Prezentacija "Zapis prirodnih brojeva". Cijeli brojevi

Stavite nulu

Postoje dva pristupa određivanju prirodni brojevi:

• brojanje (numeriranje) stavke ( prvi, drugi, treći, Četvrta, peti…);
• prirodni brojevi su brojevi koji nastaju kada oznaka količine stavke ( 0 predmeta, 1 predmet, 2 predmeta, 3 predmeta, 4 stavke, 5 predmeta…).

U prvom slučaju, niz prirodnih brojeva počinje od jedan, u drugom - od nule. Ne postoji konsenzus među većinom matematičara o tome je li prvi ili drugi pristup bolji (odnosno, treba li nulu smatrati prirodnim brojem ili ne). Ogromna većina ruskih izvora tradicionalno prihvaća prvi pristup. Drugi pristup je, primjerice, uzet u djelima Nicolasa Bourbakija, gdje su prirodni brojevi definirani kao kardinaliteti konačnih skupova. Prisutnost nule olakšava formuliranje i dokazivanje mnogih teorema u aritmetici prirodnih brojeva, tako da prvi pristup uvodi koristan koncept prošireni prirodni raspon uključujući nulu.

Skup svih prirodnih brojeva obično se označava simbolom . Međunarodne norme ISO 31-11 (1992.) i ISO 80000-2 (2009.) uspostavljaju sljedeće oznake:

U ruskim izvorima ovaj standard još nije promatran - u njima simbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) označava prirodne brojeve bez nule, a prošireni prirodni niz je označen N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) itd.

Aksiomi koji nam omogućuju određivanje skupa prirodnih brojeva

Peanovi aksiomi za prirodne brojeve

Gomila N (\displaystyle \mathbb (N) ) nazvat ćemo skup prirodnih brojeva ako je neki element fiksan 1 (jedinica), funkcija S (\displaystyle S) s domenom definicije N (\displaystyle \mathbb (N) ), koja se naziva funkcija praćenja ( S: N (\displaystyle S\dvotočka \mathbb (N) )), a ispunjeni su sljedeći uvjeti:

1. element jedan pripada ovom skupu ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), odnosno prirodan je broj;
2. broj koji slijedi iza prirodnog broja također je prirodan broj (ako je , tada S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) ili, kraće rečeno, S: N → N (\displaystyle S\dvotočka \mathbb (N) \u \mathbb (N) ));
3. ne slijedi nijedan prirodan broj ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. ako je prirodan broj a (\displaystyle a) odmah slijedi kao prirodni broj b (\displaystyle b), a za prirodni broj c (\displaystyle c), To b (\displaystyle b) I c (\displaystyle c) je isti broj (ako S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) I S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), To b = c (\displaystyle b=c));
5. (aksiom indukcije) ako postoji rečenica (iskaza) P (\displaystyle P) dokazano za prirodne brojeve n = 1 (\displaystyle n=1) (indukcijska baza) i ako iz pretpostavke da vrijedi za neki drugi prirodni broj n (\displaystyle n), slijedi da vrijedi za sljedeće n (\displaystyle n) prirodni broj ( induktivna hipoteza), onda je ova rečenica istinita za sve prirodne brojeve (neka P(n) (\displaystyle P(n))- neki jednomjesni (unarni) predikat čiji je parametar prirodni broj n (\displaystyle n). Onda ako P (1) (\displaystyle P(1)) I ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), To ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Navedeni aksiomi odražavaju naše intuitivno razumijevanje prirodnog niza i brojevnog pravca.

Temeljna je činjenica da ti aksiomi u biti jedinstveno definiraju prirodne brojeve (kategorička priroda Peanovog sustava aksioma). Naime, može se dokazati (vidi, kao i kratki dokaz) da ako (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) I (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilda (\mathbb (N) )),(\tilda (1)),(\tilda (S))))- dva modela za Peanov aksiomski sustav, onda su oni nužno izomorfni, odnosno postoji invertibilno preslikavanje (bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\dvotočka \mathbb (N) \to (\tilda (\mathbb (N) ))) takav da f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilda (1))) I f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f(x))) za sve x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Stoga je dovoljno popraviti kao N (\displaystyle \mathbb (N) ) bilo koji specifični model skupa prirodnih brojeva.

Ponekad se, osobito u stranoj i prijevodnoj literaturi, u prvom i trećem Peanovu aksiomu jedan zamjenjuje nulom. U ovom slučaju nula se smatra prirodnim brojem. Kada se definira kroz klase skupova ekvipotencije, nula je prirodan broj po definiciji. Bilo bi neprirodno namjerno ga odbaciti. Osim toga, to bi znatno otežalo daljnju konstrukciju i primjenu teorije, jer u većini konstrukcija nula, kao i prazan skup, nije nešto zasebno. Još jedna prednost tretiranja nule kao prirodnog broja je ta N (\displaystyle \mathbb (N) ) tvori monoid. Kao što je već spomenuto, u ruskoj literaturi tradicionalno je nula isključena s popisa prirodnih brojeva.

