पूर्णांक क्या है. पूर्ण संख्याएं

नकारात्मक संख्याओं का उपयोग पहली बार प्राचीन चीन और भारत में किया गया था; यूरोप में उन्हें निकोलस चुक्वेट (1484) और माइकल स्टिफ़ेल (1544) द्वारा गणितीय उपयोग में लाया गया था।

बीजगणितीय गुण

$\backslash mathbb(Z)$दो पूर्णांकों के विभाजन के अंतर्गत बंद नहीं किया जाता है (उदाहरण के लिए, 1/2)। निम्नलिखित तालिका किसी भी पूर्णांक के लिए जोड़ और गुणन के कई बुनियादी गुणों को दर्शाती है ए, बीऔर सी.

	जोड़ना	गुणा
बंदपन:	ए + बी- साबुत	ए × बी- साबुत
साहचर्य:	ए + (बी + सी) = (ए + बी) + सी	ए × ( बी × सी) = (ए × बी) × सी
क्रमपरिवर्तनशीलता:	ए + बी = बी + ए	ए × बी = बी × ए
एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व:	ए + 0 = ए	ए× 1 = ए
विपरीत तत्व का अस्तित्व:	ए + (−ए) = 0	ए≠ ±1 ⇒ 1/ एपूर्णांक नहीं है
जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता:	ए × ( बी + सी) = (ए × बी) + (ए × सी)

|heading3= एक्सटेंशन टूल्स
संख्या प्रणालियाँ |शीर्षक4=संख्याओं का पदानुक्रम |सूची4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ पूर्ण संख्याएं $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ भिन्नात्मक संख्याएं $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ वास्तविक संख्या

$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

जटिल आंकड़े

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ quaternions $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; डॉट्स$ Octonions $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash बिंदु$ Cedenions |शीर्षक5=अन्य
संख्या प्रणाली

|सूची5=कार्डिनल नंबर - आपको निश्चित रूप से इसे बिस्तर पर ले जाना होगा, यह यहां संभव नहीं होगा...
मरीज़ डॉक्टरों, राजकुमारियों और नौकरों से इतना घिरा हुआ था कि पियरे ने अब भूरे बालों के साथ उस लाल-पीले सिर को नहीं देखा, जो इस तथ्य के बावजूद कि उसने अन्य चेहरों को देखा, पूरी सेवा के दौरान एक पल के लिए भी उसकी दृष्टि नहीं छोड़ी। पियरे ने कुर्सी के आसपास मौजूद लोगों की सावधानी से चलने वाली हरकत से अनुमान लगाया कि मरते हुए आदमी को उठाकर ले जाया जा रहा है।
"मेरा हाथ पकड़ो, तुम मुझे ऐसे ही छोड़ दोगे," उसने नौकरों में से एक की भयभीत फुसफुसाहट सुनी, "नीचे से... वहाँ एक और है," आवाजें आईं, और भारी साँसें और कदम चल रहे थे लोगों के पैर और भी तेज़ हो गए, मानो जो वज़न वे उठा रहे थे वह उनकी ताकत से परे था।
वाहक, जिनमें से अन्ना मिखाइलोव्ना भी थी, ने युवक के साथ बराबरी की, और एक पल के लिए, लोगों के सिर के पीछे और पीछे से, उसने एक ऊँची, मोटी, खुली छाती, रोगी के मोटे कंधों को देखा, ऊपर की ओर लोगों ने उसे बाहों के नीचे पकड़ रखा था, और भूरे बालों वाला, घुंघराले, शेर का सिर। असामान्य रूप से चौड़े माथे और गालों, सुंदर कामुक मुंह और राजसी ठंडी निगाहों वाला यह सिर, मृत्यु की निकटता से विकृत नहीं हुआ था। वह वैसी ही थी जैसी पियरे उसे तीन महीने पहले जानता था, जब काउंट ने उसे पीटर्सबर्ग जाने दिया था। लेकिन यह सिर वाहकों के असमान कदमों से असहाय होकर हिल गया, और ठंडी, उदासीन निगाहों को नहीं पता था कि कहाँ रुकना है।
ऊँचे बिस्तर के चारों ओर उपद्रव के कई मिनट बीत गए; बीमार आदमी को ले जा रहे लोग तितर-बितर हो गये। अन्ना मिखाइलोवना ने पियरे का हाथ छुआ और उससे कहा: "वेनेज़।" [जाओ।] पियरे उसके साथ उस बिस्तर पर चला गया जिस पर बीमार व्यक्ति को उत्सव की मुद्रा में लिटाया गया था, जो स्पष्ट रूप से उस संस्कार से संबंधित था जो अभी-अभी संपन्न हुआ था। वह तकिये पर सिर ऊँचा करके लेटा हुआ था। उसके हाथ हरे रेशमी कम्बल पर सममित रूप से फैले हुए थे, हथेलियाँ नीचे। जब पियरे पास आया, तो काउंट ने सीधे उसकी ओर देखा, लेकिन उसने ऐसी नज़र से देखा जिसका अर्थ और अर्थ कोई व्यक्ति नहीं समझ सकता। या तो इस नज़र ने कुछ भी नहीं कहा, सिवाय इसके कि जब तक आपकी आँखें हैं, आपको कहीं न कहीं देखना चाहिए, या यह बहुत कुछ कहता है। पियरे रुक गए, न जाने क्या किया, और अपनी नेता अन्ना मिखाइलोव्ना की ओर प्रश्नवाचक दृष्टि से देखा। अन्ना मिखाइलोवना ने अपनी आँखों से मरीज के हाथ की ओर इशारा करते हुए और अपने होठों से उसे चूमने का जल्दबाजी वाला इशारा किया। पियरे ने परिश्रमपूर्वक अपनी गर्दन टेढ़ी की ताकि कंबल में न फंस जाए, उसकी सलाह का पालन किया और बड़े-हड्डियों वाले और मांसल हाथ को चूम लिया। गिनती के चेहरे की एक भी बांह, एक भी मांसपेशी कांप नहीं रही थी। पियरे ने फिर से अन्ना मिखाइलोव्ना की ओर प्रश्नवाचक दृष्टि से देखा, अब पूछ रहा है कि उसे क्या करना चाहिए। अन्ना मिखाइलोव्ना ने अपनी आँखों से उसे बिस्तर के बगल में खड़ी कुर्सी की ओर इशारा किया। पियरे आज्ञाकारी ढंग से कुर्सी पर बैठना शुरू कर दिया, उसकी आँखें पूछती रहीं कि क्या उसने वह किया है जो आवश्यक था। अन्ना मिखाइलोव्ना ने सहमति में सिर हिलाया। पियरे ने फिर से एक मिस्र की मूर्ति की सममित रूप से भोली स्थिति ग्रहण की, जाहिर तौर पर पछतावा हुआ कि उसके अनाड़ी और मोटे शरीर ने इतनी बड़ी जगह घेर ली, और जितना संभव हो उतना छोटा दिखने के लिए अपनी सारी मानसिक शक्ति का उपयोग किया। उसने गिनती देखी. काउंट ने उस स्थान की ओर देखा जहाँ पियरे का चेहरा खड़ा था। अन्ना मिखाइलोव्ना ने अपनी स्थिति में पिता और पुत्र की मुलाकात के इस अंतिम क्षण के मार्मिक महत्व के बारे में जागरूकता दिखाई। यह दो मिनट तक चला, जो पियरे को एक घंटे के बराबर लगा। अचानक गिनती के चेहरे की बड़ी मांसपेशियों और झुर्रियों में एक कंपन दिखाई दिया। कंपकंपी तेज हो गई, खूबसूरत मुंह टेढ़ा हो गया (तभी पियरे को एहसास हुआ कि उसके पिता मौत के कितने करीब थे), और टेढ़े मुंह से एक अस्पष्ट कर्कश आवाज सुनाई दी। अन्ना मिखाइलोव्ना ने ध्यान से मरीज की आँखों में देखा और यह अनुमान लगाने की कोशिश की कि उसे क्या चाहिए, पहले पियरे की ओर इशारा किया, फिर ड्रिंक की ओर, फिर एक प्रश्नवाचक फुसफुसाहट में प्रिंस वसीली को बुलाया, फिर कंबल की ओर इशारा किया। मरीज की आंखों और चेहरे पर अधीरता झलक रही थी। उसने नौकर की ओर देखने का प्रयास किया, जो लगातार बिस्तर के सिरहाने खड़ा था।
"वे दूसरी तरफ मुड़ना चाहते हैं," नौकर फुसफुसाया और काउंट के भारी शरीर को दीवार की ओर मोड़ने के लिए खड़ा हो गया।
पियरे नौकर की मदद के लिए उठ खड़ा हुआ।
जब गिनती पलटी जा रही थी, तो उसका एक हाथ असहाय होकर पीछे गिर गया और उसने उसे खींचने का व्यर्थ प्रयास किया। क्या काउंट ने पियरे के इस बेजान हाथ को जिस भय से देखा, उस पर ध्यान दिया, या उस क्षण उसके मरते हुए सिर में और कौन सा विचार कौंध गया, लेकिन उसने अवज्ञाकारी हाथ को देखा, पियरे के चेहरे पर भय की अभिव्यक्ति को फिर से देखा। हाथ, और चेहरे पर एक कमजोर, पीड़ादायक मुस्कान दिखाई दी जो उसकी विशेषताओं के अनुकूल नहीं थी, जो उसकी अपनी शक्तिहीनता का एक प्रकार का उपहास व्यक्त कर रही थी। अचानक, इस मुस्कुराहट को देखते ही, पियरे को अपने सीने में सिहरन महसूस हुई, उसकी नाक में चुभन महसूस हुई और आंसुओं के कारण उसकी दृष्टि धुंधली हो गई। मरीज को दीवार के सहारे उसकी तरफ कर दिया गया। उसने आह भरी।
"इल इस्ट असुपी, [उसे झपकी आ गई," एना मिखाइलोवना ने कहा, यह देखते हुए कि राजकुमारी उसकी जगह लेने आ रही है। - एलोन्स। [के लिए चलते हैं।]
पियरे चला गया.

