Šta je cijeli broj. Cijeli brojevi
Negativni brojevi su prvi put korišteni u staroj Kini i Indiji; u Evropi su ih u matematičku upotrebu uveli Nicolas Chuquet (1484) i Michael Stiefel (1544).
Algebarska svojstva
nije zatvoren pod dijeljenjem dva cijela broja (na primjer, 1/2). Sljedeća tabela ilustruje nekoliko osnovnih svojstava sabiranja i množenja za bilo koji cijeli broj a, b I c.
| dodatak | množenje | |
| zatvorenost: | a + b- cela | a × b- cela |
| asocijativnost: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × ( b × c) = (a × b) × c |
| komutativnost: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| postojanje neutralnog elementa: | a + 0 = a | a× 1 = a |
| postojanje suprotnog elementa: | a + (−a) = 0 | a≠ ±1 ⇒ 1/ a nije cijeli broj |
| distributivnost množenja u odnosu na sabiranje: | a × ( b + c) = (a × b) + (a × c) | |
sistemi brojeva |heading4= Hijerarhija brojeva |list4=
|
|||||||||||||
| Kompleksni brojevi | |||||||||||||
sistemi brojeva
|list5=Kardinalni brojevi – Definitivno ga morate premjestiti u krevet, ovdje to neće biti moguće...
Pacijent je bio toliko okružen ljekarima, princezama i slugama da Pjer više nije vidio tu crveno-žutu glavu sa sijedom grivom, koja mu, uprkos tome što je vidio druga lica, nije izlazila ni na trenutak iz vida tokom čitave službe. Pjer je po pažljivom kretanju ljudi koji su okruživali stolicu pretpostavio da umirućeg čoveka podižu i nose.
"Drži me za ruku, ispustićeš me ovako", čuo je uplašeni šapat jednog od slugu, "odozdo... ima još jedan", govorili su glasovi i teško disanje i koračanje stopala ljudi su se ubrzala, kao da je težina koju su nosili bila iznad njihove snage.
Nosači, među kojima je bila i Ana Mihajlovna, izjednačili su se sa mladićem i na trenutak je iza leđa i potiljaka ljudi ugledao visoka, debela, otvorena prsa, debela ramena pacijenta, podignuta. gore od ljudi koji ga drže ispod ruku, i sijede, kovrdžave, lavlje glave. Ova glava, sa neobično širokim čelom i jagodicama, prekrasnim senzualnim ustima i veličanstvenim hladnim pogledom, nije bila unakažena blizinom smrti. Bila je ista onakva kakvu ju je Pjer poznavao prije tri mjeseca, kada ga je grof pustio u Peterburg. Ali ova se glava bespomoćno ljuljala od neravnih koraka nosača, a hladan, ravnodušan pogled nije znao gdje da se zaustavi.
Prošlo je nekoliko minuta vreve oko visokog kreveta; ljudi koji su nosili bolesnika su se razišli. Ana Mihajlovna je dodirnula Pjerovu ruku i rekla mu: "Venez." [Idi.] Pjer je otišao s njom do kreveta na koji je bolesnik bio položen u prazničnoj pozi, očigledno u vezi sa sakramentom koji je upravo obavljen. Ležao je uzdignute glave na jastucima. Ruke su mu bile simetrično položene na zeleno svileno ćebe, s dlanovima nadole. Kada je Pjer prišao, grof je pogledao pravo u njega, ali je pogledao pogledom čije značenje i značenje čovek ne može da razume. Ili je ovaj pogled rekao apsolutno ništa osim da dokle god imate oči, morate negdje gledati, ili je rekao previše. Pjer je stao, ne znajući šta da radi, i upitno pogledao svoju vođu Anu Mihajlovnu. Ana Mihajlovna mu je ishitreno pokazala svojim očima, pokazujući na ruku pacijenta i upućivala joj poljubac na usne. Pjer je, marljivo izvijajući vrat da se ne bi uhvatio u ćebe, poslušao njen savet i poljubio krupnu i mesnatu ruku. Niti jedna ruka, niti jedan mišić grofovog lica nije zadrhtao. Pjer je ponovo upitno pogledao Anu Mihajlovnu, sada pitajući šta da radi. Ana Mihajlovna ga je očima pokazala na stolicu koja je stajala pored kreveta. Pjer je poslušno počeo da sjeda na stolicu, a oči su ga nastavile pitati da li je učinio ono što je bilo potrebno. Ana Mihajlovna