Як рахувати щасливий квиток. Що робити зі щасливим квитком: народні прикмети та забобони
Скільки є способів заплатити 50 центів? Ми вважаємо, що можна платити пенні 1 , нікелями 5 , даймами 10 , четвертаками 25 і напівдоларами 50 . Дьорд Пойа популяризував це завдання, продемонструвавши повчальний спосіб її вирішення за допомогою функцій, що виробляють.
Запишемо нескінченну суму, що представляє всі можливі способи обміну. Почати найпростіше з нагоди, коли є менше різновидів монет, тому припустимо для початку, що у нас немає жодних монет, крім пенні. Суму всіх способів заплатити певну кількість пенні (і тільки пенні) можна записати у вигляді
оскільки кожен варіант виплати включає деяку кількість нікелів, що вибираються з першого множника, і деяка кількість пенні, що вибираються з P. (Зверніть увагу, що N не дорівнюєсумі 1 + 1 + 5 + (1 + 5) 2 + (1 + 5) 3 + ..., оскільки ця сума включає багато видів виплат більш ніж по одному разу. Наприклад, член (1 + 5 ) 2 = 1 1 + 1 5 + 5 1 + 5 5 трактує 1 5 і 5 1 , ніби вони були різними, але ми хочемо перерахувати всі множини монет по одному разу безвідносно до їх порядку. )
Аналогічно, якщо допустити ще й дайми, то отримаємо нескінченну суму
Наше завдання полягає в тому, щоб знайти, скільки доданків у Cкоштують рівно 50 центів.
Завдання вирішується за допомогою простого трюку. Замінимо 1 на z, 5 на z 5, 10 на z 10, 25 на z 25 та 50 на z 50 . Кожен доданок тоді заміниться на z n, де nвартість вихідного доданку в пенні. Наприклад, доданок 50 10 5 5 1 перетвориться на z 50+10+5+5+1 = z 71 . Кожен із чотирьох можливих способів заплатити 13 центів, а саме, 10 1 3 , 5 1 8 , 5 2 1 3 і 1 13 , зведеться до z 13; отже, коефіцієнтом при z 13 після z-Підстановки буде 4.
Нехай P n, N n, D n, Q n та C n позначають кількість способів заплатити суму в nцентів, якщо можна використовувати монети не старше, відповідно, 1, 5, 10, 25 та 50 центів. Наш аналіз показав, що ці числа суть коефіцієнти при z nу відповідних статечних рядах
| P = | 1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + ... , |
| N = | (1 + z 5 + z 10 + z 15 + z 20 + ...)P, |
| D = | (1 + z 10 + z 20 + z 30 + z 40 + ...)N, |
| Q = | (1 + z 25 + z 50 + z 75 + z 100 + ...)D, |
| C = | (1 + z 50 + z 100 + z 150 + z 200 + ...)Q. |
Очевидно, що P n= 1 для всіх n≥0. за короткому роздумілегко довести, що N n = [n/5] + 1: щоб скласти суму в nцентів з пенні та нікелів, ми повинні взяти 0, або 1, або..., або [ n/5] нікелів, після чого залишиться лише єдиний спосіб вибрати необхідну кількість пенні. Отже, значення P nі N nлегко обчислюються, проте з D n , Q nі C nсправа набагато складніша.
Один із підходів до дослідження цих формул ґрунтується на зауваженні, що 1 + z m + z 2m+ ... є просто 1/(1 | z m). Отже, ми можемо записати
Тепер, прирівнюючи коефіцієнти при z nу цих рівняннях отримаємо рекурентні співвідношення, з яких бажані коефіцієнти легко обчислюються:
Наприклад, коефіцієнт при z nв D= (1 | z 25)Qдорівнює Q n Q n 25; тому має бути Q n Q n 25 = D n, як і записано вище.
Можна було б розкрити ці співвідношення та висловити Q nнаприклад, у вигляді Q n = D n + D n 25 + D n 50+ D n 75 + ..., де сума обривається, коли індекси стають негативними. Проте, вихідна, неітеративна форма зручна тим, кожен коефіцієнт обчислюється з допомогою лише однієї складання, як і трикутнику Паскаля.
Використовуємо ці співвідношення, щоб знайти C 50 . По перше, C 50 = C 0 + Q 50, так що нам потрібно знати Q 50 . Далі, Q 50 = Q 25 + D 50 і Q 25 = Q 0 + D 25; тому нас також цікавлять D 50 і D 25 . Ці значення D nу свою чергу, залежать від D 40 , D 30 , D 20 , D 15 , D 10 і D 5 і від N 50 , N 45 , ..., N 5 . Таким чином, щоб визначити всі необхідні коефіцієнти, достатньо виконати прості обчислення:
| n | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| P n | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| N n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| D n | 1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 12 | 16 | 25 | 36 | ||
| Q n | 1 | 13 | 49 | ||||||||
| C n | 1 | 50 | |||||||||
У самому низу таблиці знаходиться відповідь C 50: є рівно 50 способів дати 50 центів "на чай".
А що можна сказати про замкнуту форму для C n? Перемноження всіх рівнянь дає нам компактний вираз для функції, що виробляє
яка є раціональною функцією від z, знаменник якої має ступінь 91. Таким чином, ми можемо розкласти знаменник на 91 множник і виразити C nу «замкнутому вигляді», що складається з 91 доданку. Але такий жахливий вираз не лізе в жодні ворота. Чи не можна в цьому випадку знайти щось краще, а не застосовувати загальний метод?
А ось і перший проблиск надії: якщо в C(z) замінити 1/(1 | z) на (1 + z + z 2 + z 3 + z 4) / (1 | z 5):
то ступінь знаменника «стиснутої» функції Č (z) вже тільки 19, так що ця функція набагато краща за вихідну. Новий вираз для C(z) показує, зокрема, що C 5n = C 5n+1 = C 5n+2 = C 5n+3 = C 5n+4; і справді, це співвідношення легко пояснити: чайові в 53 центи можна дати рівно стільки ж способами, як і чайові в 50 центів, оскільки кількість пенні за модулем 5 заздалегідь відома.
