Історія простих чисел. Просте число

Молоков Максим

Цього року ми вивчили тему «Прості та складові числа», і мені стало цікаво, хто з учених займався їх вивченням, як отримати прості числа, окрім тих, що містяться на форзаці нашого підручника (від 1 до 1000), це стало метою виконання цієї роботи.
Завдання:
1. Вивчити історію відкриття простих чисел.
2. Познайомитись із сучасними методами відшукання простих чисел.
3. Дізнатися у тому, у яких наукових областях застосовуються прості числа.
4. Чи серед російських учених імена тих, хто займався вивченням простих чисел.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Історія простих чисел МБОУ Суховська ЗОШ Автор: учень 6 класу Молоков Максим Керівник: вчитель математики Бабкіна Л. А. п. Новосуховий грудень 2013 рік

Цього року ми вивчили тему «Прості та складові числа», і мені стало цікаво, хто з учених займався їх вивченням, як отримати прості числа, окрім тих, що містяться на форзаці нашого підручника (від 1 до 1000), це стало метою виконання цієї роботи. Завдання: 1. Вивчити історію відкриття найпростіших чисел. 2. Познайомитись із сучасними методами відшукання простих чисел. 3. Дізнатися у тому, у яких наукових областях застосовуються прості числа. 4. чи є серед російських вчених імена тих, хто займався вивченням найпростіших чисел.

Кожен, хто вивчає прості числа, буває зачарований і водночас відчуває власне безсилля. Визначення простих чисел так і очевидно; знайти чергове просте число так легко; розкладання на прості співмножники - така природна дія. Чому ж прості числа настільки завзято пручаються нашим спробам осягнути порядок і закономірності їхнього розташування? Можливо, в них взагалі немає порядку, чи ми такі сліпі, що не бачимо його? Ч. Узерелл.

Піфагор та його учні вивчали питання ділимості чисел. Число, що дорівнює сумі всіх його дільників (без самого числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 +3), 28 (28 = 1 +2 +4 +7 +14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагор (VI ст. До н.е.)

Піфагорійці знали лише перші три досконалі числа. Четверте – 8128 – стало відомим у першому столітті н.е. П'яте – 33550336 – було знайдено у XV ст. До 1983 р. було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.

Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, тобто. Найпростіші числа – це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.

Ви, мабуть, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємося по числовому ряду, то рідше зустрічаються прості числа.

Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н.е.) у своїй книзі («Початки»), що була протягом 2000 років основним підручником математики, довів, що простих чисел дуже багато, тобто. за кожним простим числом є більш проста кількість Евклід (III ст. до н.е.)

Для пошуку простих чисел інший грецький математик Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від одного до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є не простим, не складовим числом, потім викреслював через одне усі числа, що йдуть після 2 числа, кратні двом, тобто. 4,6,8, і т.д.

Першим числом, що залишилося, після двох було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після трьох (числа кратні 3, тобто 6,9,12, і т.д.). Зрештою, залишалися невикресленими лише прості числа.

Оскільки греки робили записи на покритих воском табличках чи тягнутому папірусі, а числа не викреслювали, а виколювали голкою, то таблиця наприкінці обчислень нагадувала решето. Тому метод Ератосфена називають решетом Ератосфена: у цьому решете «відсіюються» прості числа від складових.

Отже, простими числами від 2 до 60 є 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. у такий спосіб і в Нині становлять таблиці простих чисел, але з допомогою обчислювальних машин.

Евклід (III ст. до н.е.) довів, що між натуральним числом n і n! обов'язково знайдеться хоча б одне просте число. Тим самим він довів, що натуральний ряд чисел нескінченний. У середині ХІХ ст. Російський математик і механік Пафнутий Львович Чебишев довів сильнішу теорему, ніж Евклід. Між натуральним числом n і числом удвічі більше його, тобто. 2 n міститься хоча б одне просте число. Тобто, в теоремі Евкліда число n! замінив числом 2n. Пафнутий Львович Чебишев (1821-1894) російський математик та механік

Виникає наступне питання: «Якщо так важко знайти наступне просте число, то де і для чого ці числа можна використовувати на практиці?» Найбільш поширеним прикладом використання простих чисел є застосування в криптографії (шифруванні даних). Найбезпечніші методи криптографії, що важко дешифруються, засновані на застосуванні простих чисел, що мають у складі більше трьох сотень цифр.

Проблема відсутності закономірностей розподілу простих чисел займає уми людства ще з часів давньогрецьких математиків. Завдяки Евкліду ми знаємо, що простих чисел дуже багато. Ерастофен запропонував перший алгоритм тестування чисел на простоту. Чебишев та багато інших відомих математиків намагалися і намагаються досі розгадати загадку простих чисел. На сьогоднішній момент знайдено та запропоновано безліч витончених алгоритмів, закономірностей, але всі вони застосовні лише для кінцевого ряду простих чисел чи простих чисел спеціального виду. Переднім краєм науки в дослідженнях простих чисел на нескінченності вважається доказ гіпотези Рімана. Вона входить у сімку невирішених проблем тисячоліття, за доказ чи спростування якої математичним інститутом Клея запропонована премія в 1.000.000$.

Інтернет - джерела і література http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ Підручник "Математика" для шостого класу освітніх установ / Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбург - М. Мнемозіна 2010 р. /

Відділ освіти та молодіжної політики адміністрації

Яльчикського району Чуваської Республіки

Проект
Прості числа…

Чи така проста їхня історія?

Виконала учениця 7 класу МОУ «Новошимкуська ЗОШ Яльчикського району Чуваської Республіки» Єфімова Марина

Керівник: вчитель математики І категорії МОУ «Новошимкуська ЗОШ Яльчикського району Чуваської Республіки» Кириллова С.М.

с.Нові Шимкуси - 2007

1. 
   Визначення простих чисел 3
2. 
   Заслуги Ейлера 3
3. 
   Основна теорема арифметики 4
4. 
   Прості числа Мерсена 4
5. 
   Прості числа Ферма 5
6. 
   Решето Ератосфена 5
7. 
   Відкриття П.Л.Чебишева 6
8. 
   Проблема Гольдбаху 7
9. 
   І.М.Виноградов 8
10. 
    Висновок 8
11. 
    Література 10

Визначення простих чисел

Інтерес до вивчення простих чисел виник у людей у ​​давнину. І викликаний він був не лише практичною необхідністю. Приваблювала їхня надзвичайна магічна сила. Числа, якими можна висловити кількість предметів. Несподівані і водночас природні властивості натуральних чисел, виявлені давніми математиками, дивували їх своєю чудовою красою і надихали нові дослідження.