संख्याएँ कई प्रकार की होती हैं उनमें से एक पूर्णांक है। पूर्णांक न केवल सकारात्मक दिशा में, बल्कि नकारात्मक दिशा में भी गिनती की सुविधा के लिए प्रकट हुए।

आइए एक उदाहरण देखें:
दिन में बाहर का तापमान 3 डिग्री था. शाम होते-होते तापमान 3 डिग्री तक गिर गया।
3-3=0
बाहर तापमान 0 डिग्री हो गया. और रात में तापमान 4 डिग्री गिर गया और थर्मामीटर -4 डिग्री दिखाने लगा।
0-4=-4

पूर्णांकों की एक श्रृंखला.

हम प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके ऐसी समस्या का वर्णन नहीं कर सकते हैं; हम इस समस्या पर एक समन्वय रेखा पर विचार करेंगे।

हमें संख्याओं की एक श्रृंखला मिली:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

संख्याओं की इस श्रृंखला को कहा जाता है पूर्णांकों की श्रृंखला.

सकारात्मक पूर्णांक। ऋणात्मक पूर्णांक.

पूर्णांकों की श्रृंखला में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं। शून्य के दायीं ओर प्राकृत संख्याएँ हैं, या इन्हें भी कहा जाता है सकारात्मक पूर्णांक. और वे शून्य के बाईं ओर जाते हैं ऋणात्मक पूर्णांक.

शून्य न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक संख्या है। यह धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच की सीमा है।

संख्याओं का एक समूह है जिसमें प्राकृतिक संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक और शून्य शामिल हैं।

धनात्मक और ऋणात्मक दिशा में पूर्णांकों की एक श्रृंखला है एक अनंत संख्या.

