Která čísla jsou přirozená a která. Čtení a psaní velkých přirozených čísel

K počítání lze použít přirozená čísla (jedno jablko, dvě jablka atd.)

Celá čísla(z lat. naturalis- přírodní; přirozená čísla) - čísla, která přirozeně vznikají při počítání (například 1, 2, 3, 4, 5...). Volá se posloupnost všech přirozených čísel uspořádaných vzestupně přirozené vedle.

Existují dva přístupy k definování přirozených čísel:

počítání (číslování) položky ( První, druhý, Třetí, Čtvrtý, pátý"…);
celá čísla- čísla, která vznikají, když označení množství položky ( 0 položek, 1 položka, 2 položky, 3 položky, 4 položky, 5 položek"…).

V prvním případě řada přirozených čísel začíná od jedné, ve druhém - od nuly. Mezi většinou matematiků neexistuje shoda na tom, zda je výhodnější první nebo druhý přístup (to znamená, zda by nula měla být považována za přirozené číslo nebo ne). Naprostá většina ruských zdrojů tradičně přijímá první přístup. Druhý přístup je například použit v dílech Nicolase Bourbakiho, kde jsou přirozená čísla definována jako kardinality konečných množin.

Za přirozená čísla se nepovažují záporná a neceločíselná (racionální, reálná, ...) čísla.

Množina všech přirozených čísel Je obvyklé označovat symbol N (\displaystyle \mathbb (N)) (z lat. naturalis- přírodní). Množina přirozených čísel je nekonečná, protože pro jakékoli přirozené číslo n (\displaystyle n) existuje přirozené číslo větší než n (\displaystyle n) .

Přítomnost nuly usnadňuje formulování a dokazování mnoha vět v aritmetice přirozených čísel, takže první přístup zavádí užitečný koncept rozšířený přírodní série včetně nuly. Rozšířená řada je označena N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) nebo Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Axiomy, které nám umožňují určit množinu přirozených čísel

Peanovy axiomy pro přirozená čísla

Hlavní článek: Peanovy axiomy

Množinu N (\displaystyle \mathbb (N) ) budeme nazývat množina přirozených čísel, pokud je nějaký prvek pevný 1 (jednotka) patřící do N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )) a funkce S (\displaystyle S) s doménou N (\displaystyle \mathbb (N) ) a rozsah N (\displaystyle \mathbb (N) ) (nazývaný funkce posloupnosti; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )), takže jsou splněny následující podmínky:

jednička je přirozené číslo (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
číslo následující za přirozeným číslem je také přirozené číslo (pokud x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , pak S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ));
nenásleduje žádné přirozené číslo (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexistuje x\v \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
pokud přirozené číslo a (\displaystyle a) bezprostředně následuje za přirozeným číslem b (\displaystyle b) a přirozeným číslem c (\displaystyle c) , pak b = c (\displaystyle b=c) (pokud S (b ) = a (\displaystyle S(b)=a) a S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , pak b = c (\displaystyle b=c));
(axiom indukce) pokud nějaká věta (příkaz) P (\displaystyle P) byla prokázána pro přirozené číslo n = 1 (\displaystyle n=1) ( indukční základna) a pokud z předpokladu, že platí pro další přirozené číslo n (\displaystyle n) , vyplývá, že platí pro další přirozené číslo (\displaystyle n) ( indukční hypotéza), pak tato věta platí pro všechna přirozená čísla (ať P (n) (\displaystyle P(n)) je nějaký jednomístný (unární) predikát, jehož parametrem je přirozené číslo n (\displaystyle n). P (1 ) (\displaystyle P(1)) a ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Šipka doprava P(S(n)) ))) , pak ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Uvedené axiomy odrážejí naše intuitivní chápání přirozené řady a číselné osy.

Základním faktem je, že tyto axiomy v podstatě jednoznačně definují přirozená čísla (kategoriální povaha systému Peanových axiomů). Konkrétně lze dokázat (viz také krátký důkaz), že pokud (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) a (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) jsou dva modely pro systém Peano axiomů, pak jsou nutně izomorfní, tzn. je invertibilní zobrazení (bijekce) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) takové, že f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1)=(\tilda (1))) a f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f (x ))) pro všechna x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Stačí tedy zafixovat jako N (\displaystyle \mathbb (N) ) libovolný jeden konkrétní model množiny přirozených čísel.

Definice přirozených čísel teoretická množina (Frege-Russellova definice)

Podle teorie množin je jediným objektem pro konstrukci jakýchkoli matematických systémů množina.

Přirozená čísla jsou tedy také zavedena na základě konceptu množiny podle dvou pravidel:

S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left$n\right$) .

Takto definovaná čísla se nazývají ordinální.

Popišme několik prvních řadových čísel a odpovídající přirozená čísla:

0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left$0\right$=\left$\varnothing \right$) ;
2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left$0,1\right$=(\big $)\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ vpravo$(\velký \))) ;
3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left$0,1,2\right$=(\Big $) \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right$,\;(\big $)\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right$(\big \))(\Big \) )).

Nula jako přirozené číslo

Někdy, zejména v zahraniční a překladové literatuře, je v prvním a třetím Peanově axiomu jednička nahrazena nulou. V tomto případě je nula považována za přirozené číslo. Když je definována prostřednictvím tříd stejných množin, nula je přirozené číslo podle definice. Bylo by nepřirozené to záměrně odmítat. Navíc by to výrazně zkomplikovalo další konstrukci a aplikaci teorie, protože ve většině konstrukcí nula, stejně jako prázdná množina, není něco samostatného. Další výhodou zacházení s nulou jako s přirozeným číslem je to, že N (\displaystyle \mathbb (N) ) dělá monoid.

V ruské literatuře je nula obvykle vyloučena z počtu přirozených čísel (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )) a množina přirozených čísel s nulou se označuje jako N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)). Pokud je v definici přirozených čísel zahrnuta nula, pak se množina přirozených čísel zapíše jako N (\displaystyle \mathbb (N) ) a bez nuly - jako N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ).

V mezinárodní matematické literatuře se s přihlédnutím k výše uvedenému a aby se předešlo nejednoznačnostem, množina ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle $1,2,\dots $) obvykle nazývá množina kladných celých čísel a označuje se Z + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . Množina ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle $0,1,\tečky $) se často nazývá množina nezáporných celých čísel a označuje se Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _( \geqslant 0)) .