Мабуть, однією з перших властивостей чисел, відкритих людиною, було те, що деякі з них можуть бути розкладені на два або більше множників, наприклад,

6 = 2 * 3, 9 = 3 * 3, 30 = 2 * 15 = 3 * 10, в той час як інші, наприклад 3, 7, 13, 37, не можуть бути розкладені подібним чином.

Коли число с = аbє добутком двох чисел аі b , то числа а іbназиваються множникамиабо дільникамичисла с. Кожне число може бути представлене у вигляді добутку двох співмножників. Наприклад, з = 1 * с = с * 1.

Простимназивається число, яке ділиться тільки саме на себе та на одиницю.

Одиниця, що має лише один дільник, до простих чисел не відноситься. Не відноситься вона і до складових чисел. Одиниця займає особливе становище у числовому ряду. Піфагорійці вчили, що одиниця - мати всіх чисел, дух, з якого походить весь видимий світвона є розум, добро, гармонія.

У Казанському університеті професор Нікольський за допомогою одиниці примудрився довести існування Бога. Він говорив: "Як не може бути числа без одиниці, так і Всесвіт без єдиного Владики існувати не може".

Одиниця і справді – число унікальне за властивостями: вона ділиться тільки сама на себе, але будь-яке інше число на неї ділиться без залишку, будь-яка її ступінь дорівнює тому ж самому числу - одиниці!

Після поділу на неї жодне число не змінюється, а якщо і поділити будь-яке число на саму себе, вийде знову ж таки одиниця! Чи не дивно це? Поміркувавши над цим, Ейлер заявив: «Потрібно виключити одиницю із послідовності простих чисел, вона не є ні простим, ні складовим».

Це було вже суттєво важливе впорядкування у темному та складному питанні про прості числа.

Заслуги Ейлера

Леонард Ейлер

(1707-1783)

У Ейлера вчилися всі - і в Західній Європі, і в Росії. Діапазон його творчості широкий: диференціальне та інтегральне обчислення, алгебра, механіка, діоптрика, артилерія, морська наука, теорія руху планет та Місяця, теорія музики – всього не перерахувати. У всій цій науковій мозаїці знаходиться і теорія чисел. Ейлер віддав їй чимало сил і чимало досяг. Він, як і багато його попередників, шукав магічну формулу, яка дозволяла б виділити прості числа з нескінченної множини чисел натурального ряду, Т. е. З усіх чисел, які можна собі уявити. Ейлер написав понад сто творів з теорії чисел.

...Доведено, наприклад, що число простих чисел необмежено, тобто: 1) немає найбільшого простого числа; 2) немає останнього простого числа, після якого всі числа були складовими. Перший доказ цього положення належить вченим стародавньої Греції(V-Ш ст. до н. е.), другий доказ - Ейлер (1708-1783).

Основна теорема арифметики

Будь-яке натуральне число, Відмінне від 1, або є простим, або може бути представлене у вигляді добутку простих чисел, причому однозначно, якщо не звертати уваги на порядок проходження множників.

Доведення.Візьмемо натуральне число п≠ 1. Якщо n - просте, це той випадок, про який сказано у висновку теореми. Тепер припустимо, що n – складове. Тоді воно представлено у вигляді твору п = аb, де натуральні числа а та b менше n. Знову або a та b - прості, тоді все доведено, або хоча б одне з них складове, тобто складено з менших множників і так далі; Зрештою ми отримаємо розкладання на прості множники.

Якщо число n не ділиться на одне просте, не перевищує√ n , воно є простим.

Доведення.Припустимо неприємне, нехай n - складове і п = аЬ,де 1 ≤b і р - простий дільник числа а,отже, і числа n. За умовою пне ділиться на жодне просте, не переважає √ n. Отже, р >√n. Але тоді а >√nі √ n ≤ а≤ b ,

звідки п = аb = √ n√ n = п;дійшли протиріччя, припущення було неправильним, теорема доведена.

приклад 1.Якщо з = 91, то √ с = 9, ... перевіримо прості числа 2, 3, 5, 7. Знаходимо, що 91 = 7 13.

приклад 2.Якщо с = 1973, то знаходимо √ c = √ 1973 =44, ...

так як жодне просте число до 43 не ділить з, це число є простим.

приклад 3.Знайдіть просте число, наступне за простим числом 1973 року. Відповідь: 1979.

Прості числа Мерсена

Протягом кількох століть йшла гонитва за простими числами. Багато математиків виборювали честь стати відкривачами найбільшого з відомих простих чисел.

Прості числа Мерсен є простими числами спеціального виду M p = 2 p - 1

де р -інше просте число.

Ці числа увійшли в математику давно, вони з'являються ще в евклідових роздумах про сучасних числах. Свою назву вони отримали на честь французького ченця Мерена Мерсена (1589–1648), який довго займався проблемою сучасних чисел.

Якщо обчислювати числа за цією формулою, отримаємо:

M 2 = 2 2 - 1 = 3 - просте;

M 3 = 2 3 - 1 = 7 - просте;

M 5 = 2 5 - 1 = 31 - просте;

M 7 = 2 7 - 1 = 127 - просте;

M 11 = 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89

Загальний спосіб знаходження великих простих чисел Мерсена полягає у перевірці всіх чисел M p для різних простих чисел нар.

Ці числа дуже швидко збільшуються і так само швидко збільшуються витрати на їхнє знаходження.

У дослідженні чисел Мерсен можна виділити ранню стадію, що досягла своєї кульмінації в 1750 р., коли Ейлер встановив, що число M 31 є простим. На той час було знайдено вісім простих чисел Мерсена:

р= 2, р = 3, р = 5 р = 7 р= 13, р = 17, р = 19, р =31.

Ейлерове число M 31 залишалося найбільшим із відомих простих чисел понад сто років.

У 1876 р. французький математик Лукас встановив, що велика кількість M 127 - з 39 цифрами. 12 простих чисел Мерсена були обчислені лише олівцем і папером, а для обчислення наступних вже використовувалися механічні настільні рахункові машини.

Поява обчислювальних машин з електричним приводом дозволила продовжити пошуки, довівши їх до р = 257.

Однак результати були невтішними, серед них не було нових простих чисел Мерсена.

Потім завдання було переведено на ЕОМ.

Найбільше відоме нині просте число має 3376 цифр. Це число було знайдено на ЕОМ в університеті Іллінойсу (США). Математичний факультет цього університету був такий гордий своїм досягненням, що зобразив це число на своєму поштовому штемпелі, таким чином відтворюючи його на кожному листі, що відсилається, для загального огляду.

Прості числа Ферма

Існує ще один тип простих чисел з великою та цікавою історією. Вони були вперше введені французьким юристом П'єром Ферма (1601-1665), який прославився своїми визначними математичними роботами.

