Як ставиться знак менше. Запам'ятовуємо знаки «більше» та «менше»! Найпростіший спосіб
Тема: Знаки: більше, менше та одно.
Хід уроку
1. Організаційний початок уроку
Щоб добре вчитися,
Потрібно дуже багато знати.
Кожен день скарбничку знань
Обов'язково поповнювати.
2. Актуалізація знань
Сьогодні ми познайомимося зі знаками «більше», «менше» та «рівно». Навчимося порівнювати предмети. На цьому нам допоможе казковий герой. Вгадайте який.
Такий же бешкетник, як буква «Б»,
Пасажир трохи дивний,
Людина дерев'яна,
На землі та під водою
Шукає ключик золотий.
Усюди ніс суєть він довгий.
Хто ж це?... Буратіно!
1) Усний рахунок
Порахуйте від 10 до 30 і навпаки.
Які числа стоять після чисел три, чотири, два? Чотири, п'ять, три.
Які числа стоять перед числами 1, 5, 2? Нуль, чотири, один.
Сусідами якого числа є числа 4 та 6? П'ять.
Два та чотири? Три.
Нуль і два? Один.
Три та п'ять? Чотири.
Розв'яжіть приклади.
Один додати два одно - три.
Два додати два одно - чотири.
Три додати два - п'ять.
Чотири додати один – п'ять.
З п'яти відняти два буде – …три.
Чотири відняти три одно - один.
Три відняти один одно - два.
П'ять відняти три одно - два.
Чотири мінус два буде - два.
Допоможіть Буратіно впоратися з прикладами.
Розгляньте уважно картинки та підберіть до них приклади.
Я малюю кішки.
Три віконця, двері з ганком.
Нагорі ще віконце,
Щоб не було темно.
Порахуй віконця
У будиночку у кішки.
Чотири, тому що до трьох додати один вийде – чотири.
Сидить біля віконця сіра кішка,
Лежить на рогожці руда кішка.
Грає з мишеням чорна кішка,
Залізла в козуб біла кішка.
Скільки ж котів?
Не збийся, дивись.
Скільки ти нарахував?
Говори!
Чотири, бо один плюс один, плюс один, плюс один вийде – чотири.
На гірці каталися дві дівчинки та три хлопчики. Скільки дітей каталось на гірці?
Два та ще три буде – п'ять.
Двоє хлопців пішли. Скільки дітей лишилося на гірці?
П'ять без двох буде – три.
Скільки квадратів намальовано?
Звісно ж, п'ять.
Фізкультхвилинка для пальчиків
Ось усі пальчики мої,
Їх як хочеш поверни.
І ось так, і ось так,
Не образяться ніяк.
Раз два три чотири п'ять -
Не сидиться їм знову.
Постукали,
Повертали
І працювати захотіли.
Дали ручкам відпочити,
А тепер назад у дорогу.
Актуалізація знань 2
2. Формування знань
Скільки грибів зліва? Три.
Скільки грибів праворуч? Два.
Де грибів більше? Звісно ж, ліворуч.
Ми можемо це визначити за допомогою знака «більше». Цей знак відкриває свій «дзьобик» у бік більшого числа.
Читаємо так: «Три більше двох». Запишіть це ще раз.
Як нам бути, коли число
Більше ніби на зло?
Як же це показати,
Щоб кожен зміг зрозуміти?
Ось для цього, друзі,
"Більше" знак малюю я.
Він від більшого числа
Відлітає, як стріла,
І вказує нам
На того, хто менший.
Скільки яблук зліва? Чотири.
Скільки яблук праворуч? П'ять.
Де менше яблук? Зліва.
Ми можемо це записати за допомогою знака "менше". Цей знак обернений куточком у бік меншого числа, тобто закритим «дзьобиком» вказує на менше число. Читаємо так: «Чотири менше ніж п'ять». Запишіть це ще раз.
З великою цифрою поталанило.
Де менше число?
А його, кожен знає,
"Менше" знак позначає.
Це той самий знак,
Але варто зовсім не так:
Наче зробивши перекид,
Катить цифру на лівий бік.
Це означає, що вона
Тільки меншою бути має.
Як зробити так, щоб грибів була однакова кількість?
Правильно потрібно додати або прибрати один гриб.
Це можна записати за допомогою знака "рівно". Читаємо так: «Три рівно три»
Як вирівняти яблука?
Прочитайте напис та запишіть його.
Якщо просто ми порівняємо
Два числа, одне з одним,
І побачимо, що вони
За значенням рівні, -
Ставимо, так заведено,
Між ними знак рівно.
Цей знак, запам'ятай,
Виглядає як дві межі.
У нього така слава:
Ліворуч стільки, скільки праворуч.
Скільки куль ліворуч? Два.
Скільки куль справа? Один.
З якого боку більше куль? Зліва більше куль.
Чому справа цифра "один"? Правильно, бо справа одна куля.
Чи правильно поставлено знак «більше»? Доведіть.
Звичайно, правильно. Адже два більше, ніж один, тому «дзьобик» відкритий у бік більшого числа.
Фізкультхвилинка
Скільки разів ударю в бубон,
Стільки разів дрова нарубаємо.
Присідаємо стільки разів,
Скільки м'ячиків у нас.
Скільки покажу кружечків,
Стільки зробимо стрибків.
Актуалізація знання 3
3. Закріплення знань
Чого менше: легкових чи вантажних машин? Мабуть, вантажних машин.
Як це записати? Три менше за чотири.
Що більше: легкових машин чи автобусів? Правильно легкових машин.
А це як записати? Чотири більше одного.
Якщо приїхало ще два автобуси, то чого більше автобусів чи легкових машин?
