Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme Chastoozersk"

Puna kërkimore me temën:

"Numrat sundojnë botën!"

Puna e përfunduar:

Nxënëse e klasës së 6-të.

Mbikëqyrësi: ,

mësues i matematikës.

Me. Chastoozerye.

I. paraqitje. -3 faqe

II. Pjesa kryesore. -4 faqe

· Matematika tek grekët e lashtë. - 4 faqe

· Pitagora e Samosit. -6 faqe

· Pitagora dhe numrat. -8 f.

2. Numrat janë të thjeshtë dhe të përbërë. -10 pp.

3. Problemi i Goldbach. -12 f.

4. Shenjat e pjesëtueshmërisë. -13 f.

5. Veti kurioze të numrave natyrorë.-15fq.

6. Truket me numra. -18 f.

III. konkluzioni. -22 f.

IV. Bibliografi. -23 f.

I. paraqitje.

Rëndësia:

Gjatë studimit të temës "Pjestueshmëria e numrave" në mësimet e matematikës, mësuesi sugjeroi përgatitjen e një raporti mbi historinë e zbulimit të numrave të thjeshtë dhe të përbërë. Gjatë përgatitjes së mesazhit, më interesuan fjalët e Pitagorës: "Numrat sundojnë botën!"

Pyetjet kanë lindur:

· Kur lindi shkenca e numrave?

· Kush kontribuoi në zhvillimin e shkencës së numrave?

· Kuptimi i numrave në matematikë?

Vendosa të studioj në detaje dhe të përmbledh materialin për numrat dhe vetitë e tyre.

Qëllimi i studimit: studiojnë numrat e thjeshtë dhe të përbërë dhe tregojnë rolin e tyre në matematikë.

Objekti i studimit: numrat e thjeshtë dhe të përbërë.

Hipoteza: Nëse, sipas fjalëve të Pitagorës, "Numrat sundojnë botën,

atëherë cili është roli i tyre në matematikë.

Objektivat e kërkimit:

I. Mblidhni dhe përmblidhni të gjitha llojet e informacionit për numrat e thjeshtë dhe të përbërë.

II. Tregoni kuptimin e numrave në matematikë.

III. Trego vetitë interesante të numrave natyrorë.

Metodat e hulumtimit:

· Analizë teorike e letërsisë.

· Mënyra e sistemimit dhe përpunimit të të dhënave.

II. Pjesa kryesore.

1. Historia e shfaqjes së shkencës së numrave.

· Matematika tek grekët e lashtë.

Si në Egjipt ashtu edhe në Babiloni, numrat përdoreshin kryesisht për zgjidhjen e problemeve praktike.

Situata ndryshoi kur grekët filluan matematikën. Në duart e tyre, matematika u shndërrua nga një zanat në një shkencë.

Fiset greke filluan të vendosen në brigjet veriore dhe lindore të Detit Mesdhe rreth katër mijë vjet më parë.

Pjesa më e madhe e grekëve u vendosën në Gadishullin Ballkanik – aty ku është tani shteti i Greqisë. Pjesa tjetër u vendos në ishujt e Detit Mesdhe dhe përgjatë brigjeve të Azisë së Vogël.

Grekët ishin marinarë të shkëlqyer. Anijet e tyre të lehta me hundë të mprehtë rrotulloheshin në Detin Mesdhe në të gjitha drejtimet. Ata sollën enët dhe bizhuteritë nga Babilonia, armë bronzi nga Egjipti, lëkurë kafshësh dhe bukë nga brigjet e Detit të Zi. Dhe sigurisht, si popujt e tjerë, anijet sillnin dijen në Greqi bashkë me mallrat. Por grekët nuk janë të drejtë

mësuar nga popujt e tjerë. Shumë shpejt ata kaluan mësuesit e tyre.

Mjeshtrit grekë ndërtuan pallate dhe tempuj me bukuri të mahnitshme, të cilat më vonë shërbyen si model për arkitektët e të gjitha vendeve për mijëra vjet.