П'єр Ферма (1601-1665)
Першими простими числами Ферма були числа, які задовольняли формулою F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Однак, це припущення було здано в архів невиправданих математичних гіпотез, але після того, як Леонард Ейлер зробив ще один крок і показав, що наступне число Ферма F 5 = 641 6700417 є складовим.

Можливо, що історія чисел Ферма була б закінчена, якби числа Ферма не з'явилися в зовсім іншому завданні – на побудову правильних багатокутників за допомогою циркуля та лінійки.

Однак жодного простого числа Ферма не було знайдено, і зараз багато математиків схильні вважати, що їх більше немає.
Решето Ератосфена

Існують таблиці простих чисел, що сягають дуже великих чисел. Як підійти до складання такої таблиці? Це завдання було, у певному сенсі, вирішено (близько 200 р. до н. е.) Ератосфеном, математиком з Олександрії. -

Його схема полягає у наступному. Напишемо послідовність всіх цілих чисел від 1 до числа, яким хочемо закінчити таблицю.

Почнемо з простого числа 2. Викидатимемо кожне друге число. Почнемо з 2 (крім самого числа 2), тобто парних чисел: 4, 6, 8, 10 і т. д., підкреслюємо кожне з них.

Після цієї операції першим непідкресленим числом буде 3. Воно просте, тому що не ділиться на 2. Залишаючи число 3 непідкресленим, підкреслюватимемо кожне третє число після нього, тобто числа 6, 9, 12, 15... Деякі з них були вже підкреслені, оскільки вони є парними. На наступному кроці першим непідкресленим числом виявиться число 5; воно просте, тому що не ділиться ні на 2, ні на 3. Залишимо число 5 непідкресленим, але підкреслимо кожне п'яте число після нього, тобто числа 10, 15, 20 ... Як і раніше, частина з них виявилася підкресленою . Тепер найменшим непідкресленим числом виявиться число 7. Воно просте, тому що не ділиться на жодне з менших його простих чисел 2, 3, 5. Повторюючи цей процес, ми зрештою отримаємо послідовність непідкреслених чисел; всі вони (крім числа 1) є простими. Цей метод відсіювання чисел відомий як «решета Ератосфена». Будь-яка таблиця простих чисел створюється за цим принципом.

Ератосфен створив таблицю простих чисел від 1 до 120 понад 2000 років тому. Він писав на папірусі, натягнутому на рамку, або на восковій дощечці, і не закреслював, як це робимо ми, а проколював складові числа. Виходило щось на зразок решета, через яке «просіювалися» складові числа. Тому таблицю простих чисел називають «решіткою Ератосфена».

Скільки простих чисел? Чи є останнє просте число, тобто таке, після якого всі числа будуть складовими? Якщо таке число є, як його знайти? Всі ці питання цікавили вчених ще в давнину, але відповідь на них виявилося не так просто знайти.

Ератосфен був дотепною людиною. Цей сучасник і друг Архімеда, з яким він постійно листувався, був і математиком, і астрономом, і механіком, що вважалося природним для великих чоловіків того часу. Він першим виміряв діаметр земної кулі, причому не виходячи з олександрійської бібліотеки, де працював. Точність його виміру була напрочуд високою, навіть вищою за ту, з якою виміряв Землю Архімед.

Ератосфен винайшов хитромудрий прилад мезолабіт, здопомогою якого механічно вирішив відоме завдання про подвоєння куба, чим пишався, і тому віддав розпорядження зобразити цей прилад на колоні в Олександрії. Мало того, він виправив єгипетський календар, додавши один день до чотирьох років - у високосний рік.

Решето Ератосфена – це примітивний і в той же час геніальний винахід, до якого не додумався і Евклід, – наводить на загальновідому думку, що все геніальне просто.

Ератосфенове решето непогано попрацювало на дослідників далеко не простих чисел. Ішов час. Йшли пошуки способів вилову простих чисел. Почалося своєрідне змагання на пошуки найбільш простого числа з найдавніших часів до Чебишева і навіть до наших днів.
Відкриття П.Л. Чебишева

І так, число простих чисел нескінченне. Ми вже бачили, що прості числа розміщуються без будь-якого порядку. Простежимо докладніше.

2 та 3 - прості числа. Це єдина пара простих чисел, що стоять поряд.

Потім йдуть 3 і 5, 5 і 7, 11 та 13, 17 та 19 і т.д. Це звані суміжні прості числа чи близнюки. Близнюків багато: 29 і 31, 41 і 43, 59 і 61, 71 і 73, 101 і 103, 827 і 829 і т. д. Найбільша відома зараз пара близнюків така: 10016957 і 10016959.

Панфутій Львович Чебишев

Як же розподілені прості числа у натуральному ряду, в якому не буде жодного простого числа? Чи є якийсь закон у їхньому розподілі чи ні?

Якщо є, то який? Як його знайти? Але відповідь на ці питання не перебувала понад 2000 років.

Перший і дуже великий крок у вирішенні цих питань зробив великий російський вчений Панфутій Львович Чебишев. У 1850 р. він довів, що між будь-яким натуральним числом (не рівним 1) і числом, удвічі більшим за нього (тобто між n і 2n), знаходиться хоча б одне просте число.
Перевіримо це на нескладних прикладах. Приймемо для n кілька довільних значень n . та знайдемо відповідно значення 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Ми, що з розглянутих прикладів теорема Чебишева правильна.

Чебишев довів її для будь-якого випадку, для будь-якого n. За цю теорему його назвали переможцем простих чисел. Відкритий Чебишевим закон розподілу простих чисел був воістину фундаментальним законом теорії чисел після закону, відкритого Евклидом, про нескінченність кількості простих чисел.

Чи не найдобріший, найзахопленіший відгук на відкриття Чебишева прийшов з Англії від відомого математика Сильвестра: «...Даліших успіхів теорії простих чисел можна очікувати тоді, коли народиться хтось, що настільки перевершує Чебишева своєю проникливістю та вдумливістю, наскільки Чебишев перевершує звичайних людей».

Більш ніж через півстоліття німецький математик Е. Ландау, великий фахівець у теорії чисел, додав до цього висловлювання наступне: «Першим після Евкліда Чебишев пішов правильним шляхом при вирішенні проблеми простих чисел і досяг важливих результатів».
Проблема Гольдбаху

Випишемо всі прості числа від 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

А тепер спробуємо будь-яке число від 4 до 50 подати у вигляді суми двох чи трьох простих чисел. Візьмемо кілька чисел навмання:

Як бачимо, поставлене завдання ми виконали легко. А чи завжди це можливо? Чи можна число у вигляді суми кількох простих чисел? І якщо можна, то скільки: двох? трьох? десяти?