Pozice množiny přirozených čísel (N (\displaystyle \mathbb (N))) mezi množinami celých čísel (Z (\displaystyle \mathbb (Z))), racionální čísla(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), reálná čísla (R (\displaystyle \mathbb (R) )) a iracionální čísla (R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ) )

Velikost množiny přirozených čísel

Velikost nekonečné množiny je charakterizována pojmem „kardinalita množiny“, což je zobecnění počtu prvků konečné množiny na nekonečné množiny. Ve velikosti (tj. mohutnosti) je množina přirozených čísel větší než jakákoli konečná množina, ale menší než jakýkoli interval, například interval (0, 1) (\displaystyle (0,1)). Množina přirozených čísel má stejnou mohutnost jako množina racionálních čísel. Množina stejné mohutnosti jako množina přirozených čísel se nazývá spočetná množina. Množina členů libovolné posloupnosti je tedy spočetná. Zároveň existuje posloupnost, ve které se každé přirozené číslo objevuje nekonečně mnohokrát, protože množinu přirozených čísel lze reprezentovat jako spočetný svaz disjunktních spočetných množin (například N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\vpravo))).

Operace s přirozenými čísly

Uzavřené operace (operace, které neodvozují výsledek z množiny přirozených čísel) na přirozených číslech zahrnují následující aritmetické operace:

přidání: člen + člen = součet;
násobení: faktor × faktor = produkt;
umocňování: a b (\displaystyle a^(b)) , kde a (\displaystyle a) je základ stupně, b (\displaystyle b) je exponent. Jsou-li a (\displaystyle a) ab (\displaystyle b) přirozená čísla, bude výsledkem přirozené číslo.

Navíc jsou uvažovány další dvě operace (z formálního hlediska nejde o operace s přirozenými čísly, protože nejsou definovány pro každý dvojice čísel (někdy existují, někdy ne)):

odčítání: minuend - subtrahend = rozdíl. V tomto případě musí být minuend větší než subtrahend (nebo mu rovný, pokud nulu považujeme za přirozené číslo);
rozdělení se zbytkem: dividenda / dělitel = (podíl, zbytek). Podíl p (\displaystyle p) a zbytek r (\displaystyle r) z dělení a (\displaystyle a) b (\displaystyle b) jsou definovány následovně: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p \cdot b+ r) a 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r lze reprezentovat jako a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a), to znamená, že jakékoli číslo lze považovat za částečné , a zbytek a (\displaystyle a) .

Je třeba poznamenat, že operace sčítání a násobení jsou zásadní. Zejména okruh celých čísel je přesně definován pomocí binárních operací sčítání a násobení.

Základní vlastnosti

Komutativnost sčítání:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

Komutativnost násobení:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

Sčítací asociativita:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

Násobící asociativita:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

Distributivita násobení vzhledem k sčítání:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Algebraická struktura

Sčítání změní množinu přirozených čísel na pologrupu s jednotkou, roli jednotky hraje 0 . Násobení také změní množinu přirozených čísel na pologrupu s identitou, přičemž prvek identity je 1 . Pomocí uzávěru pod operacemi sčítání-odčítání a násobení-dělení získáme skupiny celých čísel Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) a racionálních kladných čísel Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^( *)) resp.

Definice teorie množin

Použijme definici přirozených čísel jako tříd ekvivalence konečných množin. Označíme-li třídu ekvivalence množiny A, generované bijekcemi, pomocí hranatých závorek: [ A] jsou základní aritmetické operace definovány takto:

[ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
[ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=),

A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - disjunktní spojení množin;
A × B (\displaystyle A\times B) - přímý produkt;
A B (\displaystyle A^(B)) - sada mapování z B PROTI A.

Lze ukázat, že výsledné operace s třídami jsou zavedeny správně, to znamená, že nezávisí na volbě prvků třídy a shodují se s induktivními definicemi.

Co je přirozené číslo? Historie, rozsah, vlastnosti

Matematika se vynořila z obecné filozofie kolem šestého století před naším letopočtem. e. a od té chvíle začal její vítězný pochod kolem světa. Každá etapa vývoje přinesla něco nového – elementární počítání se vyvíjelo, transformovalo na diferenciální a integrální počet, ubíhala staletí, vzorce byly čím dál zmatenější a přišel okamžik, kdy „začala nejsložitější matematika – všechna čísla z ní zmizela“. Ale co bylo základem?

Počátek času

Přirozená čísla se objevila spolu s prvními matematickými operacemi. Jedna páteř, dvě páteře, tři páteře... Objevily se díky indickým vědcům, kteří vyvinuli první poziční číselný systém.
Slovo „polohovost“ znamená, že umístění každé číslice v čísle je přesně definováno a odpovídá její pozici. Například čísla 784 a 487 jsou stejná čísla, ale čísla nejsou ekvivalentní, protože první obsahuje 7 stovek, zatímco druhé pouze 4. Indické inovace se chopili Arabové, kteří čísla převedli do tvaru že teď víme.

V dávných dobách dostávala čísla mystický význam, největší matematik Pythagoras věřil, že číslo je základem stvoření světa spolu se základními prvky – ohněm, vodou, zemí, vzduchem. Pokud vše zvážíme pouze z matematické stránky, co je to přirozené číslo? Obor přirozených čísel je označen jako N a je to nekonečná řada čísel, která jsou celá a kladná: 1, 2, 3, … + ∞. Nula je vyloučena. Používá se především k počítání položek a označení pořadí.

Co je přirozené číslo v matematice? Peanovy axiomy

Pole N je základní, na kterém je založena elementární matematika. Postupem času byla identifikována pole celých čísel, racionálních a komplexních čísel.

Práce italského matematika Giuseppe Peana umožnila další strukturování aritmetiky, dosáhla její formálnosti a připravila cestu pro další závěry přesahující oblast N. Co je přirozené číslo, bylo objasněno dříve jednoduchým jazykem; níže budeme uvažovat o matematické definici založené na Peanových axiomech.

Jednička je považována za přirozené číslo.
Číslo, které následuje za přirozeným číslem, je přirozené číslo.
Před jedničkou není přirozené číslo.
Jestliže číslo b následuje za číslem c i číslem d, pak c=d.
Axiom indukce, který zase ukazuje, co je přirozené číslo: je-li některý výrok závislý na parametru pravdivý pro číslo 1, pak předpokládáme, že funguje i pro číslo n z oboru přirozených čísel N. Pak tvrzení platí i pro n =1 z oboru přirozených čísel N.

Základní operace pro obor přirozených čísel

Protože pole N bylo první pro matematické výpočty, patří k němu jak definiční domény, tak rozsahy hodnot řady operací. Jsou zavřené a ne. Hlavní rozdíl je v tom, že uzavřené operace zaručeně ponechají výsledek v rámci množiny N, bez ohledu na to, o jaká čísla se jedná. Stačí, že jsou přirozené. Výsledek dalších numerických interakcí již není tak jasný a přímo závisí na tom, jaká čísla jsou ve výrazu zahrnuta, protože to může odporovat hlavní definici. Takže uzavřené operace:

sčítání – x + y = z, kde x, y, z jsou zahrnuty v poli N;
násobení – x * y = z, kde x, y, z jsou zahrnuty v poli N;
umocňování – xy, kde x, y jsou zahrnuty v poli N.