Мабуть, легкових машин більше. Це можна записати так: один плюс два менше за чотири.
Усі ці записи називають нерівностями.
Чого тепер більше: автобусів чи вантажних машин? Їхня однакова кількість.
Ці записи називаються рівностями.
4-1=3 3+1<5 1+2>1
5-1>2 4+1=5 1+2=3
Виписати до одного стовпчик рівності, а інший – нерівності.
Перевір себе!
Скільки паличок потрібно взяти, щоби побудувати трикутник? Три.
Візьміть чотири лічильні палички і побудуйте нову фігуру.
Як ця фігура називається?
Вона називається чотирикутник, тому що має чотири сторони і чотири вершини. Якщо у чотирикутника прямі кути, він називається прямокутником.
Якщо я візьму шість паличок і викладу таку фігуру, то як вона називатиметься? Чому?
Правильно – це шестикутник, бо має шість сторін і шість вершин.
▲▲ ■■■■ ○○○○○
▲ ■■□□ ○○○○
2>1 4* 2+2 5* 4-1
Порівняй предмети, запиши нерівності та встав потрібні знаки.
Перевір себе!
Юра та Оля вимірювали відстань від будинку до дерева за допомогою кроків. Чому вони отримали різні відповіді?
Правильно, вони мають різну довжину кроку.
Повісь відра на коромисла, заздалегідь вирішивши приклад.
Перевір себе!
Один віслюк ніс 10 кілограмів цукру, а інший – 10 кілограмів вати. У кого поклажа була важчою?
Поклажа була однаковою. Незважаючи на те, що розміри різні, але вага однакова.
3. Підбиття підсумків
В якій руці знак<»? В левой.
У якій руці знак «>»? У правій.
Що означає «=»? Рівність.
Назвіть рівність.
Три плюс два, і п'ять. Чотири і чотири.
Назвіть фігури.
Рефлексія
Сьогодні на уроці:
Я впізнав…
Я навчився …
Мені було цікаво…
Мені було важко.
Буратіно прощається з вами. До нових зустрічей!
Кожному з нас ще зі шкільної лави (а точніше з 1-го класу початкової школи) повинні бути знайомі такі прості математичні символи, як знак більшеі знак менший, а також знак дорівнює.
Однак, якщо з останнім щось наплутати досить складно, то про те, як і в який бік пишуться знаки більше і менше (знак менші знак більше, Як ще їх іноді називають) багато хто відразу після цієї ж шкільної лави і забувають, т.к. вони досить рідко використовуються нами у повсякденному житті.
Але практично кожному рано чи пізно все одно доводиться зіткнутися з ними, і «згадати», в який бік пишеться потрібний їм символ, виходить лише звернувшись за допомогою до улюбленої пошукової системи. То чому б не відповісти розгорнуто на це питання, заразом підказавши відвідувачам нашого сайту як запам'ятати правильне написання цих знаків на майбутнє?
Саме про те, як правильно пишеться знак більше і знак менше ми хочемо нагадати вам у цій невеликій замітці. Також буде не зайвим розповісти і про те, як набрати на клавіатурі знаки більше чи одноі менше або дорівнює, т.к. це питання теж досить часто викликає труднощі у користувачів, які стикаються з таким завданням, дуже рідко.
- Як пишеться знак більше
- Як пишеться знак менше
- Знак «більше чи одно»/«менше чи одно» (як набрати на клавіатурі)
Перейдемо одразу до справи. Якщо вам не дуже цікаво запам'ятовувати все це на майбутнє і простіше наступного разу знову «погуглити», а зараз просто потрібна відповідь на запитання «в який бік писати знак», тоді для вас ми приготували коротку відповідь — знаки більше і менше пишуться так, як показано на зображенні нижче.
А тепер розповімо трохи докладніше про те, як це зрозуміти та запам'ятати на майбутнє.
Загалом і в цілому логіка розуміння дуже проста — якою стороною (більшою чи меншою) знак у напрямку листа дивиться в ліву сторону — такий і знак. Відповідно, знак ліворуч дивиться широкою стороною — більшою.
Приклад використання знаку більший:
- 50>10 - число 50 більше числа 10;
- відвідуваність студента цього семестру становила >90% занять.
Як писати знак менше, мабуть, повторно пояснювати не варто. Абсолютно аналогічно знаку більше. Якщо знак дивиться вліво вузькою стороною меншою, то перед вами знак менше.
Приклад використання знака менший:
- 100<500 — число 100 меньше числа пятьсот;
- на засідання з'явилося<50% депутатов.
Як бачите, все досить логічно і просто, тому тепер питань про те, в який бік писати знак більше і знак менше в майбутньому у вас виникати не повинно.
Знак більше чи одно/менше чи одно
Якщо ви вже згадали, як пишеться необхідний вам знак, то дописати до нього одну рису знизу вам не складе труднощів, таким чином ви отримаєте знак "менше або дорівнює"або знак "більше або дорівнює".
Однак щодо цих знаків у деяких виникає інше питання: як набрати такий значок на клавіатурі комп'ютера? У результаті більшість просто ставлять два знаки поспіль, наприклад, «більше чи одно» позначаючи як «>=» , Що, в принципі, часто цілком допустимо, але можна зробити красивіше і правильніше.
Насправді, для того, щоб надрукувати ці знаки, існують спеціальні символи, які можна ввести на будь-якій клавіатурі. Погодьтеся, знаки «≤» і «≥» виглядають значно краще.
Знак більше чи одно на клавіатурі
Для того, щоб написати «більше чи рівно» на клавіатурі одним знаком навіть не потрібно лізти в таблицю спеціальних символів — просто поставте знак більше із затиснутою клавішею "alt". Таким чином, поєднання клавіш (вводиться в англійській розкладці) буде наступним.