यदि हम कोई दो पूर्णांक लें तो इन पूर्णांकों के बीच की संख्याएँ कहलाएँगी परिमित सेट।

उदाहरण के लिए:
आइए -2 से 4 तक पूर्णांक लें। इन संख्याओं के बीच की सभी संख्याएँ परिमित समुच्चय में शामिल हैं। संख्याओं का हमारा अंतिम सेट इस तरह दिखता है:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

प्राकृतिक संख्याओं को लैटिन अक्षर N द्वारा दर्शाया जाता है।
पूर्णांकों को लैटिन अक्षर Z द्वारा दर्शाया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं और पूर्णांकों के पूरे सेट को एक चित्र में दर्शाया जा सकता है।


गैर-धनात्मक पूर्णांकदूसरे शब्दों में, वे ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
गैर-ऋणात्मक पूर्णांकधनात्मक पूर्णांक हैं.

सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और अंतिम परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में सोचा जा सकता है, जिसका एक पक्ष सलाद का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा पक्ष पानी का प्रतिनिधित्व करता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट को इंगित करेगा। ऐसे "बोर्स्ट" आयत का विकर्ण और क्षेत्रफल पूरी तरह से गणितीय अवधारणाएं हैं और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी इसका उपयोग नहीं किया जाता है।

गणितीय दृष्टिकोण से सलाद और पानी बोर्स्ट में कैसे बदल जाते हैं? दो रेखाखंडों का योग त्रिकोणमिति कैसे बन सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोणीय फलनों की आवश्यकता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोणीय फलनों के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना कोई गणित नहीं हो सकता. गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, इस बात की परवाह किए बिना काम करते हैं कि हम उनके अस्तित्व के बारे में जानते हैं या नहीं।

रैखिक कोणीय फलन अतिरिक्त नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में बदल जाता है और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोणीय फलनों के बिना ऐसा करना संभव है? यह संभव है, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना काम चला लेते हैं। गणितज्ञों की चाल यह है कि वे हमें हमेशा केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल करना जानते हैं, और उन समस्याओं के बारे में कभी बात नहीं करते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। देखना। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। सभी। हम अन्य समस्याओं को नहीं जानते और हम नहीं जानते कि उन्हें कैसे हल किया जाए। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पद नहीं जानते तो हमें क्या करना चाहिए? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। इसके बाद, हम स्वयं चुनते हैं कि एक पद क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दर्शाते हैं कि दूसरा पद क्या होना चाहिए ताकि जोड़ का परिणाम वही हो जो हमें चाहिए। ऐसे पदों के युग्मों की संख्या अनंत हो सकती है। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम योग को विघटित किए बिना ठीक से काम कर लेते हैं; घटाव हमारे लिए पर्याप्त है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अनुसंधान में, किसी योग को उसके घटकों में विघटित करना बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और तरकीब) के लिए आवश्यक है कि शब्दों की माप की इकाइयाँ समान हों। सलाद, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, मूल्य या माप की इकाई हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणितीय के लिए अंतर के दो स्तर दिखाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जिसे दर्शाया गया है ए, बी, सी. गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जिसे वर्गाकार कोष्ठक में दर्शाया गया है और अक्षर द्वारा दर्शाया गया है यू. भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के क्षेत्र में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, यह हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण में देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं के लिए एक ही इकाई पदनाम में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम सटीक रूप से कह सकते हैं कि कौन सी गणितीय मात्रा किसी विशेष वस्तु का वर्णन करती है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के कारण कैसे बदलती है। पत्र डब्ल्यूमैं पानी को एक अक्षर से नामित करूंगा एसमैं सलाद को एक पत्र के साथ नामित करूंगा बी- बोर्श। बोर्स्ट के लिए रैखिक कोणीय फ़ंक्शन इस तरह दिखेंगे।

यदि हम पानी का कुछ भाग और सलाद का कुछ भाग लें, तो वे मिलकर बोर्स्ट के एक भाग में बदल जायेंगे। यहां मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से थोड़ा ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना कैसे सिखाया गया था? यह पता लगाना ज़रूरी था कि वहाँ कितने जानवर होंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें माप की इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हां, किसी भी एक नंबर को किसी अन्य नंबर में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित होने का एक सीधा रास्ता है - हम इसे समझ से बाहर करते हैं, समझ से बाहर क्यों करते हैं, और बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, अंतर के तीन स्तरों के कारण, गणितज्ञ केवल एक के साथ काम करते हैं। यह सीखना अधिक सही होगा कि माप की एक इकाई से दूसरी इकाई में कैसे जाना है।

खरगोश, बत्तख और छोटे जानवरों को टुकड़ों में गिना जा सकता है। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बच्चों का संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए एक ऐसी ही समस्या पर नजर डालें। जब आप खरगोश और पैसे जोड़ते हैं तो आपको क्या मिलता है? यहां दो संभावित समाधान हैं.

पहला विकल्प. हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध धनराशि में जोड़ते हैं। हमें अपनी संपत्ति का कुल मूल्य मौद्रिक रूप में मिला।

दूसरा विकल्प. आप हमारे पास मौजूद बैंकनोटों की संख्या में खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। चल संपत्ति की रकम हमें टुकड़ों में मिलेगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक ही जोड़ कानून आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन चलिए अपने बोर्स्ट पर वापस आते हैं। अब हम देख सकते हैं कि रैखिक कोणीय फलनों के विभिन्न कोण मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है. हमारे पास सलाद है, लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। शून्य सलाद (समकोण) के साथ शून्य बोर्स्ट हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है कि। शून्य जोड़ने पर संख्या नहीं बदलती। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि यदि केवल एक पद है और दूसरा पद लुप्त है तो जोड़ स्वयं असंभव है। आप इसके बारे में अपनी इच्छानुसार महसूस कर सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय संक्रियाओं का आविष्कार स्वयं गणितज्ञों द्वारा किया गया था, इसलिए अपने तर्क को फेंक दें और मूर्खतापूर्वक गणितज्ञों द्वारा आविष्कृत परिभाषाओं को रटें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "किसी भी संख्या को इससे गुणा किया जाए" शून्य शून्य के बराबर है”, “पंचर बिंदु शून्य से परे” और अन्य बकवास। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके मन में फिर कभी यह सवाल नहीं आएगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न सभी अर्थ खो देता है: जो चीज़ एक संख्या नहीं है उसे एक संख्या कैसे माना जा सकता है ? यह पूछने जैसा है कि किसी अदृश्य रंग को किस रंग के रूप में वर्गीकृत किया जाना चाहिए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना उस पेंट से पेंटिंग करने के समान है जो वहां नहीं है। हमने सूखा ब्रश लहराया और सभी को बताया कि "हमने पेंटिंग की है।" लेकिन मैं थोड़ा विषयांतर हो जाता हूं।