Однак навіть для Č (z) немає простого висловлювання, заснованого на коренях знаменника. Ймовірно, найпростіший спосібобчислення коефіцієнтів Č (z) вийде, якщо помітити, що кожен співмножник у знаменнику є дільником 1 | z 10 . Отже, ми можемо записати
Ось, для повноти картини, розгорнутий вираз для A(z):
(1 + z + ... + z 9) 2 (1 + z 2 + ... + z 8)(1 + z 5) =
= 1 + 2z + 4z 2 + 6z 3 + 9z 4 + 13z 5 + 18z 6 + 24z 7 +
+ 31z 8 + 39z 9 + 45z 10 + 52z 11 +57z 12 + 63z 13 + 67z 14 + 69z 15 +
+ 69z 16 + 67z 17 + 63z 18 + 57z 19 + 52z 20 + 45z 21 + 39z 22 + 31z 23 +
+ 24z 24 + 18z 25 + 13z 26 + 9z 27 + 6z 28 + 4z 29 + 2z 30 + z 31 .
І, на завершення, скориставшись тим, що
отримуємо наступний вираз для коефіцієнтів Č nпри ступенях z nу розкладанні функції Č (z), в котрому n = 10q + rта 0≤ r<1 0:
| Č 10q+r = | ∑ | A j | ( | k + 4 k |
) | = | ||||||||||||||||
| j, k 10k+j=n |
||||||||||||||||||||||
| = A r | ( | q + 4 q |
) | + A r+10 | ( | q + 3 q |
) | + A r+20 | ( | q + 2 q |
) | + A r+30 | ( | q + 1 q |
) | . |
Тут фактично міститься 10 різних випадків, по одному на кожне значення r; але це все ж таки непогана замкнута формула в порівнянні з альтернативами, що включають ступеня комплексних чисел.
Використовуючи цей вираз, можемо дізнатися, наприклад, значення C 50q = Č 10q. Тут r=0 , і ми маємо
для суми в 1 долар виходить
| ( | 6 4 |
) | + 45 | ( | 5 4 |
) | + 52 | ( | 4 4 |
) | = 292 способи; |
а для мільйона доларів це число становитиме
| ( | 2000004 4 |
) | + 45 | ( | 2000003 4 |
) | + 52 | ( | 2000002 4 |
) | + 2 | ( | 2000001 4 |
) | = |
= 66666793333412666685000001.
Тема уроку: «Читання та запис багатозначних чисел»
Клас:4
Тип уроку: Урок – закріплення (заочна екскурсія)
Мета уроку: тренування спроможності читання та запису багатозначних чисел, порівняння багатозначних чисел;
подання багатозначного числа у вигляді суми розрядних доданків
Методи навчання:
Форми:
Заплановані результати:
Особистісні:
1 У запропонованих педагогом ситуаціях спілкування та співробітництва, спираючись на загальні для всіх прості
правила поведінки, самостійно робити вибір, який вчинок зробити.
Регулятивні:
1. Вчитися спільно з учителем виявляти та формулювати навчальну проблему
2 Вчитися планувати навчальну діяльність на уроці.
3 Висловлювати свою версію, намагатися пропонувати спосіб її перевірки (на основі продуктивних завдань у
підручнику).
4 Працюючи за запропонованим планом, використовувати необхідні кошти
5 Визначати успішність виконання свого завдання у діалозі з учителем.
6 Визначати мету роботи на уроці за допомогою вчителя та самостійно.
7 Домовлятися з однокласниками спільно з учителем про правила поведінки та спілкування, оцінки та
самооцінки та слідувати їм.
Пізнавальні:
1 Орієнтуватися у своїй системі знань: розуміти, що потрібна додаткова інформація (знання) для
вирішення навчальної задачі за один крок.
2.Робити попередній відбір джерел інформації на вирішення навчальної задачи.
3 Здобувати нові знання: знаходити необхідну інформацію
4 Здобувати нові знання: отримувати інформацію, подану в різних формах (текст, таблиця, схема,
ілюстрація та ін).
5 Переробляти отриману інформацію: спостерігати та робити самостійні висновки.
Комунікативні:
1Донеси свою позицію до інших: оформляти свою думку в усному та письмовому мовленні (на рівні одного
пропозиції чи невеликого тексту).
2. Слухати та розуміти мову інших.
3 Виразно читати та переказувати текст завдання.
4.Вступать у розмову на уроці та в житті.
Читання: робота з інформацією
1.Сприймати на слух і розуміти різні види повідомлень
2. Знаходити інформацію, задану у тексті у вигляді.
Обладнання: схема-опора для читання багатозначних чисел, картка-пам'ятка про розрядний склад
багатозначних чисел, алгоритм представлення числа у вигляді суми розрядних доданків, опорна схема для
порівняння чисел, картки для самостійної роботи, фотографії села, магнітофон, аудіозапис.
Завдання
Етап
Навчальна ситуація
Діяльність вчителя
Організовувати
ь
учнів
на
спільну
діяльність
Організація
аційно
-
мотивація
іонний
Діти, урок математики
мені хотілося б почати з
висловлювання Роджера
Бекон про математику.
Прочитайте праворуч
ліворуч.
УУД, що формуються
Рефлексія
Підготовка учнів до
роботі на уроці:
вироблення на особистісно
значному рівні внутрішньої
готовності до виконання
нормативних вимог
Діяльність
ь
учнів
Той, хто не
знає
математики,
не може
дізнатися
інші
науки і не
може
пізнати
мир.
Як ви розумієте сенс
цього висловлювання?
