Pravilo rastavljanja složenog broja na proste faktore. Kalkulator faktorizacije brojeva

Rastavljanje broja na proste faktore- Ovo je čest problem koji morate znati riješiti. Rastavljanje na proste faktore može biti potrebno pri pronalaženju GCD (Najveći zajednički faktor) i LCM (Najmanji zajednički višekratnik), te pri testiranju jesu li brojevi međusobno prosti.

Svi brojevi mogu se podijeliti u dvije glavne vrste:

• glavni broj je broj koji je djeljiv samo sa sobom i 1.
• Složeni broj je broj koji ima djelitelje osim sebe i 1.

Da biste provjerili je li broj prost ili složen, možete se poslužiti posebnom tablicom prostih brojeva.

Tablica prostih brojeva

Radi lakšeg računanja svi prosti brojevi sabrani su u tablicu. Ispod je tablica prostih brojeva od 1 do 1000.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131	137	139	149	151
157	163	167	173	179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263	269	271	277	281
283	293	307	311	313	317	331	337	347	349	353	359
367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503
509	521	523	541	547	557	563	569	571	577	587	593
599	601	607	613	617	619	631	641	643	647	653	659
661	673	677	683	691	701	709	719	727	733	739	743
751	757	761	769	773	787	797	809	811	821	823	827
829	839	853	857	859	863	877	881	883	887	907	911
919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

Rastavljanje na proste faktore

Za rastavljanje broja na proste faktore možete se poslužiti tablicom prostih brojeva i znakova djeljivosti brojeva. Dok broj ne postane jednak 1, potrebno je odabrati prost broj s kojim se dijeli trenutni i izvršiti dijeljenje. Ako nije bilo moguće pronaći niti jedan faktor koji nije jednak 1 i samom broju, tada je broj prost. Pogledajmo na primjeru kako se to radi.

Rastavite broj 63140 na proste faktore.

Kako ne bismo izgubili faktore, zapisivat ćemo ih u stupac, kao što je prikazano na slici. Ovo rješenje je prilično kompaktno i praktično. Pogledajmo ga pobliže.

Što faktoring znači? Kako to učiniti? Što možete naučiti rastavljanjem broja na proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.

Definicije:

Broj koji ima točno dva različita djelitelja naziva se prostim brojem.

Broj koji ima više od dva djelitelja naziva se složenim.

Faktorizirati prirodni broj znači prikazati ga kao umnožak prirodnih brojeva.

Rastaviti prirodni broj na proste faktore znači prikazati ga kao umnožak prostih brojeva.

Bilješke:

• U rastavljanju prostog broja jedan od faktora je jednak jedinici, a drugi je jednak samom broju.
• O faktoring jedinstvu nema smisla govoriti.
• Složeni broj može se rastaviti na faktore od kojih je svaki različit od 1.

	Rastavimo broj 150 na faktore. Na primjer, 150 je 15 puta 10. 15 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 2. Zapisivanjem njihovih razlaganja na proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo razlaganje broja 150.
	Broj 150 se može faktorizirati i na drugi način. Na primjer, 150 je umnožak brojeva 5 i 30. 5 je prost broj. 30 je složeni broj. Može se smatrati proizvodom 10 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na proste faktore 5 i 2. Faktorizaciju od 150 na proste faktore dobili smo na drugačiji način.
	Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu faktora. Uobičajeno je da se faktori pišu rastućim redoslijedom.
Svaki složeni broj može se rastaviti na proste faktore na jedinstven način, do reda faktora.

Kada rastavljate velike brojeve na proste faktore, koristite zapis u stupcu:

	Najmanji prosti broj koji je djeljiv sa 216 je 2. Podijelimo 216 s 2. Dobit ćemo 108.
	Dobiveni broj 108 podijeli se s 2. Napravimo podjelu. Rezultat je 54.
	Prema testu djeljivosti s 2, broj 54 djeljiv je s 2. Nakon dijeljenja dobivamo 27.
	Broj 27 završava neparnom znamenkom 7. To Nije djeljiv s 2. Sljedeći prosti broj je 3. Podijelimo 27 s 3. Dobit ćemo 9. Najmanji prost broj Broj s kojim je 9 djeljiv je 3. Tri je sam po sebi prost broj; djeljiv je sam sa sobom i s jedinicom. Podijelimo 3 sami sa sobom. Na kraju smo dobili 1.

• Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegove dekompozicije.
• Broj je djeljiv samo na one složene brojeve čije je razlaganje na proste faktore u potpunosti sadržano u njemu.

Pogledajmo primjere:

	4900 je djeljiv s prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljiv s npr. 13.
	11 550 75. To je tako jer je rastavljanje broja 75 u potpunosti sadržano u rastavljanju broja 11550. Rezultat dijeljenja bit će umnožak faktora 2, 7 i 11. 11550 nije djeljivo s 4 jer postoji dodatna dva u proširenju četiri.

Nađite kvocijent dijeljenja broja a s brojem b, ako se ti brojevi rastave na proste faktore na sljedeći način: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Rastavljanje broja b u potpunosti je sadržano u rastavljanju broja a.
	Rezultat dijeljenja a s b je umnožak tri broja preostala u proširenju a. Dakle, odgovor je: 30.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadatci za kolegij matematike za 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-govornik za 5-6 razred srednje škole. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.