कोण शून्य से अधिक लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास ढेर सारा सलाद है, लेकिन पर्याप्त पानी नहीं है। परिणामस्वरूप, हमें गाढ़ा बोर्स्ट मिलेगा।

कोण पैंतालीस डिग्री है. हमारे पास पानी और सलाद बराबर मात्रा में हैं। यह एकदम सही बोर्स्ट है (मुझे क्षमा करें, रसोइये, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से अधिक, लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास ढेर सारा पानी और थोड़ा सलाद है। आपको तरल बोर्स्ट मिलेगा।

समकोण। हमारे पास पानी है. सलाद के सभी अवशेष यादें हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो एक बार सलाद को चिह्नित करती थी। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है. इस मामले में, रुकें और जब आपके पास पानी हो तो पी लें)))

यहाँ। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

दो दोस्तों के पास एक साझा व्यवसाय में हिस्सेदारी थी। उनमें से एक को मारने के बाद सब कुछ दूसरे के पास चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उद्भव।

ये सभी कहानियाँ रैखिक कोणीय फलनों का उपयोग करके गणित की भाषा में बताई गई हैं। फिर कभी मैं आपको गणित की संरचना में इन कार्यों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट त्रिकोणमिति पर लौटें और अनुमानों पर विचार करें।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

मैंने इसके बारे में एक दिलचस्प वीडियो देखा ग्रुंडी श्रृंखला एक घटा एक जमा एक घटा एक - नंबरफ़ाइल. गणितज्ञ झूठ बोलते हैं. उन्होंने अपने तर्क के दौरान समानता की जाँच नहीं की।

इसके बारे में मेरे विचार प्रतिध्वनित होते हैं।

आइए उन संकेतों पर करीब से नज़र डालें जो बताते हैं कि गणितज्ञ हमें धोखा दे रहे हैं। तर्क की शुरुआत में ही, गणितज्ञों का कहना है कि किसी अनुक्रम का योग इस बात पर निर्भर करता है कि उसमें तत्वों की संख्या सम है या नहीं। यह एक वस्तुनिष्ठ रूप से स्थापित तथ्य है। आगे क्या होता है?

इसके बाद, गणितज्ञ एकता में से अनुक्रम घटा देते हैं। इससे क्या होता है? इससे अनुक्रम के तत्वों की संख्या में परिवर्तन होता है - एक सम संख्या एक विषम संख्या में बदल जाती है, एक विषम संख्या एक सम संख्या में बदल जाती है। आख़िरकार, हमने अनुक्रम में एक के बराबर एक तत्व जोड़ा। तमाम बाहरी समानताओं के बावजूद, परिवर्तन से पहले का क्रम, परिवर्तन के बाद के अनुक्रम के बराबर नहीं है। भले ही हम अनंत अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हों, हमें याद रखना चाहिए कि विषम संख्या में तत्वों वाला अनंत अनुक्रम तत्वों की सम संख्या वाले अनंत अनुक्रम के बराबर नहीं है।

विभिन्न तत्वों की संख्या वाले दो अनुक्रमों के बीच एक समान चिह्न लगाकर, गणितज्ञ दावा करते हैं कि अनुक्रम का योग अनुक्रम में तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जो एक उद्देश्यपूर्ण रूप से स्थापित तथ्य का खंडन करता है। अनंत अनुक्रम के योग के बारे में आगे का तर्क गलत है, क्योंकि यह झूठी समानता पर आधारित है।

यदि आप देखते हैं कि गणितज्ञ प्रमाणों के दौरान कोष्ठक लगाते हैं, गणितीय अभिव्यक्ति के तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, कुछ जोड़ते या हटाते हैं, तो बहुत सावधान रहें, सबसे अधिक संभावना है कि वे आपको धोखा देने की कोशिश कर रहे हैं। कार्ड जादूगरों की तरह, गणितज्ञ आपका ध्यान भटकाने के लिए अभिव्यक्ति के विभिन्न हेरफेरों का उपयोग करते हैं ताकि अंततः आपको गलत परिणाम मिल सके। यदि आप धोखे के रहस्य को जाने बिना कार्ड ट्रिक को दोहरा नहीं सकते हैं, तो गणित में सब कुछ बहुत सरल है: आपको धोखे के बारे में कुछ भी संदेह नहीं है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति के साथ सभी जोड़तोड़ को दोहराने से आप दूसरों को इसकी शुद्धता के बारे में आश्वस्त कर सकते हैं। परिणाम प्राप्त हुआ, ठीक वैसे ही जब-उन्होंने आपको आश्वस्त किया।

दर्शकों से प्रश्न: अनंत (अनुक्रम एस में तत्वों की संख्या के रूप में) सम है या विषम? आप किसी ऐसी चीज़ की समता कैसे बदल सकते हैं जिसमें कोई समता नहीं है?

अनंत गणितज्ञों के लिए है, जैसे स्वर्ग का राज्य पुजारियों के लिए है - कोई भी वहां कभी नहीं गया है, लेकिन हर कोई जानता है कि वहां सब कुछ कैसे काम करता है))) मैं सहमत हूं, मृत्यु के बाद आप बिल्कुल उदासीन रहेंगे चाहे आप सम या विषम संख्या में जिए हों दिनों की, लेकिन... आपके जीवन की शुरुआत में सिर्फ एक दिन जोड़ने पर, हमें एक बिल्कुल अलग व्यक्ति मिलेगा: उसका अंतिम नाम, पहला नाम और संरक्षक बिल्कुल वही हैं, केवल जन्म तिथि पूरी तरह से अलग है - वह था आपसे एक दिन पहले पैदा हुआ.

