Після якої цифри округляють. Як округлювати числа у більший і менший бік функціями Excel

Сьогодні ми розглянемо досить нудну тему, без розуміння якої рухатися далі неможливо. Ця тема називається "округлення чисел" або по-іншому "наближені значення чисел".

Зміст уроку

Наближені значення

Наближені (або приблизні) значення застосовуються тоді, коли точне значення чогось знайти неможливо, або це значення не важливо для досліджуваного предмета.

Наприклад, на словах можна сказати, що у місті проживає півмільйона людей, але цей вислів не буде дійсним, оскільки кількість людей у місті змінюється — люди приїжджають та їдуть, народжуються та вмирають. Тому правильніше буде сказати, що у місті проживає приблизнопівмільйона людей.

Ще приклад. О дев'ятій ранку розпочинаються заняття. Ми вийшли з дому о 8.30. Через деякий час дорогою ми зустріли свого товариша, який запитав у нас скільки зараз часу. Коли ми виходили з дому було 8:30, на дорогу ми витратили якийсь невідомий час. Ми не знаємо скільки зараз часу, тому відповідаємо товаришеві: «зараз приблизноблизько дев'ятої години».

У математиці наближені значення зазначаються з допомогою спеціального знака. Виглядає він так:

Читається як «приблизно одно».

Щоб вказати приблизне значення чогось, вдаються до такої операції, як округлення чисел.

Округлення чисел

Для знаходження наближеного значення застосовується така операція як округлення чисел.

Слово "округлення" говорить саме за себе. Округлити число означає зробити його круглим. Круглим називається число, яке закінчується банкрутом. Наприклад, наступні числа є круглими,

10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000

Будь-яке число можна зробити круглим. Процедуру, за якої число роблять круглим, називають округленням числа.

Ми вже займалися «округленням» чисел, коли ділили великі числа. Нагадаємо, що для цього ми залишали без зміни цифру, яка утворює старший розряд, а решту цифр замінювали нулями. Але це були лише нариси, які ми робили для полегшення поділу. Свого роду лайфхак. За фактом, це навіть не було заокругленням чисел. Саме тому на початку даного абзацу ми взяли слово заокруглення в лапки.

Насправді суть округлення полягає в тому, щоб знайти найближче значення від вихідного. У цьому, число може бути округлено до певного розряду — до розряду десятків, розряду сотень, розряду тисяч.

Розглянемо простий приклад заокруглення. Дано число 17. Потрібно заокруглити його до розряду десятків.

Не забігаючи вперед, спробуємо зрозуміти, що означає «округлити до розряду десятків». Коли говорять округлити число 17, від нас вимагають знайти найближче кругле число для числа 17. При цьому, в ході цього пошуку, можливо, зміни торкнуться і цифри, яка знаходиться в розряді десятків у числі 17 (тобто одиниці).

Припустимо, що всі числа від 10 до 20 лежать на прямій лінії:

На малюнку видно, що для числа 17 найближче кругле число це 20. Отже, відповідь до завдання такою буде: 17 приблизно дорівнює 20

17 ≈ 20

Ми знайшли наближене значення для 17, тобто заокруглили його до розряду десятків. Видно, що після округлення у розряді десятків з'явилася нова цифра 2.

Спробуємо знайти наближене число для числа 12. Для цього знову уявімо, що всі числа від 10 до 20 лежать на прямій лінії:

На малюнку видно, що найближче кругле число для 12 це число 10. Отже, відповідь до завдання такою буде: 12 приблизно дорівнює 10

12 ≈ 10

Ми знайшли наближене значення для 12, тобто заокруглили його до розряду десятків. Цього разу цифра 1, яка стояла у розряді десятків у числі 12, не постраждала від округлення. Чому так сталося ми розглянемо пізніше.

Спробуємо знайти найближче число для числа 15. Знов уявімо, що всі числа від 10 до 20 лежать на прямій лінії:

На малюнку видно, що число 15 однаково віддалено від круглих чисел 10 і 20. Виникає питання: яке із цих круглих чисел буде наближеним значенням для числа 15? Для таких випадків умовилися приймати більше за наближене. 20 більше 10, тому наближене значення для 15 буде число 20

15 ≈ 20

Округляти можна і великі числа. Звісно, їм малювати пряму лінію і зображати числа неможливо. Їх існує свій спосіб. Наприклад, округлим число 1456 до розряду десятків.