klimnu glavom sa odobravanjem. Pjer je ponovo zauzeo simetrično naivan položaj egipatske statue, očigledno žaleći što je njegovo nespretno i debelo telo zauzelo tako veliki prostor, i koristeći svu svoju mentalnu snagu da se čini što manjim. Pogledao je grofa. Grof je pogledao mjesto gdje je bilo Pjerovo lice dok je stajao. Ana Mihajlovna je na svom položaju pokazala svest o dirljivoj važnosti ovog poslednjeg minuta susreta oca i sina. Ovo je trajalo dva minuta, što se Pjeru činilo kao sat vremena. Odjednom se pojavio drhtaj u velikim mišićima i borama grofovog lica. Drhtanje se pojačalo, lijepa usta su se izobličila (tek tada je Pjer shvatio koliko je njegov otac blizu smrti), a iz zgrčenih usta se začuo nerazgovijetan promukli zvuk. Ana Mihajlovna je pažljivo pogledala u oči pacijenta i, pokušavajući da pogodi šta mu je potrebno, pokazala je prvo na Pjera, zatim na piće, zatim upitnim šapatom nazvala princa Vasilija, pa pokazala na ćebe. Oči i lice pacijenta pokazivali su nestrpljenje. Potrudio se da pogleda slugu, koji je nemilosrdno stajao na uzglavlju kreveta.
„Žele da se preokrenu na drugu stranu“, šapnuo je sluga i ustao da okrene grofovo teško telo licem prema zidu.
Pjer je ustao da pomogne slugi.
Dok se brojač prevrtao, jedna mu je ruka bespomoćno pala unazad i uzaludno se trudio da je povuče. Da li je grof primetio izraz užasa kojim je Pjer gledao ovu beživotnu ruku, ili koja je druga misao proletela njegovom umirućom glavom u tom trenutku, ali je pogledao u neposlušnu ruku, u izraz užasa na Pjerovom licu, ponovo u ruku, a na licu se pojavi slab, patnički osmeh koji nije pristajao njegovim crtama, izražavajući neku vrstu podsmeha sopstvenoj nemoći. Odjednom, pri pogledu na ovaj osmeh, Pjer je osetio jezu u grudima, štipanje u nosu, a suze su mu zamaglile vid. Pacijent je bio okrenut na bok uza zid. Uzdahnuo je.
„Il est assoupi, [Zadremao je“, rekla je Ana Mihajlovna, primetivši da princeza dolazi da je zameni. – Allons. [Idemo na.]
Pierre je otišao.
Postoji mnogo vrsta brojeva, a jedan od njih su cijeli brojevi. Pojavili su se cijeli brojevi kako bi se olakšalo brojanje ne samo u pozitivnom, već iu negativnom smjeru.
Pogledajmo primjer:
Tokom dana temperatura napolju iznosila je 3 stepena. Do večeri temperatura je pala za 3 stepena.
3-3=0
Napolju je postalo 0 stepeni. A noću je temperatura pala za 4 stepena i termometar je počeo da pokazuje -4 stepena.
0-4=-4
Niz cijelih brojeva.
Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima; ovaj problem ćemo razmatrati na koordinatnoj liniji.
Dobili smo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …
Ova serija brojeva se zove niz cijelih brojeva.
Pozitivni cijeli brojevi. Negativni cijeli brojevi.
Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule su prirodni brojevi, ili se oni takođe nazivaju pozitivni cijeli brojevi. I oni idu lijevo od nule negativni cijeli brojevi.
Nula nije ni pozitivan ni negativan broj. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.
je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.
Niz cijelih brojeva u pozitivnom i negativnom smjeru je beskonačan broj.
Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će biti pozvani brojevi između ovih cijelih brojeva konačan skup.
Na primjer:
Uzmimo cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između ovih brojeva su uključeni u konačni skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Prirodni brojevi se označavaju latiničnim slovom N.
Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z. Cijeli skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici. 
Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.
Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, može se zamisliti kao pravougaonik, pri čemu jedna strana predstavlja zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane će pokazati boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.
Kako se salata i voda pretvaraju u boršč sa matematičke tačke gledišta? Kako zbir dva segmenta može postati trigonometrija? Da bismo ovo razumjeli, potrebne su nam linearne ugaone funkcije.
Nećete naći ništa o linearnim ugaonim funkcijama u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, djeluju bez obzira na to znamo li za njihovo postojanje ili ne.
Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.
Je li moguće bez linearnih kutnih funkcija? Moguće je, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami znaju riješiti, a nikada ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Pogledaj. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Ne poznajemo druge probleme i ne znamo kako ih riješiti. Šta da radimo ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja se mora razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Zatim sami biramo šta može biti jedan pojam, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav treba da bude drugi član, tako da rezultat sabiranja bude upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. U svakodnevnom životu se dobro slažemo bez razlaganja zbroja; dovoljno nam je oduzimanje. Ali u naučnom istraživanju zakona prirode, razlaganje zbroja na njegove komponente može biti vrlo korisno.
Još jedan zakon sabiranja o kojem matematičari ne vole da govore (još jedan od njihovih trikova) zahtijeva da termini imaju iste mjerne jedinice. Za salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, vrijednosti ili jedinice mjere.
Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematičku . Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u polju mernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u površini objekata koji se opisuju. Različiti objekti mogu imati isti broj identičnih mjernih jedinica. Koliko je to važno, možemo vidjeti na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse istoj oznaci jedinice za različite objekte, možemo tačno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili zbog naših radnji. Pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- boršč. Ovako će izgledati linearne kutne funkcije za boršč.
Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja biti. Šta su nas tada učili da radimo? Učili su nas da odvajamo mjerne jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu moderne matematike - mi radimo neshvatljivo šta, neshvatljivo zašto, i vrlo slabo razumemo kako se to odnosi na stvarnost, zbog tri nivoa razlike matematičari operišu samo sa jednim. Bilo bi ispravnije naučiti kako preći s jedne mjerne jedinice na drugu.
Zečići, patke i male životinje mogu se prebrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.
Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj količini novca. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novčanom smislu.
Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo iznos pokretne imovine u komadima.
Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.
No, vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti što će se dogoditi za različite vrijednosti kutova linearnih kutnih funkcija.
Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Može biti nulti boršč sa nula salate (pravi ugao).
Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To se dešava zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se osjećati o ovome kako želite, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "dijeljenje nulom je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen sa nula jednaka nuli” , “izvan tačke punkcije nule” i druge gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada više nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje gubi svaki smisao: kako se nešto što nije broj može smatrati brojem ? To je kao da se pitate u koju boju treba klasifikovati nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je isto kao i slikanje bojom koje nema. Mahali smo suvim kistom i rekli svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.
Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali nema dovoljno vode. Kao rezultat toga, dobit ćemo debeli boršč.
Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i salate. Ovo je savršeni boršč (oprostite, kuhari, to je samo matematika).
Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo salate. Dobićete tečni boršč.
Pravi ugao. Imamo vodu. Od salate su ostale samo uspomene, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U ovom slučaju, držite se i pijte vodu dok je imate)))
Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje bi ovdje bile više nego primjerene.
Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon što su ubili jednog od njih, sve je otišlo drugom.
Pojava matematike na našoj planeti.
Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na boršč trigonometriju i razmotrimo projekcije.
Subota, 26.10.2019
Gledao sam zanimljiv video o tome Grundy serija Jedan minus jedan plus jedan minus jedan - Numberphile. Matematičari lažu. Nisu izvršili provjeru jednakosti tokom svog rasuđivanja.
Ovo odražava moje misli o .
Pogledajmo pobliže znakove da nas matematičari varaju. Na samom početku argumenta, matematičari kažu da zbir niza ZAVISI od toga da li ima paran broj elemenata ili ne. Ovo je OBJEKTIVNO UTVRĐENA ČINJENICA. Šta se dalje događa?