अब मुद्दे पर आते हैं))) मान लीजिए कि एक परिमित अनुक्रम जिसमें समता है, अनंत तक जाने पर यह समता खो देता है। फिर अनंत अनुक्रम के किसी भी परिमित खंड को समता खोनी होगी। ये हमें नहीं दिखता. तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से नहीं कह सकते हैं कि अनंत अनुक्रम में तत्वों की संख्या सम या विषम है या नहीं, इसका मतलब यह नहीं है कि समता गायब हो गई है। समता, यदि मौजूद है, तो अनंत में एक निशान के बिना गायब नहीं हो सकती, जैसे कि एक शार्पी की आस्तीन में। इस मामले के लिए एक बहुत अच्छा सादृश्य है.

क्या आपने कभी घड़ी में बैठी कोयल से पूछा है कि घड़ी की सुई किस दिशा में घूमती है? उसके लिए, तीर विपरीत दिशा में घूमता है जिसे हम "घड़ी की दिशा" कहते हैं। यह भले ही विरोधाभासी लगे, लेकिन घूर्णन की दिशा पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि हम घूर्णन को किस तरफ से देखते हैं। और इसलिए, हमारे पास एक पहिया है जो घूमता है। हम यह नहीं कह सकते कि घूर्णन किस दिशा में होता है, क्योंकि हम इसे घूर्णन तल के एक ओर से और दूसरी ओर से देख सकते हैं। हम केवल इस तथ्य की गवाही दे सकते हैं कि घूर्णन होता है। अनंत अनुक्रम की समता के साथ पूर्ण सादृश्य एस.

अब एक दूसरा घूमने वाला पहिया जोड़ते हैं, जिसके घूमने का तल पहले घूमने वाले पहिये के घूमने के तल के समानांतर है। हम अभी भी निश्चित रूप से नहीं कह सकते कि ये पहिये किस दिशा में घूमते हैं, लेकिन हम यह बिल्कुल बता सकते हैं कि दोनों पहिये एक ही दिशा में घूमते हैं या विपरीत दिशा में। दो अनंत अनुक्रमों की तुलना करना एसऔर 1-एस, मैंने गणित की सहायता से दिखाया कि इन अनुक्रमों में अलग-अलग समानताएँ हैं और उनके बीच समान चिह्न लगाना एक गलती है। व्यक्तिगत रूप से, मुझे गणित पर भरोसा है, मुझे गणितज्ञों पर भरोसा नहीं है))) वैसे, अनंत अनुक्रमों के परिवर्तनों की ज्यामिति को पूरी तरह से समझने के लिए, अवधारणा को पेश करना आवश्यक है "एक साथ". इसे खींचने की आवश्यकता होगी.

बुधवार, 7 अगस्त 2019

के बारे में बातचीत समाप्त करते हुए, हमें एक अनंत समुच्चय पर विचार करने की आवश्यकता है। मुद्दा यह है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों को उसी तरह प्रभावित करती है जैसे बोआ कंस्ट्रिक्टर एक खरगोश को प्रभावित करता है। अनंत की कांपती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित कर देती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है. अल्फ़ा वास्तविक संख्या को दर्शाता है। उपरोक्त भावों में समान चिह्न इंगित करता है कि यदि आप अनंत में कोई संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को एक उदाहरण के रूप में लें, तो विचारित उदाहरणों को इस रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह स्पष्ट रूप से साबित करने के लिए कि वे सही थे, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों के साथ आए। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ नृत्य करने वाले ओझाओं के रूप में देखता हूं। अनिवार्य रूप से, वे सभी इस तथ्य पर आते हैं कि या तो कुछ कमरे खाली हैं और नए मेहमान अंदर आ रहे हैं, या कि कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया गया है (बहुत मानवीय तरीके से)। मैंने ऐसे निर्णयों पर अपना दृष्टिकोण सुनहरे बालों वाली एक काल्पनिक कहानी के रूप में प्रस्तुत किया। मेरा तर्क किस पर आधारित है? अनंत संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। जब हम किसी अतिथि के लिए पहला कमरा खाली कर देते हैं, तो आगंतुकों में से एक हमेशा समय के अंत तक अपने कमरे से अगले कमरे तक गलियारे के साथ चलता रहेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खतापूर्ण ढंग से नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन यह "मूर्खों के लिए कोई कानून नहीं लिखा जाता" की श्रेणी में होगा। यह सब इस पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: वास्तविकता को गणितीय सिद्धांतों के अनुसार समायोजित करना या इसके विपरीत।

"अंतहीन होटल" क्या है? अनंत होटल एक ऐसा होटल है जिसमें हमेशा किसी भी संख्या में खाली बिस्तर होते हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि अंतहीन "आगंतुक" गलियारे के सभी कमरे भरे हुए हैं, तो "अतिथि" कमरों वाला एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारों की संख्या अनंत होगी। इसके अलावा, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत संख्या में ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत संख्या में मंजिलें हैं। गणितज्ञ रोजमर्रा की सामान्य समस्याओं से खुद को दूर नहीं कर पा रहे हैं: हमेशा एक ही ईश्वर-अल्लाह-बुद्ध होता है, एक ही होटल होता है, एक ही गलियारा होता है। इसलिए गणितज्ञ होटल के कमरों की क्रम संख्या को जोड़ने की कोशिश कर रहे हैं, और हमें आश्वस्त कर रहे हैं कि "असंभव को आगे बढ़ाना" संभव है।

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण का उपयोग करके आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देना होगा: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि संख्याओं का आविष्कार हमने स्वयं किया है; प्रकृति में संख्याओं का अस्तित्व नहीं है। हाँ, प्रकृति गिनती करने में माहिर है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जिनसे हम परिचित नहीं हैं। मैं तुम्हें फिर कभी बताऊंगा कि प्रकृति क्या सोचती है। चूंकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, इसलिए हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं। आइए दोनों विकल्पों पर विचार करें, जैसा कि वास्तविक वैज्ञानिकों को करना चाहिए।