Актуалізова
ти знання з
темі:
«Читання та
запис
багатозначно
их чисел»
Актуаліз
ація
знань з
темі:
«Читання
і
запис
багатозн
очних
чисел»
Продовжуємо пізнавати
мир. Вирушимо в
подорож, візьмемо з
собою всі свої знання та
вміння. Відкрийте зошити
та запишіть число.
Працюємо в парах
змінного складу
Намагайтеся сформулювати
завдання
627+284=901 (911)
408+592=1000
903-864=39
821-703=104 (118)
Перевірте відповіді та
виправте помилки, якщо
вони є за зразком і за
критеріям, виробленим
нами раніше.
Пізнавальні УУД:
1) формуємо вміння знаходити
та використовувати
потрібну
інформацію
Комунікативні УУД:
1) формуємо вміння слухати та
розуміти інших
2) формуємо вміння будувати
мовленнєве висловлювання в
відповідно до поставлених
завданнями;
3) формуємо вміння
оформляти свої думки в усній
формі;
5) формуємо вміння працювати
в групі
Особистісні УУД:
1) Вміти виконувати самооцінку
на основі критерію успішності
навчальної діяльності
2) формуємо мотивації до
навчання та цілеспрямованої
пізнавальної діяльності;
Регулятивні УУД:
1) формуємо вміння
визначати мету діяльності
на уроці;
2) формуємо вміння оцінювати
навчальні дії в
Знайти
значення
вирази та
виправити
помилки,
якщо вони
є по
еталону та
по
критеріям,
вироблення
ним нами
раніше.
627+284=9
01 (911)
408+592=1
000
903-864=39
821-
703=104
(118)
Критерії:
1. Правильно
застосував порядок
дій при
знаходженні
значення
вирази
2. Правильно знайшов
значення
вирази
відповідно до поставленої
завданням;
3) формуємо вміння
здійснювати пізнавальну та
особистісну рефлексію
Отже, записуємо вираз у
зошит.
Вирішуємо його.
Поміняйтеся зошитами.
«–».
Поміняйтеся зошитами
назад.
зошити, картку та ручку та
пересіли на одне місце.
Змінилися картками.
Записали вираз.
Вирішили.
Поміняйтеся зошитами.
Перевірте, поставте "+" або
«–».
Поміняйтеся зошитами
назад.
2 варіант взяли в руки свої
зошити, картку та ручку та
пересіли на одне місце.
Змінилися картками.
Записали вираз.
Вирішили.
Поміняйтеся зошитами.
Перевірте, поставте "+" або
«–».
Поміняйтеся зошитами
назад.
Хлопці, що вам потрібно було
знати, щоб успішно впоратися
із цим завданням?
Знати порядок
рішення
виразів з
багатозначними
числами
з еталоном.
рівні?
На середньому?
На низькому?
за алгоритмом самооцінки.
Критерії:
1. Правильно
застосував порядок
дій при
знаходженні
значення
вирази
2. Правильно знайшов
значення
вирази
Алгоритм
самооцінки:
Яка була
мета завдання
(Завдання)?
Вдалося
отримати результат
(Рішення, відповідь)?
Правильно або з
помилкою?
Самостійно
чи чиєю – то
допомогою?
Вивести дітей
на проблему
створення
умов для
формулювання
цілі уроку та
постановки
навчальних завдань
Постанов
ка
проблеми
уроку.
Визнач
ення
теми
З якими числами
чи виконували дії?
(Двозначні
ми,
тризначні
ми.)
З якими познайомились
на минулих уроках?
(багатозначно
ними.)
Чому навчилися на
минулому уроці?
На дошці написано:
багатозначні числа:
розрядний склад
запис
читання
порівняння
Читати
багатозначно
е числа,
записувати
багатозначно
е числа
після
попередьте
ного
визнач
я числа
цифр у
кожному
клас;
порозрядно
порівнювати,
представлять
ь
багатозначно
е числа в
вигляді суми
Пізнавальні УУД:
1) формуємо вміння знаходити
та використовувати
потрібну
інформацію
2)
вміння
представляти інформацію в
вигляді таблиці
формуємо
3) самостійне створення
способів вирішення проблем
творчий характер.
Метапредметні УУД
регулятивні:
відрізняти різні види
об'єктів виконуваного
завдання;
здійснювати самоконтроль;
предметні: визначати та
формулювати ціль
діяльності на уроці;
правильно володіти
художні терміни;
порівнювати зразки;
знаходити загальне та різне;
комунікативні:
слухати та розуміти мову
інших;
вміння грамотно (точно,
зрозуміло і розгорнуто) висловлювати
свої думки за допомогою
розмовної мови, під час
відповідей.
розрядних
доданків.
Тема урока:
«Читання та
запис
багатозначно
их чисел»
Завдання
уроку:
тренування
здібності
читання та
записи
багатозначні
х чисел,
порівняння
багатозначні
х чисел;
представлений
іє
багатозначног
про число в
вигляді суми
розрядних
доданків
Давайте спробуєм
сформулювати тему та
завдання уроку.
Урок у нас буде
незвичайний. Ми не лише
показуватимемо свої
знання, але й відкриємо
нові горизонти,
здійснивши заочну
екскурсію на нашу
Самоопр
еделені
е до
діяч
ності
Встановлення
правильності
та усвідомленості
засвоєння
навчального
матеріалу,вияв
лення прогалин
і невірних
уявлень
, їх корекція.
рідному селу.
Що може бути милішим
Старого Тартасу!
Що є ріднішим за наше
села?
Стоїть між річками він на
карті точкою маленької
І наші долі у серці
він увібрав!
1. Читання багатозначних
чисел
Старий Тартас виник,
запишіть та прочитайте
це число, яке
містить 1 одиницю
класу тисяч, 816 одиниць
клас одиниць.
будь-яке
– Як прочитати
Що
багатозначне
зробимо спочатку? (Спочатку число
розбиваємо на класи, по 3 цифри
справа наліво.)