Або ж ви можете просто скопіювати значок цієї статті, якщо вам потрібно скористатися ним один раз. Ось він, будь ласка.
Якщо говорити просто, це овочі, приготовлені у воді за спеціальним рецептом. Я розглядатиму два вихідні компоненти (овочевий салат і воду) і готовий результат – борщ. Геометрично це можна як прямокутник, у якому одна сторона позначає салат, друга сторона позначає воду. Сума цих двох сторін позначатиме борщ. Діагональ і площа такого борщового прямокутника є суто математичними поняттями і ніколи не використовуються в рецептах приготування борщу.
Як салат і вода перетворюються на борщ з погляду математики? Як сума двох відрізків може перетворитися на тригонометрію? Щоб зрозуміти це, нам знадобляться лінійні кутові функції.
У підручниках математики ви нічого не знайдете про лінійні кутові функції. Адже без них не може бути математики. Закони математики, як і закони природи, працюють незалежно від того, знаємо ми про їхнє існування чи ні.
Лінійні кутові функції – це закони складання.Подивіться, як алгебра перетворюється на геометрію, а геометрія перетворюється на тригонометрію.
Чи можна обійтись без лінійних кутових функцій? Можна, адже математики досі без них обходяться. Хитрість математиків полягає в тому, що вони завжди розповідають нам тільки про ті завдання, які вони самі вміють вирішувати, і ніколи не розповідають про ті завдання, які вони не вміють вирішувати. Дивіться. Якщо нам відомий результат додавання та один доданок, для пошуку іншого доданку ми використовуємо віднімання. Всі. Інших завдань ми не знаємо і вирішувати не вміємо. Що робити в тому випадку, якщо нам відомий тільки результат додавання і не відомі обидва доданки? У цьому випадку результат додавання потрібно розкласти на два складові за допомогою лінійних кутових функцій. Далі ми вже самі вибираємо, яким може бути один доданок, а лінійні кутові функції показують, яким має бути другий доданок, щоб результат додавання був саме таким, який нам потрібен. Таких пар доданків може бути безліч. У повсякденному житті ми чудово обходимося без розкладання суми, нам достатньо віднімання. А ось при наукових дослідженнях законів природи розкладання суми на доданки може стати в нагоді.
Ще один закон додавання, про який математики не люблять говорити (ще одна їхня хитрість), вимагає, щоб доданки мали однакові одиниці виміру. Для салату, води та борщу це можуть бути одиниці виміру ваги, обсягу, вартості або одиниці виміру.
На малюнку показано два рівні відмінностей для математичних. Перший рівень - це відмінності в області чисел, які позначені a, b, c. Це те, чим займаються математики. Другий рівень - це відмінності в області одиниць виміру, які показані у квадратних дужках та позначені буквою U. Цим займаються фізики. Ми можемо розуміти третій рівень - розбіжності у сфері описуваних об'єктів. Різні об'єкти можуть мати однакову кількість однакових одиниць виміру. Наскільки це важливо, ми можемо побачити з прикладу тригонометрії борщу. Якщо ми додамо нижні індекси до однакового позначення одиниць вимірювання різних об'єктів, то зможемо точно говорити, яка математична величина описує конкретний об'єкт і як вона змінюється з часом або у зв'язку з нашими діями. Літерою Wя позначу воду, буквою Sпозначу салат і буквою B- Борщ. Ось як виглядатимуть лінійні кутові функції для борщу.
Якщо ми візьмемо якусь частину води та якусь частину салату, разом вони перетворяться на одну порцію борщу. Тут я пропоную вам трохи відволіктися від борщу та згадати далеке дитинство. Пам'ятаєте, як нас вчили складати разом зайчиків та качечок? Потрібно було знайти, скільки всього звірят вийде. Що ж тоді нас вчили робити? Нас вчили відривати одиниці виміру від чисел і складати числа. Так, будь-яке число можна скласти з іншим будь-яким числом. Це прямий шлях до аутизму сучасної математики - ми робимо незрозуміло, що, незрозуміло навіщо і дуже погано розуміємо, як це стосується реальності, адже з трьох рівнів відмінності математики оперують лише одним. Правильніше буде навчитися переходити від одних одиниць виміру до інших.
І зайчиків, і качечок, і звірят можна порахувати в штуках. Одна загальна одиниця виміру для різних об'єктів дозволяє нам скласти їх разом. Це дитячий варіант завдання. Погляньмо на схоже завдання для дорослих. Що вийде, якщо скласти зайчиків та гроші? Тут можна запропонувати два варіанти рішення.
Перший варіант. Визначаємо ринкову вартість зайчиків і складаємо її з наявною грошовою сумою. Ми отримали загальну вартість нашого багатства у грошовому еквіваленті.
Другий варіант. Можна кількість кроликів скласти з кількістю наявних у нас грошових купюр. Ми отримаємо кількість рухомого майна у штуках.
Як бачите, той самий закон додавання дозволяє отримати різні результати. Все залежить від того, що ми хочемо знати.
Але повернемось до нашого борщу. Тепер ми можемо подивитися, що відбуватиметься за різних значень кута лінійних кутових функцій.
Кут дорівнює нулю. Ми маємо салат, але немає води. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу також дорівнює нулю. Це зовсім не означає, що нуль борщу дорівнює нулю води. Нуль борщу може бути при нулі салату (прямий кут).