Zatim, matematičari oduzimaju niz od jedinice. čemu ovo vodi? To dovodi do promjene broja elemenata niza - paran broj se mijenja u neparan, a neparan u paran broj. Na kraju krajeva, nizu smo dodali jedan element jednak jednom. Unatoč svoj vanjskoj sličnosti, niz prije transformacije nije jednak nizu nakon transformacije. Čak i ako govorimo o beskonačnom nizu, moramo zapamtiti da beskonačan niz s neparnim brojem elemenata nije jednak beskonačnom nizu s parnim brojem elemenata.
Stavljajući znak jednakosti između dva niza sa različitim brojem elemenata, matematičari tvrde da zbir niza NE ZAVISI od broja elemenata u nizu, što je u suprotnosti sa OBJEKTIVNO UTVRĐENOM ČINJENICOM. Dalje razmišljanje o zbiru beskonačnog niza je pogrešno, jer se zasniva na lažnoj jednakosti.
Ako vidite da matematičari u toku dokazivanja stavljaju zagrade, preuređuju elemente matematičkog izraza, dodaju ili uklanjaju nešto, budite veoma oprezni, najvjerovatnije vas pokušavaju prevariti. Poput mađioničara karata, matematičari koriste razne manipulacije izražavanjem da bi vam skrenuli pažnju kako bi vam na kraju dali lažni rezultat. Ako ne možete ponoviti kartaški trik a da ne znate tajnu obmane, onda je u matematici sve mnogo jednostavnije: čak ni ne sumnjate ništa u obmanu, ali ponavljanje svih manipulacija matematičkim izrazom omogućava vam da uvjerite druge u ispravnost dobijeni rezultat, baš kao i kada su vas uvjerili.
Pitanje iz publike: Da li je beskonačnost (kao broj elemenata u nizu S) paran ili neparan? Kako možete promijeniti paritet nečega što nema paritet?
Beskonačnost je za matematičare, kao što je Carstvo nebesko za sveštenike - tamo niko nikada nije bio, ali svi tačno znaju kako sve tamo funkcioniše))) Slažem se, nakon smrti biće vam apsolutno svejedno da li ste živeli paran ili neparan broj dana, ali... Dodavanjem samo jednog dana na početak vašeg života, dobićemo sasvim drugu osobu: njegovo prezime, ime i patronim je potpuno isto, samo je datum rođenja potpuno drugačiji - bio je rođen dan prije tebe.
Sada pređimo na stvar))) Recimo da konačni niz koji ima parnost gubi ovaj paritet kada ide u beskonačnost. Tada svaki konačni segment beskonačnog niza mora izgubiti parnost. Mi ovo ne vidimo. Činjenica da ne možemo sa sigurnošću reći da li beskonačni niz ima paran ili neparan broj elemenata ne znači da je parnost nestala. Paritet, ako postoji, ne može netragom nestati u beskonačnost, kao u rukavu oštrice. Postoji vrlo dobra analogija za ovaj slučaj.
Jeste li ikada pitali kukavicu koja sjedi u satu u kojem smjeru se okreće kazaljka na satu? Za nju, strelica se okreće u suprotnom smjeru od onoga što nazivamo "kazaljkom na satu". Koliko god paradoksalno zvučalo, smjer rotacije ovisi isključivo o tome s koje strane promatramo rotaciju. I tako, imamo jedan točak koji se okreće. Ne možemo reći u kom pravcu se rotacija dešava, jer je možemo posmatrati i sa jedne i sa druge strane ravni rotacije. Možemo samo posvjedočiti da postoji rotacija. Potpuna analogija s paritetom beskonačnog niza S.
Sada dodajmo drugi rotirajući točak, čija je ravan rotacije paralelna ravnini rotacije prvog rotacionog točka. Još uvijek ne možemo sa sigurnošću reći u kojem smjeru ovi kotači rotiraju, ali apsolutno možemo reći da li se oba kotača rotiraju u istom smjeru ili u suprotnom smjeru. Poređenje dva beskonačna niza S I 1-S, pokazao sam uz pomoć matematike da ovi nizovi imaju različite paritete i stavljanje znaka jednakosti između njih je greška. Osobno vjerujem matematici, ne vjerujem matematičarima))) Usput, da bismo u potpunosti razumjeli geometriju transformacija beskonačnih nizova, potrebno je uvesti koncept "istovremenost". Ovo će se morati nacrtati.