- Що робимо потім? (Читаємо
число одиниць кожного класу,
називаючи його (крім класу
одиниць.)
число?
На дошці схемаопора
1.Розбиваємо на класи:
регулятивні:
порівнювати пропоновані
образи, знаходити в них спільне та
різне
під керівництвом вчителя
на уроці.
Особистісні УУД
Встановлювати зв'язок між
метою та мотивом(навіщо?)
навчальної діяльності,
обговорювати будівлю;
створення творчого та
реалістичний об'єкт.
Завдання;
вміти висловлювати у своїй роботі
ставлення до створюваного
об'єкту.
* * * ’ * * * ’ * * * ’
2.Читаємо, називаючи класи:
мільярди мільйони
тисячі (одиниці)*.
3. У кожному класі три розряди:
сотні, десятки, одиниці.
4. Нуль у записі числа
позначає
відсутність
одиниць даного розряду.
А на якому вигляді
транспорту ми
вирушимо на екскурсію,
ви дізнаєтеся, коли
прочитаєте числа,
написані на квитках.
Автобус-3672650
Метро-9743
Автомобіль-43971
Тролейбус-600542
-Назвіть найбільше
багатозначне число.
Ми мандруємо …
На автобус ти швидше
зараз сідай.
Лише в дорозі не лінуйся!
Застосований
знання
на
практиці
Показати
учням
практичну
значимість
вміння читати
та записувати
багатозначні
числа.
Автобус-
3672650
Метро-9743
Автомобіль-
43971
Тролейбус-
600542
автобусі
регулятивні:
визначати та формулювати
діяльність на уроці;
під керівництвом вчителя,
планувати свою діяльність
на уроці та визначати
послідовність своїх
дій;
проводити аналіз творчої
діяльності;
визначати критерії
порівняння досліджуваного та
засвоєного у правильному
сприйнятті матеріалу (знань)
на уроці та проводити його.
Використовуючи
сигнали, оцініть,
будь ласка, свою
роботу на цьому
етап уроку.
Мені все зрозуміло.
Усе
виконано, вірно!
Я ще маю сумнів.
Припускаюся помилок.
Мені більша частина
завдань незрозуміла.
Мені потрібна допомога
Серед чисел
знайдете
найменше
чотиризна
чне число:
1997
1981
300096
-Це 1981.
2. Подання
багатозначного числа в
вигляді суми розрядних
доданків.
Ми підійшли до
автомобільної зупинки.
Вона була побудована у …
А ось коли вона була
побудована, ви дізнаєтесь,
якщо виконаєте
наступне завдання.
Прочитайте
Як за допомогою таблиці
визначити
кількість
доданків у поданні числа
у вигляді суми розрядних
доданків? (за кількістю цифр,
використовуваних у записі числа
(відмінних від нуля), визначаємо
кількість доданків.)
Зафіксувати на дошці
перший крок алгоритму:
1.Визначити кількість
Відкриття
нових
знань
Ознайомити
учнів з
поняттям
«Розкладанням
числа на суму
розрядних
доданків»,
вивести
правило
Забезпечення
засвоєння нові
Особистісні:
1 У запропонованих
педагогом ситуаціях
спілкування та
співробітництва,
спираючись на загальні
для всіх прості
знань та
способів
дій на
рівні
застосування в
зміненою
ситуації
розрядних доданків (за
кількості відмінних цифр
від нуля)
2.
Як записати кожне
доданок?
Зафіксувати на дошці
другий крок алгоритму:
2.Визначити кількість
нулів у кожному
розрядному доданку
Зафіксувати на дошці
третій крок алгоритму:
3.Записати суму розрядних
доданків
Кожен
наступний
ні цифри в
записи
кожного
доданку
позначимо
нулем.
правила
поведінки, самостійні
ельно робити вибір,
який вчинок
здійснити.
Регулятивні:
1.Вчитися планувати
ь навчальну
діяльність на
уроці.
2. Висловлювати свою
версію, намагатися
пропонувати спосіб її
перевірки (на основі
продуктивних
завдань у підручнику).
3. Домовлятися з
однокласниками
спільно з учителем
про правила поведінки
та спілкування, оцінки та
Алгоритм:
1.Визначити
кількість
розрядних
нуля)
доданків (по
кількості цифр
відмінних від
2.Визначити
кількість
нулів у кожному
розрядному
доданку
Запишемо дані числа в
вигляді суми розрядних
доданків. Картка-
пам'ятка про розрядне
складі багатозначних
чисел нагадає вам як
визначити.
–
Додати 30 одиниць до
числу 1981:
1981
30
2011
Яке число одержали?
Хлопці, цього року був
побудований новий міст
через річку Ом.
Прочитайте таке
завдання
самооцінки та
слідувати їм.
Пізнавальні:
1 Орієнтуватися в
своїй системі
знань: розуміти, що
потрібна
додаткова
інформація (знання)
для вирішення навчальної
Завдання в один крок.
2.Робити попередній
ний відбір джерело
в інформації для
рішення навчальної
завдання.
3. Видобувати нові
знання: отримувати інф
ормацію,
представлену в
різних формах (текст,
1981=1000
+900+80=1
2011
Використовуючи
ці цифри,
запишіть
Усе
чотиризна
чні числа,
котрі не
повинні
3.Записати
суму розрядних
доданків
Картка-
пам'ятка про
розрядному
складі
багатозначних
чисел 1.Нуль в
запису числа
позначає
відсутність
одиниць даного
розряду
2.У кожному
класі три
розряду: сотні,
десятки,
одиниці
Використовуючи
сигнали, оцініть,
будь ласка, свою
роботу на цьому
етап уроку.
Мені все зрозуміло.
Усе
виконано, вірно!
Я ще маю сумнів.
Припускаюся помилок.