Особисто для мене це основний математичний доказ того факту, що . Нуль не змінює число під час додавання. Це відбувається тому, що саме додавання неможливе, якщо є тільки один доданок і відсутній другий доданок. Ви до цього можете ставитися як завгодно, але пам'ятайте - всі математичні операції з нулем придумали самі математики, тому відкидайте свою логіку і тупо зубріть визначення, придумані математиками: "поділ на нуль неможливий", "будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю" , "за виколом точки нуль" та інше марення. Достатньо один раз запам'ятати, що нуль не є числом, і у вас вже ніколи не виникне питання, чи є нуль натуральним числом чи ні, тому що таке питання взагалі позбавляється всякого сенсу: як можна вважати числом те, що числом не є. Це все одно, що питати, до якого кольору віднести невидимий колір. Додавати нуль до числа - це те саме, що фарбувати фарбою, якої немає. Сухим пензликом помахали і говоримо всім, що "ми пофарбували". Але я трохи відволікся.
Кут більший за нуль, але менше сорока п'яти градусів. В нас багато салату, але мало води. В результаті ми отримаємо густий борщ.
Кут дорівнює сорок п'ять градусів. Ми маємо в рівних кількостях воду та салат. Це ідеальний борщ (хай вибачать мені кухарі, це просто математика).
Кут більше сорока п'яти градусів, але менше дев'яноста градусів. У нас багато води та мало салату. Вийде рідкий борщ.
Прямий кут. Ми маємо воду. Від салату залишилися лише спогади, оскільки кут ми продовжуємо вимірювати від лінії, яка колись означала салат. Ми не можемо приготувати борщ. Кількість борщу дорівнює нулю. У такому разі, тримайтеся та пийте воду, поки вона є)))
Ось. Якось так. Я можу тут розповісти й інші історії, які будуть більш доречними.
Двоє друзів мали свої частки у спільному бізнесі. Після вбивства одного з них все дісталося іншому.
Поява математики на планеті.
Всі ці історії мовою математики розказані за допомогою лінійних кутових функцій. Якось іншим разом я покажу вам реальне місце цих функцій у структурі математики. А поки що, повернемося до тригонометрії борщу та розглянемо проекції.
субота, 26 жовтня 2019 р.
середа, 7 серпня 2019 р.
Завершуючи розмову про , потрібно розглянути безліч. Дало в тому, що поняття "нескінченність" діє на математиків, як удав на кролика. Тремтливий жах перед нескінченністю позбавляє математиків здорового глузду. Ось приклад:
Першоджерело знаходиться. Альфа означає дійсне число. Знак рівності в наведених виразах свідчить про те, що якщо до нескінченності додати число або нескінченність, нічого не зміниться, в результаті вийде така сама нескінченність. Якщо в якості прикладу взяти безліч натуральних чисел, то розглянуті приклади можна представити в такому вигляді:
Для наочного доказу своєї правоти математики вигадали багато різних методів. Особисто я дивлюся на всі ці методи, як на танці шаманів із бубнами. По суті, всі вони зводяться до того, що або частина номерів не зайнята і в них заселяються нові гості, або частину відвідувачів викидають у коридор, щоб звільнити місце для гостей (дуже навіть по-людськи). Свій погляд на подібні рішення я виклав у формі фантастичного оповідання про Блондинку. На чому ґрунтуються мої міркування? Переселення нескінченної кількості відвідувачів потребує багато часу. Після того, як ми звільнили першу кімнату для гостя, один із відвідувачів завжди буде йти коридором зі свого номера до сусіднього до кінця століття. Звичайно, фактор часу можна тупо ігнорувати, але це вже буде з розряду "дурням закон не писаний". Все залежить від того, чим ми займаємося: підганяємо реальність під математичні теорії чи навпаки.
Що ж таке "нескінченний готель"? Нескінченний готель - це готель, де завжди є будь-яка кількість вільних місць, незалежно від того, скільки номерів зайнято. Якщо всі номери в нескінченному коридорі для відвідувачів зайняті, є інший нескінченний коридор з номерами для гостей. Таких коридорів буде безліч. При цьому у "нескінченного готелю" нескінченна кількість поверхів у нескінченній кількості корпусів на нескінченній кількості планет у нескінченній кількості всесвітів, створених нескінченною кількістю Богів. Математики ж не здатні відсторонитися від банальних побутових проблем: Бог-Аллах-Будда – завжди лише один, готель – він один, коридор – лише один. Ось математики й намагаються підтасовувати порядкові номери готельних номерів, переконуючи нас у тому, що можна "впхнути непохитне".
Логіку своїх міркувань я вам продемонструю на прикладі нескінченної множини натуральних чисел. Для початку потрібно відповісти на дуже просте запитання: скільки множин натуральних чисел існує одне чи багато? Правильного відповіді це питання немає, оскільки числа придумали ми самі, у Природі чисел немає. Так, Природа чудово вміє рахувати, але для цього вона використовує інші математичні інструменти, не звичні для нас. Як природа вважає, я вам розповім в інший раз. Оскільки числа придумали ми, ми самі вирішуватимемо, скільки множин натуральних чисел існує. Розглянемо обидва варіанти, як і належить справжнім ученим.
Варіант перший. "Нехай нам дано" одне-єдине безліч натуральних чисел, яке безтурботно лежить на поличці. Беремо з полички це безліч. Все, інших натуральних чисел на поличці не залишилося і взяти їх нема де. Ми не можемо до цієї множини додати одиницю, оскільки вона в нас уже є. А якщо дуже хочеться? Без проблем. Ми можемо взяти одиницю з уже взятої нами множини і повернути її на поличку. Після цього ми можемо взяти з полички одиницю і додати її до того, що залишилося. В результаті ми знову отримаємо безліч натуральних чисел. Записати всі наші маніпуляції можна так:
Я записав дії в системі алгебри позначень і в системі позначень, прийнятої в теорії множин, з детальним перерахуванням елементів множини. Нижній індекс вказує на те, що багато натуральних чисел у нас одне і єдине. Виходить, що безліч натуральних чисел залишиться незмінним тільки в тому випадку, якщо відняти одиницю і додати цю ж одиницю.
