V jakém pořadí jsou přirozená čísla? Celá čísla

Lekce „Zápis přirozených čísel“ je první hodinou kurzu matematiky páté třídy a je pokračováním a v některých bodech opakováním. podobné téma který byl v kurzu studován základní škola. V důsledku toho studenti často nevnímají vzdělávací materiál příliš pozorně. Pro dosažení maximálního zájmu a koncentrace pozornosti je proto nutné zavádět nové způsoby výkladu, např. využít prezentaci „Zápis přirozených čísel“.

Lekce začíná opakováním řady číslic a také pojmu přirozené číslo a jeho desítkový zápis. Je vysvětleno, že posloupnost všech přirozených čísel se nazývá přirozená řada a je uveden příklad jejích prvních dvaceti prvků. Zvláštní pozornost je při prezentaci věnována významu čísla v závislosti na jeho místo v zápisu čísla. Abychom to udělali, uvažovali jsme o zápisu čísla po číslicích. Pomocí efektní a nevtíravé animace je studentům ukázáno, co znamená stejné číslo podle toho, kde se nachází: na místě jednotek, na místě desítek atd.

Nezřídka se setkáváme s tím, že spolu s tím, že se číslo nula často používá jak v běžném životě, tak v matematice, mají školáci potíže, když potřebují vysvětlit, o jaké číslo se jedná. Pro zvýšení efektivity porozumění pojmu nula je uveden příklad skóre ve fotbalovém utkání. Pozornost studentů se zaměřuje i na to, že 0 nejsou klasifikována jako přirozená čísla.

V prezentaci jsou podrobně na příkladech uvažovány pojmy jednociferná, dvouciferná, tříciferná a čtyřciferná čísla. Uvažuje se o rekordech jeden milion a jedna miliarda. Zvláštní pozornost je věnována správnému čtení víceciferných čísel a jejich rozdělení do tříd. Použití tabulky k psaní vícemístné číslo s výběrem tříd a hodností je prokázáno, že levá třída, na rozdíl od všech ostatních, může mít méně než tři číslice.

Aby bylo možné zkontrolovat výsledek zvládnutí nového materiálu studenty, obsahuje tento vývoj prezentace seznam otázek, které plně pokrývají prezentovanou látku. Učitel tak bude moci co nejrychleji reagovat na momenty, které žáci plně nepochopili. jako výsledek studia tohoto tématu.

Vzhledem k tomu, že prezentace "Zápis přirozených čísel" nastavuje nadepsané téma na jasné a přístupné úrovni, prezentace vzdělávací materiál logicky a důsledně, pak jej lze s úspěchem využít nejen při hodinovém výkladu tohoto tématu, ale i při samostudiu či dálkovém studiu školáků.

Nulté místo

Existují dva přístupy k definici přirozených čísel:

• počítání (číslování) položky ( První, druhý, Třetí, Čtvrtý, pátý…);
• přirozená čísla – čísla, která vznikají, když označení množství položky ( 0 položek, 1 položka, 2 položky, 3 položky, 4 položky, 5 položek…).

V prvním případě řada přirozených čísel začíná od jedné, ve druhém - od nuly. Pro většinu matematiků neexistuje jednotný názor na preferenci prvního nebo druhého přístupu (tedy zda považovat nulu za přirozené číslo nebo ne). Naprostá většina ruských zdrojů tradičně přijala první přístup. Druhý přístup je například použit ve spisech Nicolase Bourbakiho, kde jsou přirozená čísla definována jako kardinality konečných množin. Přítomnost nuly usnadňuje formulaci a důkaz mnoha teorémů v aritmetice přirozených čísel, takže první přístup zavádí užitečný pojem rozšířená přírodní řada včetně nuly.

Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje symbolem . Mezinárodní normy ISO 31-11 (1992) a ISO 80000-2 (2009) stanoví následující označení:

V ruských zdrojích tento standard ještě není dodržován - v nich symbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) označuje přirozená čísla bez nuly a označuje se rozšířená přirozená řada N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) atd.

