou číslicí nulami se zlomková část zcela zahodí.

Zaokrouhleme například zlomek 123,456 na desítková číslice. Přesně až desítky místo, ale ne desáté místo. Je velmi důležité tyto kategorie nezaměňovat. Vybít desítky se nachází v celočíselné části a výboji desetiny ve zlomku.

Musíme zaokrouhlit 123,456 na desítky. Číslice, která se zde uloží, je 2 a první číslice, která má být vyřazena, je 3

Podle pravidla, pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, zůstane ponechaná číslice nezměněna.

To znamená, že uložená číslice zůstane nezměněna a vše ostatní bude nahrazeno nulou. A co zlomková část? Jednoduše se zahodí (odstraní):

123,456 ≈ 120

Nyní se pokusíme zaokrouhlit stejný zlomek na 123,456 nahoru číslice jednotky. Číslice, která se zde uloží, bude 3 a první číslice, která má být vyřazena, je 4, která je ve zlomkové části:

Podle pravidla, pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 0, 1, 2, 3 nebo 4, zůstane ponechaná číslice nezměněna.

To znamená, že uložená číslice zůstane nezměněna a vše ostatní bude nahrazeno nulou. Zbývající zlomková část bude vyřazena:

123,456 ≈ 123,0

Nulu, která zůstane za desetinnou čárkou, lze také zahodit. Takže konečná odpověď bude vypadat takto:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Nyní se pojďme zabývat zaokrouhlováním zlomkových částí. Pro zaokrouhlování dílčích částí platí stejná pravidla jako pro zaokrouhlování celých částí. Zkusme zaokrouhlit zlomek 123,456 na desáté místo. Na desátém místě je číslo 4, což znamená, že je to uložená číslice, a první vyřazená číslice je 5, která je na stém místě:

Podle pravidla, pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 5, 6, 7, 8 nebo 9, pak se ponechaná číslice zvýší o jednu.

Uložené číslo 4 se tedy zvýší o jedničku a zbytek se nahradí nulami

123,456 ≈ 123,500

Zkusme zaokrouhlit stejný zlomek 123,456 na setinu. Zde uložená číslice je 5 a první číslice, kterou je třeba vyřadit, je 6, což je na tisícinách:

Podle pravidla, pokud je při zaokrouhlování čísel první z vyřazených číslic 5, 6, 7, 8 nebo 9, pak se ponechaná číslice zvýší o jednu.

Uložené číslo 5 se tedy zvýší o jedničku a zbytek se nahradí nulami

123,456 ≈ 123,460

Líbila se vám lekce?
Připojte se k naší nové skupině Vkontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce

Metody

Různá pole mohou používat různé metody zaokrouhlování. Ve všech těchto metodách jsou znaménka "navíc" nastavena na nulu (zahozena) a znaménko před nimi je opraveno podle nějakého pravidla.