Zbývající operace, jejichž výsledek nemusí existovat v kontextu definice „co je přirozené číslo“, jsou následující:

Vlastnosti čísel patřících do pole N

Veškeré další matematické uvažování bude založeno na následujících vlastnostech, nejtriviálnějších, ale neméně důležitých.

Komutativní vlastnost sčítání je x + y = y + x, kde čísla x, y jsou zahrnuta v poli N. Nebo známé „součet se změnou místa členů nemění.“
Komutativní vlastnost násobení je x * y = y * x, kde čísla x, y jsou zahrnuta v poli N.
Kombinační vlastnost sčítání je (x + y) + z = x + (y + z), kde x, y, z jsou zahrnuty v poli N.
Srovnávací vlastnost násobení je (x * y) * z = x * (y * z), kde čísla x, y, z jsou zahrnuta v poli N.
distributivní vlastnost – x (y + z) = x * y + x * z, kde čísla x, y, z jsou zahrnuta v poli N.

Pythagorejský stůl

Jedním z prvních kroků k tomu, aby studenti poznali celou strukturu elementární matematiky poté, co sami pochopili, která čísla se nazývají přirozená čísla, je Pythagorova tabulka. Lze jej považovat nejen z vědeckého hlediska, ale také za nejcennější vědeckou památku.

Tato násobilka prošla postupem času řadou změn: byla z ní odstraněna nula a čísla od 1 do 10 reprezentují samy sebe, bez zohlednění řádů (stovky, tisíce...). Je to tabulka, ve které jsou záhlaví řádků a sloupců čísla a obsah buněk, kde se protínají, je roven jejich součinu.

V praxi výuky v posledních desetiletích vyvstala potřeba zapamatovat si Pythagorejskou tabulku „po pořádku“, to znamená, že memorování bylo na prvním místě. Násobení 1 bylo vyloučeno, protože výsledkem byl násobitel 1 nebo větší. Mezitím si v tabulce pouhým okem můžete všimnout vzoru: součin čísel se zvyšuje o jeden krok, což se rovná názvu řádku. Druhý faktor nám tedy ukazuje, kolikrát musíme vzít ten první, abychom získali požadovaný produkt. Tento systém je mnohem pohodlnější než ten, který byl praktikován ve středověku: i když lidé pochopili, co je přirozené číslo a jak triviální, dokázali si zkomplikovat každodenní počítání pomocí systému, který byl založen na mocninách dvojky.

Podmnožina jako kolébka matematiky

V tuto chvíli je pole přirozených čísel N považováno pouze za jednu z podmnožin komplexních čísel, ale to z nich nečiní nic méně vědeckého. Přirozené číslo je to první, co se dítě učí, když studuje sebe a svět kolem sebe. Jeden prst, dva prsty... Člověk si díky němu rozvíjí logické myšlení a také schopnost určit příčinu a odvodit následek, čímž si otevírá cestu k velkým objevům.

Diskuze: Přirozené číslo

Kontroverze kolem nuly

Nějak si nedokážu představit nulu jako přirozené číslo... Zdá se, že staří lidé nulu vůbec neznali. A TSB nepovažuje nulu za přirozené číslo. Jde tedy alespoň o kontroverzní tvrzení. Můžeme o nule říci něco neutrálnějšího? Nebo existují pádné argumenty? --.:Ajvol:. 18:18, 9. září 2004 (UTC)

Vrátit zpět poslední změnu. --Maxal 20:24, 9. září 2004 (UTC)

Francouzská akademie svého času vydala zvláštní dekret, podle kterého byla 0 zařazena do množiny přirozených čísel. Nyní je to standard, podle mého názoru není třeba představovat pojem „ruské přirozené číslo“, ale tento standard dodržovat. Přirozeně je třeba zmínit, že kdysi tomu tak nebylo (nejen v Rusku, ale všude). Tosha 23:16, 9. září 2004 (UTC)

Francouzská akademie pro nás není dekretem. V anglicky psané matematické literatuře také neexistuje ustálený názor na tuto věc. Viz například --Maxal 23:58, 9. září 2004 (UTC)

Někde je tam napsáno: „Pokud píšete článek o kontroverzním tématu, zkuste prezentovat všechny úhly pohledu a poskytněte odkazy na různé názory.“ Ostrov Bes 23:15, 25. prosince 2004 (UTC)

Nevidím zde kontroverzní problém, ale vidím: 1) neúctu k ostatním účastníkům výraznou změnou/mazáním jejich textu (je zvykem o nich diskutovat před provedením výrazných změn); 2) nahrazení striktních definic (označujících mohutnost množin) vágními (je velký rozdíl mezi „číslováním“ a „označováním množství“?). Proto se znovu vracím zpět, ale zanechávám poslední komentář. --Maxal 23:38, 25. prosince 2004 (UTC)

Neúcta je přesně tak, jak vnímám vaše provize. Tak o tom nemluvme. Moje úprava nemění podstatučlánek, jen jasně formuluje dvě definice. Předchozí verze článku formulovala definici „bez nuly“ jako hlavní a „s nulou“ jako druh disidentství. To absolutně nesplňuje požadavky Wikipedie (viz citace výše), stejně jako ne zcela vědecký styl prezentace v předchozí verzi. Doplnil jsem výraz „kardinalita množiny“ jako vysvětlení k „označení množství“ a „výčet“ k „číslování“. A pokud nevidíte rozdíl mezi „číslováním“ a „označováním množství“, pak se zeptám, proč tedy upravujete matematické články? Ostrov Bes 23:58, 25. prosince 2004 (UTC)

Pokud jde o „nemění podstatu“ - předchozí verze zdůrazňovala, že rozdíl v definicích je pouze v přiřazení nuly přirozeným číslům. Ve vaší verzi jsou definice prezentovány jako radikálně odlišné. Pokud jde o „základní“ definici, mělo by to tak být, protože tento článek v ruština Wikipedia, což znamená, že se v podstatě musíte držet toho, co jste řekli obecně přijímaný v ruských matematických školách. Útoky ignoruji. --Maxal 00:15, 26. prosince 2004 (UTC)

Ve skutečnosti je jediný zjevný rozdíl nulový. Ve skutečnosti je to právě ten zásadní rozdíl, pocházející z různého chápání podstaty přirozených čísel: v jedné verzi - jako veličin; v druhém - jako čísla. Tento Absolutně různé koncepty, bez ohledu na to, jak moc se snažíte skrýt skutečnost, že tomu nerozumíte.