Варіант другий. У нас на поличці лежить багато різних нескінченних множин натуральних чисел. Наголошую - РІЗНИХ, не дивлячись на те, що вони практично не відрізняються. Беремо одну з цих множин. Потім з іншої множини натуральних чисел беремо одиницю і додаємо до вже взятої нами множини. Ми можемо навіть скласти дві множини натуральних чисел. Ось що в нас вийде:
Нижні індекси "один" і "два" вказують на те, що ці елементи належали різним множинам. Так, якщо до нескінченної множини додати одиницю, в результаті вийде теж нескінченна множина, але вона не буде такою ж, як початкова множина. Якщо до однієї нескінченної множини додати іншу нескінченну множину, в результаті вийде нова нескінченна множина, що складається з елементів перших двох множин.
Багато натуральних чисел використовується для рахунку так само, як лінійка для вимірювань. Тепер уявіть, що до лінійки ви додали один сантиметр. Це вже буде інша лінійка, яка не дорівнює початковій.
Ви можете приймати чи не приймати мої міркування – це ваша особиста справа. Але якщо колись ви зіткнетеся з математичними проблемами, подумайте, чи не йдете ви стежкою хибних міркувань, протоптаною поколіннями математиків. Адже заняття математикою передусім формують у нас стійкий стереотип мислення, а вже потім додають нам розумових здібностей (або навпаки, позбавляють нас вільнодумства).
pozg.ru
неділя, 4 серпня 2019 р.
Дописував постскриптум до статті про і побачив у Вікіпедії цей чудовий текст:
Читаємо: "...багата теоретична основа математики Вавилону у відсутності цілісного характеру і зводилася до набору розрізнених прийомів, позбавлених загальної системи та доказової бази."
Вау! Які ми розумні та як добре можемо бачити недоліки інших. А чи слабко нам подивитися на сучасну математику в такому ж розрізі? Злегка перефразовуючи наведений текст, особисто мені вийшло таке:
Багата теоретична основа сучасної математики немає цілісного характеру і зводиться до набору розрізнених розділів, позбавлених загальної системи та доказової бази.
За підтвердженням своїх слів я далеко ходити не буду - має мову та умовні позначення, відмінні від мови та умовних позначень багатьох інших розділів математики. Одні й самі назви у різних розділах математики можуть мати різний сенс. Найбільш очевидним ляпам сучасної математики хочу присвятити цілий цикл публікацій. До скорої зустрічі.
субота, 3 серпня 2019 р.
Як поділити множину на підмножини? Для цього необхідно ввести нову одиницю виміру, присутню в частині елементів обраної множини. Розглянемо приклад.
Нехай у нас є безліч А, Що складається з чотирьох людей. Сформовано цю множину за ознакою "люди" Позначимо елементи цієї множини через букву а, нижній індекс з цифрою вказуватиме на порядковий номер кожної людини у цій множині. Введемо нову одиницю виміру "статевий ознака" і позначимо її літерою b. Оскільки статеві ознаки властиві всім людям, множимо кожен елемент множини Ана статеву ознаку b. Зверніть увагу, що тепер наша безліч "люди" перетворилася на безліч "люди зі статевими ознаками". Після цього ми можемо розділити статеві ознаки на чоловічі bmта жіночі bwстатеві ознаки. Ось тепер ми можемо застосувати математичний фільтр: вибираємо один із цих статевих ознак, байдуже який - чоловічий чи жіночий. Якщо вона присутня у людини, тоді множимо її на одиницю, якщо такої ознаки немає – множимо її на нуль. А далі застосовуємо звичайну шкільну математику. Дивіться, що вийшло.
Після множення, скорочень і перегрупувань, ми отримали дві підмножини: підмножина чоловіків Bmі підмножина жінок Bw. Приблизно так само міркують математики, коли застосовують теорію множин на практиці. Але в деталі вони нас не присвячують, а видають готовий результат - "безліч людей складається з підмножини чоловіків і підмножини жінок". Природно, у вас може виникнути питання, наскільки правильно застосовано математику у викладених вище перетвореннях? Смію вас запевнити, по суті перетворень зроблено все правильно, достатньо знати математичне обґрунтування арифметики, булевої алгебри та інших розділів математики. Що це таке? Якось іншим разом я вам про це розповім.
Що стосується надмножин, то об'єднати дві множини в одну надмножину можна, підібравши одиницю виміру, що є у елементів цих двох множин.
Як бачите, одиниці виміру та звичайна математика перетворюють теорію множин на пережиток минулого. Ознакою те, що з теорією множин не все гаразд, і те, що з теорії множин математики придумали власну мову і позначення. Математики вчинили так, як колись робили шамани. Тільки шамани знають, як "правильно" застосовувати їх "знання". Цим "знанням" вони навчають нас.
На закінчення, я хочу показати вам, як математики маніпулюють з .
понеділок, 7 січня 2019 р.
У п'ятому столітті до нашої ери давньогрецький філософ Зенон Елейський сформулював свої знамениті апорії, найвідомішою з яких є апорія "Ахілес і черепаха". Ось як вона звучить:
Припустимо, Ахіллес біжить у десять разів швидше, ніж черепаха, і знаходиться позаду неї на відстані тисячу кроків. За той час, за який Ахіллес пробіжить цю відстань, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. Коли Ахіллес пробіжить сто кроків, черепаха проповзе ще десять кроків, і таке інше. Процес продовжуватиметься до нескінченності, Ахіллес так ніколи і не наздожене черепаху.