У 1742 р. член Петербурзької академії наук Гольдбах у листі до Ейлера висловив припущення, що будь-яке ціле позитивне число, більше п'яти, є сумою не більше ніж трьох простих чисел.

Гольдбах випробував дуже багато чисел і жодного разу не зустрів такого числа, яке не можна було б розкласти на суму двох чи трьох простих доданків. Але чи так буде завжди, він не довів. Довго вчені займалися цим завданням, яке названо «проблемою Гольдбаха» і сформульовано так.

Потрібно довести чи спростувати пропозицію:

всяке число, більше одиниці, є сумою трохи більше трьох простих чисел.

Майже 200 років визначні вчені намагалися вирішити проблему Гольдбаха-Ейлера, але безуспішно. Багато хто дійшли висновку про неможливість її вирішити.

Але рішення її, і майже повністю, було знайдено 1937 р. радянським математиком І.М. Виноградовим.

І.М. Виноградів

Іван Матвійович Виноградов є одним із найбільших сучасних математиків. Народився він 14 вересня 1891 р. у селі Мілолюб Псковської губернії. У 1914 р. закінчив Петербурзький університет та був залишений для підготовки до професорського звання.

Свою першу наукову працю І.М. Виноградов написав у 1915 р. З того часу їм написано понад 120 різних наукових праць. У них він вирішив багато завдань, над якими вчені всього світу працювали десятки та сотні років.

Іван Матвійович Виноградов
За досягнення у галузі математики І.М. Виноградов усіма вченими світу визнаний одним із перших математиків сучасності, обраний до членів багатьох академій світу.

Ми пишаємось нашим чудовим співвітчизником.

Висновок.
З класу – у світовий простір

Розмову про прості числа почнемо захоплюючою розповіддю про уявну подорож з класу у світовий простір. Цю уявну подорож вигадав відомий радянський педагог-математик професор Іван Козьмич Андронов (нар. 1894 р.). «...а) подумки візьмемо прямолінійний провід, що виходить із класної кімнати у світовий простір, що пробиває земну атмосферу, що йде туди, де Місяць робить обертання, і далі - за вогненну кулю Сонця, і далі - у світову нескінченність;

б) подумки підвісимо на провід через кожен метр електричні лампочки, нумеруючи їх, починаючи з найближчої: ​​1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1000000 ...;

в) подумки включимо струм з таким розрахунком, щоб спалахнули всі лампочки з простими номерами і тільки з простими номерами; : .

г) подумки долетимо поблизу дроту.

Перед нами розгорнеться така картина.

1. Лампочка з номером 1 не світиться. Чому? Тому що одиниця не є простим числом.

2. Дві наступні лампочки з номерами 2 і 3 горять, тому що 2 і 3 - обидва прості числа. Чи можуть надалі зустрітися дві суміжні лампочки, що горять? Ні, не можуть. Чому? Будь-яке просте число, крім двох, є число непарне, а суміжні з простим по той і інший бік будуть числа парні, а всяке парне, відмінне від двох, є складовим числом, тому що ділиться на два.

3. Далі спостерігаємо пару лампочок, що горять через одну лампочку з номерами 3 та 5, 5 та 7 тощо. Зрозуміло, чому вони горять: це близнюки. Зауважуємо, що надалі вони зустрічаються рідше; усі пари близнюків, як і пари простих чисел, мають вигляд 6n±1; наприклад

6*3 ± 1 дорівнює 19 та 17

або 6*5 ± 1 дорівнює 31 та 29, ...;

але 6 * 20 ± 1 дорівнює 121 і 119 - ця пара не близнюк, тому що є пара складових чисел.

Долітаємо до пари близнюків 10 016 957 та 10 016 959. Чи будуть і далі пари близнюків? Сучасна наукапоки що відповіді не дає: невідомо, чи існує кінцева чи нескінченна безліч пар близнюків.

4. Але починає діяти закон великого проміжку, заповненого тільки складовими номерами: летимо в темряві, дивимося назад - темрява, і попереду не видно світла. Згадуємо властивість, відкриту Евклідом, і сміливо рухаємося вперед, тому що попереду повинні бути лампочки, що світяться, і попереду їх має бути нескінченна безліч.

5. Залетівши в таке місце натурального ряду, де вже кілька років нашого руху проходить у темряві, згадуємо властивість, доведену Чебишевим, і заспокоюємося, впевнені, що принаймні треба летіти не більше, ніж пролетіли, щоб побачити хоча б одну світну. лампочку».
Література
1. Великий майстер індукції Леонарда Ейлера.

2. За сторінками підручника з математики.

3. Прудніков Н.І.П.Л. Чебишів.

4. Сербський І. А.Що ми знаємо і чого не знаємо про прості числа.

5. Видавничий дім "Перше вересня". Математика №13, 2002

6. Видавничий дім "Перше вересня". Математика №4, 2006

Факти про числа. Це і прості числа та багато інших. Деякі числа, такі як число Пі та ряд інших, ми винесли в окремі матеріали. Тож радимо почитати і їх. Наведемо тут кілька цікавих фактів про числаякі, напевно, будуть вам цікаві.

Факти про негативні числа

В наш час негативні числа відомі багатьом, але так далеко не завжди. Вперше негативні числа стали застосовувати у Китаї III столітті, але дозволено було їх використовувати лише виняткових випадках, оскільки вважали нісенітницею. Дещо пізніше негативні числа стали застосовувати в Індії для позначення боргів.

Так, у праці «Математика» у дев'яти книгах, виданому 179 р. н. е.., в часи династії Хань і прокоментованому в 263 р. Лю Хуей, в китайській системі рахункових паличок для негативних чисел застосовувалися чорні палички, а для позитивних - червоні. Також, для позначення негативних чисел, Лю Хуей використовував похилі лічильні палички.

Знак «-», який зараз використовується для позначення негативних чисел вперше був помічений у стародавньому манускрипті Бахшалі в Індії, але серед вчених немає єдиної думки щодо того, коли він був складений, діапазон розбіжностей становить від 200 до 600 р. зв. е.

Негативні числа вже були відомі в Індії 630 р. н. е.. Вони були використані математиком Брахмагуптою (598-668 рр.).

Вперше у Європі негативні числа почали використовувати приблизно 275 р. зв. е.. Їх узвичаїв грецький математик Діофант Олександрійський, але у країнах їх вважали абсурдними до появи книжки «Ars Magna» («Велике мистецтво»), написаної 1545 р. італійським математиком Джироламо Кардано (1501-1576).

Факти про прості числа

Числа 2 та 5 є єдиними з ряду простих чисел, які закінчуються на 2 та 5.

Інші факти про числа

Число 18 є єдиним (крім 0) числом, сума цифр якого в 2 рази менша за нього самого.

2520 є найменшим числом, яке можна поділити на всі числа починаючи з 1 і закінчуючи 10.