Мені більша частина
завдань незрозуміла.
Мені потрібна допомога
повторюватися
.
2110,
2101,1012,
1021 і т.д.
таблиця, схема,
ілюстрація та ін).
4. Переробляти
отриману
інформацію: спостереження
ти і робити самостійно
ті висновки.
Комунікативні
е:
1Донеси свою
позицію до
інших: оформляти своє
ю думка в усній і
письмової мови (на
рівні одного
пропозиції або
невеликий текст).
2.Слухати та розуміти
мова інших.
3.Вступати в бесіду на
уроці.
Читання: робота з
інформацією
1.Сприймати на слух та
розуміти різні
види повідомлень
Фізкул
ьтміну
тка.
Виконав
ення
танцювальна
льних
рухається
ій під
музику
«Ми
їдемо,
їдемо,
їдемо»
Ви багато працювали,
настав час
відпочити.
Звучить запис Ю.
Антонова "Море".
Закрийте очі і
уявіть собі, що
ми серед глибокої
річки. Віє теплий
вітерець, хвилі тихо
похитують нашу
човен. Раптом ви
помітили білу чайку.
Ось вона полетіла
в далечінь, до синього неба.
І ви бачите, як
широко-широко
простягається річка, як
зливається вона з
Синє небо ...
Відкрийте очі.
Показати
учням
практичну
значимість
вміння читати
Застосований
знання
на
практиці
3. Запис багатозначних
чисел.
Наступна зупинка – у
будівлі школи.
Запишіть
числа,
розташувавши
в
спадаючому
регулятивні:
визначати
послідовність своїх
дій на уроці;
та записувати
багатозначні
числа.
Прочитайте речення:
(на дошці)
У 1898 році -
виникла
парафіяльна школа.
Вчитель був
священик.
1934 року –
створено школу
селянської
молоді.
З 1939 року –
восьмирічна
школа.
У 1965 році -
збудовано нове
будинок школи.
Прочитайте, що будемо
робити із цими числами.
Учні школи
упорядковують
територію, садять
дерева, квіти. Давайте
про це вирішимо задачу
підручнику.
Прочитайте.
- Про кого йдеться у
задачі? -
Що відомо?
порядку.
(1965, 1939,
1934, 1898)
аналізувати правильність
виконання завдання;
здійснювати самоконтроль;
пізнавальні:
проводити аналіз своєї
творчу діяльність;
проводити порівняння пояснюючи
його критерії;
вміння користуватися
різноманітними графічними
матеріалами;
комунікативні:
слухати та розуміти мову
інших;
вміння розгорнуто і
точно (зрозуміло та доступно)
висловлювати свої думки під час
відповідей.
(У завданні
розповідається про
четвероклас
сниках.)
В перший
день
посадили
дерева на
ділянці
227м, в
другий-на
ділянці
318м, в
третій
довжина алеї
на 97 м
більше ніж
у другий
день. Довжина
алеї 1 км.
Виконають
чи
доручення
за три дні?
Ні.
1.) + 97
318
415(м) –
у III день
2.) +227
318
415
- Що питається?
- Чи зможемо відразу відповісти
на головне питання
завдання?
I. - 227м
ІІ. - 318м
Ш -? на 97м б.
Самостійно записати
рішення завдання.
Передня перевірка.
-Що дізнаємося спочатку?
1км
Потім?
Ми впоралися з
завданням і час
вирушати в дорогу!
Застосований
знання
на
практиці
Забезпечення
засвоєння нові
знань та
способів
дій на
рівні
застосування в
зміненою
ситуації
960(м) –
за 3 дні.
1км =
1000м
960 < 1000
Відповідь:
доручення
не
виконають.
1909
1935
(1; 5; 3; 9;
–
0)
– Чотиризна
чні.
3
35
9
909, 935
– Відсутність
одиниць даного
Особистісні:
1 У запропонованих
педагогом ситуаціях
спілкування та
співробітництва,
спираючись на загальні
для всіх прості
правила
поведінки, самостійні
ельно робити вибір,
який вчинок
здійснити.
Регулятивні:
1.Вчитися планувати
ь навчальну
І знову в дорогу селом.
Запишіть цифри. У 1909
році була збудована
церква
Але її зруйнували в
1935 року.
– Які цифри використані
для запису цих чисел?
– Як називаються такі цифри?
– Скільки одиниць у розряді
десятків у другого числа?
– Скільки всього десятків у
цьому числі?
– Скільки одиниць у розряді
сотень?
– Скільки всього сотень у цих
числах?
– Що означає нуль у записі
числа?
<
<
<
Опорна схема
для порівняння
чисел.
Самостійна робота
за картками у парах.
-Що спільного у записах?
Порівняння багатозначних
чисел.
Порівняйте числа, користуючись
опорною схемою.
Самоперевірка за зразком.
А зараз звірте своє рішення
з еталоном.
Отже, підніміть руку ті, хто
впорався із завданням на високому
рівні?
розряду.
Це завдання
на
порівняння
багатозначно
их чисел.
583005*583
05
87050*8750
0
340075*347
005
90058*9005
6
749621*748
621
800500*800
505
143317*140
317
180543*180
943
748437*738
437
діяльність на
уроці.
2. Висловлювати свою
версію, намагатися
пропонувати спосіб її
перевірки (на основі
продуктивних
завдань у підручнику).
3. Домовлятися з
однокласниками
спільно з учителем
про правила поведінки
та спілкування, оцінки та
самооцінки та
слідувати їм.
Пізнавальні:
1 Орієнтуватися в
своїй системі
знань: розуміти, що
потрібна
додаткова
На середньому?
На низькому?
Отже, (ім'я учня) оціни себе
за алгоритмом самооцінки.
Алгоритм
самооцінки:
Яка була
мета завдання
(Завдання)?
Вдалося
отримати результат
(Рішення, відповідь)?