Ця міркування стала логічним шоком для всіх наступних поколінь. Аристотель, Діоген, Кант, Гегель, Гільберт... Усі вони однак розглядали апорії Зенона. Шок виявився настільки сильним, що " ... дискусії продовжуються і в даний час, дійти спільної думки про сутність парадоксів науковому співтовариству поки що не вдалося... до дослідження питання залучалися математичний аналіз, теорія множин, нові фізичні та філософські підходи; жоден із них не став загальновизнаним вирішенням питання.[Вікіпедія, "Апорії Зенона"]. Всі розуміють, що їх дурять, але ніхто не розуміє, в чому полягає обман.
З погляду математики, Зенон у своїй апорії наочно продемонстрував перехід від величини до . Цей перехід передбачає застосування замість постійних. Наскільки розумію, математичний апарат застосування змінних одиниць виміру або ще розроблено, або його застосовували до апорії Зенона. Застосування нашої звичайної логіки приводить нас у пастку. Ми, за інерцією мислення, застосовуємо постійні одиниці виміру часу до оберненої величини. З фізичної точки зору це виглядає як уповільнення часу до його повної зупинки в момент, коли Ахілес порівняється з черепахою. Якщо час зупиняється, Ахілес вже не може перегнати черепаху.
Якщо перевернути звичну нам логіку, все стає на свої місця. Ахілес біжить з постійною швидкістю. Кожен наступний відрізок його шляху вдесятеро коротший за попередній. Відповідно, і час, що витрачається на його подолання, у десять разів менший за попередній. Якщо застосовувати поняття "нескінченність" у цій ситуації, то правильно буде говорити "Ахіллес нескінченно швидко наздожене черепаху".
Як уникнути цієї логічної пастки? Залишатися в постійних одиницях виміру часу і переходити до зворотним величинам. Мовою Зенона це виглядає так:
За той час, за який Ахіллес пробіжить тисячу кроків, черепаха в той самий бік проповзе сто кроків. За наступний інтервал часу, що дорівнює першому, Ахіллес пробіжить ще тисячу кроків, а черепаха проповзе сто кроків. Тепер Ахіллес на вісімсот кроків випереджає черепаху.
Цей підхід адекватно визначає реальність без жодних логічних парадоксів. Але це не повне вирішення проблеми. На Зеноновську апорію "Ахіллес і черепаха" дуже схоже твердження Ейнштейна про непереборність швидкості світла. Цю проблему нам ще належить вивчити, переосмислити та вирішити. І рішення потрібно шукати не в нескінченно великих числах, а в одиницях виміру.
Інша цікава апорія Зенона оповідає про стрілу, що летить.
Летяча стріла нерухома, тому що в кожний момент часу вона спочиває, а оскільки вона спочиває в кожний момент часу, вона завжди спочиває.
У цій апорії логічний парадокс долається дуже просто - досить уточнити, що в кожний момент часу стріла, що летить, спочиває в різних точках простору, що, власне, і є рухом. Тут слід зазначити інший момент. За однією фотографією автомобіля на дорозі неможливо визначити ані факт його руху, ані відстань до нього. Для визначення факту руху автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з однієї точки в різні моменти часу, але не можна визначити відстань. Для визначення відстані до автомобіля потрібні дві фотографії, зроблені з різних точок простору в один момент часу, але не можна визначити факт руху (природно, ще потрібні додаткові дані для розрахунків, тригонометрія вам на допомогу). На що я хочу звернути особливу увагу, то це на те, що дві точки в часі та дві точки в просторі – це різні речі, які не варто плутати, адже вони надають різні можливості для дослідження.
Покажу процес на прикладі. Відбираємо "червоне тверде в пухирцю" - це наше "ціле". При цьому ми бачимо, що ці штучки є з бантиком, а без бантика. Після цього ми відбираємо частину "цілого" і формуємо безліч "з бантиком". Ось так шамани добувають собі корм, прив'язуючи свою теорію множин до реальності.
А тепер зробимо маленьку пакість. Візьмемо "тверде в пухирцю з бантиком" і об'єднаємо ці "цілі" за колірною ознакою, відібравши червоні елементи. Ми отримали безліч "червоних". Тепер питання на засипку: отримані множини "з бантиком" і "червоне" - це одна й та сама множина чи дві різні множини? Відповідь знають лише шамани. Точніше самі вони нічого не знають, але як скажуть, так і буде.
Цей простий приклад показує, що теорія множин абсолютно марна, коли йдеться про реальність. В чому секрет? Ми сформували безліч "червоне тверде в пухирцю з бантиком". Формування відбувалося за чотирма різними одиницями виміру: колір (червоне), міцність (тверде), шорсткість (у пухирцю), прикраси (з бантиком). Тільки сукупність одиниць виміру дозволяє адекватно описувати реальні об'єкти мовою математики.. Ось як це виглядає.
Літера "а" з різними індексами позначає різні одиниці виміру. У дужках виділено одиниці виміру, якими виділяється " ціле " попередньому етапі. За дужки винесена одиниця виміру, якою формується безліч. Останній рядок показує остаточний результат - елемент множини. Як бачите, якщо застосовувати одиниці виміру для формування множини, то результат не залежить від порядку наших дій. А це вже математика, а не танці шаманів із бубнами. Шамани можуть "інтуїтивно" прийти до такого ж результату, аргументуючи його "очевидністю", адже одиниці виміру не входять до їхнього "наукового" арсеналу.
