Prezentace "Zápis přirozených čísel". Celá čísla

Místo nula

Existují dva přístupy k určení přirozená čísla:

• počítání (číslování) položky ( První, druhý, Třetí, Čtvrtý, pátý…);
• přirozená čísla jsou čísla, která vznikají, když označení množství položky ( 0 položek, 1 položka, 2 položky, 3 položky, 4 položky, 5 položek…).

V prvním případě řada přirozených čísel začíná od jedné, ve druhém - od nuly. Mezi většinou matematiků neexistuje shoda na tom, zda je výhodnější první nebo druhý přístup (to znamená, zda by nula měla být považována za přirozené číslo nebo ne). Naprostá většina ruských zdrojů tradičně přijímá první přístup. Druhý přístup je například zvolen v dílech Nicolase Bourbakiho, kde jsou přirozená čísla definována jako mohutnosti konečných množin. Přítomnost nuly usnadňuje formulování a dokazování mnoha vět v aritmetice přirozených čísel, takže první přístup zavádí užitečný koncept rozšířený přírodní areál včetně nuly.

Množina všech přirozených čísel se obvykle označuje symbolem. Mezinárodní normy ISO 31-11 (1992) a ISO 80000-2 (2009) stanoví následující označení:

V ruských zdrojích tento standard ještě není dodržován - v nich symbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) označuje přirozená čísla bez nuly a rozšířená přirozená řada je označena N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) atd.

Axiomy, které nám umožňují určit množinu přirozených čísel

Peanovy axiomy pro přirozená čísla

hromada N (\displaystyle \mathbb (N) ) bude nazýván množinou přirozených čísel, pokud je nějaký prvek pevný 1 (jednotka), funkce S (\displaystyle S) s doménou definice N (\displaystyle \mathbb (N) ), nazývaná funkce follow ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), a jsou splněny následující podmínky:

1. prvek jedna patří do této sady ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), to jest přirozené číslo;
2. číslo následující za přirozeným číslem je také přirozené číslo (pokud , pak S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) nebo zkráceně, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
3. nenásleduje žádné přirozené číslo ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexistuje x\v \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. je-li přirozené číslo a (\displaystyle a) bezprostředně následuje jako přirozené číslo b (\displaystyle b) a pro přirozené číslo c (\displaystyle c), Že b (\displaystyle b) A c (\displaystyle c) je stejné číslo (pokud S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) A S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), Že b = c (\displaystyle b=c));
5. (axiom indukce) pokud nějaká věta (výrok) P (\displaystyle P) ověřeno pro přirozená čísla n = 1 (\displaystyle n=1) (indukční základna) a pokud z předpokladu, že platí pro jiné přirozené číslo n (\displaystyle n), z toho vyplývá, že platí pro následující n (\displaystyle n) přirozené číslo ( indukční hypotéza), pak tato věta platí pro všechna přirozená čísla (let P(n) (\displaystyle P(n))- nějaký jednomístný (unární) predikát, jehož parametrem je přirozené číslo n (\displaystyle n). Pak kdyby P (1) (\displaystyle P(1)) A ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\šipka doprava P(S(n)))), Že ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Uvedené axiomy odrážejí naše intuitivní chápání přirozené řady a číselné osy.

Základním faktem je, že tyto axiomy v podstatě jednoznačně definují přirozená čísla (kategoriální povaha systému Peanových axiomů). Totiž lze prokázat (viz, stejně jako krátký důkaz), že pokud (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) A (N ~, 1 ~, S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)), (\tilde (S)))))- dva modely pro systém Peanových axiomů, pak jsou nutně izomorfní, to znamená, že existuje invertibilní zobrazení (bijekce) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) takové, že f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilda (1))) A f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f(x))) pro všechny x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Proto stačí opravit jako N (\displaystyle \mathbb (N) ) jakýkoli konkrétní model množiny přirozených čísel.

Někdy, zejména v zahraniční a překladové literatuře, je v prvním a třetím Peanově axiomu jedna nahrazena nulou. V tomto případě je nula považována za přirozené číslo. Když je definována prostřednictvím tříd množin ekvimoci, nula je z definice přirozené číslo. Bylo by nepřirozené to záměrně odmítat. Navíc by to výrazně zkomplikovalo další konstrukci a aplikaci teorie, protože ve většině konstrukcí nula, stejně jako prázdná množina, není něco samostatného. Další výhodou zacházení s nulou jako s přirozeným číslem je, že ano N (\displaystyle \mathbb (N) ) tvoří monoid. Jak již bylo zmíněno, v ruské literatuře je tradičně nula vyloučena ze seznamu přirozených čísel.