Правильно або з
помилкою?
Самостійно
чи чиєю – то
допомогою?
інформація (знання)
для вирішення навчальної
Завдання в один крок.
2.Робити попередній
ний відбір джерело
в інформації для
рішення навчальної
завдання.
3. Видобувати нові
знання: отримувати інф
ормацію,
представлену в
різних формах (текст,
таблиця, схема,
ілюстрація та ін).
4. Переробляти
отриману
інформацію: спостереження
ти і робити самостійно
ті висновки.
Комунікативні
е:
1Донеси свою
позицію до
інших: оформляти своє
ю думка в усній і
письмової мови (на
рівні одного
пропозиції або
невеликий текст).
2.Слухати та розуміти
мова інших.
3.Вступати в бесіду на
уроці.
Читання: робота з
інформацією
1.Сприймати на слух та
розуміти різні
види повідомлень
2. Знаходити інформацію,
задану в тексті
явному вигляді.
Задати дітям
домашнє
завдання
Домашній
її
завдання
Час повертатися додому.
Попереду у нас із вами ще
багато днів, за які
.
ми встигнемо дізнатися про село
більше і поділимося зі
своїми рідними.
Придумати та
записати 4
багатозначні числа,
уявити їх у
вигляді
суми розрядних
доданків.
Подивіться на схему
«Многозначні числа».
Згадайте тему уроку.
-Які завдання ми
виконували на уроці?
-Які знання допомогли
вам із ними впоратися?
Плесніть у долоні ті, хто
задоволений своєю роботою.
-Над чим ще треба
попрацювати?
Прочитайте девіз уроку.
Закрийте очі.
Уявіть урок від
почала до кінця.
- Які горизонти
відкрилися для вас
Підвести підсумок,
виконати
оцінно –
рефлексивну
діяльність
Підвести підсумок,
виконати
оцінно –
рефлексивну
діяльність
Підсумок
уроку.
Оцінно
–
рефлекси
нова
діяльно
сть
Рефлек
ця
навчальної
діяч
ності
на
уроці
Особистісні УУД
встановлення зв'язку між
метою діяльності та її
результатом;
давати свою оцінку
діяльності на уроці;
вміти критично оцінювати
свою роботу на уроці;
Метапредметні УУД
регулятивні:
здійснювати самоконтроль;
давати оцінку діяльності на
уроці (спільно з учителем і
однокласниками);
комунікативні:
вміти точно, розгорнуто і
грамотно висловлювати свої думки.
сьогодні?
Ми з вами не стояли на
місці, та дізналися багато
нового про село, в якому
живемо та зрозуміли:
У нас у країні чудові
селища,
У нас у країні красені –
міста
Але Старий Тартас – наша
Всесвіт:
З нами у серці всюди і
завжди!
І зробити наш край ще
прекрасніше чекає
Вам!
"Щасливий білет"
Усі ми буваємо у транспорті. Дорогою на роботу, додому, до місця відпочинку та
і дуже часто ми купуємо проїзний квиток, що має в більшості
випадків шестизначного номера. Склавши перші три цифри номера квитка та
порівнявши їх із сумою другої трійки цифр ми і визначаємо «щасливість»
цього квитка. Зі «щасливим» номером все більш-менш зрозуміло і
більшості відомо. А інші, відмінні від нуля цифри? Зрозуміло, що
різниця цифр варіюється від 0 до 27. Так і народилася ця табличка.
Дія квитка тривіальна (до речі, є його зовсім не обов'язково!) -
квиток діє протягом доби з моменту активації або до придбання
наступного квитка з номером, що нічого не означає. Активація квитка
відбувається після зчитування номера та усвідомлення його значення – так
сказати, магічний ритуал.
(Примітка. Якщо наступний квиток має самостійне значення, а
попередній ще погашений - одне значення накладається інше. Ну,
наприклад - ви взяли квиток із різницею в цифрах = 1 = - що означає
побачення. Пересіли на інший транспорт, нікого знайомого не зустрівши.
тобто квиток ще активний і не спрацював. Взяли новий квиток - а у
Його різниця цифр = 7 = - тобто вапна. Так що чи може статися
дві події, або вони сольються в одну – на побаченні ви ще отримаєте
звістка («Я вагітна!» – жарт…). Ну і таке інше. Комбінації з
послідовності трьох чисел авторами не випробовувалися - немає великих
статистичних даних при їзді з трьома пересадками - рідкість,
розумієте).
Ця схема визначена дослідним шляхом. Як у будь-якому експериментальному
справі, можливі похибки. Надсилайте ваші спостереження і вони будуть
враховано наступного разу.
Різниця цифр Значення Тлумачення
0 Удача Яка-небудь задумана справа закінчиться вдало або вам у
чимось явно поталанить.
1 Побачення Ви зустрінете людину, яку будете раді побачити (зустріч
особиста, не по роботі).
2 Зустріч У вас відбудеться ділова зустріч.
3 Повтор Щось доведеться повторити, а інакше – не вийде.
4 Попередження Будьте уважні! Сьогодні ви можете запізнитись до пункту
призначення! Не розслабляйтесь і все буде вдало. Але якщо позуєтесь -
запізнення гарантоване!
5 Приємність Приємна зустріч чи подія покращать вам настрій!
6 Неприємність Неприємна зустріч чи подія можуть зіпсувати вам
настрій. Чи не переживайте сильно!
7 Звістка Ви від кого-небудь отримаєте звістку!
8 Хаос Щось сьогодні не зможе зростатися, зістикуватися, завершитися…
9 Завершення Якась розпочата справа сьогодні закриється остаточно.
10 Початок Сьогодні ви розпочнете новий проект або вас осінить нова думка,
ідея.
11 Прогулянка Ну або пробка, або просто доведеться прогулятися.
12 Дюжина Можливе розпивання спиртних напоїв.