За допомогою одиниць виміру дуже легко розбити одну або об'єднати кілька множин в одну надмножину. Давайте уважніше розглянемо алгебру цього процесу.
Клас: 1
Цілі уроку:
- Освітня:познайомити зі знаками менше<», больше « >», дорівнює «=» та записами виду 2<3, 3>2, 4 = 4, повторити геометричний матеріал, склад чисел;
- Розвиваюча:розвиток комунікативних якостей особистості (уміння працювати у парі, вести навчальний діалог, проводити самооцінку)
- Виховна:виховання почуття співпереживання, взаємодопомоги.
Хід уроку
1. Орг. момент
Увага, перевір дружок,
Чи готовий ти розпочати урок?
Всіли на місці, всіли в порядку
Книга, ручка та зошити?
І кольорові олівці
Ти на парту поклади,
І лінійку не забудь
В математику прямуємо!А зараз, хлопці, зручніше сідайте,
Не шуміть, не крутіться,
І уважно рахуйте
А спитаю вас – відповідайте.
Вам зрозуміла умова?
Це чути мені приємно
Подорож кличе
Першокласник на урок!
2. Основна частина:
Вчитель:А зробимо ми з вами сьогодні політ у незвіданий космічний простір. Сьогодні ми не будемо учнями, а дослідниками космічного простору. А щоб політ пройшов вдало, пригадаймо, чим ми займаємося на уроках математики?
Учні:Вирішуємо, вважаємо, пишемо, думаємо…
Вчитель:А як ви думаєте, що ми робитимемо сьогодні?
Вчитель:Щоб політ пройшов вдало, необхідно:
- Уважними
- Точно та правильно виконувати завдання
- Не допускати помилок, інакше ракета може зазнати аварії.
У розрахунковий час, стартуючи із Землі,
До загадкових зірок
Летять кораблі
Уявимо: трохи помріяли –
І всі стали космонавтами.
Вчитель:Отже, підвищена увага! До старту ракети залишилося 10 секунд, давайте трохи порахуємо. (Учні ведуть рахунок)
- Рахунок ланцюжком до 10.
- Починає вчитель, діти продовжують.
- Відлік у зворотному напрямку.
- Відраховуємо секунди 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 пуск. Ми в польоті!
Вчитель:Діти, подивіться на дошку, вона сьогодні перетворилася на «зіркове небо». Але якісь незвичайні зірки! Що вони нам нагадують?
Учні:геометричні фігури.
Вчитель:Що за фігури, назвіть.
Учні:відрізок, пряма, крапки, ламана, крива.
Вчитель:Поки ми дивилися на небо очі втомилися, давайте зробимо для них зарядку.
Малюй очима трикутник,
Тепер його переверни
Вершиною вниз
І знову очима
Ти по периметру веди.
Малюй вісімку вертикально
Ти головою не крути,
А лише очима обережно
Ти вздовж по лініях води
І на бочок її клади.
Тепер стеж горизонтально.
І в центрі ти зупинися.
Замружся міцно, не лінуйся.
Очі відкриваємо ми, нарешті
Зарядка закінчилася.
Ти молодець!
Вчитель:Діти, подивіться, наш пульт управління знаходиться в аварійному стані. Запали кнопки, потрібно виправити пульт.
- Яке число йде за рахунку за числом 3, 6, 9?
- Яке число стоїть перед числом 2, 5, 8, 10?
- Назвіть сусідів числа 2, 7?
Але на пульті крім цифр є ще різні знаки, вони теж стерлися, давайте їх відновимо (діти по черзі відповідають, інші ляскають у долоні, якщо правильно)
| 2 3=5 | 4 =2 | |
| 5 1=4 | 1+ =4 | |
| 3+ =5 | 5- =4 |
Молодці! Пульт справний.
Вчитель:Поки наша ракета піднімається вгору, пограємось у гру «Склади фігуру».
Потрібно з паличок скласти фігуру, що складається із чотирьох квадратів.
Порахуй, скільки тут квадратів? (Фігура складається з 4 квадратів)
Переклади 2 палички так, щоб вийшло 5 однакових квадратів.
Фізмінка: (неголосно звучить весела музика)
На зарядку сонечко піднімає нас,
Піднімаємо руки ми по команді разів,
А над нами весело шелестить листя,
Опускаємо руки ми по команді зо два.
Зберемо в кошик ягоди, гриби –
Дружно нахиляємось по команді три.
На чотири та на п'ять
Будемо дружно ми скакати.
Ну, а за командою шість
Всім за парти тихо сісти!
Вчитель:А зараз приготуйте свої квадрати. Покладіть у верхній ряд 2 зелені квадрати, а в нижній 3 сині.
Яких квадратів менше?
Яке число менше 2 чи 3?
У математиці є спеціальний запис. Це записують так: 2<3
< – знак меньше
Яких квадратів більше? (синіх)
Яке число більше? (3)
Хто здогадався, як це записати? 3>2
> – знак більше
Знак ставиться так, щоб до більшої кількості «дзьобик» було відкрито.
Давайте відпочинемо та подивимося телевізор, що у нас сьогодні показують (робота з підручником, виконання завдання).
- Скільки було пташок на першій картинці
- Скільки прилетіло
- Скільки стало
- Їх стало більше чи менше
- Як це записали, прочитайте
- Скільки ягід на пензлику
- Що сталося з ягодами
- Як це записати
- Яке число більше, менше?