Ми повинні заокруглити 1456 до розряду десятків. Розряд десятків починається на п'ятірці:

Тепер про існування перших цифр 1 та 4 тимчасово забуваємо. Залишається число 56

Тепер дивимося, яке кругле число знаходиться ближче до 56. Очевидно, що найближче кругле число для 56 це число 60. Отже, замінюємо число 56 на число 60.

Значить при округленні числа 1456 до розряду десятків отримаємо 1460

1456 ≈ 1460

Видно, що після округлення числа 1456 р. до розряду десятків, зміни торкнулися і самого розряду десятків. У новому отриманому числі розряді десятків тепер розташовується цифра 6, а чи не 5.

Округлювати числа можна не лише до розряду десятків. Округляти можна також до розряду сотень, тисяч, десятків тисяч.

Після того, як стає зрозуміло, що округлення це ні що інше, як пошук найближчого числа, можна застосовувати готові правила, які значно полегшують округлення чисел.

Перше правило округлення

З попередніх прикладів зрозуміли, що округляючи число до певного розряду, молодші розряди замінюються нулями. Цифри, які замінюються нулями, називають цифрами, що відкидаються.

Перше правило округлення виглядає так:

Якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то збережена цифра залишається без змін.

Наприклад, округлимо число 123 до розряду десятків.

У першу чергу знаходимо цифру, що зберігається. Для цього треба прочитати саме завдання. У розряді, про який йдеться в завданні і знаходиться цифра, що зберігається. У завданні сказано: округлити число 123 до розряду десятків.

Бачимо, що у розряді десятків знаходиться двійка. Значить збереженою цифрою є цифра 2

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після двійки це цифра 3. Значить, цифра 3 є першою цифрою, що відкидається.

Тепер застосовуємо правило заокруглення. Воно каже, що якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Так і робимо. Залишаємо без зміни цифру, що зберігається, а всі молодші розряди замінюємо нулями. Іншими словами, все що слідує після цифри 2 замінюємо нулями (точніше нулем):

123 ≈ 120

Значить при округленні числа 123 до розряду десятків отримуємо наближене йому число 120.

Тепер спробуємо округлити те саме число 123, але вже до розряду сотень.

Нам потрібно заокруглити число 123 до розряду сотень. Знову шукаємо цифру, що зберігається. Цього разу цифрою, що зберігається, є 1, оскільки ми округляємо число до розряду сотень.

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після одиниці це цифра 2. Значить, цифра 2 є першою цифрою, що відкидається:

Тепер застосуємо правило. Воно каже, що якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Так і робимо. Залишаємо без зміни цифру, що зберігається, а всі молодші розряди замінюємо нулями. Іншими словами, все що слідує після цифри 1 замінюємо нулями:

123 ≈ 100

Значить при округленні числа 123 до сотня, отримуємо наближене йому число 100.

приклад 3.Округліть число 1234 до розряду десятків.

Тут цифра, що зберігається, це 3. А перша цифра, що відкидається, це 4.

Значить залишаємо цифру 3, що зберігається, без змін, а все що розташовується після неї замінюємо нулем:

1234 ≈ 1230

приклад 4.Округліть число 1234 до розряду сотень.

Тут цифра, що зберігається, це 2. А перша цифра, що відкидається, це 3. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то збережена цифра залишається без змін.

Значить залишаємо цифру 2, що зберігається, без змін, а все що розташовується після неї замінюємо нулями:

1234 ≈ 1200

приклад 3.Округліть число 1234 до розряду тисяч.

Тут цифра, що зберігається, це 1. А перша цифра, що відкидається, це 2. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то збережена цифра залишається без змін.

Значить залишаємо цифру 1, що зберігається, без змін, а все що розташовується після неї замінюємо нулями:

1234 ≈ 1000

Друге правило округлення

Друге правило округлення виглядає так:

Якщо при округленні чисел перша з цифр 5, 6, 7, 8 або 9, що відкидаються, то цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Наприклад, округлимо число 675 до розряду десятків.

Бачимо, що у розряді десятків знаходиться сімка. Значить збереженою цифрою є цифра 7

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після сімки це цифра 5. Значить, цифра 5 є першою цифрою, що відкидається.

У нас перша з цифр, що відкидаються, це 5. Значить ми повинні збільшити на одиницю збережену цифру 7, а все що слід після неї замінити нулем:

675 ≈ 680

Значить при округленні числа 675 до розряду десятків, отримуємо наближене число 680.

Тепер спробуємо округлити те саме число 675, але вже до розряду сотень.