Srijeda, 07.08.2019
Završavajući razgovor o tome, moramo razmotriti beskonačan skup. Poenta je da koncept "beskonačnosti" utiče na matematičare kao što udav utiče na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdravog razuma. Evo primjera:
Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava pravi broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti u ovom obliku:
Kako bi jasno dokazali da su bili u pravu, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Lično, na sve ove metode gledam kao na šamane koji plešu uz tamburaše. U suštini, svi se svode na to da su ili neke sobe prazne i da se useljavaju novi gosti, ili da se neki od posjetitelja izbace u hodnik kako bi napravili mjesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u formi fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što oslobodimo prvu sobu za gosta, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, faktor vremena se može glupo zanemariti, ali ovo će biti u kategoriji „nijedan zakon nije pisan za budale“. Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.
Šta je "beskonačan hotel"? Beskonačan hotel je hotel koji uvijek ima bilo koji broj praznih kreveta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve sobe u beskonačnom hodniku za "posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa "gostinjskim" sobama. Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Štaviše, „beskonačni hotel“ ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma koje je stvorio beskonačan broj bogova. Matematičari nisu u stanju da se distanciraju od banalnih svakodnevnih problema: uvijek postoji samo jedan Bog-Allah-Buda, postoji samo jedan hotel, postoji samo jedan hodnik. Dakle, matematičari pokušavaju da žongliraju serijskim brojevima hotelskih soba, uvjeravajući nas da je moguće “ugurati nemoguće”.
Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, jer smo sami izmislili brojeve; brojevi ne postoje u prirodi. Da, priroda je odlična u brojanju, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Reći ću vam šta priroda misli drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva ima. Razmotrimo obje opcije, kako i priliči pravim naučnicima.
Opcija jedan. “Neka nam se da” jedan jedini set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nigdje ih uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedan iz seta koji smo već uzeli i vratiti na policu. Nakon toga možemo uzeti jednu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet ćemo dobiti beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete zapisati ovako:
Zapisao sam radnje u algebarskoj notaciji i u teoriji skupova, sa detaljnim popisom elemenata skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda ista jedinica.
Opcija dva. Na našoj polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzmimo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:
Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako dodate jedan beskonačnom skupu, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako jednom beskonačnom skupu dodate još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.
Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao što se ravnalo za mjerenje. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će biti drugačija linija, koja neće biti jednaka originalnoj.
Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - to je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite da li slijedite put lažnog rasuđivanja kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, proučavanje matematike, prije svega, u nama formira stabilan stereotip mišljenja, a tek onda doprinosi našim mentalnim sposobnostima (ili nas, obrnuto, lišava slobodnog razmišljanja).
pozg.ru
Nedjelja, 04.08.2019
Završavao sam postskriptum za članak o i vidio ovaj divan tekst na Wikipediji:
Čitamo: "...bogata teorijska osnova matematike Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza."
Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je teško da savremenu matematiku posmatramo u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sljedeće:
Bogata teorijska osnova moderne matematike nije holističke prirode i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.
Neću ići daleko da potvrdim svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav niz publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.
Subota 03.08.2019
Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, potrebno je unijeti novu mjernu jedinicu koja je prisutna u nekom od elemenata odabranog skupa. Pogledajmo primjer.
Neka nam bude dosta A koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi". Označimo elemente ovog skupa slovom A, indeks sa brojem će označavati serijski broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "pol" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo A na osnovu spola b. Primijetite da je naš skup “ljudi” sada postao skup “ljudi s rodnim karakteristikama”. Nakon toga možemo podijeliti spolne karakteristike na muške bm i ženski bw seksualne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih seksualnih karakteristika, bez obzira koju – mušku ili žensku. Ako ga osoba ima, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda koristimo redovnu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.
Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, na kraju smo dobili dva podskupa: podskup ljudi Bm i podskup žena Bw. Matematičari razmišljaju na približno isti način kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nam ne govore detalje, već nam daju gotov rezultat - "mnogo ljudi se sastoji od podskupine muškaraca i podskupa žena." Naravno, možda imate pitanje: koliko je pravilno matematika primijenjena u gore navedenim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su, u suštini, transformacije obavljene ispravno, dovoljno je poznavati matematičke osnove aritmetike, Bulove algebre i drugih grana matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o ovome.