Skulptorët grekë krijuan statuja të mrekullueshme nga mermeri. Dhe jo vetëm matematika "e vërtetë" filloi me shkencëtarët grekë, por edhe shumë shkenca të tjera që studiojmë në shkollë.

A e dini pse grekët ishin përpara të gjitha kombeve të tjera në matematikë? Sepse ata ishin të mirë në grindje.

Si mund ta ndihmojë shkencën debati?

Në kohët e lashta, Greqia përbëhej nga shumë shtete të vogla. Pothuajse çdo qytet me fshatrat përreth ishte një shtet më vete. Sa herë që duhej zgjidhur një çështje e rëndësishme shtetërore, banorët e qytetit mblidheshin në shesh dhe diskutonin për të. Ata debatuan se si ta bënin më mirë dhe më pas votuan. Është e qartë se ata ishin debatues të mirë: në takime të tilla duhej të përgënjeshtronin kundërshtarët e tyre, të arsyetonin dhe të vërtetonin se kishin të drejtë. Grekët e lashtë besonin se argumenti ndihmon për të gjetur më të mirën. Vendimi më i drejtë. Ata madje dolën me thënien e mëposhtme: "E vërteta lind në një mosmarrëveshje".

Dhe në shkencë grekët filluan të bëjnë të njëjtën gjë. Si në një mbledhje popullore. Ata jo vetëm që mësuan përmendësh rregullat, por kërkuan arsye: pse ishte e drejtë të bëhej në këtë mënyrë dhe jo ndryshe. Matematikanët grekë u përpoqën të shpjegonin çdo rregull dhe të provonin se nuk ishte e vërtetë. Ata po debatonin me njëri-tjetrin. Ata arsyetuan dhe u përpoqën të gjenin gabime në arsyetim.

Ata do të vërtetojnë një rregull - arsyetimi të çon në një tjetër, më kompleks, pastaj në një të tretë, në një të katërt. Ligjet u bënë nga rregullat. Dhe shkenca e ligjeve është matematika.

Sapo lindi, matematika greke eci menjëherë përpara me hapa të mëdhenj. Ajo u ndihmua nga çizmet e mrekullueshme për ecje, të cilat kombet e tjera nuk i kishin më parë. Ata u quajtën "arsyetim" dhe "provë".

· Pitagora e Samosit.

I pari që foli për numrat ishte greku Pitagora, i cili lindi në ishullin Samos në shekullin e 6 pas Krishtit.

Prandaj, ai shpesh quhet Pitagora i Samos. Grekët treguan shumë legjenda për këtë mendimtar.

Pitagora në fillim tregoi një aftësi për shkencën dhe At Mnesarchus e çoi në Siri, në Tiro, në mënyrë që të urtët kaldeas ta mësonin atje. Ajo mëson për misteret e priftërinjve egjiptianë. I ndezur nga dëshira për të hyrë në rrethin e tyre dhe për t'u bërë një iniciator, Pitagora fillon të përgatitet për një udhëtim në Egjipt. Një vit e kalon në Feniki, në shkollën e priftërinjve. Më pas ai do të vizitojë Egjiptin, Heliopolis. Por priftërinjtë vendas nuk ishin miqësorë.

Pasi tregoi këmbëngulje dhe kaloi teste jashtëzakonisht të vështira hyrëse, Pitagora e arrin qëllimin e tij - ai pranohet në kastë. Ai kaloi 21 vjet në Egjipt, studioi në mënyrë të përsosur të gjitha llojet e shkrimit egjiptian dhe lexoi shumë papirus. Faktet e njohura për egjiptianët në matematikë e çojnë atë në zbulimet e tij matematikore.

I urti tha: “Ka gjëra në botë për të cilat duhet të përpiqesh. Është, së pari, e bukur dhe e lavdishme, së dyti, e dobishme për jetën, së treti, duke dhënë kënaqësi. Megjithatë, kënaqësia është dy llojesh: njëra, e cila e ngop grykësinë tonë me luks, është katastrofike; tjetri është i drejtë dhe i nevojshëm për jetën.”

Numrat zinin një vend qendror në filozofinë e studentëve dhe ithtarëve të Pitagorës:

« Aty ku nuk ka numër dhe masë, ka kaos dhe kimera.”