• Zaokrouhlení na nejbližší celé číslo(Angličtina) zaokrouhlování) - nejpoužívanější zaokrouhlování, při kterém se číslo zaokrouhluje nahoru na celé číslo, modul rozdílu, se kterým má toto číslo minimum. Obecně, když je číslo v desítkové soustavě zaokrouhleno nahoru na N-té desetinné místo, pravidlo může být formulováno následovně:
  • Li N+1 znak< 5 , pak se zachová N-té znaménko a N+1 a všechny následující jsou nastaveny na nulu;
  • Li N+1 znaků ≥ 5, pak se N-té znaménko zvětší o jedničku a N + 1 a všechny následující se nastaví na nulu;
  Například: 11,9 → 12; -0,9 -> -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Modulo zaokrouhlení dolů(zaokrouhlení směrem k nule, celé číslo Eng. opravit, zkrátit, celé číslo) je „nejjednodušší“ zaokrouhlení, protože po vynulování znamének „navíc“ zůstane předchozí znaménko zachováno. Například 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Zaokrouhlení nahoru(zaokrouhlit na +∞, zaokrouhlit nahoru, angl. strop) - pokud se znaménka s možností null nerovna nule, předchozí znaménko se zvýší o jedničku, pokud je číslo kladné, nebo ponechá, pokud je číslo záporné. V ekonomickém žargonu - zaokrouhlení ve prospěch prodávajícího, věřitele(osoby, která peníze přijímá). Konkrétně 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Zaokrouhlení dolů(zaokrouhlit na −∞, zaokrouhlit dolů, angl. podlaha) - pokud se znaménka s možností null nerovna nule, předchozí znaménko se zachová, pokud je číslo kladné, nebo se zvýší o jedničku, pokud je číslo záporné. V ekonomickém žargonu - zaokrouhlení ve prospěch kupujícího, dlužníka(osoba, která dává peníze). Zde 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Zaokrouhlení modulo nahoru(zaokrouhlení směrem k nekonečnu, zaokrouhlení od nuly) je poměrně málo používaná forma zaokrouhlování. Pokud znaky s možnou hodnotou Null nejsou rovné nule, předchozí znak se zvýší o jedničku.

Možnosti zaokrouhlení 0,5 na nejbližší celé číslo

Samostatný popis vyžadují pravidla pro zaokrouhlování pro zvláštní případ kdy (N+1)-tá číslice = 5 a následující číslice jsou nula. Pokud ve všech ostatních případech poskytuje zaokrouhlení na nejbližší celé číslo menší zaokrouhlovací chybu, pak se tento konkrétní případ vyznačuje tím, že pro jediné zaokrouhlení je formálně lhostejné, zda se provádí „nahoru“ nebo „dolů“ - v obou případech je chyba vložena přesně 1/2 nejméně významné číslice. Pro tento případ existují následující varianty pravidla zaokrouhlování na nejbližší celé číslo:

• Matematické zaokrouhlování- zaokrouhluje se vždy nahoru (předchozí číslice se vždy zvýší o jednu).
• Zaokrouhlení banky(Angličtina) zaokrouhlování bankéře) - zaokrouhlení v tomto případě nastává na nejbližší sudé číslo, tedy 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Náhodné zaokrouhlení- zaokrouhlování nahoru nebo dolů náhodně, ale se stejnou pravděpodobností (lze použít ve statistice).
• Střídavé zaokrouhlování- Zaokrouhlování probíhá střídavě nahoru nebo dolů.

Ve všech případech, kdy (N + 1) znaménko není rovno 5 nebo následující znaménka nejsou rovna nule, zaokrouhlování probíhá podle obvyklých pravidel: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematické zaokrouhlování jednoduše formálně odpovídá obecnému pravidlu zaokrouhlování (viz výše). Jeho nevýhodou je, že při zaokrouhlování velkého množství hodnot může dojít k akumulaci. zaokrouhlovací chyby. Typický příklad: zaokrouhlení peněžních částek na celé rubly nahoru. Pokud tedy v registru 10 000 řádků existuje 100 řádků s částkami obsahujícími hodnotu 50 v kopejkách (a to je velmi realistický odhad), pak když jsou všechny takové řádky zaokrouhleny „nahoru“, součet „celku“ podle zaokrouhleného registru bude o 50 rublů přesnější.

Další tři možnosti jsou jen vymyšleny, aby se snížila celková chyba součtu při zaokrouhlování velkého počtu hodnot. Zaokrouhlení „na nejbližší sudý“ předpokládá, že při velkém počtu zaokrouhlených hodnot, které mají v zaokrouhleném zbytku 0,5, bude v průměru polovina doleva a polovina doprava od nejbližší sudé, takže chyby zaokrouhlení se navzájem vyruší. Přísně vzato je tento předpoklad pravdivý pouze v případě, že zaokrouhlovaná množina čísel má vlastnosti náhodné řady, což obvykle platí v účetních aplikacích, kde se bavíme o cenách, částkách na účtech a podobně. Pokud je předpoklad porušen, může zaokrouhlení „na sudé“ vést k systematickým chybám. V takových případech nejlépe fungují následující dvě metody.