Axiomy, které umožňují definovat množinu přirozených čísel

Peano axiomy pro přirozená čísla

hromada N (\displaystyle \mathbb (N) ) bude nazýván množinou přirozených čísel, pokud je nějaký prvek pevný 1 (jednotka), funkce S (\displaystyle S) s rozsahem N (\displaystyle \mathbb (N) ), nazývaná funkce následnictví ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), a jsou splněny následující podmínky:

1. prvek jedna patří do této sady ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), to jest přirozené číslo;
2. číslo následující za přirozeným číslem je také přirozené číslo (pokud , pak S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) nebo zkráceně, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. nenásleduje žádné přirozené číslo ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexistuje x\v \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. pokud přirozené číslo a (\displaystyle a) bezprostředně následuje jako přirozené číslo b (\displaystyle b) a pro přirozené číslo c (\displaystyle c), Že b (\displaystyle b) A c (\displaystyle c) je stejné číslo (pokud S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) A S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), Že b = c (\displaystyle b=c));
5. (axiom indukce) pokud nějaká věta (výrok) P (\displaystyle P) dokázáno pro přirozené číslo n = 1 (\displaystyle n=1) (indukční základna) a pokud z předpokladu, že platí pro jiné přirozené číslo n (\displaystyle n), z toho vyplývá, že platí pro následující n (\displaystyle n) přirozené číslo ( indukční hypotéza), pak tento výrok platí pro všechna přirozená čísla (let P (n) (\displaystyle P(n))- nějaký unární (unární) predikát , jehož parametrem je přirozené číslo n (\displaystyle n). Pak kdyby P (1) (\displaystyle P(1)) A ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\šipka doprava P(S(n)))), Že ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Výše uvedené axiomy odrážejí naše intuitivní chápání přirozené řady a číselné osy.

Zásadním faktem je, že tyto axiomy v podstatě jednoznačně určují přirozená čísla (kategoričnost systému Peanových axiomů). Totiž lze dokázat (viz a také krátký důkaz), že pokud (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) A (N ~, 1 ~, S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)), (\tilde (S)))))- dva modely pro systém Peanových axiomů, pak jsou nutně izomorfní, to znamená, že existuje invertibilní zobrazení (bijekce) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) takové, že f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilda (1))) A f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f(x))) pro všechny x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Proto postačí opravit jako N (\displaystyle \mathbb (N) ) jakýkoli konkrétní model množiny přirozených čísel.

Někdy, zejména v zahraniční a překladové literatuře, Peanův první a třetí axiom nahrazuje jedničku nulou. V tomto případě je nula považována za přirozené číslo. Když je definována v podmínkách tříd ekvivalentních množin, nula je přirozené číslo z definice. Bylo by nepřirozené jej konkrétně vyřadit. Navíc by to výrazně zkomplikovalo další konstrukci a aplikaci teorie, protože ve většině konstrukcí není nula, stejně jako prázdná množina, něčím izolovaným. Další výhodou uvažování nuly jako přirozeného čísla je to N (\displaystyle \mathbb (N) ) tvoří monoid. Jak již bylo zmíněno, v ruské literatuře se z počtu přirozených čísel tradičně vylučuje nula.

Definice přirozených čísel teoretická množina (Frege-Russellova definice)

Tak se také zavádějí přirozená čísla, založená na konceptu množiny, podle dvou pravidel:

Takto uvedená čísla se nazývají ordinály.

Popišme několik prvních řadových čísel a jim odpovídající přirozená čísla:

Hodnota množiny přirozených čísel

Velikost nekonečné množiny je charakterizována konceptem „mocniny množiny“, což je zobecnění počtu prvků konečné množiny na nekonečné množiny. Velikostí (tj. mocninou) je množina přirozených čísel větší než jakákoli konečná množina, ale menší než jakýkoli interval, například interval (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Množina přirozených čísel má stejnou mohutnost jako množina racionální čísla. Množina stejné mohutnosti jako množina přirozených čísel se nazývá spočetná množina. Množina členů libovolné posloupnosti je tedy spočetná. Zároveň existuje posloupnost, ve které se každé přirozené číslo vyskytuje nekonečněkrát, protože množinu přirozených čísel lze reprezentovat jako spočetný svazek disjunktních spočetných množin (např. N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Operace s přirozenými čísly