Вчитель:Наша ракета стрімко мчить угору. Екіпаж працює злагоджено, чітко. Нині серйозна робота, ми виходимо у відкритий космос. О, я бачу планету, від неї відокремлюється якийсь несподіваний літаючий об'єкт. Що це? Інопланетяни хочуть знищити нашу ракету. Приготуйтеся до математичної битви. А зброєю буде розум та сміливість. Я показую приклад, ви за допомогою віяла цифр відповідь.
Хто може попросити допомоги, якщо дуже важко? (Сусіда по парті)
| 2+2 | 1+2 | 4-2 | ||
| 3+2 | 3-1 | 5-3 |
– Ми перемогли, корабель віддаляється. Заповнимо ботржурнали. Перевірте робоче місце, сядьте зручніше, щоб борт журнали лежали правильно, записи були чіткими та акуратними. Працюємо на сторінці 11. (робота у зошитах на друкованій основі для 1 класу)
– Перед вами знаки. Як називається перший знак? (більше)
Як називається другий знак? (менше)
Напишіть знак по крапках, допишіть до кінця рядка.
Вчитель:Перед стартом ракети я пропоную вам попрацювати у парі. У вас на столах картки, потрібно вставити знаки, що бракують, «більше» або «менше».
Картка.
| 2*3 | 5*7 | 8*5 | ||
| 5*3 | 10*7 | 6*2 | ||
| 3*9 | 7*1 | 6*9 |
3. Рефлексія:
Завдяки дружній роботі наша ракета здійснила м'яку посадку. Під час польоту ми провели велику роботу.
– Скажіть, що ви для себе впізнали нового?
– Чим ми сьогодні займалися?
– Що вам допомогло добре працювати на уроці?
У вас на столах лежать мордочки, намалюйте на них вираз обличчя веселе або сумне, кому на уроці було добре підніміть веселу мордочку. А в кого щось не вийшло і було сумно? (Таких може не бути)
Політ завершений, дякую всім!
При навчанні математики дітям зазвичай називають знаки більше і менше дзьобиком, тому їм простіше запам'ятовувати образне поняття. А ось щоб запам'ятати в який бік пишеться менше, а в який більше наводять інший приклад — закритий дзьобик завжди дивиться у бік меншого числа, відкритий у бік більшого. Тобто у нас виходить така жадібна качечка, яка роззявляє дзьоб тільки на дійсно варте. Можливо, тому ще цей знак порівнюють з крокодилом. Тепер якщо ліворуч стоїть більша кількість, дзьобик до нього відкритий і ми маємо знак більше, а якщо ліворуч стоїть менше число, дзьобик ліворуч закритий, то у нас виходить знак менше.
Знак більший і менший при листі зображуються галочкою, яка повернута на дев'яносто градусів. При цьому якщо носик галочки дивиться праворуч, це знак більше. В іншому випадку, якщо вузький кінчик галочки дивися ліворуч, то менше.
У математиці часто доводиться порівнювати числа за величиною, для чого і були вигадані графічні символи. Замість слова більше використовується знак > , а замість слова менше - символ lt;.
Якщо, наприклад, нам потрібно порівняти між собою цифри 5 і 3, це буде виглядати так: 5 > 3 . Між цифрами стоїть знак більше, який повернутий своєю відкритою стороною у бік більшої величини. Запам'ятати позначення дуже просто: носик завжди повернутий своїм вістрям у бік меншого числа.
Математичні знаки запам'ятати легко: цей знак > звернений до літер перед ним широкою частиною і означає більше, а цей знак lt; обернений тонким кутом і означає менше. Обидва знаки можуть бути ускладнені знаком рівно.
Якщо ви хочете запам'ятати як пишеться знак більший і знак менший, то в першу чергу потрібно запам'ятати про те, що у знака більше гострий кінчик спрямований праворуч:>. У знака менше навпаки, гострий кінчик спрямований вліво: lt;
У першому класі нас вчили (і я тепер так само 3-річній доньці легко пояснила), що цей знак схожий на відкритий дзьобик качки, яка дивиться у бік більшого числа, тобто якщо ліве число більше правого, то пишемо > (більше), якщо навпаки-то lt; (Менше). Також можна запам'ятати що широкою (великою) своєю стороною він дивиться у бік більшого числа.
Якщо відкритою пащею знак повернуть ліворуч – це більше.
А якщо праворуч — це знак менший.
Гострий кут на знаку вказує на число. маленька стрілка - знак МЕНШЕ.
Так як в основному ми пишемо зліва направо і читаємо так само, потрібно запам'ятати.
Знак більший і менший зображується у вигляді літери V, яка впала вліво або вправо.
Якщо цей знак впав ліворуч, тобто два кінці дивляться ліворуч, а кут дивиться праворуч, це знак більше — >
Якщо навпаки - знак впав праворуч, то знак менше - lt; .
Кут цього знака завжди дивиться на ту цифру, яка є меншою. Якщо цифри рівні, між ними ставиться знак рівності = .
Знак більший і знак менший у математиці та статистиці у формулах записуються за допомогою спеціальних позначень (значків):
Символ більше: >
Символ менше: lt;
Прописом ви можете записати їх за необхідності як:
Знак більше
Знак менший
Математичні знаки більшеі меншепрактичний однакові, ось тільки відкривають свій рот в різні боки. Ротик цього знака завжди відкривається в той бік, де стоїть більше число, а куточок знака завжди вказує на менше.
7 lt; 9 - це знак меншетому, що в ліву сторону дивиться куточок.
9 > 7 – це знак більше, тому що в оевуб бік відкритий рот знак.
Пишуться знаки менше і більше так:
lt; - це зак, який означає менше,
> — це символ, який означає більше.
Орієнтуйтеся на бік знака, широка вказує на більшу кількість, а кут на меншу.