Poslední dvě možnosti zaokrouhlení zajistí, že přibližně polovina speciálních hodnot bude zaokrouhlena jedním způsobem a polovina druhým. Implementace takových metod v praxi však vyžaduje další úsilí o organizaci výpočetního procesu.

Aplikace

Zaokrouhlování se používá pro práci s čísly v rozsahu počtu číslic, který odpovídá skutečné přesnosti parametrů výpočtu (jsou-li tyto hodnoty skutečnými hodnotami naměřenými tak či onak), reálně dosažitelné přesnosti výpočtu nebo požadované přesnosti výsledku. V minulosti mělo zaokrouhlování mezihodnot a výsledku praktický význam (protože při počítání na papíře nebo pomocí primitivních zařízení, jako je počítadlo, může zohlednění dalších desetinných míst vážně zvýšit množství práce). Nyní zůstává prvkem vědecké a inženýrské kultury. V účetních aplikacích může být navíc vyžadováno použití zaokrouhlování, včetně mezilehlých, pro ochranu před výpočetními chybami spojenými s konečnou bitovou kapacitou výpočetních zařízení.

Použití zaokrouhlování při práci s čísly s omezenou přesností

Reálné fyzikální veličiny jsou vždy měřeny s určitou konečnou přesností, která závisí na přístrojích a metodách měření a je odhadnuta maximální relativní nebo absolutní odchylkou neznámé skutečné hodnoty od naměřené, která v desítkovém vyjádření hodnoty odpovídá buď určitému číslu. významné postavy, nebo určitá pozice v záznamu čísla, jehož všechny číslice (napravo) jsou nevýznamné (leží v rámci chyby měření). Samotné naměřené parametry jsou zaznamenány s takovým počtem znaků, že všechny údaje jsou spolehlivé, možná ten poslední je pochybný. Chyba v matematických operacích s čísly s omezenou přesností je zachována a mění se podle známých matematických zákonů, takže když se v dalších výpočtech objeví mezihodnoty a výsledky s velkým počtem číslic, je významná pouze část těchto číslic. Zbývající údaje, které jsou v hodnotách přítomny, ve skutečnosti neodrážejí žádnou fyzickou realitu a zaberou pouze čas pro výpočty. V důsledku toho jsou mezihodnoty a výsledky ve výpočtech s omezenou přesností zaokrouhleny na počet desetinných míst, který odráží skutečnou přesnost získaných hodnot. V praxi se obvykle doporučuje ukládat v mezihodnotách pro dlouhé „řetězované“ ruční výpočty ještě jednu číslici. Při použití počítače střední zaokrouhlení ve vědeckých a technických aplikacích nejčastěji ztrácí smysl a zaokrouhluje se pouze výsledek.

Pokud je tedy například síla 5815 gf dána s přesností na gram síly a délka ramene 1,4 m s přesností na centimetr, pak moment síly v kgf podle vzorce bude v případě formálního výpočtu se všemi znaménky roven: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Pokud však vezmeme v úvahu chybu měření, pak dostaneme, že mezní relativní chyba první hodnoty je 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , druhý - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , relativní chyba výsledku podle chybového pravidla operace násobení (při násobení přibližných hodnot se relativní chyby sčítají) bude 7,3 10 −3 , což odpovídá maximální absolutní chybě výsledku ±0,059 kgf m! To znamená, že ve skutečnosti, s přihlédnutím k chybě, může být výsledek od 8,082 do 8,200 kgf m, takže ve vypočítané hodnotě 8,141 kgf m je pouze první číslice zcela spolehlivá, dokonce i druhá je již pochybná! Bude správné zaokrouhlit výsledek výpočtu na první pochybnou číslici, to znamená na desetiny: 8,1 kgf m, nebo v případě potřeby přesnější označení meze chyby, uvést jej ve formě zaokrouhlené na jedno nebo dvě desetinná místa s uvedením chyby: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Empirická pravidla aritmetiky se zaokrouhlováním