Нам потрібно заокруглити число 675 до розряду сотень. Знову шукаємо цифру, що зберігається. Цього разу цифрою, що зберігається, є 6, оскільки ми округляємо число до розряду сотень:

Тепер знаходимо першу з цифр, що відкидаються. Першою з цифр, що відкидаються, є та цифра, яка слідує після збереженої цифрою. Бачимо, що перша цифра після шістки це цифра 7. Значить, цифра 7 є першою цифрою, що відкидається:

Тепер застосовуємо друге правило округлення. Воно говорить, що якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

У нас перша з цифр, що відкидаються, це 7. Значить ми повинні збільшити на одиницю збережену цифру 6, а все що слід після неї замінити нулями:

675 ≈ 700

Значить при округленні числа 675 до розряду сотень отримуємо наближене йому число 700.

приклад 3.Округліть число 9876 до розряду десятків.

Тут цифра, що зберігається, це 7. А перша цифра, що відкидається, це 6.

Значить збільшуємо на одиницю цифру 7, що зберігається, а все що розташовується після неї замінюємо нулем:

9876 ≈ 9880

приклад 4.Округліть число 9876 до розряду сотень.

Тут цифра, що зберігається, це 8. А перша цифра, що відкидається, це 7. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то збережена цифра збільшується на одиницю.

Значить збільшуємо на одиницю цифру 8, що зберігається, а все що розташовується після неї замінюємо нулями:

9876 ≈ 9900

Приклад 5.Округліть число 9876 до розряду тисяч.

Тут цифра, що зберігається, це 9. А перша цифра, що відкидається, це 8. Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 5, 6, 7, 8 або 9, то збережена цифра збільшується на одиницю.

Значить збільшуємо на одиницю цифру 9, що зберігається, а все що розташовується після неї замінюємо нулями:

9876 ≈ 10000

Приклад 6.Округлити число 2971 до сотень.

При округленні цього числа до сотень слід бути уважним, оскільки цифра, що зберігається тут 9, а перша відкидається цифра це 7. Значить цифра 9 повинна збільшитися на одиницю. Але річ у тому, що після збільшення дев'ятки на одиницю вийде 10, а ця цифра не поміститься до сотень нового числа.

У цьому випадку в розряді сотень нового числа треба записати 0, а одиницю перенести на наступний розряд і скласти з цифрою, яка там знаходиться. Далі замінити всі цифри після збереження нулями:

2971 ≈ 3000

Округлення десяткових дробів

При округленні десяткових дробів слід бути особливо уважним, оскільки десятковий дріб складається з цілої та дробової частини. І кожна з цих двох частин має свої розряди:

Розряди цілої частини:

розряд одиниць
розряд десятків
розряд сотень
розряд тисяч

Розряди дробової частини:

розряд десятих
розряд сотих
розряд тисячних

Розглянемо десятковий дріб 123,456 – сто двадцять три цілих чотириста п'ятдесят шість тисячних. Тут ціла частина це 123, а дробова частина 456. При цьому кожна з цих частин має свої розряди. Дуже важливо не плутати їх:

Для цілої частини застосовуються самі правила округлення, як і звичайних чисел. Відмінність у тому, що після округлення цілої частини та заміни нулями всіх цифр після цифри, що зберігається, дробова частина повністю відкидається.

Наприклад, округлим дріб 123,456 до розряду десятків.Саме до розряду десятків, а не розряду десятих. Дуже важливо не переплутати ці розряди. Розряд десятківрозташовується в цілій частині, а розряд десятиху дробовій.

Ми маємо округлити 123,456 до розряду десятків. Цифра, що зберігається, тут це 2, а перша з цифр, що відкидаються, це 3

Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр, що відкидаються 0, 1, 2, 3 або 4, то цифра, що зберігається, залишається без змін.

Значить збережена цифра залишиться без змін, а решта заміниться нулем. А що робити з дрібною частиною? Її просто відкидають (прибирають):

123,456 ≈ 120

Тепер спробуємо округлити той самий дріб 123,456 до розряду одиниць. Цифра, що зберігається, тут буде 3, а перша з цифр, що відкидаються, це 4, яка знаходиться в дробовій частині:

Значить збережена цифра залишиться без змін, а решта заміниться нулем. Дрібна частина, що залишилася, буде відкинута:

123,456 ≈ 123,0

Нуль, який залишився після коми, теж можна відкинути. Отже, остаточна відповідь буде виглядати так:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Тепер займемося округленням дрібних частин. Для округлення дробових частин справедливі самі правила, як і округлення цілих елементів. Спробуємо округлити дріб 123,456 до розряду десятих.У розряді десятих розташовується цифра 4, значить вона є цифрою, що зберігається, а перша відкидається цифра це 5, яка знаходиться в розряді сотих:

Згідно з правилом, якщо при округленні чисел перша з цифр 5, 6, 7, 8 або 9, що відкидаються, то цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Значить цифра 4, що зберігається, збільшиться на одиницю, а решта заміниться нулями

123,456 ≈ 123,500

Спробуємо округлити той самий дріб 123,456 до розряду сотих. Цифра, що зберігається, тут це 5, а перша з цифр, що відкидаються, це 6, яка знаходиться в розряді тисячних:

Значить збережена цифра 5 збільшиться на одиницю, а решта заміниться нулями

123,456 ≈ 123,460

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Методи

У різних сферах можуть застосовуватись різні методи округлення. У всіх цих методах «зайві» знаки обнулюють (відкидають), а попередній знак коригується за яким-небудь правилом.

Округлення до найближчого цілого(англ. rounding) - найбільш часто використовуване округлення, при якому число округляється до цілого, модуль різниці з яким у цього числа мінімальний. У випадку, коли число в десятковій системі округляють до N-ого знака, правило може бути сформульовано так:
- якщо N+1 знак< 5 , то N-ий знак зберігають, а N+1 і всі наступні обнулюють;
- якщо N+1 знак ≥ 5, то N-ий знак збільшують на одиницю, а N+1 і всі наступні обнулюють;
Наприклад: 11,9 → 12; −0,9 → −1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
Округлення до меншого за модулем(Округлення до нуля, ціле англ. fix, truncate, integer) - «просте» округлення, оскільки після обнулення «зайвих» знаків попередній знак зберігають. Наприклад, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
Округлення до більшого(округлення до +∞, округлення вгору, анг. ceiling) - якщо знаки, що обнулюються, не рівні нулю, попередній знак збільшують на одиницю, якщо число позитивне, або зберігають, якщо число негативне. В економічному жаргоні - округлення на користь продавця, кредитора(Особи, що отримує гроші). Зокрема, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
Округлення до меншого(округлення до −∞, округлення вниз, анг. floor) - якщо знаки, що обнулюються, не рівні нулю, попередній знак зберігають, якщо число позитивне, або збільшують на одиницю, якщо число негативне. В економічному жаргоні - округлення на користь покупця, дебітора(Особи, що віддає гроші). Тут 2,6 → 2, −2,6 → −3.
Округлення до більшого за модулем(округлення до нескінченності, округлення від нуля) - відносно рідко використовувана форма заокруглення. Якщо знаки, що обнулюються, не дорівнюють нулю, попередній знак збільшують на одиницю.

Варіанти округлення 0,5 до найближчого цілого

Окремого опису вимагають правила округлення для спеціального випадку, коли (N+1)-й знак = 5, а наступні знаки дорівнюють нулю. Якщо в інших випадках округлення до найближчого цілого забезпечує меншу похибку округлення, то цей окремий випадок характерний тим, що для одноразового округлення формально байдуже, виробляти його «вгору» або «вниз» - в обох випадках вноситься похибка рівно в 1/2 молодшого розряду . Існують такі варіанти правила округлення до найближчого цілого для цього випадку:

Математичне округлення- Заокруглення завжди в більшу за модулем сторону (попередній розряд завжди збільшується на одиницю).
Банківське округлення(англ. banker's rounding) - округлення для цього випадку відбувається до найближчого парного, тобто 2,5 → 2, 3,5 → 4.
Випадкове округлення- Округлення відбувається в меншу або більшу сторону у випадковому порядку, але з рівною ймовірністю (може використовуватись у статистиці).
Чергове округлення- Округлення відбувається в меншу або більшу сторону по черзі.

У всіх випадках у випадку, коли (N+1)-й знак не дорівнює 5 або наступні знаки не дорівнюють нулю, округлення відбувається за звичайними правилами: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Математичне округлення просто формально відповідає загальному правилу округлення (див. вище). Його недоліком є те, що при округленні великої кількості значень може відбуватися накопичення помилки округлення. Типовий приклад: округлення до рублів грошових сум. Так, якщо в реєстрі з 10000 рядків виявиться 100 рядків із сумами, що містять у частині копійок значення 50 (а це цілком реальна оцінка), то при округленні всіх таких рядків «вгору» сума «всього» за округленим реєстром виявиться на 50 рублів більш точною .