Число «п'ять» тайською мовою вимовляється як «ха». Тому число, складене з трьох п'ятірок - 555, буде вимовлятися як сленг-фраза, що означає людський сміх - "Ха, ха, ха".

Всі ми знаємо, що існують слова паліндроми. Тобто ті, які можна читати зліва направо та праворуч наліво та значення їх не змінюється. Однак, існують і числа-паліндроми (паліндромони). Вони є дзеркальними числами, які будуть читатися і мати однакове значенняв обох напрямках, наприклад, 1234321.

Слово Googol (походження бренду Google) означає число 1 зі 100 нулями.

Єдиним числом, яке не можна написати римськими цифрами, є "Нуль". Також, у сучасній математиці нуль має деякі особливості свого трактування. Так було в російській математиці його зараховують до ряду натуральних чисел, а зарубіжна наука відносить.

МОУ «Частоозерська середня загальноосвітня школа»

Дослідницька робота на тему:

«Числа правлять світом!»

Роботу виконала:

учениця 6а класу.

Керівник: ,

вчитель математики.

с. Частоозера.

I. Введення. -3стор.

ІІ. Основна частина. -4стор.

· Математика у давніх греків. - 4стор.

· Піфагор Самоський. -6стор.

· Піфагор та числа. -8стор.

2. Числа прості та складові. -10стор.

3. Проблема Гольдбаху. -12стор.

4. Ознаки подільності. -13стор.

5. Цікаві властивості натуральних чисел.-15стор.

6. Числові фокуси. -18стор.

ІІІ. Висновок. -22стор.

IV. Список літератури. -23стор.

I. Введення.

Актуальність:

Вивчаючи під час уроків математики тему «Дільність чисел», вчитель запропонував підготувати повідомлення історії відкриття простих і складових чисел. Під час підготовки повідомлення, мене зацікавили слова Піфагора «Числа правлять світом!»

Виникли питання:

· Коли виникла наука про числа?

· Хто зробив внесок у розвиток науки про числа?

· Значення чисел у математиці?

Вирішила докладно вивчити та узагальнити матеріал про числа та їх властивості.

Мета дослідження:вивчити прості та складові числа та показати їх роль у математиці.

Об'єкт дослідження:прості та складові числа.

Гіпотеза:Якщо, за словами Піфагора «Числа правлять світом,

то яка їхня роль у математиці.

Завдання дослідження:

I. Зібрати та узагальнити всіляку інформацію про прості та складові числа.

ІІ. Показати значення чисел у математиці.

ІІІ. Показати цікаві властивості натуральних чисел.

Методи дослідження:

· Теоретичний аналіз літератури.

· Метод систематизації та обробки даних.

ІІ. Основна частина.

1. Історія виникнення науки про числа.

· Математика у давніх греків.

І в Єгипті, і у Вавилоні числами користувалися здебільшого на вирішення практичних завдань.

Становище змінилося, коли математикою зайнялися греки. У руках математика з ремесла стала наукою.

Грецькі племена стали селитися на північних та східних берегах Середземного моря близько чотирьох тисяч років тому.

Більшість греків осіла на балканському півострові - там, де зараз держава Греція. Інші розселилися на островах Середземного моря і на березі Малої Азії.

Греки були чудовими моряками. Їхні легкі гостроносі кораблі в усіх напрямках борознили середземне море. Вони везли посуд та прикраси з Вавилону, бронзову зброю з Єгипту, шкури звірів та хліб із берегів Чорного моря. І звичайно, як і в інших народів, разом із товарами кораблі привозили до Греції знання. Але греки не просто

навчалися в інших народів. Незабаром вони обігнали своїх учителів.

Грецькі майстри будували дивовижної краси палаци та храми, які потім тисячі років служили взірцем для архітекторів усіх країн.

Грецькі скульптори творили з мармуру чудові статуї. А з грецьких вчених почалася не тільки «справжня» математика, але й багато інших наук, які ми вивчаємо в школі.

А знаєте, чому греки випередили в математиці всі інші народи? Тому що вони добре вміли сперечатися.

Чим же суперечки можуть допомогти науці?

У давнину Греція складалася з багатьох маленьких держав. Чи не кожне місто з навколишніми селами було окремою державою. Щоразу, коли доводилося вирішувати якесь важливе державне питання, городяни збиралися на площу, обговорювали його. Сперечалися про те, як зробити краще, а потім голосували. Зрозуміло, що вони були добрими сперечальниками: на таких зборах доводилося спростовувати супротивників, міркувати, доводити свою правоту. Стародавні греки вважали, що суперечка допомагає знайти найкращі. Саме правильне рішення. Вони навіть вигадували такий вислів: «У суперечці народжується істина».

І в науці греки стали робити так само. Як на народних зборах. Вони не просто заучували правила, а дошукувалися причин: чому правильно робити так, а не інакше. Кожне правило грецькі математики намагалися пояснити, довести, що він правильне. Вони сперечалися один з одним. Міркували, намагалися знайти в міркуваннях помилки.

Доведуть одне правило - міркування ведуть до іншого, складнішого, потім - до третього, до четвертого. З правил складалися закони. А із законів - наука математика.

Щойно народившись, грецька математика відразу семимильними кроками пішла вперед. Їй допомагали чудові чоботи-скороходи, яких раніше в інших народів не було. Вони називалися «міркування» та «доказ».

· Піфагор Самоський.

Про числа першим почав міркувати грек Піфагор, який народився на острові Самосеє в VI столітті і нашої ери.

Тому його часто називають Піфагором Самоським. Багато легенд розповідали греки про цього мислителя.

Піфагор рано виявив здібності до наук, і отець Мнесарх відвіз його в Сирію, в Тир, щоб там його вчили мудреці халдейські. Вона дізнається про обряди єгипетських жерців. Зайнявшись бажанням увійти в їхнє коло і стати посвяченим, Піфагор починає готуватися до подорожі до Єгипту. Рік він проводить у Фінікії, у школі жерців. Потім відвідає Єгипет, Геліополіс. Але місцеві жерці були непривітні.

виявивши наполегливість і витримавши виключно важкі вступні випробування, Піфагор домагається свого - його приймають у касту.21 рік пробув він у Єгипті, досконало вивчив усі види єгипетського листа, прочитав безліч папірусів. Факти, відомі єгиптянам у математиці, наштовхують його на власні математичні відкриття.

Мудрець говорив: «У світі є речі, яких потрібно прагнути. Це, по-перше, прекрасне і славне, по-друге, корисне для життя, по-третє, що надає насолоду. Проте насолода буває двоякого роду: одна, що вгамовує розкішшю наше обжерливість, згубно; інше – праведне та необхідне для життя».