V případech, kdy není potřeba přesně zohledňovat výpočetní chyby, ale stačí přibližně odhadnout počet přesných čísel jako výsledek výpočtu podle vzorce, můžete pro zaokrouhlené výpočty použít sadu jednoduchých pravidel:

1. Všechny hrubé hodnoty jsou zaokrouhleny nahoru na skutečnou přesnost měření a zaznamenány s příslušným počtem platných číslic, takže v desítkovém zápisu jsou všechny číslice spolehlivé (je povoleno, aby poslední číslice byla pochybná). V případě potřeby jsou hodnoty zaznamenány s platnými pravými nulami, aby byl v záznamu uveden skutečný počet spolehlivých znaků (např. pokud je délka 1 m skutečně měřena s přesností na centimetry, napíše se „1,00 m“, aby bylo vidět, že v záznamu jsou spolehlivá dvě desetinná místa), nebo je přesnost výslovně uvedena (například 2500 ± 5, zde by měly být spolehlivé pouze ± 5).
2. Mezilehlé hodnoty jsou zaokrouhleny na jednu „náhradní“ číslici.
3. Při sčítání a odečítání se výsledek zaokrouhlí na poslední desetinné místo nejméně přesného z parametrů (např. při výpočtu hodnoty 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m se výsledek zaokrouhlí na desetiny metru, tedy na 2,6 m). Zároveň se doporučuje provádět výpočty v takovém pořadí, aby nedošlo k odečítání čísel, která jsou si blízká velikostí a provádět operace s čísly pokud možno ve vzestupném pořadí jejich modulů.
4. Při násobení a dělení se výsledek zaokrouhluje nahoru nejmenší číslo významné číslice, které mají parametry (například při výpočtu rychlosti rovnoměrného pohybu tělesa ve vzdálenosti 2,5 10 2 m, po dobu 600 s by měl být výsledek zaokrouhlen nahoru na 4,2 m/s, protože jde o vzdálenost, která má dvě číslice a čas má tři, za předpokladu, že všechny číslice v záznamu jsou platné).
5. Při výpočtu hodnoty funkce f(x) je potřeba odhadnout hodnotu modulu derivace této funkce v blízkosti výpočtového bodu. Li (|f"(x)| ≤ 1), pak je výsledek funkce přesný na stejné desetinné místo jako argument. V opačném případě bude výsledek obsahovat o částku méně přesných desetinných míst log 10 (|f"(x)|), zaokrouhleno na nejbližší celé číslo.

Výše uvedená pravidla i přes nepřísnost fungují v praxi poměrně dobře, zejména z důvodu poměrně vysoké pravděpodobnosti vzájemného zrušení chyb, na což se při přesném zohlednění chyb většinou nepočítá.

Chyby

Dost často dochází ke zneužívání nekulatých čísel. Například:

• Zapište čísla, která mají nízkou přesnost, v nezaokrouhlené podobě. Ve statistikách: pokud 4 lidé ze 17 odpověděli „ano“, pak napíší „23,5 %“ (zatímco „24 %“ je správně).
• Uživatelé ukazatele někdy uvažují takto: „ukazatel se zastavil mezi 5,5 a 6 blíže k 6, nechť je 5,8“ - to je také zakázáno (stupnice zařízení obvykle odpovídá jeho skutečné přesnosti). V tomto případě musíte říct „5,5“ nebo „6“.

viz také

• Zpracování pozorování
• Chyby při zaokrouhlování

Poznámky

Literatura

• Henry S. Warren, Jr. Kapitola 3// Algoritmické triky pro programátory = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4

Při zaokrouhlování se ponechávají pouze správné znaky, ostatní se zahazují.