Три інших варіанти таки придумані для того, щоб зменшити загальну похибку суми при округленні великої кількості значень. Округлення «до найближчого парного» виходить з припущення, що при великій кількості округлених значень, що мають 0,5 в залишку, що округляється, в середньому половина виявиться зліва, а половина - праворуч від найближчого парного, таким чином, помилки округлення взаємно погасяться. Строго кажучи, припущення це вірно лише тоді, коли набір округлених чисел має властивості випадкового ряду, що зазвичай вірно в бухгалтерських додатках, де йдеться про ціни, суми на рахунках і так далі. Якщо ж припущення буде порушено, то округлення «до парного» може призводити до систематичних помилок. Для таких випадків краще працюють два наступні методи.

Два останні варіанти округлення гарантують, що приблизно половина спеціальних значень буде округлена в одну сторону, половина - в іншу. Але реалізація таких методів практично потребує додаткових зусиль щодо організації обчислювального процесу.

Застосування

Округлення використовується для того, щоб працювати з числами в межах тієї кількості знаків, яка відповідає реальній точності параметрів обчислень (якщо ці значення є виміряні тим чи іншим чином реальні величини), реально досяжної точності обчислень або бажаної точності результату. У минулому округлення проміжних значень та результату мало прикладне значення (оскільки при розрахунках на папері або за допомогою примітивних пристроїв типу абака облік зайвих десяткових знаків може серйозно збільшити обсяг роботи). Нині воно залишається елементом наукової та інженерної культури. У бухгалтерських додатках, крім того, використання округлень, у тому числі проміжних, може бути потрібне для захисту від обчислювальних помилок, пов'язаних із кінцевою розрядністю обчислювальних пристроїв.

Використання округлень під час роботи з числами обмеженої точності

Реальні фізичні величини завжди вимірюються з деякою кінцевою точністю, яка залежить від приладів та методів вимірювання та оцінюється максимальним відносним або абсолютним відхиленням невідомого дійсного значення від виміряного, що в десятковому поданні значення відповідає або певному числу значущих цифр, або певної позиції у записі числа, всі цифри після (правіше) якої є незначними (лежать у межах помилки виміру). Самі виміряні параметри записуються з таким числом знаків, щоб усі цифри були надійними, можливо остання - сумнівною. Похибка при математичних операціях з числами обмеженої точності зберігається і змінюється за відомими математичними законами, тому коли в подальших обчисленнях виникають проміжні значення та результати з більшим числом цифр, із цих цифр лише частина є значущою. Інші цифри, присутні у значеннях, мало відбивають жодної фізичної дійсності і лише забирають час на обчислення. Внаслідок цього проміжні значення та результати при обчисленнях з обмеженою точністю округляють до тієї кількості знаків, що відображає реальну точність отриманих значень. Насправді зазвичай рекомендується при довгих «ланцюжкових» ручних обчисленнях зберігати у проміжних значеннях однією цифру більше. При використанні комп'ютера проміжні округлення в науково-технічних додатках найчастіше втрачають сенс, і округляється лише результат.

Так, наприклад, якщо задана сила 5815 гс з точністю до грама сили і довжина плеча 1,4 м з точністю до сантиметра, то момент сили в кгс за формулою у разі формального розрахунку з усіма знаками виявиться рівним: 5,815 кгс 1,4 м = 8,141 кгс м. Однак якщо врахувати похибку виміру, ми отримаємо, що гранична відносна похибка першого значення становить 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , другого - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , відносна похибка результату за правилом похибки операції множення (при множенні наближених величин відносні похибки складаються) складе 7,3 10 −3 , Що відповідає максимальної абсолютної похибки результату ±0,059 кгс м! Тобто в реальності, з урахуванням похибки, результат може становити від 8,082 до 8,200 кгс м, таким чином, у розрахованому значенні 8,141 кгс м цілком надійною є лише перша цифра, навіть друга – вже сумнівна! Коректним буде округлення результату обчислень до першої сумнівної цифри, тобто до десятих: 8,1 кгс м, або, при необхідності точнішого вказівки рамок похибки, подати його у вигляді, заокругленому до одного-двох знаків після коми із зазначенням похибки: 8,14 ± 0,06 кгс м.