Vzhledem k tomu, že v ruské Wikipedii je vyžadováno uvádět jako dominantní ruský pohled. Podívejte se pozorně sem. Podívejte se na anglický článek o Vánocích. Neříká se, že by se Vánoce měly slavit 25. prosince, protože tak se slaví v Anglii a USA. Jsou tam uvedeny oba úhly pohledu (a neliší se o nic více a o nic méně než rozdíl mezi přirozenými čísly „s nulou“ a „bez nuly“) a ani slovo o tom, který z nich je údajně pravdivější.

V mé verzi článku jsou oba pohledy označeny jako nezávislé a mají stejné právo na existenci. Ruský standard je označen slovy, o kterých jste se zmínili výše.

Možná, z filozofického hlediska, pojmy přirozených čísel skutečně jsou Absolutně různé, ale článek nabízí v podstatě matematické definice, kde veškerý rozdíl je 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) nebo 0 ∉ N (\displaystyle 0\ne \in \mathbb (N) ) . Dominantní úhel pohledu nebo ne je delikátní záležitost. Oceňuji frázi pozorován ve většině západního světa 25. prosince z anglického článku o Vánocích jako vyjádření dominantního pohledu, a to přesto, že v prvním odstavci nejsou uvedena žádná další data. Mimochodem, v předchozí verzi článku o přirozených číslech také nebyl žádný přímý návod jak nutné pro určení přirozených čísel byla prostě definice bez nuly prezentována jako běžnější (v Rusku). V každém případě je dobře, že se našel kompromis. --Maxal 00:53, 26. prosince 2004 (UTC)

Výraz „V ruské literatuře se nula obvykle vylučuje z počtu přirozených čísel“ je poněkud nepříjemně překvapivý, pánové, nula není považována za přirozené číslo, pokud není uvedeno jinak, na celém světě. Stejná francouzština, pokud jsem je četl, výslovně stanoví zahrnutí nuly. Samozřejmě se častěji používá N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)), ale pokud se mi například líbí ženy, nebudu měnit muže v ženy. Druid. 2014-02-23

Neoblíbenost přirozených čísel

Zdá se mi, že přirozená čísla jsou v matematice neoblíbeným předmětem (možná v neposlední řadě kvůli chybějící společné definici). Podle mých zkušeností se s pojmy často setkávám v matematických článcích nezáporná celá čísla A kladná celá čísla(které se vykládají jednoznačně) spíše než celá čísla. Žádáme zainteresované strany, aby vyjádřily svůj (ne)souhlas s touto připomínkou. Pokud toto pozorování najde podporu, pak má smysl to v článku uvést. --Maxal 01:12, 26. prosince 2004 (UTC)

V souhrnné části svého prohlášení máte nepochybně pravdu. To vše je právě kvůli rozdílům v definici. V některých případech dávám přednost označení „kladná celá čísla“ nebo „nezáporná celá čísla“ namísto „přirozeného“, abych se vyhnul nesrovnalostem ohledně zahrnutí nuly. A obecně souhlasím s výrokem. Ostrov Bes 01:19, 26. 12. 2004 (UTC) V článcích - ano, možná to tak je. Nicméně v delších textech, stejně jako tam, kde se koncept používá často, obvykle používají celá čísla Nejprve však vysvětlíme, „jaká“ přirozená čísla mluvíme – s nulou nebo bez ní. LoKi 19:31, 30. července 2005 (UTC)

Čísla

Má cenu uvádět názvy čísel (jedna, dvě, tři atd.) v poslední části tohoto článku? Nemělo by větší smysl dát to do článku Číslo? Přesto by tento článek podle mého názoru měl být spíše matematického charakteru. Jak si myslíte, že? --LoKi 19:32, 30. července 2005 (UTC)

Obecně je zvláštní, jak můžete získat obyčejné přirozené číslo z *prázdných* množin? Obecně platí, že bez ohledu na to, jak moc spojíte prázdnotu s prázdnotou, nevyjde nic kromě prázdnoty! Není to vůbec alternativní definice? Publikováno v 21:46, 17. července 2009 (Moskva)

Kategoričnost systému Peanova axiomu

Přidal jsem poznámku o kategoričnosti systému Peano axiomů, která je podle mého názoru zásadní. Prosím naformátujte odkaz na knihu správně [[Účastník: A_Devyatkov 06:58, 11. června 2010 (UTC)]]

Peanovy axiomy

Téměř ve všech zahraničních literaturách a na Wikipedii začínají Peanovy axiomy „0 je přirozené číslo“. V původním zdroji je skutečně napsáno „1 je přirozené číslo“. V roce 1897 však Peano provede změnu a změní 1 na 0. To je napsáno ve "Formulaire de mathematikes", Tome II - č. 2. strana 81. Toto je odkaz na elektronickou verzi na požadované stránce:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (francouzsky).

Vysvětlení těchto změn je uvedeno v "Rivista di matematica", ročník 6-7, 1899, strana 76. Také odkaz na elektronickou verzi na požadované stránce:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (italsky).

0=0

Jaké jsou „axiomy digitálních gramofonů“?

Rád bych vrátil článek na nejnovější hlídkovou verzi. Za prvé, někdo přejmenoval Peanovy axiomy na Pianovy axiomy, proto odkaz přestal fungovat. Za druhé, jistý Tvorogov do článku přidal velmi obsáhlou informaci, která je dle mého názoru v tomto článku zcela nevhodná. Je psána neencyklopedickým způsobem, navíc jsou uvedeny výsledky samotného Tvorogova a odkaz na jeho vlastní knihu. Trvám na tom, že část o „axiomech digitálních gramofonů“ by měla být z tohoto článku odstraněna. P.s. Proč byla odstraněna část o čísle nula? mesyarik 14:58, 12. března 2014 (UTC)

Téma není probráno, je nutná jasná definice přirozených čísel

Prosím, nepište kacířství jako " Přirozená čísla (přirozená čísla) jsou čísla, která přirozeně vznikají při počítání."Nic nevzniká v mozku přirozeně. Bude tam přesně to, co tam dáte."