Pravidlo 1. Zaokrouhlení se dosáhne jednoduchým vyhozením číslic, pokud je první z vyřazených číslic menší než 5.

Pravidlo 2. Pokud je první z vyřazených číslic větší než 5, pak se poslední číslice zvýší o jednu. Poslední číslice se také zvýší, když první z vyřazených číslic je 5 následovaná jednou nebo více nenulovými číslicemi. Například různá zaokrouhlení čísla 35,856 by byla 35,86; 35,9; 36.

Pravidlo 3. Pokud je vyřazená číslice 5 a za ní nejsou žádné významné číslice, zaokrouhlí se na nejbližší sudé číslo, tj. poslední uložená číslice zůstane nezměněna, pokud je sudá, a zvýší se o jednu, pokud je lichá. Například 0,435 je zaokrouhleno na 0,44; 0,465 se zaokrouhluje nahoru na 0,46.

8. PŘÍKLAD ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ

Stanovení hustoty pevných látek. Předpokládejme, že tuhé těleso má tvar válce. Potom lze hustotu ρ určit podle vzorce:

kde D je průměr válce, h je jeho výška, m je hmotnost.

Nechť jsou jako výsledek měření m, D a h získány následující údaje:

č. p / p	m, g	Δm, g	D, mm	ΔD, mm	h, mm	Δh, mm	, g/cm3	A, g/cm3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
průměrný			12,61		80,2		5,11

Definujme střední hodnotu D̃:

Najděte chyby jednotlivých měření a jejich druhé mocniny

Pojďme určit střední kvadraturu chyby série měření:

Nastavíme hodnotu spolehlivosti α = 0,95 a z tabulky zjistíme Studentův koeficient t α. n = 2,8 (pro n = 5). Určíme hranice intervalu spolehlivosti:

Protože vypočtená hodnota ΔD = 0,07 mm výrazně převyšuje absolutní chybu mikrometru rovnou 0,01 mm (měřeno mikrometrem), může výsledná hodnota sloužit jako odhad hranice intervalu spolehlivosti:

D = D̃ ± Δ D; D= (12,61 ± 0,07) mm.

Definujme hodnotu h̃:

Proto:

Pro α = 0,95 an = 5 Studentův koeficient t α , n = 2,8.

Stanovení hranic intervalu spolehlivosti

Protože získaná hodnota Δh = 0,11 mm je stejného řádu jako chyba posuvného měřítka rovna 0,1 mm (h se měří posuvným měřítkem), měly by být hranice intervalu spolehlivosti určeny podle vzorce:

Proto:

Vypočítejme průměrnou hodnotu hustoty ρ:

Pojďme najít výraz pro relativní chybu:

Kde

7. GOST 16263-70 Metrologie. Termíny a definice.

8. GOST 8.207-76 Přímá měření s vícenásobným pozorováním. Metody zpracování výsledků pozorování.

9. GOST 11.002-73 (čl. SEV 545-77) Pravidla pro hodnocení anomálních výsledků pozorování.

Carkovská Naděžda Ivanovna

Sacharov Jurij Georgijevič

Obecná fyzika

Pokyny pro realizaci laboratorní práce "Úvod do teorie chyb měření" pro studenty všech odborností

Formát 60*84 1/16 Volume 1 app.-ed. l. Náklad 50 výtisků.

Objednejte ______ zdarma

Brjanská státní inženýrská a technologická akademie

Bryansk, Stanke Dimitrova Avenue, 3, BGITA,

Redakční a vydavatelské oddělení

Tištěno - Provozní tisková jednotka BGITA

Čísla se také zaokrouhlují na další číslice – desetiny, setiny, desítky, stovky atd.

Pokud je číslo zaokrouhleno na nějakou číslici, pak jsou všechny číslice následující za touto číslicí nahrazeny nulami, a pokud jsou za desetinnou čárkou, pak jsou vyřazeny.

Pravidlo číslo 1. Pokud je první z vyřazených číslic větší nebo rovna 5, pak se poslední z ponechaných číslic zesílí, tj. zvýší o jednu.