Емпіричні правила арифметики із округленнями

У тих випадках, коли немає необхідності в точному обліку обчислювальних похибок, а потрібно лише приблизно оцінити кількість точних цифр у результаті розрахунку за формулою, можна користуватися набором простих правил заокруглених обчислень:

Усі вихідні значення округляються до реальної точності вимірювань і записуються з відповідним числом значущих цифр, так, щоб у десятковому записі всі цифри були надійними (допускається, щоб остання була сумнівною). За необхідності значення записуються зі значними правими нулями, щоб у записі вказувалося реальне число надійних знаків (наприклад, якщо довжина 1 м реально виміряна з точністю до сантиметрів, записується «1,00 м», щоб було видно, що запису надійні два знаки після коми), або точність явно вказується (наприклад, 2500±5 м - тут надійними є лише десятки, до них слід округляти).
Проміжні значення округляються з однією запасною цифрою.
При додаванні та відніманні результат округляється до останнього десяткового знака найменш точного з параметрів (наприклад, при обчисленні значення 1,00 м + 1,5 м + 0,075 м результат округляється до десятих метра, тобто до 2,6 м). При цьому рекомендується виконувати обчислення в такому порядку, щоб уникати віднімання близьких за величиною чисел і робити дії над числами по можливості в порядку зростання їх модулів.
При множенні та розподілі результат округляється до найменшого числазначних цифр, що мають параметри (наприклад, при обчисленні швидкості рівномірного руху тіла на дистанції 2,5 10 2 м, за 600 з результат має бути округлений до 4,2 м/с, оскільки саме дві цифри має відстань, а час - три , припускаючи, що це цифри у записи - значущі).
При обчисленні значення функції f(x)потрібно оцінити значення модуля похідної цієї функції на околиці точки обчислення. Якщо (|f"(x)| ≤ 1), то результат функції точний ще десяткового розряду, як і аргумент. В іншому випадку результат містить менше точних десяткових розрядів на величину log 10 (|f"(x)|), Заокруглену до цілого у велику сторону.

Незважаючи на нестрогість, наведені правила досить добре працюють на практиці, зокрема через досить високу ймовірність взаємопогашення помилок, яка при точному обліку похибок зазвичай не враховується.

Помилки

Досить часто трапляються зловживання некруглими числами. Наприклад:

Записують числа, що мають невисоку точність, у неокругленому вигляді. У статистиці: якщо 4 особи з 17 відповіли «так», то пишуть «23,5%» (у той час як вірно «24%»).
Користувачі стрілочних приладів іноді розмірковують так: «стрілка зупинилася між 5,5 і 6 ближче до 6, нехай буде 5,8» - це також заборонено (градуювання приладу, як правило, відповідає його реальній точності). У такому разі треба говорити "5,5" або "6".

Див. також

Обробка спостережень
Помилки округлення

Примітки

Література

Генрі С. Уоррен, мол. Глава 3. Округлення до ступеня 2// Алгоритмічні трюки для програмістів = Hacker's Delight. – М.: «Вільямс», 2007. – С. 288. – ISBN 0-201-91465-4

При округленні залишають лише вірні знаки, інші відкидають.

Правило 1. Округлення досягається простим відкиданням цифр, якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5.

Правило 2. Якщо перша з цифр, що відкидаються більше, ніж 5, то остання цифра збільшується на одиницю. Остання цифра збільшується також і в тому випадку, коли перша з цифр, що відкидаються 5, а за нею є одна або кілька цифр, відмінних від нуля. Наприклад, різні округлення числа 35856 будуть 3586; 35,9; 36.

Правило 3. Якщо цифра, що відкидається, дорівнює 5, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число, тобто. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна і збільшується на одиницю, якщо вона непарна. Наприклад, 0,435 округляємо до 0,44; 0,465 округляємо до 0,46.

8. ПРИКЛАД ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ

Визначення густини твердих тіл. Припустимо, тверде тіло має форму циліндра. Тоді густина ρ може бути визначена за формулою:

де D – діаметр циліндра, h – його висота, m – маса.

Нехай в результаті вимірювань m, D, h отримані такі дані:

№ п/п	m, г	Δm, г	D, мм	ΔD, мм	h, мм	Δh, мм	, г/см 3	Δ , г/см 3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
середня			12,61		80,2		5,11

Визначимо середнє значення D:

Знайдемо похибки окремих вимірів та їх квадрати

Визначимо середню квадратичну похибку серії вимірів:

Задаємо значення надійності α = 0,95 і по таблиці знаходимо коефіцієнт Стьюдента t α. n = 2,8 (для n = 5). Визначаємо межі довірчого інтервалу:

Оскільки обчислене значення ΔD = 0,07 мм значно перевищує абсолютну помилку мікрометра, що дорівнює 0,01 мм (вимірювання виробляється мікрометром), то отримане значення може бути оцінкою межі довірчого інтервалу:

D = D̃ ± Δ D; D= (12,61±0,07) мм.