Jak může pětileté dítě vysvětlit, které číslo je přirozené? Jsou přece lidé, kterým je třeba vysvětlovat, jako by jim bylo pět let. Jak se přirozené číslo liší od obyčejného čísla? Potřebné příklady! 1, 2, 3 je přirozené a 12 je přirozené a -12? a tříčtvrteční, nebo třeba 4,25 přírodní? 95.181.136.132 15:09, 6. listopadu 2014 (UTC)

Přirozená čísla jsou základní pojem, původní abstrakce. Nelze je definovat. Můžete jít do filozofie, jak chcete, ale nakonec musíte buď připustit (přijmout na víru?) nějakou rigidní metafyzickou pozici, nebo připustit, že neexistuje žádná absolutní definice, přirozená čísla jsou součástí umělého formálního systému, model, který vymyslel člověk (nebo Bůh). Našel jsem na toto téma zajímavé pojednání. Jak se vám líbí tato možnost, například: “ Přirozeně blízko se nazývá jakýkoli specifický Peanoův systém, tedy model Peanovy axiomatické teorie. Cítit se lépe? RomanSuzi 17:52, 6. listopadu 2014 (UTC)
- Zdá se, že svými modely a axiomatickými teoriemi vše jen komplikujete. Tuto definici pochopí v nejlepším případě dva z tisíce lidí. Proto si myslím, že v prvním odstavci chybí věta " Jednoduše řečeno: přirozená čísla jsou kladná celá čísla začínající od jednoho včetně." Tato definice zní většině normálně. A nedává důvod pochybovat o definici přirozeného čísla. Ostatně po přečtení článku jsem úplně nepochopil, jaká přirozená čísla jsou a číslo 807423 je přirozená nebo přirozená čísla jsou ta, která toto číslo tvoří, tj. 8 0 7 4 2 3. Často vše zkazí komplikace Informace o přirozených číslech by měly být na této stránce a ne v četných odkazech na jiné stránky 95.181.136.132 10:03, 7. listopadu 2014 (UTC)
  - Zde je třeba rozlišovat dva úkoly: (1) srozumitelně (i když ne striktně) vysvětlit čtenáři, který má k matematice daleko, co je přirozené číslo, aby to víceméně správně pochopil; (2) dát tak striktní definici přirozeného čísla, z níž vyplývají jeho základní vlastnosti. Správně obhajujete první možnost v preambuli, ale v článku je uvedena právě tato: přirozené číslo je matematickou formalizací počítání: jedna, dvě, tři atd. Váš příklad (807423) lze jistě získat, když počítání, což znamená také přirozené číslo. Nechápu, proč si pletete číslo a způsob jeho zápisu v číslech; to je samostatné téma, které přímo nesouvisí s definicí čísla. Vaše verze vysvětlení: " přirozená čísla jsou kladná celá čísla počínaje jedním včetně„Není dobré, protože nelze definovat méně obecný koncept(přirozené číslo) přes obecnější (číslo), dosud nedefinované. Je pro mě těžké si představit čtenáře, který ví, co je kladné celé číslo, ale netuší, co je přirozené číslo. LGB 12:06, 7. listopadu 2014 (UTC)
    - Přirozená čísla nelze definovat jako celá čísla. RomanSuzi 17:01, 7. listopadu 2014 (UTC)

"Nic nevznikne přirozeně v mozku." Nedávné studie ukazují (momentálně nemohu najít žádné odkazy), že lidský mozek je připraven používat jazyk. Připravenost na zvládnutí jazyka tak máme přirozeně již v genech. No, pro přirozená čísla je to potřeba. Koncept „1“ lze zobrazit rukou a poté pomocí indukce můžete přidat tyčinky, získat 2, 3 a tak dále. Nebo: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Možná však máte konkrétní návrhy na vylepšení článku na základě důvěryhodných zdrojů? RomanSuzi 17:57, 6. listopadu 2014 (UTC)

Co je přirozené číslo v matematice?

Vladimír z

Přirozená čísla se používají k číslování objektů a k počítání jejich množství. Pro číslování se používají kladná celá čísla počínaje 1.

A pro počítání čísla obsahují také 0, což znamená nepřítomnost objektů.

Zda pojem přirozených čísel obsahuje číslo 0, závisí na axiomatice. Pokud prezentace jakékoli matematické teorie vyžaduje přítomnost 0 v množině přirozených čísel, pak je to v rámci této teorie stanoveno a považováno za neměnnou pravdu (axiom). Definice čísla 0, pozitivní i negativní, se tomu velmi blíží. Vezmeme-li definici přirozených čísel jako množinu všech NEGATIVNÍCH celých čísel, pak vyvstává otázka, jaké je číslo 0 - kladné nebo záporné?

V praktických aplikacích se zpravidla používá první definice, která neobsahuje číslo 0.

Tužka

Přirozená čísla jsou kladná celá čísla. Přirozená čísla se používají k počítání (číslování) objektů nebo k označení počtu objektů nebo k označení pořadového čísla objektu v seznamu. Někteří autoři uměle začleňují nulu do pojmu „přirozená čísla“. Jiní používají formulaci „přirozená čísla a nula“. To je bez principu. Množina přirozených čísel je nekonečná, protože s jakkoliv velkým přirozeným číslem můžete provést operaci sčítání s jiným přirozeným číslem a dostanete číslo ještě větší.

Záporná a neceločíselná čísla se do množiny přirozených čísel nezahrnují.

Pohoří Sajany

Přirozená čísla jsou čísla, která se používají k počítání. Mohou být pouze pozitivní a celiství. Co to v příkladu znamená? Protože tato čísla slouží k počítání, zkusme si něco spočítat. Co umíš počítat? Například lidé. Můžeme počítat lidi takto: 1 osoba, 2 osoby, 3 osoby atd. Čísla 1, 2, 3 a další použitá pro počítání budou přirozená čísla. Nikdy neříkáme -1 (mínus jedna) osoba nebo 1,5 (jedna a půl) osoba (omluvte slovní hříčku:), takže -1 a 1,5 (jako všechna záporná a zlomková čísla) nejsou přirozená čísla.

Lorelei

Přirozená čísla jsou ta čísla, která se používají při počítání objektů.

Nejmenší přirozené číslo je jedna. Často vyvstává otázka, zda je nula přirozené číslo. Ne, ve většině ruských zdrojů není, ale v jiných zemích je číslo nula uznáváno jako přirozené číslo...

Moreljuba

Přirozená čísla v matematice znamenají čísla používaná k postupnému počítání něčeho nebo někoho. Za nejmenší přirozené číslo se považuje jednička. Ve většině případů nula není přirozené číslo. Záporná čísla zde také nejsou zahrnuta.

Zdravíme Slovany

Přirozená čísla, známá také jako přirozená čísla, jsou čísla, která vznikají obvyklým způsobem když je jejich počet větší než nula. Posloupnost každého přirozeného čísla, uspořádaná vzestupně, se nazývá přirozená řada.

Elena Nikityuk

V matematice se používá termín přirozené číslo. Kladné celé číslo se nazývá přirozené číslo. Za nejmenší přirozené číslo se považuje „0“. K výpočtu čehokoli se používají stejná přirozená čísla, například 1,2,3... a tak dále.

Přirozená čísla jsou čísla, se kterými počítáme, tedy jedna, dva, tři, čtyři, pět a další jsou přirozená čísla.

To jsou nutně kladná čísla větší než nula.

Zlomková čísla také nepatří do množiny přirozených čísel.

-Orchidej-

Přirozená čísla jsou potřeba k tomu, abychom něco spočítali. Jedná se o řadu pouze kladných čísel počínaje jedničkou. Je důležité vědět, že tato čísla jsou výhradně celá čísla. S přirozenými čísly můžete vypočítat cokoliv.