विकल्प एक. "हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक एकल सेट, जो शेल्फ पर शांति से रखा हुआ है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्या नहीं बची है और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक भी नहीं जोड़ सकते, क्योंकि यह हमारे पास पहले से ही मौजूद है। यदि आप वास्तव में चाहते हैं तो क्या होगा? कोई बात नहीं। हम जो सेट पहले ही ले चुके हैं उसमें से एक ले सकते हैं और उसे शेल्फ में वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक ले सकते हैं और जो हमारे पास बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त होगा। आप हमारे सभी जोड़तोड़ को इस प्रकार लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों की विस्तृत सूची के साथ, बीजगणितीय नोटेशन और सेट सिद्धांत नोटेशन में क्रियाओं को लिखा। सबस्क्रिप्ट इंगित करती है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का केवल और केवल एक सेट है। इससे पता चलता है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब उसमें से एक घटा दिया जाए और वही इकाई जोड़ दी जाए।

विकल्प दो. हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। आइए इनमें से एक सेट लें। फिर हम प्राकृतिक संख्याओं के दूसरे सेट से एक लेते हैं और इसे उस सेट में जोड़ते हैं जो हमने पहले ही ले लिया है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी जोड़ सकते हैं। हमें यही मिलता है:

उपस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप एक को अनंत समुच्चय में जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि आप एक अनंत सेट में एक और अनंत सेट जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व शामिल होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का उपयोग गिनती के लिए उसी प्रकार किया जाता है जैसे रूलर का उपयोग मापने के लिए किया जाता है। अब कल्पना करें कि आपने रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ा। यह एक अलग लाइन होगी, मूल लाइन के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को मानें या न मानें - यह आपका अपना मामला है। लेकिन यदि आपको कभी गणितीय समस्याओं का सामना करना पड़े, तो इस बारे में सोचें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा अपनाए गए झूठे तर्क के मार्ग का अनुसरण कर रहे हैं। आख़िरकार, गणित का अध्ययन, सबसे पहले, हमारे अंदर सोच की एक स्थिर रूढ़ि बनाता है, और उसके बाद ही हमारी मानसिक क्षमताओं में वृद्धि करता है (या, इसके विपरीत, हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करता है)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख की पोस्टस्क्रिप्ट समाप्त कर रहा था और विकिपीडिया पर यह अद्भुत पाठ देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र चरित्र नहीं था और यह एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था।"

बहुत खूब! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियाँ कितनी अच्छी तरह देख पाते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी सन्दर्भ में देखना हमारे लिए कठिन है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा व्याख्या करते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार प्रकृति में समग्र नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित, असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए ज्यादा दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से भिन्न हैं। गणित की विभिन्न शाखाओं में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट गलतियों के लिए प्रकाशनों की एक पूरी श्रृंखला समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

किसी समुच्चय को उपसमुच्चय में कैसे विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, आपको माप की एक नई इकाई दर्ज करनी होगी जो चयनित सेट के कुछ तत्वों में मौजूद है। आइए एक उदाहरण देखें.

हमारे पास बहुत कुछ हो एचार लोगों से मिलकर। यह समुच्चय "लोग" के आधार पर बना है आइए इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर से निरूपित करें ए, एक संख्या वाली सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रम संख्या को इंगित करेगी। आइए माप की एक नई इकाई "लिंग" का परिचय दें और इसे अक्षर से निरूपित करें बी. चूँकि यौन विशेषताएँ सभी लोगों में अंतर्निहित होती हैं, हम समुच्चय के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग के आधार पर बी. ध्यान दें कि हमारा "लोगों" का समूह अब "लिंग विशेषताओं वाले लोगों" का समूह बन गया है। इसके बाद हम लैंगिक विशेषताओं को पुरुष में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाओं की बी.डब्ल्यूयौन विशेषताएँ. अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन विशेषताओं में से एक का चयन करते हैं, चाहे कोई भी हो - पुरुष या महिला। यदि किसी व्यक्ति के पास यह है तो हम इसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है तो हम इसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम नियमित स्कूली गणित का उपयोग करते हैं। देखो क्या हुआ.

गुणन, कटौती और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुषों का उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक उपसमूह बउ. गणितज्ञ जब सेट सिद्धांत को व्यवहार में लागू करते हैं तो लगभग उसी तरह से तर्क करते हैं। लेकिन वे हमें विवरण नहीं बताते हैं, लेकिन हमें अंतिम परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उपसमूह और महिलाओं का एक उपसमूह होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: ऊपर उल्लिखित परिवर्तनों में गणित को कितनी सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने का साहस करता हूं कि, संक्षेप में, परिवर्तन सही ढंग से किए गए थे; यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित की अन्य शाखाओं के गणितीय आधार को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा.

जहां तक ​​सुपरसेट का सवाल है, आप इन दोनों सेटों के तत्वों में मौजूद माप की इकाई का चयन करके दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ सकते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप की इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत का अवशेष बनाते हैं। सेट सिद्धांत के साथ सब कुछ ठीक नहीं होने का संकेत यह है कि गणितज्ञ सेट सिद्धांत के लिए अपनी भाषा और संकेतन लेकर आए हैं। गणितज्ञों ने एक बार जादूगरों की तरह काम किया था। केवल जादूगर ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। वे हमें यह "ज्ञान" सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको यह दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ कैसे हेरफेर करते हैं
मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... वे सभी किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार करते थे। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चाएँ आज भी जारी हैं; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना पाया है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस स्थिर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की स्थिर इकाइयों में रहें और पारस्परिक इकाइयों पर स्विच न करें। ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। किसी कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य का निर्धारण नहीं कर सकते (बेशक, आपको अभी भी गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) ). मैं जिस बात पर विशेष ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
मैं आपको एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "मुँहासे में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना भी हैं। उसके बाद, हम "संपूर्ण" का हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह से जादूगर अपने निर्धारित सिद्धांत को वास्तविकता से जोड़कर अपना भोजन प्राप्त करते हैं।