13 Чортова дюжина Можливе розпивання спиртних напоїв до непотрібного
стану…
14 Нічого не означає
15 Нічого не означає
16 Нічого не означає
17 Нічого не означає
18 Нічого не означає
19 Нічого не означає
20 Нічого не означає
21 Нічого не означає
22 Нічого не означає
23 Нічого не означає
24 Нічого не означає
25 Повтор Щось доведеться повторити, а інакше - не вийде.
26 Зустріч У вас відбудеться ділова зустріч.
27 Побачення Ви зустрінете людину, яку будете раді побачити
(Зустріч особиста, не по роботі).
Йтиметься про добре відоме завдання: як підрахувати кількість щасливих квитків? Причому зробити це потрібно наскільки можна не дуже довго, уникаючи занадто складних обчислень. Той спосіб, який я пропоную, наводиться під "катом".
Я не ставлю за мету написати текст якомога коротше. Навпаки: я виходжу з того, що краще вимовити якісь додаткові слова, аби в результаті було зрозуміло не тільки те, якою є відповідь, а й те, звідки він узявся. Тексти такого роду рекомендується читати в "покроковому" режимі, тобто просто вловлювати та засвоювати те, що написано. При цьому бажано свій власний "творчий" апарат на час читання вимкнути.
Отже, розглянемо якийсь щасливий квиток abcdef. За визначенням, сума перших трьох цифр дорівнює сумі трьох останніх, тобто a+b+c=d+e+f. Позначимо цю суму через k і називатимемо для стислості рангомщасливого квитка. Наприклад, 191731 - це щасливий квиток рангу 11.
Зрозуміло, що ранг щасливого квитка може набувати значення від 0 до 27 включно. Тому загальна кількість S щасливих квитків, яку ми хочемо знайти, буде сумою S(0)+S(1)+S(2)+...+S(27), де через S(k) ми позначили число щасливих квитків рангу k.
Таким чином, завдання буде вирішено, якщо ми знайдемо 28 доданків нашої суми. Це дуже багато. Але зауважимо, що нам достатньо знайти лише половину цих значень, бо решта повторюватиметься. А саме: якщо взяти якийсь щасливий білет рангу k і замінити в ньому кожну цифру на додаткову до 9, то вийде щасливий білет рангу 27-k. Наприклад, квиток 191731 рангу 11 перетвориться на квиток 808268 рангу 16.
Звідси випливає, що S(k)=S(27-k), тобто набір доданків нашої суми однаково читається зліва направо та праворуч наліво. У середині стоятимуть рівні один одному доданки S(13) і S(14). Тому ми приходимо до такої формули:
S = 2*(S(0)+S(1)+S(2)+...+S(13)),
тобто знайти потрібно всього 14 чисел. Це поки що все одно багато, але далі виявиться, що спосіб знаходження перших 10 доданків дуже простий і всі вони знаходяться однотипно. А останні 4 ми знайдемо, знаючи попередні, застосовуючи певну поправку.
Отже, нехай k є ранг квитка; як знайти число S(k)? Вибираючи один із таких квитків, ми спочатку вибираємо трійку цифр із сумою k. Скільки способами це можна зробити? Поки ми цього не знаємо, тож позначимо це число через T(k). Наприклад, T(0)=1 -- для єдиної трійки 000 із сумою 0, а T(1)=3 -- є в точності три трійки: 001, 010, 100 із сумою 1.
Стверджується, що S(k)=T(k)*T(k)=T(k)^2. Насправді, виписуючи номер щасливого квитка рангу k, ми можемо зробити це у два етапи: виписати спочатку першу трійку, а потім другу. При поетапному виборі кількість методів перемножується, як і призводить до виписаному вище рівності.
Отже, ми приходимо до формули
S = 2*(T(0)^2+T(1)^1+T(2)^2+...+T(13)^2),
тобто відповіддю у задачі буде подвоєна сума квадратів 14 чисел, які ми зараз знайдемо.
Отже, що таке T(k)? Це число розв'язків рівняння a+b+c=k у цілих невід'ємних числах, але ще з додатковим обмеженням, що a,b,c - це цифри, тобто жодна з них не може перевищувати 9. Забудемо спочатку про наявне обмеження і підрахуємо просто число розв'язків цього рівняння. Справа в тому, що при k=0,1,...,9 у нас автоматично буде виконано наше обмеження, і в результаті ми знайдемо 10 з 14 чисел, що цікавлять нас.
Отже, скільки ж рішень має рівняння a+b+c=k? Насамперед, введемо для цієї кількості позначення U(k). Зрозуміло, що третя змінна може приймати значення від 0 до k. Зафіксуємо одне з таких значень; тоді a+b=k-c. Скільки рішень має таке рівняння вже від двох змінних?
Тут відповідь очевидна. Уявімо у правій частині якесь конкретне число, наприклад, 8. Усі рішення рівняння a+b=8 можуть бути виписані: це (0,8), (1,7), (2,6), ... , (8,0). Погляньмо на перші числа в парах і побачимо, що рішень рівно 9, тобто на одиницю більше, ніж стояло в правій частині рівняння. Цей принцип легко запам'ятати. Скажімо, рівняння a+b=4 буде мати 5 рішень.
Повернімося до рівняння a+b+c=k. Вже говорилося, що c набуває значень від 0 до k. Для зручності почнемо з максимального значення, що дорівнює k. У цьому виникає рівняння a+b=0, має одне рішення. При c=k-1 виходить a+b=1, і рішень вже два. Далі при c=k-1 маємо a+b=2 з трьома рішеннями, і так до останнього випадку c=0, де приходимо до рівняння a+b=k, що має k+1 рішення. Остаточно ми отримуємо наступне:
число розв'язків рівняння a+b+c=k у цілих невід'ємних числах в точності дорівнює U(k)=1+2+3+...+k+(k+1), тобто сумі перших k+1 чисел натурального ряду.