K uzavřeným operacím (operacím, které neodvozují výsledek z množiny přirozených čísel) přes přirozená čísla zahrnují následující aritmetické operace:

Navíc jsou uvažovány další dvě operace (z formálního hlediska nejde o operace s přirozenými čísly, protože nejsou definovány pro Všechno dvojice čísel (někdy existují, někdy ne)):

Je třeba poznamenat, že operace sčítání a násobení jsou zásadní. Zejména okruh celých čísel je přesně definován pomocí binárních operací sčítání a násobení.

Základní vlastnosti

• Komutativnost sčítání:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• Komutativnost násobení:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• Asociativnost sčítání:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• Asociativita násobení:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• Distributivita násobení s ohledem na sčítání:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Algebraická struktura

Sčítání mění množinu přirozených čísel na pologrupu s jednotou, roli jednoty hraje 0 . Násobení také transformuje množinu přirozených čísel na pologrupu s jednotkou, zatímco prvek identity je 1 . Pomocí uzávěru v operacích sčítání-odčítání a násobení-dělení se získají skupiny celých čísel Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) a racionální kladná čísla Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) respektive.

Nejjednodušší číslo je přirozené číslo. Používají se v Každodenní život pro počítání položky, tzn. vypočítat jejich počet a pořadí.

Co je přirozené číslo: přirozená čísla pojmenujte čísla, která se používají počítání položek nebo k uvedení sériového čísla libovolné položky ze všech homogenních položky.

Celá číslajsou čísla začínající od jedné. Při počítání se tvoří přirozeně.Například 1,2,3,4,5... -první přirozená čísla.

nejmenší přirozené číslo- jeden. Neexistuje žádné největší přirozené číslo. Při počítání čísla nula se nepoužívá, takže nula je přirozené číslo.

přirozené řady čísel je posloupnost všech přirozených čísel. Napište přirozená čísla:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

V přírodní série každé číslo je o jedno více než to předchozí.

Kolik čísel je v přirozené řadě? Přirozená řada je nekonečná, neexistuje největší přirozené číslo.

Desetinné od 10 jednotek libovolné kategorie tvoří 1 jednotku nejvyššího řádu. poziční tak jak hodnota číslice závisí na jejím místě v čísle, tzn. z kategorie, kde je zaznamenán.

Třídy přirozených čísel.

Jakékoli přirozené číslo lze zapsat pomocí 10 arabských číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Aby bylo možné číst přirozená čísla, jsou rozdělena, počínaje zprava, do skupin po 3 číslicích. 3 nejprve čísla vpravo jsou třída jednotek, další 3 jsou třída tisíců, pak třídy milionů, miliard aatd. Každá z číslic třídy se nazývá jejívybít.

Porovnání přirozených čísel.

Ze 2 přirozených čísel je číslo, které se volá dříve v počítání, menší. Například, číslo 7 méně 11 (napsáno takto:7 < 11 ). Když je jedno číslo větší než druhé, zapíše se takto:386 > 99 .

Tabulka číslic a tříd čísel.

jednotka 1. třídy	1. jednotka číslice 2. místo deset 3. místo stovky
2. třída tisíc	1. číslice jednotky tisíců 2. číslice desítky tisíc 3. pořadí statisíce
miliony ve 3. třídě	1. číslice jednotky milionů 2. číslice desítky milionů 3. číslice stovky milionů
miliardy ze čtvrté třídy	1. číslice jednotky miliardy 2. číslice desítky miliard 3. číslice stovky miliard