Marlena

Přirozená čísla jsou celá čísla, která obvykle používáme při počítání objektů. Nula jako taková nepatří do oblasti přirozených čísel, protože ji obvykle ve výpočtech nepoužíváme.

Inara-pd

Přirozená čísla jsou čísla, která používáme při počítání – jedna, dvě, tři a tak dále.

Přirozená čísla vznikla z praktických potřeb člověka.

Přirozená čísla se zapisují pomocí deseti číslic.

Nula není přirozené číslo.

Co je přirozené číslo?

Naumenko

Přirozená čísla jsou čísla. používá se při číslování a počítání přírodních (květina, strom, zvíře, pták atd.) předmětů.

Volají se celá čísla PŘIROZENÁ čísla, jejich opaky a nula,

Vysvětlit. co jsou přirozená přes celá čísla je nesprávné!! !

Čísla mohou být sudá - dělitelná 2 celkem a lichá - nedělitelná 2 celkem.

Prvočísla jsou čísla. mít pouze 2 dělitele - jeden a sám sebe...
První z vašich rovnic nemá řešení. pro druhé x=6 6 je přirozené číslo.

Přirozená čísla (přirozená čísla) jsou čísla, která přirozeně vznikají při počítání (jak ve smyslu výčtu, tak ve smyslu počtu).

Množina všech přirozených čísel se obvykle značí \mathbb(N). Množina přirozených čísel je nekonečná, protože pro každé přirozené číslo existuje větší přirozené číslo.

Anna Semenčenková

čísla, která přirozeně vznikají při počítání (jak ve smyslu výčtu, tak ve smyslu kalkulu).
Existují dva přístupy k definování přirozených čísel - čísla používaná v:
výpis (číslování) položek (první, druhý, třetí, ...);
označení počtu položek (žádné položky, jedna položka, dvě položky, ...). Přijato v dílech Bourbakiho, kde jsou přirozená čísla definována jako mohutnosti konečných množin.
Záporná a neceločíselná (racionální, reálná, ...) čísla nejsou přirozená čísla.
Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje znaménkem. Množina přirozených čísel je nekonečná, protože pro každé přirozené číslo existuje větší přirozené číslo.

Přirozená čísla a jejich vlastnosti

Přirozená čísla se používají k počítání předmětů v životě. Při zápisu libovolného přirozeného čísla se používají čísla $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Posloupnost přirozených čísel, kde každé další číslo je o $1$ větší než předchozí, tvoří přirozenou řadu, která začíná jedničkou (protože jedna je nejmenší přirozené číslo) a nemá největší hodnotu, tzn. nekonečný.

Nula není považována za přirozené číslo.

Vlastnosti dědického vztahu

Všechny vlastnosti přirozených čísel a operace s nimi vyplývají ze čtyř vlastností vztahů posloupnosti, které v roce 1891 zformuloval D. Peano:

Jedna je přirozené číslo, které nenásleduje žádné přirozené číslo.

Za každým přirozeným číslem následuje jedno jediné číslo

Každé přirozené číslo jiné než $1$ následuje pouze za jedním přirozeným číslem

Podmnožina přirozených čísel obsahující číslo $1$ a spolu s každým číslem následující za ním obsahuje všechna přirozená čísla.

Pokud se zápis přirozeného čísla skládá z jedné číslice, nazývá se jednociferné (například $2,6,9$ atd.), pokud se zápis skládá ze dvou číslic, nazývá se dvoumístné (například $12 ,18,45 $) atd. Podobně. Dvoumístné, třímístné, čtyřmístné atd. V matematice se čísla nazývají vícehodnotová.

Vlastnost sčítání přirozených čísel

Komutativní vlastnost: $a+b=b+a$

Součet se při změně podmínek nemění

Kombinační vlastnost: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

Chcete-li k číslu přidat součet dvou čísel, můžete nejprve přidat první člen a poté k výslednému součtu přidat druhý člen

Přidáním nuly se číslo nezmění, a pokud jakékoli číslo přičtete k nule, získáte přidané číslo.

Vlastnosti odčítání

Vlastnost odečtení součtu od čísla $a-(b+c) =a-b-c$, pokud $b+c ≤ a$

Chcete-li odečíst součet od čísla, můžete nejprve odečíst první člen od tohoto čísla a poté druhý člen od výsledného rozdílu.

Vlastnost odečítání čísla od součtu $(a+b) -c=a+(b-c)$, pokud $c ≤ b$

Chcete-li odečíst číslo od součtu, můžete jej odečíst od jednoho členu a k výslednému rozdílu přidat další člen.

Pokud od čísla odečtete nulu, číslo se nezmění

Pokud jej odečtete od samotného čísla, dostanete nulu

Vlastnosti násobení

Komunikativní $a\cdot b=b\cdot a$

Součin dvou čísel se při přeskupení faktorů nemění

Konjunktiv $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

Chcete-li vynásobit číslo součinem dvou čísel, můžete je nejprve vynásobit prvním faktorem a poté vynásobit výsledný součin druhým faktorem

Při vynásobení jednou se součin nezmění $m\cdot 1=m$

Při vynásobení nulou je součin nula

Pokud v zápisu součinu nejsou žádné závorky, násobení se provádí v pořadí zleva doprava

Vlastnosti násobení vůči sčítání a odčítání

Distribuční vlastnost násobení vzhledem k sčítání

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

Chcete-li vynásobit součet číslem, můžete vynásobit každý výraz tímto číslem a sečíst výsledné produkty

Například $5(x+y)=5x+5y$

Distribuční vlastnost násobení vzhledem k odčítání

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

Chcete-li vynásobit rozdíl číslem, vynásobte minuend a subtrahend tímto číslem a odečtěte druhý od prvního součinu

Například $5(x-y)=5x-5y$

Porovnání přirozených čísel

Pro jakákoli přirozená čísla $a$ a $b$ může být splněn pouze jeden ze tří vztahů: $a=b$, $a

Číslo, které se v přirozené řadě objeví dříve, se považuje za menší a číslo, které se objeví později, se považuje za větší. Nula je menší než jakékoli přirozené číslo.

Příklad 1

Porovnejte čísla $a$ a $555$, pokud je známo, že existuje určité číslo $b$, a platí následující vztahy: $a

Řešení: Na základě zadané vlastnosti, protože podle podmínky $a

v každé podmnožině přirozených čísel obsahujících alespoň jedno číslo je číslo nejmenší

V matematice je podmnožina součástí množiny. O množině se říká, že je podmnožinou jiné, pokud je každý prvek podmnožiny také prvkem větší množiny

Často pro srovnání čísel najdou svůj rozdíl a porovnají ho s nulou. Pokud je rozdíl větší než $0$, ale první číslo je větší než druhé, pokud je rozdíl menší než $0$, pak je první číslo menší než druhé.