1. Internetski portal Matematika-na.ru ().
2. Internetski portal Math-portal.ru ().

Domaća zadaća

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
2. Ostali zadaci: br.133, br.144.

Svaki prirodni broj, osim jedan, ima dva ili više djelitelja. Na primjer, broj 7 djeljiv je bez ostatka samo s 1 i 7, odnosno ima dva djelitelja. A broj 8 ima djelitelje 1, 2, 4, 8, odnosno čak 4 djelitelja odjednom.

Koja je razlika između prostih i složenih brojeva?

Brojevi koji imaju više od dva djelitelja nazivaju se složeni brojevi. Brojevi koji imaju samo dva djelitelja: jedan i sam broj nazivaju se prosti brojevi.

Broj 1 ima samo jedan dio, naime sam broj. Jedan nije ni prost ni složeni broj.

• Na primjer, broj 7 je prost, a broj 8 je složen.

Prvih 10 prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Broj 2 je jedini paran prost broj, svi ostali prosti brojevi su neparni.

Broj 78 je složen, jer je osim sa 1 i samim sobom djeljiv i sa 2. Kada se podijeli sa 2, dobijemo 39. Odnosno, 78 = 2*39. U takvim slučajevima kažu da je broj rastavljen na faktore 2 i 39.

Bilo koji složeni broj može se rastaviti na dva faktora, od kojih je svaki veći od 1. Ovaj trik neće funkcionirati s prostim brojem. Tako to ide.

Rastavljanje broja na proste faktore

Kao što je gore navedeno, bilo koji kompozitni broj može se rastaviti na dva faktora. Uzmimo, na primjer, broj 210. Ovaj broj se može rastaviti na dva faktora 21 i 10. Ali brojevi 21 i 10 su također složeni, rastavimo ih na dva faktora. Dobivamo 10 = 2*5, 21=3*7. I kao rezultat, broj 210 je rastavljen na 4 faktora: 2,3,5,7. Ovi brojevi su već prosti i ne mogu se proširivati. To jest, rastavili smo broj 210 na proste faktore.

Kada se složeni brojevi rastavljaju na proste faktore, oni se obično pišu rastućim redoslijedom.

Treba imati na umu da se bilo koji kompozitni broj može rastaviti na proste faktore i to na jedinstven način, do permutacije.

• Obično se pri rastavljanju broja na proste faktore koriste kriteriji djeljivosti.

Rastavimo broj 378 na proste faktore

Zapisat ćemo brojeve odvajajući ih okomitom crtom. Broj 378 djeljiv je s 2 jer završava s 8. Dijeljenjem dobivamo broj 189. Zbroj znamenki broja 189 djeljiv je s 3, što znači da je i sam broj 189 djeljiv s 3. Rezultat je 63.

Broj 63 također je djeljiv s 3, prema djeljivosti. Dobivamo 21, broj 21 opet možemo podijeliti s 3, dobivamo 7. Sedam se dijeli samo sa sobom, dobivamo jedan. Time je podjela završena. Desno iza retka su prosti faktori na koje je rastavljen broj 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

Može se predstaviti kao umnožak prostih brojeva.

Primjer. Predstavimo brojeve 4, 6 i 8 kao umnožak prostih faktora:

Desne strane dobivenih jednakosti nazivaju se razlaganjem na proste faktore.

Ovo je prikaz složenog broja kao produkta prostih faktora.

Rastavite složeni broj na proste faktore- znači predstaviti ovaj broj kao umnožak prostih faktora.

Prosti faktori u proširenju broja mogu se ponavljati. Prosti faktori koji se ponavljaju mogu se napisati kompaktnije - u obliku potencije.

Primjer.

24 = 2 2 2 3 = 2 3 3

Bilješka. Prosti faktori obično se pišu rastućim redoslijedom.

Kako rastaviti broj na proste faktore

Redoslijed radnji pri rastavljanju broja na proste faktore:

1. Provjeravamo tablicu prostih brojeva da vidimo je li zadani broj prost.
2. Ako nije, tada iz tablice prostih brojeva redom izaberemo najmanji prost broj s kojim je taj broj djeljiv bez ostatka i izvršimo dijeljenje.
3. Pomoću tablice prostih brojeva provjeravamo je li dobiveni kvocijent prost broj.
4. Ako nije, tada iz tablice prostih brojeva redom izaberemo najmanji prosti broj s kojim je dobiveni kvocijent djeljiv cjelinom i izvršimo dijeljenje.
5. Ponavljamo točke 3 i 4 dok kvocijent ne bude jednak jedan.

Primjer. Rastavite broj 102 na proste faktore.