"Gjëja më e mençur është një numër"

"Numrat sundojnë botën."

Prandaj, shumë e konsiderojnë Pitagorën babain e numërimit - një shkencë komplekse e mbuluar me mister, që përshkruan ngjarjet në të, zbulon të kaluarën dhe të ardhmen, duke parashikuar fatin e njerëzve.

· Pitagora dhe numrat.

Grekët e lashtë, dhe bashkë me ta Pitagora dhe Pitagorianët, mendonin për numrat dukshëm në formën e guralecave të vendosura në rërë ose në një tabelë numërimi - një numërator.

Numrat me guralecë u shtruan në formën e figurave të rregullta gjeometrike, këto shifra u klasifikuan dhe kështu lindën numrat që sot quhen numra të figurshëm: numra linearë (d.m.th. numrat e thjeshtë) - numra që janë të pjesëtueshëm me një dhe nga vetvetja dhe, për rrjedhojë, , e përfaqësuar si një sekuencë pika të rreshtuara

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

numra të ngurtë të shprehur me prodhimin e tre faktorëve

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

numra katror:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

Dhe. etj. Është nga numrat e figurshëm që shprehja " Një numër katror ose kub».

Pitagora nuk e kufizoi veten në figura të sheshta. Nga pikat, ai filloi të shtojë piramida, kube dhe trupa të tjerë dhe të studiojë numra piramidale, kubike dhe numra të tjerë (shih Fig. 1). Nga rruga, emri kub numrash E përdorim edhe sot.

Por Pitagora nuk ishte i kënaqur me numrat e marrë nga figura të ndryshme. Në fund të fundit, ai shpalli se numrat sundojnë botën. Prandaj, ai duhej të kuptonte se si të përdorte numrat për të përshkruar koncepte të tilla si drejtësia, përsosmëria dhe miqësia.

Për të përshkruar përsosmërinë, Pitagora filloi të punonte në pjesëtuesit e numrave (ai mori pjesëtuesin 1, por nuk e mori vetë numrin). Ai i shtoi të gjithë pjesëtuesit e numrit dhe nëse shuma ishte më e vogël se numri, shpallej e pamjaftueshme, e nëse më shumë, shpallej e tepërt. Dhe vetëm kur shuma ishte saktësisht e barabartë me numrin, ajo u shpall e përsosur. Numrat e miqësisë përshkruheshin në një mënyrë të ngjashme - dy numra quheshin miqësorë nëse secili prej tyre ishte i barabartë me shumën e pjesëtuesve të numrit tjetër. Për shembull, numri 6 (6=1+2+3) është i përsosur, numri 28 (1+2+4+7+17) është i përsosur. Numrat e ardhshëm të përsosur janë 496, 8128, .

2. Numrat janë të thjeshtë dhe të përbërë.

Matematika moderne kujton numrat miqësorë ose të përsosur me një buzëqeshje si një hobi fëmijërie.

Dhe konceptet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë të prezantuara nga Pitagora janë ende objekt i një kërkimi serioz, për të cilin matematikanët marrin çmime të larta shkencore.

Nga përvoja e llogaritjeve, njerëzit e dinin se çdo numër është ose një numër i thjeshtë ose produkt i disa numrave të thjeshtë. Por ata nuk dinin si ta vërtetonin. Pitagora ose një nga ndjekësit e tij gjetën prova të kësaj deklarate.

Tani është e lehtë të shpjegohet roli i numrave të thjeshtë në matematikë: ata janë blloqet ndërtuese nga të cilat numrat e tjerë ndërtohen duke përdorur shumëzimin.

Zbulimi i modeleve në një seri numrash është një ngjarje shumë e këndshme për matematikanët: në fund të fundit, këto modele mund të përdoren për të ndërtuar hipoteza, për të testuar prova dhe formula. Një nga vetitë e numrave të thjeshtë që i intereson matematikanët është se ata refuzojnë t'i binden çdo modeli.

Mënyra e vetme për të përcaktuar nëse një numër 100,895,598,169 është i thjeshtë është përdorimi i "Sitës së Eratosthenes" mjaft të mundimshëm.