Što se tiče superskupova, možete kombinovati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice prisutne u elementima ova dva skupa.
Kao što vidite, mjerne jedinice i obična matematika čine teoriju skupova reliktom prošlosti. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su se ponašali kao nekada šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Oni nas uče ovom "znanju".
U zaključku, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu
Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.
Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.
Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću vam proces na primjeru. Odabiremo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odabiremo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako šamani dobijaju hranu vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.
Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto sa bubuljicom sa mašnom" i kombinujmo ove "cjeline" prema boji, birajući crvene elemente. Imamo dosta "crvenih". Sada poslednje pitanje: da li su dobijeni setovi “sa lukom” i “crvenim” isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, tako će i biti.
Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvene čvrste s bubuljicom i mašnom." Formiranje se odvijalo u četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (bubuljičasta), ukras (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica nam omogućava da adekvatno opišemo stvarne objekte jezikom matematike. Ovako to izgleda.
Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice po kojima se "cjelina" razlikuje u preliminarnoj fazi. Jedinica mjere po kojoj se skup formira vadi se iz zagrada. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo mjerne jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne ples šamana s tamburama. Šamani mogu "intuitivno" doći do istog rezultata, tvrdeći da je to "očigledno", jer jedinice mjere nisu dio njihovog "naučnog" arsenala.
Koristeći mjerne jedinice, vrlo je lako podijeliti jedan set ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.
Šta znači cijeli broj?
Dakle, pogledajmo koji se brojevi nazivaju cijeli brojevi.
Dakle, sljedeći brojevi će biti označeni cijelim brojevima: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, itd.
Skup prirodnih brojeva je podskup skupa cijelih brojeva, tj. Svaki prirodan broj će biti cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.
Pozitivni cijeli brojevi i negativni cijeli brojevi
Definicija 2
plus.
Brojevi $3, 78, 569, 10450 $ su pozitivni cijeli brojevi.
Definicija 3
su predpisani cijeli brojevi oduzeti.
Brojevi $−3, −78, −569, -10450$ su negativni cijeli brojevi.
Napomena 1
Broj nula nije ni pozitivan ni negativan cijeli broj.
Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi veći od nule.
Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi manji od nule.
Skup prirodnih cijelih brojeva je skup svih pozitivnih cijelih brojeva, a skup svih suprotnih prirodnih brojeva je skup svih negativnih cijelih brojeva.
Nepozitivni i nenegativni cijeli brojevi
Pozivaju se svi pozitivni cijeli brojevi i nula nenegativni cijeli brojevi.
Nepozitivni cijeli brojevi su svi negativni cijeli brojevi i broj $0$.
Napomena 2
dakle, nenegativan cijeli broj su cijeli brojevi veći od nule ili jednaki nuli, i nepozitivan cijeli broj– cijeli brojevi manji od nule ili jednaki nuli.
Na primjer, nepozitivni cijeli brojevi: $−32, −123, 0, −5$ i nenegativni cijeli brojevi: $54, 123, 0, 856,342.$
Opisivanje promjena u količinama pomoću cijelih brojeva
Cijeli brojevi se koriste za opisivanje promjena u broju objekata.
Pogledajmo primjere.
Primjer 1
Neka trgovina prodaje određeni broj naziva proizvoda. Kada prodavnica primi $520$ artikala, broj artikala u radnji će se povećati, a broj $520$ pokazuje promjenu broja u pozitivnom smjeru. Kada trgovina proda $50$ artikala proizvoda, broj artikala proizvoda u trgovini će se smanjiti, a broj $50$ će izraziti promjenu broja u negativnom smjeru. Ako radnja ne isporučuje niti prodaje robu, tada će broj robe ostati nepromijenjen (tj. možemo govoriti o nultoj promjeni broja).
U gornjem primjeru, promjena u broju robe je opisana pomoću cijelih brojeva $520$, $−50$ i $0$, respektivno. Pozitivna vrijednost cijelog broja $520$ označava promjenu broja u pozitivnom smjeru. Negativna vrijednost cijelog broja $−50$ označava promjenu broja u negativnom smjeru. Cijeli broj $0$ označava da je broj nepromjenjiv.