Příklad 1. Je dáno číslo 45,769, které musí být zaokrouhleno na desetiny. První vyřazená číslice je 6 ˃ 5. Následně je poslední z uložených číslic (7) zesílena, tj. zvýšena o jednu. Zaokrouhlené číslo by tedy bylo 45,8.

Příklad 2. Je dáno číslo 5,165, které musí být zaokrouhleno na setiny. První vyřazená číslice je 5 = 5. Poslední z uložených číslic (6) je tedy zesílena, to znamená, že se zvýší o jednu. Zaokrouhlené číslo by tedy bylo 5,17.

Pravidlo číslo 2. Pokud je první z vyřazených číslic menší než 5, nedojde k žádnému zisku.

Příklad: Je zadáno číslo 45,749 a je třeba jej zaokrouhlit na desetiny. První vyřazená číslice je 4

Pravidlo číslo 3. Pokud je vyřazená číslice 5 a za ní nejsou žádné platné číslice, zaokrouhlí se na nejbližší sudé číslo. To znamená, že poslední číslice zůstává nezměněna, pokud je sudá, a zvyšuje se, pokud je lichá.

Příklad 1: Zaokrouhlením čísla 0,0465 na třetí desetinné místo napíšeme - 0,046. Zesílení neprovádíme, protože poslední uložená číslice (6) je sudá.

Příklad 2. Zaokrouhlením čísla 0,0415 na třetí desetinné místo napíšeme - 0,042. Provádíme zesílení, protože poslední uložená číslice (1) je lichá.

Zaokrouhlete čísla v Excelu několika způsoby. Použití formátu buňky a používání funkcí. Tyto dvě metody by se měly rozlišovat následovně: první je pouze pro zobrazení hodnot nebo tisk a druhá metoda je také pro výpočty a výpočty.

Pomocí funkcí je možné přesné zaokrouhlení nahoru nebo dolů na uživatelem zadanou číslici. A hodnoty získané jako výsledek výpočtů lze použít v jiných vzorcích a funkcích. Zároveň zaokrouhlení pomocí formátu buněk nepřinese požadovaný výsledek a výsledky výpočtů s takovými hodnotami budou chybné. Koneckonců, formát buněk ve skutečnosti nemění hodnotu, mění se pouze způsob zobrazení. Abychom to rychle a snadno pochopili a nedělali chyby, uvedeme pár příkladů.

Jak zaokrouhlit číslo podle formátu buňky

Do buňky A1 zadáme hodnotu 76,575. Kliknutím pravým tlačítkem myši vyvoláme nabídku "Formát buněk". Totéž můžete udělat pomocí nástroje "Číslo" na hlavní stránce Knihy. Nebo stiskněte kombinaci kláves CTRL+1.

Vyberte formát čísla a nastavte počet desetinných míst na 0.

Výsledek zaokrouhlení:

Počet desetinných míst můžete přiřadit ve formátu „peněžní“, „finanční“, „procentuální“.

Jak vidíte, zaokrouhlování probíhá podle matematických zákonů. Poslední číslice, která se má uložit, se zvýší o jednu, pokud po ní následuje číslice větší nebo rovna „5“.

Zvláštnost této možnosti: čím více číslic za desetinnou čárkou ponecháme, tím přesnější bude výsledek.



Jak správně zaokrouhlit číslo v Excelu

Pomocí funkce ROUND() (zaokrouhlí na počet desetinných míst požadovaný uživatelem). Pro vyvolání "Průvodce funkcí" použijte tlačítko fx. Požadovaná funkce je v kategorii "Matematika".

Argumenty:

1. "Číslo" - odkaz na buňku s požadovanou hodnotu(A1).
2. "Počet číslic" - počet desetinných míst, na které bude číslo zaokrouhleno (0 - zaokrouhlení na celé číslo, 1 - zbude jedno desetinné místo, 2 - dvě atd.).