अब चलिए एक छोटी सी ट्रिक करते हैं. आइए "एक धनुष के साथ एक दाना के साथ ठोस" लें और लाल तत्वों का चयन करते हुए, रंग के अनुसार इन "संपूर्ण" को मिलाएं। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब अंतिम प्रश्न: क्या परिणामी सेट "धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या दो अलग-अलग सेट हैं? इसका उत्तर केवल ओझा ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही होगा।

यह सरल उदाहरण दर्शाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक दाना और एक धनुष के साथ लाल ठोस" का एक सेट बनाया। माप की चार अलग-अलग इकाइयों में गठन हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (पिम्पली), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट ही हमें गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करने की अनुमति देता है. यह है जो ऐसा लग रहा है।

विभिन्न सूचकांकों वाला अक्षर "ए" माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। माप की इकाइयाँ जिनके द्वारा प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" को प्रतिष्ठित किया जाता है, कोष्ठक में हाइलाइट किया गया है। माप की वह इकाई जिससे सेट बनता है, कोष्ठक से हटा दिया जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का एक तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, तंबूरा के साथ जादूगरों का नृत्य नहीं। शमां "सहज ज्ञान" से उसी परिणाम पर आ सकते हैं, यह तर्क देते हुए कि यह "स्पष्ट" है, क्योंकि माप की इकाइयाँ उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार का हिस्सा नहीं हैं।

माप की इकाइयों का उपयोग करके, एक सेट को विभाजित करना या कई सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

पूर्ण संख्या का क्या मतलब है?

तो, आइए देखें कि किन संख्याओं को पूर्णांक कहा जाता है।

इस प्रकार, निम्नलिखित संख्याओं को पूर्णांकों द्वारा दर्शाया जाएगा: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$, आदि।

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय पूर्णांकों के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है, अर्थात्। कोई भी प्राकृत संख्या एक पूर्णांक होगी, लेकिन प्रत्येक पूर्णांक एक प्राकृत संख्या नहीं होती।

धनात्मक पूर्णांक और ऋणात्मक पूर्णांक

परिभाषा 2

प्लस.

संख्याएँ $3, 78, 569, 10450$ धनात्मक पूर्णांक हैं।

परिभाषा 3

हस्ताक्षरित पूर्णांक हैं ऋण.

संख्याएँ $−3, −78, −569, -10450$ ऋणात्मक पूर्णांक हैं।

नोट 1

संख्या शून्य न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक पूर्णांक है।

सकारात्मक पूर्णांकशून्य से बड़े पूर्णांक हैं.

ऋणात्मक पूर्णांकशून्य से छोटे पूर्णांक हैं.

प्राकृत पूर्णांकों का समुच्चय सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है, और सभी विपरीत प्राकृत संख्याओं का समुच्चय सभी ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है।

गैर-धनात्मक और गैर-नकारात्मक पूर्णांक

सभी धनात्मक पूर्णांक और शून्य कहलाते हैं गैर-ऋणात्मक पूर्णांक.

गैर-धनात्मक पूर्णांकसभी ऋणात्मक पूर्णांक और संख्या $0$ हैं।

नोट 2

इस प्रकार, गैर-नकारात्मक पूर्णांकशून्य से बड़े या शून्य के बराबर पूर्णांक हैं, और गैर-धनात्मक पूर्णांक- शून्य से कम या शून्य के बराबर पूर्णांक।

उदाहरण के लिए, गैर-धनात्मक पूर्णांक: $−32, −123, 0, −5$, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक: $54, 123, 0, 856,342.$

पूर्णांकों का उपयोग करके मात्राओं में परिवर्तन का वर्णन करना

पूर्णांकों का उपयोग वस्तुओं की संख्या में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1

किसी स्टोर को एक निश्चित संख्या में उत्पाद नाम बेचने दें। जब स्टोर को $520$ की वस्तुएं प्राप्त होती हैं, तो स्टोर में वस्तुओं की संख्या बढ़ जाएगी, और $520$ की संख्या सकारात्मक दिशा में संख्या में बदलाव को दर्शाती है। जब स्टोर $50$ के उत्पाद आइटम बेचता है, तो स्टोर में उत्पाद आइटमों की संख्या कम हो जाएगी, और $50$ की संख्या नकारात्मक दिशा में संख्या में बदलाव को व्यक्त करेगी। यदि स्टोर न तो सामान वितरित करता है और न ही बेचता है, तो सामान की संख्या अपरिवर्तित रहेगी (यानी, हम संख्या में शून्य परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं)।

उपरोक्त उदाहरण में, वस्तुओं की संख्या में परिवर्तन को क्रमशः पूर्णांक $520$, $−50$ और $0$ का उपयोग करके वर्णित किया गया है। पूर्णांक $520$ का एक सकारात्मक मान संख्या में सकारात्मक दिशा में बदलाव को इंगित करता है। पूर्णांक $−50$ का ऋणात्मक मान संख्या में ऋणात्मक दिशा में परिवर्तन को दर्शाता है। पूर्णांक $0$ इंगित करता है कि संख्या अपरिवर्तनीय है।

पूर्णांकों का उपयोग करना सुविधाजनक है क्योंकि... संख्या में वृद्धि या कमी के स्पष्ट संकेत की कोई आवश्यकता नहीं है - पूर्णांक का चिह्न परिवर्तन की दिशा को इंगित करता है, और मान मात्रात्मक परिवर्तन को इंगित करता है।

पूर्णांकों का उपयोग करके आप न केवल मात्रा में परिवर्तन, बल्कि किसी भी मात्रा में परिवर्तन भी व्यक्त कर सकते हैं।

आइए किसी उत्पाद की लागत में बदलाव के एक उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण 2