Riješenje:

Započinjemo potragu za najmanjim prostim djeliteljem broja 102. Da bismo to učinili, redom odabiremo najmanji prosti broj iz tablice prostih brojeva, s kojim će se 102 podijeliti bez ostatka. Uzimamo broj 2 i pokušavamo s njim podijeliti 102, dobivamo:

Broj 102 podijeljen je s 2 bez ostatka, pa je 2 prvi pronađeni prosti faktor. Budući da je dividenda jednaka djelitelju pomnoženom s količnikom, možemo napisati:

Prijeđimo na sljedeći korak. Pomoću tablice prostih brojeva provjeravamo je li dobiveni kvocijent prost broj. Broj 51 je složen. Počevši od broja 2, iz tablice prostih brojeva izaberemo najmanji prosti djelitelj broja 51. Broj 51 nije djeljiv s 2. Prelazimo na sljedeći broj iz tablice prostih brojeva (broj 3) i pokušamo podijeliti 51 s njim, dobivamo:

Broj 51 podijeljen je s 3, pa je 3 drugi pronađeni prosti faktor. Sada možemo predstaviti broj 51 kao umnožak. Ovaj proces se može napisati ovako:

102 = 2 51 = 2 3 17

Pomoću tablice prostih brojeva provjeravamo je li dobiveni kvocijent prost broj. Broj 17 je jednostavan. To znači da će najmanji prosti broj koji je djeljiv sa 17 biti sam ovaj broj:

Budući da smo dobili jedinicu u kvocijentu, rastavljanje je završeno. Dakle, rastavljanje broja 102 na proste faktore ima oblik:

102 = 2 3 17

Odgovor: 102 = 2 3 17.

U aritmetici postoji još jedan oblik zapisa koji olakšava proces rastavljanja složenih brojeva. Sastoji se od bilježenja cijelog procesa razgradnje u stupac (u dva stupca odvojena okomitom crtom). Lijevo od okomite crte, odozgo prema dolje, zapišite redom: zadani složeni broj, zatim dobivene kvocijente, a desno od crte - odgovarajuće najmanje proste faktore.

Primjer. Rastavite broj 120 na proste faktore.

Riješenje:

Napišemo broj 120 i povučemo okomitu crtu desno od njega:

Desno od crte upisujemo najmanji prosti djelitelj broja 120:

Izvodimo dijeljenje i dobiveni kvocijent (60) upisujemo pod ovaj broj:

Odaberemo najmanji prosti djelitelj za 60, upišemo ga desno od okomite crte ispod prethodnog djelitelja i izvedemo dijeljenje. Nastavljamo proces sve dok kvocijent ne proizvede jedinicu:

U kvocijentu smo dobili jedinicu, što znači da je razlaganje završeno. Nakon rastavljanja u stupac faktore treba ispisati u retku:

120 = 2 3 3 5.

Odgovor: 120 = 2 3 3 5.

Složeni broj može se rastaviti na svoje proste faktore na jedinstven način.

To znači da ako npr. broj 20 rastavimo na dvije dvojke i jednu peticu, onda će se uvijek tako rastavljati, bez obzira da li rastavljanje počinjemo s malim faktorima ili s velikima. Uobičajeno je započeti širenje s malim faktorima, tj. s dvojkama, trojkama itd.

Novo na stranici	|	contact@site
2018 − 2020		web stranica

Bilo koji složeni broj može se rastaviti na proste faktore. Može postojati nekoliko metoda razgradnje. Obje metode daju isti rezultat.

Kako rastaviti broj na proste faktore na najprikladniji način? Pogledajmo kako to najbolje učiniti na konkretnim primjerima.

Primjeri. 1) Rastavite broj 1400 na proste faktore.

1400 je djeljivo s 2. 2 je prost broj, nema potrebe rastavljati ga na faktore. Dobivamo 700. Podijelimo ga s 2. Dobivamo 350. Također dijelimo 350 s 2. Dobiveni broj 175 možemo podijeliti s 5. Rezultat je 35 - ponovno podijelimo s 5. Ukupno - 7. Može se podijeliti samo s 7. Dobivamo 1, dijeljenje gotovo.

Isti broj se može faktorizirati na različite načine:

Pogodno je podijeliti 1400 s 10. 10 nije prost broj, pa ga treba rastaviti na proste faktore: 10=2∙5. Rezultat je 140. Ponovno ga dijelimo s 10=2∙5. Dobivamo 14. Ako se 14 podijeli sa 14, onda i njega treba rastaviti na umnožak prostih faktora: 14=2∙7.

Tako smo opet došli do iste dekompozicije kao u prvom slučaju, ali brže.

Zaključak: kada rastavljamo broj, nije ga potrebno dijeliti samo na proste faktore. Dijelimo s onim što je zgodnije, na primjer s 10. Samo se trebate sjetiti rastaviti složene djelitelje na jednostavne faktore.

2) Rastavi broj 1620 na proste faktore.

Najprikladniji način za dijeljenje broja 1620 je s 10. Budući da 10 nije prost broj, predstavljamo ga kao umnožak prostih faktora: 10=2∙5. Dobili smo 162. Zgodno je to podijeliti s 2. Rezultat je 81. Broj 81 možemo podijeliti s 3, ali s 9 je zgodnije. Budući da 9 nije prost broj, proširit ćemo ga kao 9=3∙3. Dobivamo 9. Također ga dijelimo s 9 i raširimo u umnožak prostih faktora.