В даному випадку можна скористатися відомою формулою і "згорнути" формулу до U(k)=(k+1)*(k+2)/2, але це не обов'язково. Справа в тому, що нам потрібен перелік всіх чисел виду T(k) при k=0,1,2,...,13. І, як говорилося вище, перші 10 чисел цього списку можуть бути знайдені за наведеною вище формулою. Нагадаємо, що за k=0,1,...,9 рішеннями рівняння автоматично будуть трійки цифр, тобто те, що ми хочемо підрахувати. А ось при k=10 і далі рівняння матимуть рішення типу (10,0,0), які нам не підходять.
Отже, ось список із 14 чисел виду U(k), де k=0,1,2,...,13:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 , 66, 78, 91, 105
який будується за таким принципом: починаючи з 1, ми далі послідовно додаємо 2, 3, ..., 13. Тут перші 10 чисел виділені жирним шрифтом; їх ми вже знайшли правильно. А для останніх чотирьох чисел ми зараз зробимо поправку, вилучивши "зайве".
Отже, розглянемо число k від 10 до 13. Нас цікавить число T(k), тобто число розв'язків рівняння a+b+c=k у десяткових цифрах. Ми знайшли кількість рішень, серед яких є зайві. Це точно ті рішення, де одна з цифр набуває значення 10 і більше. Зауважимо, що така цифра може бути точно одна - адже в іншому випадку суми всіх цифр була б як мінімум 20, а в нас це не так. Скільки ми нарахували зайвих рішень, якщо значення a вийшло за межі, тобто дорівнювало 10+α? Підстановка рівняння дає α+b+c=k-10, тобто нами було враховано U(k-10) зайвих рішень, де a виходило за відведені межі. Але рівно стільки ж їх було, коли за межі вийшло b і стільки ж для c. Тому загальна кількість зайвих рішень дорівнює 3U(k-10), а підсумкова формула для значень k, що розглядаються, виходить така: T(k)=U(k)-3U(k-10) при k від 10 до 13.
Таким чином, беремо 4 останні числа нашого списку: 66, 78, 91, 105 і віднімаємо з них потроєні перші 4 числа списку, тобто потроюємо 1, 3, 6, 10, отримуючи 3, 9, 18, 30 і робимо віднімання, що призводить до числа 63, 69, 73, 75. Остаточно отримуємо список чисел T(k) при від 0 до 13:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 63, 69, 73, 75.
Кожне з цих чисел треба звести до квадрата, потім все скласти, а отриману суму подвоїти. Це буде відповідь. Тут, на жаль, доводиться вдаватися до підрахунку, але не складний. У результаті маємо:
S=2*(1+9+36+100+225+441+784+1296+2025+30 25+3969+4761+5329+5625)=2*27626=55252.
Отже, загальна кількість щасливих квитків точно дорівнює 55252. Забавно, що цифри тут вийшли тільки 5 і 2. Ймовірно, це пов'язано з тим, що це завдання можна вирішити або на "п'ятірку", або на "двійку"! :)
Якщо поділити мільйон (загальна кількість номерів квитків) на знайдену кількість, то вийде приблизно 18. Тобто приблизно кожен 18-й квиток є щасливим.
Міська легенда про щасливий квиток виникла, ймовірно, разом із цим документом. Купуючи квиток на проїзд у будь-якому виді транспорту, людина намагається вгадати, чи принесе вона йому щастя. Зовсім не рідкість, коли той, хто отримав таку частину паперу, стоїть і підраховує числа, намагаючись дізнатися пощастило чи ні. Квитки, названі «щасливими» люди, здатні зберігати роками носити як талісмани.
Повір'я про «щасливий» квиток базується на нумерологічних вправах з ідентифікаційним номером квитка. Головна вимога – отримання талону на проїзд у звичайному порядку. Спеціальний пошук потрібних цифр не вважається по-справжньому вдалим. Номер має бути шестизначним. Хоча, існують способи розрахунку «щасливих» квитків, які можна вживати і на документах з непарною кількістю цифр.
Відомі безліч способів визначення таких талонів. Один із них – «ленінградський». Відповідно до цієї концепції, сума парних чисел номера квитка повинна дорівнювати сумі непарних. Найпопулярніший – «московський». Для визначення «щасливого» квитка цим способом слід скласти між собою перші три числа, а потім другу трійку. Суми мають збігтися.
Жителі Новосибірська надходять схожим способом, щоб визначити "вдалий" талон. Щоправда, є особливість – вони складають кожну трійку чисел до отримання однозначного. З кожного боку має вийти те саме число, тоді квиток «щасливий».
Іноді підраховують суму кожної пари чисел у номері. Якщо три рівні – талон напевно принесе щастя.
Симетрія у цій справі – не на останньому місці. Номер, відзначений таким знаком, швидше за все, принесе власникові удачу. Однакове поєднання цифр як у правій, так і в лівій половині номера - вірна ознака прихильності удачі. Існує спосіб «віддзеркалення». Коли перші три цифри, немовби відбиваючись у дзеркалі, повторюють другу трійку - квиток вважається «щасливим».
Людям властиво вважати деякі числа особливим, які приносять удачу лише їм. Талонами, що чарівним чином впливають на долю вважаються ті, сума чисел у номерах яких відповідає щасливому числу цієї особи. Склавши між собою всі цифри до отримання однозначного числа, це можна дізнатися.
Любителям тренувати мозок варто виконати різні вправи з цифрами номера талона. Їх можна перемножити, потім від отриманого похідного відняти кількість їх суми. Якщо в результаті вийде нуль - це вірна ознака того, що доля вподобає власника.
Коли немає сумнівів у тому, що квиток приносить успіх, слід подбати у тому, щоб він завжди був поруч із людиною, як талісман. Тільки так він приноситиме щастя тому, хто його придбав.