मूल्य में वृद्धि, उदाहरण के लिए, $20$ रूबल द्वारा, एक सकारात्मक पूर्णांक $20$ का उपयोग करके व्यक्त की जाती है। उदाहरण के लिए, कीमत में $5$ रूबल की कमी को ऋणात्मक पूर्णांक $−5$ का उपयोग करके वर्णित किया गया है। यदि मूल्य में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तो ऐसा परिवर्तन पूर्णांक $0$ का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।

आइए ऋण की राशि के रूप में ऋणात्मक पूर्णांकों के अर्थ पर अलग से विचार करें।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति के पास $5,000$ रूबल हैं। फिर, सकारात्मक पूर्णांक $5,000$ का उपयोग करके, आप उसके पास मौजूद रूबल की संख्या दिखा सकते हैं। एक व्यक्ति को $7,000$ रूबल की राशि में किराया देना होगा, लेकिन उसके पास उस तरह का पैसा नहीं है, ऐसी स्थिति में ऐसी स्थिति को नकारात्मक पूर्णांक $-7,000$ द्वारा वर्णित किया जाता है। इस मामले में, व्यक्ति के पास $−7,000$ रूबल हैं, जहां "-" ऋण को इंगित करता है, और संख्या $7,000$ ऋण की राशि को इंगित करती है।

यदि हम प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला के बाईं ओर संख्या 0 जोड़ते हैं, तो हमें प्राप्त होता है सकारात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

ऋणात्मक पूर्णांक

आइए एक छोटा सा उदाहरण देखें. बाईं ओर की तस्वीर एक थर्मामीटर दिखाती है जो 7 डिग्री सेल्सियस का तापमान दिखाता है। यदि तापमान 4 डिग्री सेल्सियस गिर जाता है, तो थर्मामीटर 3 डिग्री सेल्सियस गर्मी दिखाएगा। तापमान में कमी घटाव की क्रिया से मेल खाती है:

ध्यान दें: सभी डिग्रियाँ C (सेल्सियस) अक्षर से लिखी जाती हैं, डिग्री चिह्न को संख्या से एक स्थान द्वारा अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 7°C.

यदि तापमान 7 डिग्री सेल्सियस गिर जाता है, तो थर्मामीटर 0 डिग्री सेल्सियस दिखाएगा। तापमान में कमी घटाव की क्रिया से मेल खाती है:

यदि तापमान 8 डिग्री सेल्सियस तक गिर जाता है, तो थर्मामीटर -1 डिग्री सेल्सियस (शून्य से 1 डिग्री सेल्सियस नीचे) दिखाएगा। लेकिन 7 - 8 घटाने का परिणाम प्राकृतिक संख्याओं और शून्य का उपयोग करके नहीं लिखा जा सकता है।

आइए सकारात्मक पूर्णांकों की एक श्रृंखला का उपयोग करके घटाव का वर्णन करें:

1) संख्या 7 से बायीं ओर की 4 संख्याएँ गिनें और 3 प्राप्त करें:

2) संख्या 7 से बायीं ओर की 7 संख्याएँ गिनें और 0 प्राप्त करें:

धनात्मक पूर्णांकों की श्रृंखला में संख्या 7 से बायीं ओर की 8 संख्याओं को गिनना असंभव है। क्रियाएँ 7-8 को व्यवहार्य बनाने के लिए, हम धनात्मक पूर्णांकों की सीमा का विस्तार करते हैं। ऐसा करने के लिए, शून्य के बाईं ओर, हम सभी प्राकृतिक संख्याओं को क्रम में (दाएं से बाएं) लिखते हैं, उनमें से प्रत्येक में - चिन्ह जोड़ते हैं, जो दर्शाता है कि यह संख्या शून्य के बाईं ओर है।

प्रविष्टियाँ -1, -2, -3, ... माइनस 1, माइनस 2, माइनस 3, आदि पढ़ें:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

संख्याओं की परिणामी श्रृंखला कहलाती है पूर्णांकों की श्रृंखला. इस प्रविष्टि में बाएँ और दाएँ बिंदुओं का अर्थ है कि श्रृंखला को दाएँ और बाएँ अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है।

इस पंक्ति में संख्या 0 के दाईं ओर संख्याएँ कहलाती हैं प्राकृतिकया सकारात्मक पूर्णांक(संक्षेप में - सकारात्मक).

इस पंक्ति में संख्या 0 के बाईं ओर संख्याएँ कहलाती हैं पूर्णांक नकारात्मक(संक्षेप में - नकारात्मक).

संख्या 0 एक पूर्णांक है, लेकिन न तो धनात्मक और न ही ऋणात्मक संख्या है। यह धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को अलग करता है।

इस तरह, पूर्णांकों की श्रृंखला में ऋणात्मक पूर्णांक, शून्य और धनात्मक पूर्णांक होते हैं.

पूर्णांक तुलना

दो पूर्णांकों की तुलना करें- इसका अर्थ है यह पता लगाना कि कौन सा बड़ा है, कौन सा छोटा है, या यह निर्धारित करना कि संख्याएँ समान हैं।

आप पूर्णांकों की एक पंक्ति का उपयोग करके पूर्णांकों की तुलना कर सकते हैं, क्योंकि यदि आप पंक्ति में बाएँ से दाएँ चलते हैं तो इसमें संख्याएँ सबसे छोटी से सबसे बड़ी की ओर व्यवस्थित होती हैं। इसलिए, पूर्णांकों की श्रृंखला में, आप अल्पविराम को इससे कम चिह्न से बदल सकते हैं:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

इस तरह, दो पूर्णांकों में, श्रृंखला में दाईं ओर वाली संख्या जितनी बड़ी होगी, और बाईं ओर वाली संख्या उतनी ही छोटी होगी, मतलब:

1) कोई भी धनात्मक संख्या शून्य से बड़ी और किसी भी ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है:

1 > 0; 15 > -16

2) शून्य से कम कोई भी ऋणात्मक संख्या:

7 < 0; -357 < 0

3) दो ऋणात्मक संख्याओं में से, जो पूर्णांकों की श्रृंखला में दाईं ओर है वह बड़ी है।