Definice přirozených čísel teoretická množina (Frege-Russellova definice)

Přirozená čísla jsou tedy také zavedena na základě konceptu množiny podle dvou pravidel:

Takto definovaná čísla se nazývají ordinální.

Popišme několik prvních řadových čísel a odpovídající přirozená čísla:

Velikost množiny přirozených čísel

Velikost nekonečné množiny je charakterizována pojmem „kardinalita množiny“, což je zobecnění počtu prvků konečné množiny na nekonečné množiny. Pokud jde o velikost (tj. mohutnost), množina přirozených čísel je větší než jakákoli konečná množina, ale menší než jakýkoli interval, například interval (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Množina přirozených čísel je mohutností stejná jako množina racionální čísla. Množina stejné mohutnosti jako množina přirozených čísel se nazývá spočetná množina. Množina členů libovolné posloupnosti je tedy spočetná. Zároveň existuje posloupnost, ve které se objevuje každé přirozené číslo nekonečné číslo krát, protože množinu přirozených čísel lze reprezentovat jako spočetný svazek disjunktních spočetných množin (např. N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Operace s přirozenými čísly

Uzavřené operace (operace, které neodvozují výsledek z množiny přirozených čísel) na přirozených číslech zahrnují následující aritmetické operace:

Navíc jsou uvažovány další dvě operace (z formálního hlediska nejde o operace s přirozenými čísly, protože nejsou definovány pro každý dvojice čísel (někdy existují, někdy ne)):

Je třeba poznamenat, že operace sčítání a násobení jsou zásadní. Zejména okruh celých čísel je přesně definován pomocí binárních operací sčítání a násobení.

Základní vlastnosti

• Komutativnost sčítání:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• Komutativnost násobení:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• Sčítací asociativita:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• Násobící asociativita:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• Distributivita násobení vzhledem k sčítání:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Algebraická struktura

Sčítání změní množinu přirozených čísel na pologrupu s jednotkou, roli jednotky hraje 0 . Násobení také změní množinu přirozených čísel na pologrupu s identitou, přičemž prvek identity je 1 . Pomocí uzávěrů s ohledem na operace sčítání-odčítání a násobení-dělení se získají skupiny celých čísel Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) a racionální kladná čísla Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) respektive.

Historie přirozených čísel začala v primitivních dobách. Od pradávna lidé počítali předměty. Například v obchodě jste potřebovali účet zboží nebo ve stavebnictví účet materiálu. Ano, i v běžném životě jsem také musel počítat věci, jídlo, dobytek. Zpočátku sloužila čísla jen k počítání v životě, v praxi, ale později se s rozvojem matematiky stala součástí vědy.

Celá čísla- to jsou čísla, která používáme při počítání předmětů.

Například: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Nula není přirozené číslo.

Symbolem N se označují všechna přirozená čísla, nebo řekněme množina přirozených čísel.

Tabulka přirozených čísel.

Přírodní série.

Přirozená čísla zapsaná v řadě ve vzestupném pořadí přírodní série nebo řada přirozených čísel.

Vlastnosti přírodní řady:

• Nejmenší přirozené číslo je jedna.
• V přirozené řadě je další číslo o jedno větší než předchozí. (1, 2, 3, ...) Tři tečky nebo elipsy jsou umístěny, pokud není možné dokončit posloupnost čísel.
• Přirozená řada nemá největší číslo, je nekonečná.

Příklad č. 1:
Napište prvních 5 přirozených čísel.
Řešení:
Přirozená čísla začínají od jedničky.
1, 2, 3, 4, 5

Příklad č. 2:
Je nula přirozené číslo?
Odpověď: ne.

Příklad č. 3:
Jaké je první číslo v přírodní série?
Odpověď: Přirozená řada začíná od jedničky.

Příklad č. 4:
Jaké je poslední číslo v přirozené řadě? Jaké je největší přirozené číslo?
Odpověď: Přirozená řada začíná jedničkou. Každé další číslo je o jedno větší než předchozí, takže poslední číslo neexistuje. Neexistuje žádný největší počet.

Příklad č. 5:
Jednotka v přirozené řadě má předchozí číslo?
Odpověď: ne, protože jednička je první číslo v přirozené řadě.