Центральне місце у філософії вихованців та прихильників Піфагора займали числа:

« Де немає числа та міри - там хаос і химери»,

«Наймудріше - це число»,

«Числа керують світом».

Тому багато хто вважає Піфагора батьком нумерації - складною, оповитою таємницею науки, що описує в ньому події, що розкриває минуле і майбутнє, що передбачає долі людей.

· Піфагор та числа.

Числа Стародавніми греками, а разом з ними Піфагором та піфагорійцями, мислилися зримо у вигляді каменів, розкладених на піску або на лічильній дошці - абаку.

Числа камінці розкладалися у вигляді правильних геометричних фігур, ці постаті класифікувалися, так з'явилися числа, сьогодні іменовані фігурними: лінійні числа (тобто прості числа) – числа, які поділяються на одиницю і саме себе і, отже, представні у вигляді послідовності точок, збудованих у лінію

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

тілесні числа, що виражаються твором трьох співмножників

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

квадратні числа:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

в. і т.д. саме від фігурних чисел пішов вираз. Звести число у квадрат чи куб».

Піфагор не обмежився пласкими фігурами. З точок він став складати піраміди, куби та інші тіла та вивчати пірамідальні, кубічні та інші числа (див. рис.1). До речі, назвою куб числами також користуємося і сьогодні.

Але числами, що виходили з різних постатей, Піфагор не задовольнився. Адже він проголосив, що цифри правлять світом. Тому довелося вигадувати, як з допомогою чисел зображати такі поняття, як справедливість, досконалість, дружба.

Щоб зобразити досконалість, Піфагор взявся дільники чисел (при цьому дільник 1 він брав, а саме число не брав). Усі дільники числа він складав, і якщо сума виявлялася меншою за число, воно оголошувалося недостатнім, а якщо більше – надлишковим. І тільки у випадку, коли сума точно дорівнювала числу, його оголошували досконалим. Подібним чином зображували числа дружби - два числа називали дружніми, якщо кожне з них дорівнювало сумі дільників іншого числа. Наприклад, число 6 (6=1+2+3) – досконало, число 28 (1+2+4+7+17) – досконало. Наступні досконалі числа - 496, 8128, .

2. Числа прості та складові.

Про дружні чи досконалі числа сучасна математика згадує з посмішкою як про дитяче захоплення.

А введені Піфагором поняття простого та складеного чисел є досі предметом серйозних досліджень, за які математики одержують високі наукові нагороди.

З досвіду обчислень люди знали, що кожне чи є простим, або добутком кількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор чи хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження.

Тепер легко пояснити роль простих чисел у математиці: вони є тими цеглинками, у тому числі з допомогою множення будують інші числа.

Відкриття закономірностей у ряді чисел - дуже приємна подія для математиків: ці закономірності можна використовуватиме побудови гіпотез, для перевірки доказів і формул. Одне з математиків властивостей простих чисел у тому, що вони відмовляються підкорятися будь-якої закономірності.

Єдиний спосіб визначити, чи просте число 100 895 598 169, - скористатися досить трудомістким "решетом Ератосфена".

На таблиці представлено одне із варіантів цього решета.

У цій таблиці всі прості числа, менші за 48, обведені кружками. Знайдені вони так: 1 має єдиний дільник – себе, тому 1 не вважається простим числом. 2 – найменше (і єдине парне) просте число. Всі інші парні числа діляться на 2, отже мають, принаймні три дільники; тому вони не прості та можуть бути викреслені. Наступне невикреслене число – 3; воно має рівно два дільники, тому вона проста. Всі інші числа, кратні трьом (тобто такі, які можна розділити на 3 без залишку), викреслюються. Тепер перше невикреслене число – 5; воно просте, проте його кратні можна викреслити.

Продовжуючи викреслювати кратні, можна відсіяти усі прості числа менше 48.

3. Проблема Гольдбаху.

З простих чисел можна отримати будь-яке число за допомогою множення. А що буде, якщо складати прості числа?

Який жив у Росії у XVIII столітті математик Гольдбах вирішив складати непарні прості числа лише попарно. Він виявив дивовижну річ: щоразу йому вдавалося уявити парне числояк суми двох простих чисел. (Як це було за часів Гольдбаху, ми вважаємо 1 простим числом).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. і т.д.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Про своє спостереження Гольдбах написав великому математику

XVIII століття Леонарду Ейлер, який був членом Петербурзької Академії наук. Перевіривши ще багато парних чисел, Ейлер переконався, що вони є сумами двох простих чисел. Але парних чисел дуже багато. Тому обчислення Ейлера давали лише надію на те, що властивість, яку помітив Гольдбах, мають усі числа. Однак спроби довести, що це завжди буде так, ні до чого не спричинили.

Двісті років міркували математики над проблемою Гольдбаха. І лише російському вченому Івану Матвійовичу Виноградову вдалося зробити вирішальний крок. Він встановив, що будь-яке досить велике натуральне число є

сумою трьох простих чисел. Але число, з якого правильне твердження Виноградова, неймовірно велике.

4. Ознаки подільності.

489566: 11 = ?

Щоб дізнатися, яке це число- Просте чи складове, не завжди потрібно заглядати в таблицю простих чисел. Часто для цього достатньо скористатися ознаками подільності.

· Ознака ділимості на 2.

Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, це число парне і ділиться на 2 без залишку.

· Ознака ділимості на 3.

Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то число ділиться на 3.

· Ознака ділимості на 4.

Натуральне число, що містить щонайменше трьох цифр, ділиться на 4, якщо ділиться на 4 число, утворене двома останніми цифрами цього числа.

· Ознака ділимості на 5.

Якщо запис натурального числа закінчується цифрою 0 або 5, це число ділиться на 5 без залишку.

· Ознака ділимості на 7 (на13).

Натуральне число ділиться на 7 (на 13), якщо алгебраїчна сума чисел, що утворюють грані по три цифри (починаючи з цифри одиниць), взятих зі знаком «+» для непарних граней та зі знаком «мінус» для парних граней, ділилася на, складемо алгебраїчну суму граней, починаючи з останньої грані і чергуючи знаки +і -: + 254 = 679. Число 679 ділиться на 7, отже, і дане число ділиться на 7.

· Ознака ділимості на 8.

Натуральне число, що містить щонайменше чотири цифри, ділиться на 8, якщо ділиться на 8 число, утворене трьома останніми цифрами.

· Ознака ділимості на 9.

Якщо сума цифр числа ділиться на 9, те саме число ділиться на 9.

· Ознака ділимості на 10.

Якщо натуральне число закінчується 0, воно ділиться на 10.

· Ознака ділимості 11.