Zaokrouhlování přirozených čísel

Když plná přesnost není potřeba nebo není možná, čísla se zaokrouhlí, to znamená, že se nahradí blízkými čísly s nulami na konci.

Přirozená čísla se zaokrouhlují na desítky, stovky, tisíce atd.

Při zaokrouhlování čísla na desítky je nahrazeno nejbližším číslem složeným z celých desítek; takové číslo má na místě jednotek číslici $0$

Při zaokrouhlování čísla na nejbližší stovku je nahrazeno nejbližším číslem skládajícím se z celých stovek; takové číslo musí mít na místě desítek a jedniček číslici $0$. Atd

Čísla, na která se toto zaokrouhluje, se nazývají přibližná hodnota čísla s přesností na uvedené číslice. Pokud například zaokrouhlíte číslo 564 $ na desítky, zjistíme, že jej můžete zaokrouhlit dolů a dostanete 560 $, popř. s přebytkem a získejte 570 $.

Pravidlo pro zaokrouhlování přirozených čísel

Pokud je napravo od číslice, na kterou je číslo zaokrouhleno, číslice $5$ nebo číslice větší než $5$, pak se k číslici této číslice přidá $1$; jinak je tento údaj ponechán beze změny

Všechny číslice umístěné vpravo od číslice, na kterou se číslo zaokrouhluje, jsou nahrazeny nulami

Nejjednodušší číslo je přirozené číslo. Používají se v Každodenní život pro počítání předměty, tzn. vypočítat jejich počet a pořadí.

Co je přirozené číslo: přirozená čísla pojmenujte čísla, na která se používají počítání položek nebo k uvedení sériového čísla libovolné položky ze všech homogenních položky.

Celá čísla- to jsou čísla začínající od jedné. Při počítání se tvoří přirozeně.Například 1,2,3,4,5... -první přirozená čísla.

Nejmenší přirozené číslo- jeden. Neexistuje žádné největší přirozené číslo. Při počítání čísla Nula se nepoužívá, takže nula je přirozené číslo.

Přirozená číselná řada je posloupnost všech přirozených čísel. Zápis přirozených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

V přirozené řadě je každé číslo o jedno větší než předchozí.

Kolik čísel je v přirozené řadě? Přirozená řada je nekonečná, největší přirozené číslo neexistuje.

Desetinné číslo od 10 jednotek libovolné číslice tvoří 1 jednotku nejvyšší číslice. Polohově tak jak význam číslice závisí na jejím místě v čísle, tzn. z kategorie, kde je napsáno.

Třídy přirozených čísel.

Jakékoli přirozené číslo lze zapsat pomocí 10 arabských číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Aby bylo možné číst přirozená čísla, jsou rozdělena, počínaje zprava, do skupin po 3 číslicích. 3 nejprve čísla vpravo jsou třída jednotek, další 3 jsou třída tisíců, pak třídy milionů, miliard aatd. Každá číslice třídy se nazývá jejívybít.

Porovnání přirozených čísel.

Ze 2 přirozených čísel je menší číslo, které se při počítání volá dříve. Například, číslo 7 méně 11 (napsáno takto:7 < 11 ). Když je jedno číslo větší než druhé, zapíše se takto:386 > 99 .

Tabulka číslic a tříd čísel.


jednotka 1. třídy	1. číslice jednotky 2. číslice desítky 3. místo stovky
2. třída tisíc	1. číslice jednotky tisíců 2. číslice desítky tisíc 3. kategorie statisíce
miliony ve 3. třídě	1. číslice jednotky milionů 2. kategorie desítky milionů 3. kategorie stovky milionů
miliardy čtvrté třídy	1. číslice jednotky miliard 2. kategorie desítky miliard 3. kategorie stovky miliard

Čísla od 5. třídy a výše odkazují vysoká čísla. Jednotky 5. třídy jsou biliony, 6. třída třída - kvadriliony, 7. třída - kvintiliony, 8. třída - sextiliony, 9. třída - epillions.

Základní vlastnosti přirozených čísel.

Komutativnost sčítání . a + b = b + a
Komutativnost násobení. ab = ba
Asociativita sčítání. (a + b) + c = a + (b + c)
Asociativita násobení.
Distributivita násobení vzhledem k sčítání:

Operace s přirozenými čísly.

4. Dělení přirozených čísel je inverzní operace násobení.

Li b ∙ c = a, Že

Vzorce pro rozdělení:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b): c = (a:c) ∙ b

(A∙ b): c = (b:c) ∙ a

Číselné výrazy a číselné rovnosti.

Zápis, kde jsou čísla spojena znaky akcí, je číselné vyjádření.

Například 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Záznamy, kde jsou 2 číselné výrazy kombinovány se znakem rovná se, jsou číselné rovnosti. Rovnost má levou a pravou stranu.

Pořadí provádění aritmetických operací.

Sčítání a odčítání čísel jsou operace prvního stupně, násobení a dělení jsou operace druhého stupně.

Když se číselný výraz skládá z akcí pouze jednoho stupně, provádějí se postupně zleva doprava.

Když se výrazy skládají z akcí pouze prvního a druhého stupně, pak se akce provádějí jako první druhého stupně a poté - akce prvního stupně.

Pokud jsou ve výrazu závorky, nejprve se provedou akce v závorkách.

Například 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Celá čísla– čísla, která se používají k počítání předmětů . Pomocí deseti lze zapsat libovolné přirozené číslo čísla: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Tento typ čísel se nazývá desetinný

Zavolá se posloupnost všech přirozených čísel přirozené vedle .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Nejvíc malý přirozené číslo je jedna (1). V přirozené řadě je každé další číslo o 1 větší než předchozí. Přírodní série nekonečný, není v něm žádné největší číslo.

Význam číslice závisí na jejím místě v číselném záznamu. Například číslo 4 znamená: 4 jednotky, pokud je na posledním místě v číselném záznamu (v jednotkách místo); 4 deset, pokud je předposlední (na místě desítek); 4 stovky, pokud je na třetím místě od konce (PROTI stovky míst).

Číslo 0 znamená absence jednotek této kategorie v desítkovém zápisu čísla. Slouží také k označení čísla „ nula" Toto číslo znamená „žádný“. Stav 0:3 ve fotbalovém utkání znamená, že první tým nevstřelil soupeři ani jednu branku.

Nula nezahrnujte na přirozená čísla. A skutečně, počítání předmětů nikdy nezačíná od nuly.

Pokud se zápis přirozeného čísla skládá z jednoho znaménka – jedna číslice, pak se nazývá jednoznačný. Tito. jednoznačnýpřirozené číslo– přirozené číslo, jehož zápis se skládá z jednoho znaménka – jedna číslice. Například čísla 1, 6, 8 jsou jednociferné.