Cijeli brojevi su zgodni za korištenje jer... nema potrebe za eksplicitnim naznakom povećanja ili smanjenja broja - predznak cijelog broja označava smjer promjene, a vrijednost označava kvantitativnu promjenu.
Pomoću cijelih brojeva možete izraziti ne samo promjenu količine, već i promjenu bilo koje količine.
Razmotrimo primjer promjene cijene proizvoda.
Primjer 2
Povećanje vrijednosti, na primjer, za 20$ rubalja je izraženo pozitivnim cijelim brojem 20$. Smanjenje cijene, na primjer, za 5$ rubalja opisuje se negativnim cijelim brojem $−5$. Ako nema promjene vrijednosti, tada se takva promjena utvrđuje korištenjem cijelog broja $0$.
Razmotrimo posebno značenje negativnih cijelih brojeva kao iznosa duga.
Primjer 3
Na primjer, osoba ima 5.000$ rubalja. Zatim, koristeći pozitivan cijeli broj $5,000$, možete pokazati broj rubalja koje ima. Osoba mora platiti kiriju u iznosu od $7.000$ rubalja, ali nema tu vrstu novca, u kom slučaju se takva situacija opisuje negativnim cijelim brojem $−7.000$. U ovom slučaju, osoba ima -7.000$ rubalja, pri čemu "-" označava dug, a broj 7.000$ označava iznos duga.
Ako dodamo broj 0 lijevo od niza prirodnih brojeva, dobićemo niz pozitivnih cijelih brojeva:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...
Negativni cijeli brojevi
Pogledajmo mali primjer. Na slici lijevo je termometar koji pokazuje temperaturu od 7 °C. Ako temperatura padne za 4 °C, termometar će pokazati 3 °C topline. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:
Napomena: svi stepeni se pišu slovom C (Celzijus), znak stepena je odvojen od broja razmakom. Na primjer, 7 °C.
Ako temperatura padne za 7 °C, termometar će pokazati 0 °C. Smanjenje temperature odgovara djelovanju oduzimanja:
Ako temperatura padne za 8 °C, termometar će pokazati -1 °C (1 °C ispod nule). Ali rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se napisati korištenjem prirodnih brojeva i nule.
Ilustrirajmo oduzimanje pomoću niza pozitivnih cijelih brojeva:
1) Od broja 7 izbrojite 4 broja lijevo i dobijete 3:
2) Od broja 7 izbrojite 7 brojeva lijevo i dobijete 0:
Nemoguće je izbrojati 8 brojeva od broja 7 lijevo u nizu pozitivnih cijelih brojeva. Da bi akcije 7 - 8 bile izvodljive, širimo raspon pozitivnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak - , što pokazuje da je ovaj broj lijevo od nule.
Unosi -1, -2, -3, ... čitaju minus 1, minus 2, minus 3, itd.:
5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Rezultirajući niz brojeva se zove niz cijelih brojeva. Tačke lijevo i desno u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.
Desno od broja 0 u ovom redu se pozivaju brojevi prirodno ili pozitivni cijeli brojevi(ukratko - pozitivno).
Lijevo od broja 0 u ovom redu se pozivaju brojevi cijeli broj negativan(ukratko - negativan).
Broj 0 je cijeli broj, ali nije ni pozitivan ni negativan broj. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.
dakle, niz cijelih brojeva sastoji se od negativnih cijelih brojeva, nule i pozitivnih cijelih brojeva.
Integer Comparision
Usporedite dva cijela broja- znači saznati koji je veći, koji manji ili utvrditi da su brojevi jednaki.
Možete upoređivati cijele brojeve koristeći red cijelih brojeva, jer su brojevi u njemu raspoređeni od najmanjeg do najvećeg ako se krećete duž reda slijeva nadesno. Stoga, u nizu cijelih brojeva, možete zamijeniti zareze znakom manje od:
5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...
dakle, od dva cijela broja, veći je broj koji je desno u nizu, a manji je onaj koji je lijevo, znači:
1) Svaki pozitivan broj je veći od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja:
1 > 0; 15 > -16
2) Bilo koji negativan broj manji od nule:
7 < 0; -357 < 0
3) Od dva negativna broja veći je onaj koji je desno u nizu cijelih brojeva.