Натуральне число ділиться на 11, якщо сума алгебри його цифр, взятих зі знаком «плюс», якщо цифри знаходяться на непарних місцях (починаючи з цифри одиниць), і взятих зі знаком «мінус», якщо цифри знаходяться на парних місцях, ділиться на, 7 - 1 + 5 = 11, ділиться на 11).

· Ознака ділимості на 25.

Натуральне число, що містить щонайменше трьох цифр, ділиться на 25, якщо ділиться на 25 число, утворене двома останніми цифрами цього числа.

· Ознака ділимості на 125.

Натуральне число, що містить не менше чотирьох чисел, ділиться на 125, якщо на 125 ділиться число, утворене трьома останніми цифрами.

5. Цікаві властивості натуральних чисел.

У натуральних чисел є багато цікавих властивостей, які виявляються при виконанні з них арифметичних дій. Але помітити ці властивості все ж таки буває легше, ніж довести їх. Наведемо кілька таких властивостей.

1) .Візьмемо навмання якесь натуральне число, наприклад 6, і запишемо всі його дільники: 1, 2, 3,6. Для кожного з цих чисел запишемо, скільки має дільників. Так як у 1 тільки один дільник (саме це число), у 2 і 3 по два дільники, а у 6 маємо 4 дільники, то отримуємо числа 1, 2, 2, 4. У них є чудова особливість: якщо звести ці числа в куб і скласти відповіді, вийде точно така ж сума яку ми отримали б, спочатку склавши ці числа, а потім звівши суму в квадрат, іншими словами,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Підрахунки показують, що і ліворуч і праворуч відповідь та сама, а именно324.

Яке число ми не взяли, помічене нами властивість буде виконуватися. Ось лише довести це досить складно.

2) . Візьмемо будь-яке чотиризначне число, наприклад 2519, і розставимо його цифри спочатку в порядку спадання, а потім в порядку зростання: і З більшого числавіднімемо менше: =8262. З отриманим числом проробимо те саме: 86 = 6354. І ще один такий самий крок: 65 = 3087. Далі = 8352 =6174. Вам не набридло віднімати? Зробимо все ж таки ще один крок: =6174. Знову вийшло 6174.

Ось тепер ми, як кажуть програмісти, «зациклилися»: скільки б разів ми тепер не вичитали, нічого, крім 6174, не отримаємо. Можливо, річ у тому, що так було підібрано вихідне число 2519? виявляється, воно тут не до чого: хоч би яке чотиризначне число ми не взяли, після не більше ніж семи кроків обов'язково вийде це ж число 6174.

3) . Намалюємо кілька кіл з загальним центром і на внутрішньому колі запишемо будь-які чотири натуральні числа. Для кожної пари сусідніх чисел віднімемо з більшого менше і результат запишемо на наступному колі. Виявляється, якщо повторити це досить багато разів, на одному з кіл усіх числа виявляться рівними нулю, а тому і далі нічого, крім нулів, виходити не буде. На малюнку показано це для випадку, коли на внутрішньому колі написано числа 25, 17, 55, 47.

4) . Візьмемо будь-яке число (хоч тисячозначне), записане в десятковій системі числення. Зведемо всі його цифри у квадрат і складемо. Із сумою зробимо те саме. Виявляється, після кількох кроків ми отримаємо або число 1, після чого інших чисел не буде, або 4, після чого ми маємо числа 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 і знову отримаємо 4. Значить, циклу не уникнути і тут.

5. Складемо таку нескінченну таблицю. У першому стовпці напишемо числа 4, 7, 10, 13, 16, … (кожен наступний на 3 більший за попередній). Від числа 4 проведемо вправо рядок, збільшуючи на кожному кроці числа на 3. Від числа 7 поведемо рядок, збільшуючи числа на 5, від числа 10-7 і т. д. Виходить така таблиця:

Якщо взяти будь-яке число з цієї таблиці, помножити його на 2 і до додати 1, то завжди вийде складове число. Якщо виконати те саме з числом, що не входить до цієї таблиці, то отримуємо просте число. Наприклад, візьмемо з таблиці число 45. Число 2 * 45 + 1 = 91 складене, воно дорівнює 7 * 13. А числа 14 у таблиці немає, і число 2*14+1=29 просте.

Цей чудовий спосіб відрізняти прості числа від складових вигадав у 1934 році індійський студент Сундарам. Спостереження за числами дозволяють відкривати інші чудові твердження. Властивості світу чисел воістину невичерпні.

Числові фокуси.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Адже якщо поряд з тризначним числом ще раз написати це число, то початкове число помножиться на 1001 (наприклад, width="304" height="74">

А чотиризначні числа повторюють один раз і поділяють на 73 137. Розгадка у рівності

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Зауважимо, що куби чисел 0, 1, 4, 5, 6 і 9 закінчуються тією самою цифрою (наприклад, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24" height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Крім цього, треба запам'ятати наступну таблицю, що показує, з чого починаються п'яті ступені наступних чисел:

Отже, треба приписати до спочатку написаного на дошці п'ятизначного числа попереду цифру 3, а з отриманого числа відібрати 3.

Щоб глядачі не розгадали фокусу, можна зменшити першу цифру якогось із чисел на кілька одиниць і на стільки ж одиниць зменшити відповідну цифру у сумі. Наприклад, на малюнку зменшено, на 2 перша цифра у третьому доданку і на стільки ж відповідна цифра у сумі.

Висновок.

Зібравши та узагальнивши матеріал про прості та складові числа, дійшла висновку:

1. Вчення про числа йде в давні часи і має багату історію.

2. Велика роль найпростіших чисел у математиці: є тими цеглинками, у тому числі з допомогою множення будуються й інші числа.

3. Натуральні числа мають багато цікавих якостей. Властивості світу чисел воістину невичерпні.

4. Підготовлений мною матеріал можна сміливо використовувати під час уроків математики та заняттях математичного гуртка. Цей матеріал допоможе глибше підготуватися до різних видів олімпіад.

Розкладання натуральних чисел у добуток простих

Алгоритми пошуку та розпізнавання простих чисел

Прості способи знаходження початкового списку простих чисел аж до деякого значення дають Решето Ератосфена, Решето Сундарама і Акіна Решето.

Однак, на практиці замість отримання списку простих чисел часто потрібно перевірити, чи це число є простим. Алгоритми, що вирішують це завдання, називаються тестами простоти. Існує безліч поліноміальних тестів простоти, але більшість їх є імовірнісними (наприклад, тест Міллера – Рабіна) і використовуються для потреб криптографії. У 2002 році було доведено, що завдання перевірки на простоту в загальному виглядіполіноміально можна розв'язати, але запропонований детермінований тест Агравала - Каяла - Саксени має досить велику обчислювальну складність, що ускладнює його практичне застосування.

Для деяких класів чисел є спеціалізовані ефективні тести простоти (див. нижче).