Čísla od 5. třídy a výše jsou velká čísla. Jednotky 5. třídy - biliony, 6. třída třída - kvadriliony, 7. třída - kvintiliony, 8. třída - sextiliony, 9. třída - epillions. Základní vlastnosti přirozených čísel. Komutativnost sčítání . a + b = b + a Komutativnost násobení. ab=ba Asociativita sčítání. (a + b) + c = a + (b + c) Asociativita násobení. Distributivita násobení s ohledem na sčítání: Akce na přirozených číslech. 4. Dělení přirozených čísel je operace inverzní k násobení. Li b ∙ c \u003d a, Že Vzorce dělení: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b): c = (a:c) ∙ b (A∙ b): c = (b:c) ∙ a Číselné výrazy a číselné rovnosti. Zápis, kde jsou čísla spojena znaky akcí, je číselné vyjádření. Například 10∙3+4; (60-2∙5):10. Položky, kde rovnítko spojuje 2 číselné výrazy je číselné rovnosti. Rovnost má levou a pravou stranu. Pořadí, ve kterém se provádějí aritmetické operace. Sčítání a odčítání čísel jsou operace prvního stupně, násobení a dělení jsou operace druhého stupně. Když se číselný výraz skládá z akcí pouze jednoho stupně, pak se provádějí postupně zleva doprava. Když se výrazy skládají z akcí pouze prvního a druhého stupně, jsou nejprve provedeny akce druhého stupně a poté - akce prvního stupně. Pokud jsou ve výrazu závorky, nejprve se provedou akce v závorkách. Například 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Čísla určená k počítání objektů a zodpovězení otázky "kolik?" ("Kolik

koule?“, „Kolik jablek?“, „Kolik vojáků?“), se nazývají přírodní.

Pokud je napíšete v pořadí, od nejmenšího čísla po největší, dostanete přirozenou řadu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Přirozená řada čísel začíná číslem 1.

Každé další přirozené číslo je o 1 více než to předchozí.

Přirozená řada čísel je nekonečná.

Čísla jsou sudá a lichá. Sudá čísla jsou dělitelná dvěma, nikoli sudá čísla nejsou dělitelné dvěma.

Řada lichých čísel:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Řada sudých čísel:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

V přirozené řadě se střídají sudá a lichá čísla:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Jak srovnávat přirozená čísla

Při porovnávání dvou přirozených čísel je to, které je v přirozeném čísle vpravo, větší:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Sedm je tedy větší než tři a pět je větší než jedna.

V matematice k zápisu slova „méně“ použijte znak „<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Ostrý roh ikon „více“ a „méně než“ je vždy nasměrován k menšímu z těchto dvou čísel.

Záznam 7 > 3 se čte jako "sedm více než tři."

Vstup 3< 7 читается как «три меньше семи».

Záznam 5 > 1 se čte jako "pět více než jeden."

Vstup 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Slovo "rovná se" v matematice se nahrazuje znaménkem "=":

Když jsou čísla velká, je těžké hned říct, které z nich je v přirozené řadě vpravo.

Při porovnávání dvou přirozených čísel s různým počtem číslic je to, které má nejvíce číslic, více.

Například 233 000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Víceciferná přirozená čísla se stejným počtem číslic se porovnávají bit po bitu, počínaje nejvýznamnější číslicí.

Nejprve se porovnají jednotky nejvýznamnější číslice, pak další, další a tak dále. Například porovnáme čísla 5401 a 5430:

5401 = 5 tisíc 4 stovky 0 desítky 1 jednotka;

5430 = 5 tisíc 4 stovky 3 desítky 0 jednotek.

Porovnejte jednotky tisíců. Na tisícovém místě čísla 5401 - 5 jednotek, na tisícovém místě čísla 5430 - 5 jednotek. Při porovnání jednotek tisíců se stále nedá říci, které z čísel je větší.

Porovnejte stovky. Na místě stovek jsou čísla 5401 4 jednotky, na místě stovky jsou čísla 5430 také 4 jednotky. Musíme ve srovnání pokračovat.

Porovnání desítek. Na místě desítek čísla 5401 - 0 jednotek, na místě desítek čísla 5430 - 3 jednotky.

Při porovnání dostaneme 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

Čísla mohou být uspořádána sestupně nebo vzestupně.