Nyní zaokrouhlíme celé číslo (ne desetinné). Použijeme funkci ROUND:

• první argument funkce je odkaz na buňku;
• druhý argument - se znaménkem "-" (na desítky - "-1", na stovky - "-2", zaokrouhlení čísla na tisíce - "-3" atd.).

Jak zaokrouhlit číslo v Excelu na tisíce?

Příklad zaokrouhlení čísla na tisíce:

Vzorec: =ROUND(A3,-3).

Můžete zaokrouhlit nejen číslo, ale i hodnotu výrazu.

Předpokládejme, že existují údaje o ceně a množství zboží. Je nutné zjistit náklady na nejbližší rubl (zaokrouhlit na nejbližší celé číslo).

Prvním argumentem funkce je číselný výraz pro zjištění nákladů.

Jak zaokrouhlit nahoru a dolů v Excelu

Pro zaokrouhlení nahoru použijte funkci ROUNDUP.

První argument vyplníme podle již známého principu – odkaz na buňku s daty.

Druhý argument: "0" - zaokrouhlí desetinný zlomek na celé číslo, "1" - funkce zaokrouhlí s ponecháním jednoho desetinného místa atd.

Vzorec: =ROUNDUP(A1,0).

Výsledek:

Pro zaokrouhlení dolů v Excelu použijte funkci ROUNDDOWN.

Příklad vzorce: =ROUNDDOWN(A1,1).

Výsledek:

Vzorce ROUNDUP a ROUNDDOWN se používají k zaokrouhlení hodnot výrazů (součinů, součtů, rozdílů atd.).

Jak zaokrouhlit na celé číslo v Excelu?

Chcete-li zaokrouhlit nahoru na celé číslo, použijte funkci ROUNDUP. Chcete-li zaokrouhlit dolů na celé číslo, použijte funkci ROUNDDOWN. Funkce "ROUND" a formát buňky také umožňují zaokrouhlení na celé číslo nastavením počtu číslic na "0" (viz výše).

Excel také používá funkci "SELECT" k zaokrouhlení na celé číslo. Jednoduše zahodí desetinná místa. V podstatě zde není žádné zaokrouhlování. Vzorec ořízne čísla na určenou číslici.

Porovnat:

Druhý argument je "0" - funkce se ořízne na celé číslo; "1" - až desetina; "2" - až setina atd.

Speciální funkce Excelu, která vrátí pouze celé číslo, je INTEGER. Má jediný argument – ​​„Číslo“. Můžete zadat číselnou hodnotu nebo odkaz na buňku.

Nevýhodou použití funkce "INTEGER" je, že se pouze zaokrouhluje dolů.

Pomocí funkcí ROUNDUP a ROUNDDOWN můžete v Excelu zaokrouhlit nahoru na celé číslo. Zaokrouhluje se nahoru nebo dolů na nejbližší celé číslo.

Příklad použití funkcí:

Druhý argument je označení číslice, na kterou se má zaokrouhlovat (10 - na desítky, 100 - na stovky atd.).

Zaokrouhlení na nejbližší sudé celé číslo se provádí funkcí "SUDÉ", na nejbližší liché - "LICHÉ".

Příklad jejich použití:

Proč Excel zaokrouhluje velká čísla?

Pokud jsou do buněk tabulky zadána velká čísla (například 78568435923100756), Excel je ve výchozím nastavení automaticky zaokrouhlí takto: 7.85684E+16 je funkce obecného formátu buněk. Abyste se vyhnuli takovému zobrazení velkých čísel, musíte změnit formát buňky s daty velký počet na "Numerický" (nejrychlejší způsob je stisknout kombinaci horkých kláves CTRL + SHIFT + 1). Potom se hodnota buňky zobrazí takto: 78,568,435,923,100,756,00. V případě potřeby lze počet číslic snížit: "Hlavní" - "Číslo" - "Snížit bitovou hloubku".