Teorijska definicija prirodnih brojeva (Frege-Russell definicija)

Tako se i prirodni brojevi uvode na temelju pojma skupa, prema dva pravila:

Ovako definirani brojevi nazivaju se redni.

Opišimo prvih nekoliko rednih brojeva i odgovarajuće prirodne brojeve:

Veličina skupa prirodnih brojeva

Veličinu beskonačnog skupa karakterizira koncept "kardinalnosti skupa", koji je generalizacija broja elemenata konačnog skupa na beskonačne skupove. Po veličini (to jest, kardinalnosti), skup prirodnih brojeva je veći od bilo kojeg konačnog skupa, ali manji od bilo kojeg intervala, na primjer, intervala (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Skup prirodnih brojeva jednak je kardinalnosti skupu racionalni brojevi. Skup iste kardinalnosti kao skup prirodnih brojeva naziva se prebrojiv skup. Dakle, skup članova bilo kojeg niza je prebrojiv. Istovremeno, postoji niz u kojem se svaki prirodni broj pojavljuje beskonačan broj puta, budući da se skup prirodnih brojeva može prikazati kao prebrojiva unija disjunktnih prebrojivih skupova (npr. N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Operacije s prirodnim brojevima

Zatvorene operacije (operacije koje ne izvode rezultat iz skupa prirodnih brojeva) nad prirodnim brojevima uključuju sljedeće aritmetičke operacije:

Uz to, razmatraju se još dvije operacije (s formalnog gledišta, one nisu operacije nad prirodnim brojevima, jer nisu definirane za svatko parovi brojeva (ponekad postoje, ponekad ne)):

Treba napomenuti da su operacije zbrajanja i množenja temeljne. Konkretno, prsten cijelih brojeva definiran je upravo kroz binarne operacije zbrajanja i množenja.

Osnovna svojstva

• Komutativnost zbrajanja:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

• Komutativnost množenja:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

• Asocijativnost zbrajanja:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

• Asocijativnost množenja:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

• Distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Algebarska struktura

Zbrajanje pretvara skup prirodnih brojeva u poluskupinu s jedinicom, a ulogu jedinice ima 0 . Množenje također pretvara skup prirodnih brojeva u polugrupu s identitetom, pri čemu je element identiteta 1 . Korištenjem zatvaranja u odnosu na operacije zbrajanja-oduzimanja i množenja-dijeljenja dobivaju se skupine cijelih brojeva Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) i racionalni pozitivni brojevi Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) odnosno.

Povijest prirodnih brojeva započela je u primitivnim vremenima. Od davnina su ljudi brojali predmete. Na primjer, u trgovini vam je trebao račun robe ili u građevinarstvu račun materijala. Da, čak iu svakodnevnom životu morao sam brojati stvari, hranu, stoku. Isprva su brojevi služili samo za brojanje u životu, u praksi, ali su kasnije, razvojem matematike, postali dio znanosti.

Cijeli brojevi- ovo su brojevi koje koristimo kada brojimo predmete.

Na primjer: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Nula nije prirodan broj.

Svi prirodni brojevi, ili recimo skup prirodnih brojeva, označavaju se simbolom N.

Tablica prirodnih brojeva.

Prirodne serije.

Prirodni brojevi zapisani u nizu u rastućem redoslijedu prirodne serije ili niz prirodnih brojeva.

Svojstva prirodne serije:

• Najmanji prirodni broj je jedan.
• U prirodnom nizu, sljedeći broj je jedan po jedan veći od prethodnog. (1, 2, 3, ...) Tri točke ili elipse stavljaju se ako je nemoguće dovršiti niz brojeva.
• Prirodni niz nema najveći broj, on je beskonačan.

Primjer #1:
Napiši prvih 5 prirodnih brojeva.
Riješenje:
Prirodni brojevi počinju od jedan.
1, 2, 3, 4, 5

Primjer #2:
Je li nula prirodan broj?
Odgovor: ne.

Primjer #3:
Koji je prvi broj u prirodne serije?
Odgovor: Prirodni niz počinje od jedan.

Primjer #4:
Koji je posljednji broj u prirodnom nizu? Koji je najveći prirodni broj?
Odgovor: Prirodni niz počinje s jedinicom. Svaki sljedeći broj za jedan je veći od prethodnog, tako da zadnji broj ne postoji. Ne postoji najveći broj.