Нескінченність безлічі простих чисел

Простих чисел дуже багато. Найстаріше відомий доказцього факту було дано Евклідом у «Початках» (книга IX, твердження 20). Його доказ може бути коротко відтворено так:

Уявімо, що кількість простих чисел звичайно. Перемножимо їх та додамо одиницю. Отримане число не ділиться на жодне з кінцевого набору простих чисел, тому що залишок від поділу на будь-яке з них дає одиницю. Значить, число повинно ділитися на просте число, не включене в цей набір. Протиріччя.

Математики пропонували інші докази. Одне з них (наведене Ейлером) показує, що сума величин, обернених до перших nпростим числам, необмежено росте зі зростанням n.

Числа Мерсенна вигідно відрізняються від інших наявністю ефективного тесту простоти: тест Люка-Лемера. Завдяки йому прості числа Мерсенна давно утримують рекорд як найбільші відомі прості.

За знаходження простих чисел із більш ніж 100 000 000 та 1 000 000 000 десяткових цифр EFF призначила грошові призи відповідно у 150 000 та 250 000 доларів США. Раніше EFF вже присуджувала призи за знаходження простих чисел із 1 000 000 та 10 000 000 десяткових цифр.

Прості числа спеціального виду

Існує ряд чисел, простота яких можна встановити ефективно з допомогою спеціалізованих алгоритмів.

З використанням тесту Бріллхарта-Лемера-Селфріджа ( англ.) може бути перевірена простота наступних чисел:

Для пошуку простих чисел зазначених типів в даний час використовуються проекти розподілених обчислень GIMPS, PrimeGrid, [email protected], Seventeen or Bust , Riesel Sieve, [email protected].

Деякі властивості

• Якщо - просте, і ділить, то ділить або . Доказ цього факту було дано Евклідом і відоме як лемма Евкліда. Воно використовується у доказі основної теореми арифметики.
• Кільце відрахувань є полем тоді й тільки тоді, коли просте.
• Характеристика кожного поля - це нуль чи просте число.
• Якщо – просте, а – натуральне, то ділиться на (мала теорема Ферма).
• Якщо - кінцева група з елементів, містить елемент порядку .
• Якщо - кінцева група, і - максимальна ступінь , яка ділить , має підгрупу порядку , звану силовською підгрупою , більше, кількість силовських підгруп рівне деякого цілого (теореми Силова).
• Натуральне є простим і тоді, коли ділиться на (теорема Вільсона).
• Якщо - натуральне, то існує просте, таке, що (постулат Бертрана).
• Ряд чисел, обернених до простих, розходиться. Більше того, при
• Будь-яка арифметична прогресія виду, де - цілі взаємно прості числа, містить нескінченно багато простих чисел (Теорема Діріхле про прості числа в арифметичній прогресії).
• Будь-яке просте число, більше 3, представимо у вигляді або де - деяке натуральне число. Звідси, якщо різниця між кількома послідовними простими числами (при k>1) однакова, вона обов'язково кратна 6 - наприклад: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Якщо - просте, то кратно 24 (справедливо також для всіх непарних чисел, що не діляться на 3) .
• Теорема Гріна-Тао. Існують скільки завгодно довгі кінцеві арифметичні прогресії, що складаються з простих чисел.
• n>2, k>1. Інакше кажучи, число, що йде за простим, не може бути квадратом або вищим ступенем з основою, більшим 2. З цього випливає також, що якщо просте число має вигляд , то k- Просте (див. числа Мерсенна).
• Ніяке просте число не може мати вигляд, де n>1, k>0. Інакше кажучи, число, що передує простому, не може бути кубом або вищим непарним ступенем з основою, більшою 1 .

містить 26 змінних і має ступінь 25. Найменший ступінь для відомих багаточленів такого типу - 5 при 42 змінних; найменше числозмінних - 10 при ступені близько 15905. Цей результат є окремим випадком доведеної Юрієм Матіясевичем діофантовості будь-якої перелічуваної множини.

Відкриті питання

Розподіл простих чисел p n = f (Δ s n); Δ s n = p n+1 ² - p n ². Δ p n = p n+1 - p n ; Δ p n = 2, 4, 6, … .

До цих пір існує багато відкритих питань щодо простих чисел, найбільш відомі з яких були перераховані Едмундом Ландау на П'ятому Міжнародному математичному конгресі:

Відкритою проблемою є також існування нескінченної кількості простих чисел у багатьох цілих послідовностях, включаючи числа Фібоначчі, числа Ферма і т.д.

Програми

Варіації та узагальнення

• Теоретично кілець, розділ абстрактної алгебри, визначено поняття простого елемента і простого ідеалу.
• Теоретично вузлів визначено поняття простого вузла ( англ.), як нетривіальний вузл , який не може бути представлений у вигляді зв'язної суми нетривіальних вузлів.

Див. також

Примітки

Література

• Гальперін Г.«Просто про прості числа» // Квант. - №4. - С. 9-14,38.
• Нестеренко Ю.В.Алгоритмічні проблеми теорії чисел// Введення в криптографію/За редакцією В. В. Ященко. – Пітер, 2001. – 288 с. - ISBN 5-318-00443-1
• Василенко О. М.Теоретико-числові алгоритми у криптографії. – М.: МЦНМО, 2003. – 328 с. - ISBN 5-94057-103-4
• Черемушкин А. В.. – М.: МЦНМО, 2002. – 104 с. - ISBN 5-94057-060-7
• Кноп До.«У гонитві за простотою»
• Кордемський Б. А.Математична кмітливість. – М.: ДІФМЛ, 1958. – 576 с.
• Генрі С. Уоррен, мол.Глава 16. Формули для простих чисел // Алгоритмічні трюки для програмістів = Hacker's Delight. – М.: «Вільямс», 2007. – 288 с. – ISBN 0-201-91465-4
• Ю. Матіясевич.Формули для простих чисел // Квант. – 1975. – № 5. – С. 5-13.
• Н. Карпушина.Паліндроми та «перекрутки» серед простих чисел // Наука та життя. - 2010. - № 5.
• Д. Цагер.Перші 50 мільйонів простих чисел // Успіхи математичних наук. – 1984. – Т. 39. – № 6(240). - С. 175-190.

Посилання

• The Prime Pages (англ.) – база даних найбільших відомих простих чисел
• PrimeGrid prime lists – усі прості числа, знайдені в рамках проекту PrimeGrid
• Геометрія простих і досконалих чисел (ісп.)

Числові системи
Рахункові безлічі	Натуральні числа () Цілі () Раціональні () Алгебраїчні () Періоди Обчислювані Арифметичні
Речові числа та їх розширення	Речові () Комплексні () Кватерніони ()