Příklad č. 6:
Pojmenujte další číslo v přirozené řadě: a)5, b)67, c)9998.
Odpověď: a)6, b)68, c)9999.

Příklad č. 7:
Kolik čísel je v přirozené řadě mezi čísly: a) 1 a 5, b) 14 a 19.
Řešení:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – tři čísla jsou mezi čísly 1 a 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – čtyři čísla jsou mezi čísly 14 a 19.

Příklad č. 8:
Řekněte předchozí číslo po 11.
Odpověď: 10.

Příklad č. 9:
Jaká čísla se používají při počítání předmětů?
Odpověď: přirozená čísla.

Nejjednodušší číslo je přirozené číslo. Používají se v Každodenní život pro počítání předměty, tzn. vypočítat jejich počet a pořadí.

Co je přirozené číslo: přirozená čísla pojmenujte čísla, na která se používají počítání položek nebo k uvedení sériového čísla libovolné položky ze všech homogenních položky.

Celá čísla- to jsou čísla začínající od jedné. Při počítání se tvoří přirozeně.Například 1,2,3,4,5... -první přirozená čísla.

Nejmenší přirozené číslo- jeden. Neexistuje žádné největší přirozené číslo. Při počítání čísla Nula se nepoužívá, takže nula je přirozené číslo.

Přirozená číselná řada je posloupnost všech přirozených čísel. Zápis přirozených čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

V přirozené řadě je každé číslo o jedno větší než předchozí.

Kolik čísel je v přirozené řadě? Přirozená řada je nekonečná, největší přirozené číslo neexistuje.

Desetinné číslo od 10 jednotek libovolné číslice tvoří 1 jednotku nejvyšší číslice. Polohově tak jak význam číslice závisí na jejím místě v čísle, tzn. z kategorie, kde je napsáno.

Třídy přirozených čísel.

Jakékoli přirozené číslo lze zapsat pomocí 10 arabských číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Aby bylo možné číst přirozená čísla, jsou rozdělena, počínaje zprava, do skupin po 3 číslicích. 3 nejprve čísla vpravo jsou třída jednotek, další 3 jsou třída tisíců, pak třídy milionů, miliard aatd. Každá číslice třídy se nazývá jejívybít.

Porovnání přirozených čísel.

Ze 2 přirozených čísel je menší číslo, které se při počítání volá dříve. Například, číslo 7 méně 11 (napsáno takto:7 < 11 ). Když je jedno číslo větší než druhé, zapíše se takto:386 > 99 .

Tabulka číslic a tříd čísel.

jednotka 1. třídy	1. číslice jednotky 2. číslice desítky 3. místo stovky
2. třída tisíc	1. číslice jednotky tisíců 2. číslice desítky tisíc 3. kategorie statisíce
miliony ve 3. třídě	1. číslice jednotky milionů 2. kategorie desítky milionů 3. kategorie stovky milionů
miliardy čtvrté třídy	1. číslice jednotky miliard 2. kategorie desítky miliard 3. kategorie stovky miliard

Za velká čísla se považují čísla od 5. třídy a výše. Jednotky 5. třídy jsou biliony, 6. třída třída - kvadriliony, 7. třída - kvintiliony, 8. třída - sextiliony, 9. třída - epillions. Základní vlastnosti přirozených čísel. Komutativnost sčítání . a + b = b + a Komutativnost násobení. ab = ba Asociativita sčítání. (a + b) + c = a + (b + c) Asociativita násobení. Distributivita násobení vzhledem k sčítání: Operace s přirozenými čísly. 4. Dělení přirozených čísel je inverzní operace násobení. Li b ∙ c = a, Že Vzorce pro rozdělení: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b): c = (a:c) ∙ b (A∙ b): c = (b:c) ∙ a Číselné výrazy a číselné rovnosti. Zápis, kde jsou čísla spojena znaky akcí, je číselné vyjádření. Například 10∙3+4; (60-2∙5):10. Záznamy, kde jsou 2 číselné výrazy kombinovány se znakem rovná se, jsou číselné rovnosti. Rovnost má levou a pravou stranu. Pořadí provádění aritmetických operací. Sčítání a odčítání čísel jsou operace prvního stupně, násobení a dělení jsou operace druhého stupně. Když se číselný výraz skládá z akcí pouze jednoho stupně, provádějí se postupně zleva doprava. Když se výrazy skládají z akcí pouze prvního a druhého stupně, pak se akce provádějí jako první druhého stupně a poté - akce prvního stupně. Pokud jsou ve výrazu závorky, nejprve se provedou akce v závorkách. Například 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Čísla určená k počítání předmětů a zodpovězení otázky "kolik?" ("Kolik

koule?", "Kolik jablek?", "Kolik vojáků?"), se nazývají přírodní.