Primjer #5:
Jedinica u prirodnom nizu ima prethodni broj?
Odgovor: ne, jer je jedan prvi broj u prirodnom nizu.

Primjer #6:
Imenuj sljedeći broj u prirodnom nizu: a)5, b)67, c)9998.
Odgovor: a)6, b)68, c)9999.

Primjer #7:
Koliko se brojeva nalazi u prirodnom nizu između brojeva: a) 1 i 5, b) 14 i 19.
Riješenje:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – tri broja su između brojeva 1 i 5.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – četiri broja su između brojeva 14 i 19.

Primjer #8:
Reci prethodni broj nakon 11.
Odgovor: 10.

Primjer #9:
Koji se brojevi koriste pri brojanju predmeta?
Odgovor: prirodni brojevi.

Najjednostavniji broj je prirodni broj. Koriste se u Svakidašnjica za brojanje objekte, tj. izračunati njihov broj i redoslijed.

Što je prirodni broj: prirodni brojevi imenovati brojeve koji se koriste brojanje predmeta ili za označavanje serijskog broja bilo kojeg predmeta iz svih homogenih stavke.

Cijeli brojevi- ovo su brojevi koji počinju od jedan. Nastaju prirodno prilikom brojanja.Na primjer, 1,2,3,4,5... -prvi prirodni brojevi.

Najmanji prirodni broj- jedan. Ne postoji najveći prirodni broj. Pri prebrojavanju broja Nula se ne koristi, pa je nula prirodan broj.

Nizovi prirodnih brojeva je niz svih prirodnih brojeva. Zapisivanje prirodnih brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

U prirodnom nizu svaki je broj jedan za jedan veći od prethodnog.

Koliko brojeva ima prirodni niz? Prirodni niz je beskonačan, najveći prirodni broj ne postoji.

Decimala budući da 10 jedinica bilo koje znamenke čini 1 jedinicu najviše znamenke. Pozicijski tako kako značenje znamenke ovisi o njezinu mjestu u broju, tj. iz kategorije u kojoj je napisano.

Klase prirodnih brojeva.

Bilo koji prirodni broj može se napisati s 10 arapskih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Za čitanje prirodnih brojeva, oni se dijele, počevši s desne strane, u skupine od po 3 znamenke. 3 prva brojevi s desne strane su klasa jedinica, sljedeća 3 su klasa tisućica, zatim klase milijuna, milijardi iitd. Svaka od znamenki klase naziva se njenapražnjenje.

Usporedba prirodnih brojeva.

Od 2 prirodna broja manji je onaj broj koji se prije zove pri brojanju. Na primjer, broj 7 manje 11 (napisano ovako:7 < 11 ). Kada je jedan broj veći od drugog, piše se ovako:386 > 99 .

Tablica znamenki i klase brojeva.

jedinica 1. razreda	1. znamenka jedinice 2. znamenka desetica 3. mjesto stotinke
2. klasa tisuća	1. znamenka jedinice tisućica 2. znamenka desetaka tisuća 3. kategorija stotine tisuća
Milijuni 3. klase	1. znamenka jedinice milijuna 2. kategorija deseci milijuna 3. kategorija stotine milijuna
milijarde 4. klase	1. znamenka jedinice milijardi 2. kategorija deseci milijardi 3. kategorija stotine milijardi

Brojevi od 5. razreda pa nadalje smatraju se velikim brojevima. Jedinice 5. razreda su bilijuni, 6 klasa - kvadrilijuni, 7. klasa - kvintilijuni, 8. klasa - sekstilijuni, 9. klasa - eptilioni. Osnovna svojstva prirodnih brojeva. Komutativnost zbrajanja . a + b = b + a Komutativnost množenja. ab = ba Asocijativnost zbrajanja. (a + b) + c = a + (b + c) Asocijativnost množenja. Distributivnost množenja u odnosu na zbrajanje: Operacije s prirodnim brojevima. 4. Dijeljenje prirodnih brojeva je operacija obratna od množenja. Ako b ∙ c = a, To Formule za dijeljenje: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Brojevni izrazi i brojevne jednakosti. Zapis gdje su brojevi povezani znakovima radnje je brojčani izraz. Na primjer, 10∙3+4; (60-2∙5):10. Zapisi u kojima su 2 numerička izraza kombinirana sa znakom jednakosti su brojčane jednakosti. Jednakost ima lijevu i desnu stranu. Redoslijed izvođenja računskih operacija. Zbrajanje i oduzimanje brojeva su operacije prvog stupnja, dok su množenje i dijeljenje operacije drugog stupnja. Kada se numerički izraz sastoji od radnji samo jednog stupnja, one se izvode sekvencijalno s lijeva na desno. Kada se izrazi sastoje od radnji samo prvog i drugog stupnja, tada se radnje izvode prve drugi stupanj, a zatim - radnje prvog stupnja. Kada u izrazu postoje zagrade, prvo se izvode radnje u zagradama. Na primjer, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Brojevi namijenjeni brojanju predmeta i odgovoru na pitanje "koliko?" ("Koliko

lopte?", "Koliko jabuka?", "Koliko vojnika?"), nazivaju se prirodnim.