Tabela tregon një nga opsionet për këtë sitë.

Në këtë tabelë, të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se 48 janë të rrethuar. Ato gjenden kështu: 1 ka një pjesëtues të vetëm - vetë, prandaj 1 nuk konsiderohet numër i thjeshtë. 2 është numri i thjeshtë më i vogël (dhe i vetëm çift). Të gjithë numrat e tjerë çift janë të pjesëtueshëm me 2, që do të thotë se ata kanë të paktën tre pjesëtues; prandaj nuk janë të thjeshta dhe mund të kryqëzohen. Numri tjetër i pakryqëzuar është 3; ka saktësisht dy pjesëtues, pra është i thjeshtë. Të gjithë numrat e tjerë që janë shumëfish të tre (d.m.th. ata që mund të ndahen me 3 pa mbetje) janë të kryqëzuara. Tani numri i parë i pashkruar është 5; është e thjeshtë dhe të gjitha shumëfishat e tij mund të kryqëzohen.

Duke vazhduar të kryqëzoni shumëfishat, mund të eliminoni të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se 48.

3. Problemi i Goldbach.

Çdo numër mund të merret nga numrat e thjeshtë me shumëzim. Çfarë ndodh nëse shtoni numra të thjeshtë?

Matematikani Goldbach, i cili jetoi në Rusi në shekullin e 18-të, vendosi të shtojë numrat e thjeshtë tek vetëm në çifte. Ai zbuloi një gjë të mahnitshme: çdo herë ai ishte në gjendje të përfaqësonte një numër çift si shumën e dy numrave të thjeshtë. (siç ishte rasti në kohën e Goldbach, ne e konsiderojmë 1 si një numër të thjeshtë).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. etj.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Goldbach shkroi për vëzhgimin e tij ndaj matematikanit të madh

shekulli XVIII për Leonhard Euler, i cili ishte anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut. Pasi testoi shumë të tjerë numra çift, Euler u bind se ata ishin të gjithë shuma e dy numrave të thjeshtë. Por ka pafundësisht shumë numra çift. Prandaj, llogaritjet e Euler-it dhanë vetëm shpresë se të gjithë numrat kishin pronën që vuri re Goldbach. Megjithatë, përpjekjet për të provuar se kjo do të jetë gjithmonë rasti nuk kanë çuar askund.

Matematikanët medituan problemin e Goldbach për dyqind vjet. Dhe vetëm shkencëtari rus Ivan Matveevich Vinogradov arriti të ndërmarrë hapin vendimtar. Ai vërtetoi se çdo numër natyror mjaft i madh është

shuma e tre numrave të thjeshtë. Por numri nga i cili deklarata e Vinogradov është e vërtetë është e paimagjinueshme.

4. Shenjat e pjesëtueshmërisë.

489566: 11 = ?

Për të zbuluar nëse një numër i caktuar është i thjeshtë apo i përbërë, nuk duhet gjithmonë të shikoni tabelën e numrave të thjeshtë. Shpesh për këtë mjafton të përdoren shenjat e pjesëtueshmërisë.

· Test për pjesëtueshmërinë me 2.

Nëse një numër natyror përfundon me një shifër çift, atëherë numri është çift dhe pjesëtohet me 2 pa mbetje.

· Test për pjesëtueshmërinë me 3.

Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë numri pjesëtohet me 3.

· Test për pjesëtueshmërinë me 4.

Një numër natyror që përmban të paktën tre shifra është i pjesëtueshëm me 4 nëse numri i formuar nga dy shifrat e fundit të atij numri është i pjesëtueshëm me 4.

· Test për pjesëtueshmërinë me 5.

Nëse një numër natyror përfundon me 0 ose 5, atëherë ai numër pjesëtohet me 5 pa mbetje.

· Test për pjesëtueshmërinë me 7 (me 13).