Pokud je napíšete v pořadí, od nejmenšího čísla po největší, dostanete přirozenou řadu čísel:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Přirozená řada čísel začíná číslem 1.

Každé další přirozené číslo je o 1 větší než to předchozí.

Přirozená řada čísel je nekonečná.

Čísla mohou být sudá nebo lichá. Sudá čísla jsou dělitelná dvěma, a Ne sudá čísla nejsou dělitelné dvěma.

Řada lichých čísel:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Řada sudých čísel:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

V přirozené řadě se střídají sudá a lichá čísla:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Jak srovnávat přirozená čísla

Při porovnávání dvou přirozených čísel je to pravé v přirozené řadě větší:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Sedm je tedy více než tři a pět je více než jedna.

V matematice se slovo „méně“ píše pomocí znaku „<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Ostrý roh symbolů větší než a menší než vždy směřuje k menšímu ze dvou čísel.

Záznam 7 > 3 se čte jako „sedm přes tři“.

Vstup 3< 7 читается как «три меньше семи».

Záznam 5 > 1 se čte jako „pět nad jedna“.

Vstup 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Slovo „rovná se“ v matematice se nahrazuje znakem „=“:

Když jsou čísla velká, je těžké hned říct, které z nich je v přirozené řadě vpravo.

Při porovnávání dvou přirozených čísel s různým počtem číslic je to, které má nejvíce číslic, větší.

Například 233 000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Víceciferná přirozená čísla se stejným počtem číslic se porovnávají bitově, počínaje nejvýznamnější číslicí.

Nejprve se porovnají jednotky nejvýznamnější číslice, pak další, další a tak dále. Porovnejme například čísla 5401 a 5430:

5401 = 5 tisíc 4 stovky 0 desítky 1 jednotka;

5430 = 5 tisíc 4 stovky 3 desítky 0 jednotek.

Porovnání jednotek tisíců. Na místě jednotek tisíců čísla 5401 je 5 jednotek, na místě jednotek tisíců čísla 5430 je 5 jednotek. Srovnáním jednotek tisíců stále nelze říci, které číslo je větší.

Srovnání stovek. Na místě stovek čísla 5401 jsou 4 jednotky, na místě stovek číslo 5430 jsou také 4 jednotky. Musíme ve srovnání pokračovat.

Porovnání desítek. Na místě desítek čísla 5401 je 0 jednotek, na místě desítky čísla 5430 jsou 3 jednotky.

Při porovnání dostaneme 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

Čísla mohou být uspořádána sestupně nebo vzestupně.

Pokud je v záznamu několika přirozených čísel každé další číslo menší než předchozí, říká se, že čísla jsou zapsána v sestupném pořadí.

Zapišme si čísla 5, 22, 13, 800 v sestupném pořadí.

Pojďme najít větší číslo. Číslo 5 je jednociferné číslo, 13 a 22 jsou dvouciferná čísla, 800 je trojciferné číslo, a tedy největší. Na prvním místě píšeme 800.

Z dvouciferných čísel 13 a 22 je větší 22. Za číslem 800 napíšeme číslo 22 a poté 13.

Nejmenší číslo je jednociferné číslo 5. Píšeme ho jako poslední.

800, 22, 13, 5 - zaznamenávání těchto čísel v sestupném pořadí.

Pokud je v záznamu několika přirozených čísel každé další číslo větší než předchozí, říká se, že čísla jsou zapsána vzestupně.

Jak zapsat čísla 15, 2, 31, 278, 298 vzestupně?

Mezi čísly 15, 2, 31, 278, 298 najdeme to menší.

Jedná se o jednociferné číslo 2. Napíšeme ho na první místo.

Z dvouciferných čísel 15 a 31 vyberte menší - 15, napište ho na druhé místo a za ním - 31.

Z trojciferných čísel je 278 nejmenší, píšeme ho za číslem 31 a poslední zapisujeme číslo 298.

2, 15, 21, 278, 298 - tato čísla pište vzestupně