Pokud je v zápisu několika přirozených čísel každé další číslo menší než předchozí, říkají, že čísla jsou zapsána v sestupném pořadí.

Zapišme čísla 5, 22, 13, 800 v sestupném pořadí.

Pojďme najít více. Číslo 5 je jednociferné číslo, 13 a 22 jsou dvouciferná čísla, 800 je trojmístné a tedy největší. Píšeme na prvním místě 800.

Z dvouciferných čísel 13 a 22 je větších 22. Za číslem 800 napíšeme číslo 22 a poté 13.

Nejmenší číslo je jednociferné číslo 5. Píšeme ho jako poslední.

800, 22, 13, 5 - zaznamenejte tato čísla v sestupném pořadí.

Pokud je v záznamu několika přirozených čísel každé další číslo větší než předchozí, pak říkají, že čísla jsou zapsána vzestupně.

A jak zapsat čísla 15, 2, 31, 278, 298 vzestupně?

Mezi čísly 15, 2, 31, 278, 298 najdeme to menší.

Jedná se o jednociferné číslo 2. Napíšeme ho na první místo.

Z dvouciferných čísel 15 a 31 vybereme menší - 15, napíšeme ho na druhé místo a za ním - 31.

Z trojciferných čísel je 278 nejmenší, píšeme ho za číslem 31 a poslední zapisujeme číslo 298.

2, 15, 21, 278, 298 - tato čísla pište vzestupně

Historie přirozených čísel začala v primitivních dobách. Od pradávna lidé počítali předměty. Například v obchodě byl potřeba účet zboží nebo ve stavebnictví účet materiálu. Ano, i v běžném životě jsem musel počítat věci, výrobky, hospodářská zvířata. Zpočátku sloužila čísla jen k počítání v životě, v praxi, ale později se s rozvojem matematiky stala součástí vědy.

Celá čísla jsou čísla, která používáme při počítání objektů.

Například: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....

Nula není přirozené číslo.

Symbolem N se označují všechna přirozená čísla, nebo nazvěme množinu přirozených čísel.

Tabulka přirozených čísel.

přirozená řada.

Přirozená čísla zapsaná vzestupně v řádkovém tvaru přírodní série nebo řada přirozených čísel.

Vlastnosti přírodní řady:

• Nejmenší přirozené číslo je jedna.
• V přirozené řadě je další číslo o jedno větší než předchozí. (1, 2, 3, ...) Tři tečky nebo tři tečky se použijí, pokud není možné dokončit posloupnost čísel.
• Přirozená řada nemá maximální počet, je nekonečná.

Příklad č. 1:
Napište prvních 5 přirozených čísel.
Řešení:
Přirozená čísla začínají jedničkou.
1, 2, 3, 4, 5

Příklad č. 2:
Je nula přirozené číslo?
Odpověď: ne.

Příklad č. 3:
Jaké je první číslo v přirozené řadě?
Odpověď: přirozené číslo začíná jedničkou.

Příklad č. 4:
Jaké je poslední číslo v přirozené řadě? Jaké je největší přirozené číslo?
Odpověď: Přirozené číslo začíná od jedné. Každé další číslo je o jedno větší než předchozí, takže poslední číslo neexistuje. Neexistuje žádný největší počet.

Příklad č. 5:
Jednotka v přirozené řadě má předchozí číslo?
Odpověď: ne, protože jednička je první číslo v přirozené řadě.

Příklad č. 6:
Pojmenujte další číslo v přirozené řadě za čísly: a) 5, b) 67, c) 9998.
Odpověď: a) 6, b) 68, c) 9999.

Příklad č. 7:
Kolik čísel je v přirozené řadě mezi čísly: a) 1 a 5, b) 14 a 19.
Řešení:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - tři čísla jsou mezi čísly 1 a 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - čtyři čísla jsou mezi čísly 14 a 19.

Příklad č. 8:
Pojmenujte předchozí číslo za číslem 11.
Odpověď: 10.

Příklad č. 9:
Jaká čísla se používají k počítání předmětů?
Odpověď: přirozená čísla.