Визначимо значення h̃:

Отже:

Для α = 0,95 і n = 5 коефіцієнт Стьюдента t α, n = 2,8.

Визначаємо межі довірчого інтервалу

Так як отримане значення Δh = 0,11 мм того ж порядку, що і помилка штангенциркуля, що дорівнює 0,1 мм (вимірювання h проводиться штангенциркулем), то межі довірчого інтервалу слід визначити за формулою:

Отже:

Обчислимо середнє значення густини ρ:

Знайдемо вираз відносної похибки:

де

7. ГОСТ 16263-70 Метрологія. Терміни та визначення.

8. ГОСТ 8.207-76 Прямі виміри з багаторазовими спостереженнями. Методи опрацювання результатів спостережень.

9. ГОСТ 11.002-73 (ст. РЕВ 545-77) Правила оцінки аномальності результатів спостережень.

Царківська Надія Іванівна

Сахаров Юрій Георгійович

Загальна фізика

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт «Вступ до теорії похибок вимірювань» для студентів усіх спеціальностей

Формат 60*84 1/16 Об'єм 1 уч.-вид. л. Тираж 50 екз.

Замовлення ______ Безкоштовно

Брянська державна інженерно-технологічна академія

Брянськ, проспект Станке Димитрова, 3, БДІТА,

Редакційно-видавничий відділ

Надруковано – підрозділ оперативного друку БДІТА

Числа заокруглюють і до інших розрядів - десятих, сотих, десятків, сотень і т.д.

Якщо число округляють до якогось розряду, всі наступні за цим розрядом цифри замінюють нулями, і якщо вони стоять після коми, їх відкидають.

Правило №1. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більше або дорівнює 5, то остання з збережених цифр посилюється, тобто збільшується на одиницю.

Приклад 1. Дано число 45769, яке потрібно округлити до десятих. Перша цифра, що відкидається - 6 ˃ 5. Отже, остання зі збережених цифр (7) посилюється, тобто збільшується на одиницю. І таким чином округлене число буде - 45,8.

Приклад 2. Дано число 5165, яке потрібно округлити до сотих. Перша цифра, що відкидається – 5 = 5. Отже, остання з цифр (6), що зберігаються, посилюється, тобто збільшується на одиницю. І таким чином округлене число буде - 5,17.

Правило №2. Якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5, то посилення не робиться.

Приклад: Дано число 45749, яке потрібно округлити до десятих. Перша цифра, що відкидається - 4

Правило №3. Якщо цифра 5, що відкидається, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число. Т. е. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна і посилюється, якщо - непарна.

Приклад 1: Округляючи число 0,0465 до третього десяткового знака, пишемо - 0,046. Посилення не робимо, тому що остання цифра, що зберігається (6) - парна.

Приклад 2. Округляючи число 0,0415 до третього десяткового знака, пишемо - 0,042. Посилення робимо, тому що остання цифра, що зберігається (1) - непарна.

Округлюють числа Excel кількома способами. За допомогою формату осередків та за допомогою функцій. Ці два способи слід розрізняти так: перший лише для відображення значень або виведення на друк, а другий спосіб ще й для обчислень та розрахунків.

За допомогою функцій можливе точне заокруглення, у більшу чи меншу сторону до заданого користувачем розряду. А отримані значення в результаті обчислень можна використовувати в інших формулах і функціях. У той же час заокруглення за допомогою формату осередків не дасть бажаного результату, і результати обчислень з такими значеннями будуть помилковими. Адже формат осередків по суті значення не змінює, змінюється лише його спосіб відображення. Щоб у цьому швидко і легко розібратися і не помилятися, наведемо кілька прикладів.

Як округлити число форматом комірки

Впишемо в комірку А1 значення 76,575. Клацнувши правою кнопкою миші, викликаємо меню «Формат осередків». Зробити те саме можна через інструмент «Число» на головній сторінці Книги. Або натиснути на комбінацію гарячих клавіш CTRL+1.

Вибираємо числовий формат та встановлюємо кількість десяткових знаків – 0.

Результат округлення:

Призначити кількість десяткових знаків можна у «грошовому» форматі, «фінансовому», «відсотковому».