Dvoucifernýpřirozené číslo– přirozené číslo, jehož zápis se skládá ze dvou znaků – dvou číslic.

Například čísla 12, 47, 24, 99 jsou dvouciferná čísla.

Také podle počtu znaků v dané číslo pojmenujte další čísla:

čísla 326, 532, 893 – třímístný;

čísla 1126, 4268, 9999 – čtyřmístný atd.

Dvoumístné, třímístné, čtyřmístné, pětimístné atd. volají se čísla vícemístná čísla .

Na čtení vícemístná čísla jsou rozděleny, počínaje zprava, do skupin po třech číslicích (skupina zcela vlevo se může skládat z jedné nebo dvou číslic). Tyto skupiny se nazývají třídy.

Milión– to je tisíc tisíc (1000 tisíc), píše se 1 milion nebo 1 000 000.

Miliarda- to je 1000 milionů. Píše se jako 1 miliarda nebo 1 000 000 000.

První tři číslice vpravo tvoří třídu jednotek, další tři – třídu tisíců, pak následují třídy milionů, miliard atd. (Obr. 1).

Rýže. 1. Třída milionů, třída tisíce a třída jednotek (zleva doprava)

Do bitové mřížky je zapsáno číslo 15389000286 (obr. 2).

Rýže. 2. Bitová mřížka: číslo 15 miliard 389 milionů 286

Toto číslo má 286 jednotek ve třídě jednotek, nula jednotek ve třídě tisíců, 389 jednotek ve třídě milionů a 15 jednotek ve třídě miliard.

V matematice existuje několik různých sad čísel: reálné, komplexní, celočíselné, racionální, iracionální, ... Každodenní život Nejčastěji používáme přirozená čísla, protože se s nimi setkáváme při počítání a při hledání, určování počtu objektů.

V kontaktu s

Jaká čísla se nazývají přirozená čísla?

Z deseti číslic můžete napsat absolutně jakýkoli existující součet tříd a hodností. Za přírodní hodnoty se považují ty které se používají:

Při počítání libovolných předmětů (první, druhý, třetí, ... pátý, ... desátý).
Při uvádění počtu položek (jeden, dva, tři...)

Hodnoty N jsou vždy celá a kladná. Neexistuje žádné největší N, protože množina celočíselných hodnot je neomezená.

Pozornost! Přirozená čísla se získávají při počítání předmětů nebo při indikaci jejich množství.

Naprosto jakékoli číslo lze rozložit a prezentovat ve formě číslic, například: 8 346 809=8 milionů+346 tisíc+809 jednotek.

Sada N

Množina N je v množině reálné, celočíselné a kladné. Na schématu množin by byly umístěny jedna v druhé, protože množina přirozených je jejich součástí.

Množinu přirozených čísel označujeme písmenem N. Tato množina má začátek, ale nemá konec.

Existuje také rozšířená množina N, kde je zahrnuta nula.

Nejmenší přirozené číslo

Většina matematických škol nejnižší hodnota N je považován za jednotku, protože nepřítomnost předmětů je považována za prázdnotu.

Ale na zahraničních matematických školách, například ve francouzštině, se to považuje za přirozené. Přítomnost nuly v řadě usnadňuje důkaz některé věty.

Řada hodnot N, která obsahuje nulu, se nazývá rozšířená a je označena symbolem N0 (nulový index).

Řady přirozených čísel

N řada je posloupnost všech N sad číslic. Tato sekvence nemá konce.

Zvláštností přirozené řady je, že následující číslo se bude lišit o jednu od předchozího, to znamená, že se bude zvyšovat. Ale ty významy nemůže být negativní.

Pozornost! Pro usnadnění počítání existují třídy a kategorie:

Jednotky (1, 2, 3),
desítky (10, 20, 30),
Stovky (100, 200, 300),
Tisíce (1000, 2000, 3000),
Desítky tisíc (30 000),
Stovky tisíc (800 000),
Miliony (4000000) atd.

Všechny N

Všechna N jsou v množině reálných, celých, nezáporných hodnot. Jsou jejich nedílná součást.

Tyto hodnoty jdou do nekonečna, mohou patřit do tříd milionů, miliard, kvintilionů atd.

Například:

Pět jablek, tři koťata,
Deset rublů, třicet tužek,
Sto kilogramů, tři sta knih,
Milion hvězd, tři miliony lidí atd.

Sekvence v N

V různých matematických školách můžete najít dva intervaly, do kterých posloupnost N patří:

od nuly do plus nekonečna včetně konců a od jedničky do plus nekonečna včetně konců, tedy všeho kladné celočíselné odpovědi.

N sad číslic může být sudých nebo lichých. Podívejme se na koncept podivnosti.

Liché (jakékoli liché číslo končí čísly 1, 3, 5, 7, 9.) se dvěma má zbytek. Například 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.

Co znamená dokonce N?

Jakékoli sudé součty tříd končí čísly: 0, 2, 4, 6, 8. Když je sudé N děleno 2, nezůstane žádný zbytek, to znamená, že výsledkem je celá odpověď. Například 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

Důležité!Číselná řada N nemůže sestávat pouze ze sudých nebo lichých hodnot, protože se musí střídat: po sudé vždy následuje lichá, po ní znovu sudá atd.

Vlastnosti N

Stejně jako všechny ostatní množiny má N své vlastní speciální vlastnosti. Uvažujme vlastnosti řady N (nerozšířené).

Hodnota, která je nejmenší a nenásleduje za žádnou jinou, je jedna.
N představuje posloupnost, tedy jednu přirozenou hodnotu následuje další(kromě jednoho - je první).
Když provádíme výpočetní operace s N součty číslic a tříd (sčítání, násobení), pak odpověď vždy to dopadne přirozeně význam.
Ve výpočtech lze použít permutaci a kombinaci.
Každá následující hodnota nemůže být menší než ta předchozí. Také v řadě N bude platit následující zákon: je-li číslo A menší než B, pak v číselné řadě bude vždy C, pro které platí rovnost: A+C=B.
Pokud vezmeme dva přirozené výrazy, například A a B, pak pro ně bude pravdivý jeden z výrazů: A = B, A je větší než B, A je menší než B.
Pokud je A menší než B a B je menší než C, pak z toho plyne že A je menší než C.
Pokud je A menší než B, pak z toho plyne, že: pokud k nim přidáme stejný výraz (C), pak A + C je menší než B + C. Je také pravda, že pokud se tyto hodnoty vynásobí C, pak AC je menší než AB.
Pokud je B větší než A, ale menší než C, pak platí: B-A je menší než C-A.

Pozornost! Všechny výše uvedené nerovnosti platí i v opačném směru.

Jak se nazývají složky násobení?

U mnoha jednoduchých a dokonce i složitých problémů závisí nalezení odpovědi na dovednostech studentů