Ako ih napišete redom, od najmanjeg broja prema najvećem, dobit ćete prirodan niz brojeva:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Brojkom 1 počinje prirodni niz brojeva.

Svaki sljedeći prirodni broj je za 1 veći od prethodnog.

Prirodni niz brojeva je beskonačan.

Brojevi mogu biti parni i neparni. Parni brojevi djeljivi su s dva, i Ne Parni brojevi nisu djeljivi s dva.

Niz neparnih brojeva:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Niz parnih brojeva:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

U prirodnom nizu izmjenjuju se parni i neparni brojevi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Kako uspoređivati ​​prirodne brojeve

Kada se uspoređuju dva prirodna broja, veći je onaj desno u prirodnom nizu:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Dakle, sedam je više od tri, a pet je više od jedan.

U matematici se riječ "manje" piše znakom "<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Oštri kut simbola veće i manje od uvijek je usmjeren prema manjem od dva broja.

Unos 7 > 3 čita se kao "sedam na tri".

Ulaz 3< 7 читается как «три меньше семи».

Unos 5 > 1 čita se kao "pet na jedan."

Unos 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Riječ "jednako" u matematici zamijenjena je znakom "=":

Kad su brojevi veliki, teško je odmah reći koji je desno u prirodnom nizu.

Kad se uspoređuju dva prirodna broja s različitim brojem znamenki, veći je onaj s najviše znamenki.

Na primjer, 233.000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Višeznamenkasti prirodni brojevi s istim brojem znamenki uspoređuju se po bitovima, počevši od najznačajnije znamenke.

Prvo se uspoređuju jedinice najznačajnije znamenke, zatim sljedeće, sljedeće i tako dalje. Na primjer, usporedimo brojeve 5401 i 5430:

5401 = 5 tisuća 4 stotine 0 desetica 1 jedinica;

5430 = 5 tisuća 4 stotine 3 desetice 0 jedinica.

Uspoređivanje jedinica tisućica. Na mjestu tisućica broja 5401 nalazi se 5 jedinica, na mjestu tisućica broja 5430 nalazi se 5 jedinica. Usporedbom jedinica tisućica ipak se ne može reći koji je broj veći.

Uspoređujući stotine. Na mjestu stotica broja 5401 nalaze se 4 jedinice, na mjestu stotica broj 5430 je također 4 jedinice. Moramo nastaviti usporedbu.

Uspoređujući desetice. Na mjestu desetica broja 5401 nalazi se 0 jedinica, na mjestu desetica broja 5430 nalaze se 3 jedinice.

Uspoređujući, dobivamo 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

Brojevi se mogu poredati u silaznom ili rastućem redoslijedu.

Ako je u nizu više prirodnih brojeva svaki sljedeći broj manji od prethodnog, kaže se da su brojevi napisani u opadajućem redoslijedu.

Zapišimo brojeve 5, 22, 13, 800 silaznim redom.

Nađimo veći broj. Broj 5 je jednoznamenkasti broj, 13 i 22 su dvoznamenkasti brojevi, 800 je troznamenkasti broj i stoga je najveći. Na prvom mjestu pišemo 800.

Od dvoznamenkastih brojeva 13 i 22 veći je 22. Iza broja 800 upisujemo broj 22, a zatim 13.

Najmanji broj je jednoznamenkasti broj 5. Zapisujemo ga zadnji.

800, 22, 13, 5 - bilježenje ovih brojeva silaznim redoslijedom.

Ako je u zapisu više prirodnih brojeva svaki sljedeći broj veći od prethodnog, kaže se da su brojevi napisani rastućim redom.

Kako zapisati brojeve 15, 2, 31, 278, 298 u rastućem redoslijedu?

Među brojevima 15, 2, 31, 278, 298 pronaći ćemo manji.

Ovo je jednoznamenkasti broj 2. Zapišimo ga na prvo mjesto.

Od dvoznamenkastih brojeva 15 i 31 odaberite manji - 15, upišite ga na drugo mjesto, a iza njega - 31.

Od troznamenkastih brojeva 278 je najmanji, pišemo ga iza broja 31, a zadnji broj 298.

2, 15, 21, 278, 298 - pisanje ovih brojeva u rastućem redoslijedu