Очевидно, округлення відбувається за математичними законами. Остання цифра, яку потрібно зберегти, збільшується на одиницю, якщо за нею слідує цифра більша або рівна «5».

Особливість цього варіанта: чим більше цифр після коми ми залишимо, тим точніше отримаємо результат.

Як правильно округлити число в Excel

За допомогою функції ОКРУГЛ() (округлює до необхідного користувача кількості десяткових розрядів). Для виклику Майстра функцій скористаємося кнопкою fx. Потрібна функція знаходиться в категорії "Математичні".

Аргументи:

«Число» - посилання на комірку з потрібним значенням(А1).
«Кількість розрядів» - кількість знаків після коми, до якої округлятиметься число (0 – щоб округлити до цілого числа, 1 – буде залишено один знак після коми, 2 – два тощо).

Тепер округлимо ціле число (не десятковий дріб). Скористаємося функцією ОКРУГЛ:

перший аргумент функції – посилання на комірку;
другий аргумент - зі знаком "-" (до десятків - "-1", до сотень - "-2", щоб округлити число до тисяч - "-3" і т.д.).

Як заокруглити число в Excel до тисяч?

Приклад округлення числа до тисяч:

Формула: =ОКРУГЛ(A3;-3).

Округлити можна як число, а й значення висловлювання.

Припустимо, є дані щодо ціни та кількості товару. Потрібно визначити ціну з точністю до рубля (округлити до цілого числа).

Перший аргумент функції - числове вираження для знаходження вартості.

Як округлити у більшу та меншу сторону в Excel

Для округлення у бік – функція «ОКРУГЛВВЕРХ».

Перший аргумент заповнюємо за вже знайомим принципом – посилання на комірку з даними.

Другий аргумент: "0" - округлення десяткового дробу до цілої частини, "1" - функція округляє, залишаючи один знак після коми, і т.д.

Формула: =ОКРУГЛВВЕРХ(A1;0).

Результат:

Щоб округлити в меншу сторону в Excel, застосовується функція «ОКРУГЛВНИЗ».

Приклад формули: =ОКРУГЛВНИЗ(A1;1).

Отриманий результат:

Формули «ОКРУГЛВВЕРХ» та «ОКРУГЛВНИЗ» використовуються для округлення значень виразів (твори, суми, різниці тощо).

Як заокруглити до цілого числа в Excel?

Щоб округлити до цілого у більшу сторону використовуємо функцію «ОКРУГЛВЕРХ». Щоб округлити до цілого в менший бік використовуємо функцію «ОКРУГЛВНИЗ». Функція «ОКРУГЛ» та формату осередків також дозволяють округлити до цілого числа, встановивши кількість розрядів – «0» (див. вище).

У Excel для округлення до цілого числа застосовується також функція «ВІДБР». Вона просто відкидає знаки після коми. По суті округлення не відбувається. Формула відсікає цифри до призначеного розряду.

Порівняйте:

Другий аргумент "0" - функція відсікає до цілого числа; "1" - до десятої частки; "2" - до сотої частки і т.д.

Спеціальна функція Excel, яка поверне лише ціле число, – «Ціле». Має єдиний аргумент – «Кількість». Можна вказати числове значення або посилання на комірку.

Недолік використання функції «Ціле» - округляє лише меншу сторону.

Округлити до цілого в Excel можна за допомогою функцій «ОКРВВЕРХ» та «ОКРВНИЗ». Округлення відбувається у більшу чи меншу сторону до найближчого цілого числа.

Приклад використання функцій:

Другий аргумент – вказівка на розряд, до якого має відбутися округлення (10 – до десятків, 100 – до сотень тощо).

Округлення до найближчого цілого парного виконує функція «парне», до найближчого непарного – «непар».

Приклад їх використання:

Чому Excel округляє великі числа?

Якщо в клітинки табличного процесора вводяться великі числа (наприклад, 78568435923100756), Excel за замовчуванням автоматично округляє їх так: 7,85684E+16 – це особливість формату осередків «Загальний». Щоб уникнути такого відображення великих чисел, потрібно змінити формат комірки з даними більшим числомна "Числовій" (найшвидший спосіб натиснути комбінацію гарячих клавіш CTRL+SHIFT+1). Тоді значення комірки буде відображатися так: 78 568 435 923 100 756,00. За бажання кількість розрядів можна зменшити: «Головна»-«Число»-«Зменшити розрядність».