Një numër natyror pjesëtohet me 7 (me 13) nëse shuma algjebrike e numrave që formojnë faqe me tre shifra (duke filluar me shifrën e njësive), të marra me shenjën "+" për fytyrat tek dhe me shenjën "minus" për çiftet. fytyrat, pjesëtohet me, kompozojmë shumën algjebrike të fytyrave, duke filluar nga faqja e fundit dhe duke alternuar shenjat + dhe -: + 254 = 679. Numri 679 pjesëtohet me 7, që do të thotë se edhe ky numër pjesëtohet me 7. .

· Test për pjesëtueshmërinë me 8.

Një numër natyror që përmban të paktën katër shifra ndahet me 8 nëse numri i formuar nga tre shifrat e fundit pjesëtohet me 8.

· Test për pjesëtueshmërinë me 9.

Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë vetë numri pjesëtohet me 9.

· Test për pjesëtueshmërinë me 10.

Nëse një numër natyror përfundon me 0, atëherë ai pjesëtohet me 10.

· Testi i pjesëtueshmërisë 11.

Një numër natyror plotpjesëtohet me 11 nëse shuma algjebrike e shifrave të tij, e marrë me një shenjë plus nëse shifrat janë në vende tek (duke filluar nga shifra e njësheve), dhe e marrë me shenjën minus nëse shifrat janë në vende çift, është pjesëtueshëm me, 7 – 1 + 5 = 11, pjesëtueshëm me 11).

· Test për pjesëtueshmërinë me 25.

Një numër natyror që përmban të paktën tre shifra është i pjesëtueshëm me 25 nëse numri i formuar nga dy shifrat e fundit të atij numri është i plotpjesëtueshëm me 25.

· Test për pjesëtueshmërinë me 125.

Një numër natyror që përmban të paktën katër numra është i pjesëtueshëm me 125 nëse numri i formuar nga tre shifrat e fundit të atij numri është i plotpjesëtueshëm me 125.

5. Veti kurioze të numrave natyrorë.

Numrat natyrorë kanë shumë veti interesante që zbulohen kur mbi ta kryhen veprime aritmetike. Por është akoma më e lehtë t'i vëresh këto veti sesa t'i vërtetosh ato. Le të paraqesim disa veti të tilla.

1) Le të marrim një numër natyror të rastësishëm, për shembull 6, dhe të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e tij: 1, 2, 3.6. Për secilin nga këta numra, shkruani sa pjesëtues ka. Meqenëse 1 ka vetëm një pjesëtues (vetë numri), 2 dhe 3 kanë nga dy pjesëtues secila, dhe 6 ka 4 pjesëtues, marrim numrat 1, 2, 2, 4. Ata kanë një veçori të jashtëzakonshme: nëse i ngrini këta numra në kubike dhe mblidhni përgjigjet, ju merrni saktësisht të njëjtën sasi që do të merrnim duke mbledhur së pari këta numra dhe më pas duke e katroruar shumën, me fjalë të tjera,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Llogaritjet tregojnë se si në të majtë ashtu edhe në të djathtë përgjigja është e njëjtë, përkatësisht 324.

Çfarëdo numri të marrim, prona që kemi vërejtur do të plotësohet. Por është mjaft e vështirë ta vërtetosh këtë.

2) . Le të marrim çdo numër katërshifror, për shembull 2519, dhe t'i renditim shifrat e tij fillimisht në rend zbritës, dhe pastaj në rend rritës: dhe nga numri më i madh, zbresim atë më të vogël: =8262. Le të bëjmë të njëjtën gjë me numrin që rezulton: 86=6354. Dhe një hap tjetër i ngjashëm: 65 = 3087. Tjetra, = 8352, = 6174. Nuk jeni lodhur duke zbritur? Le të bëjmë një hap më shumë: =6174. Përsëri doli të ishte 6174.

Tani ne jemi, siç thonë programuesit, "në një lak": pa marrë parasysh sa herë zbresim tani, nuk do të marrim asgjë tjetër përveç 6174. Ndoshta fakti është se kështu është zgjedhur numri origjinal 2519? Rezulton se nuk ka asnjë lidhje me të: pavarësisht nga numri katërshifror që marrim, pas jo më shumë se shtatë hapash do të marrim patjetër të njëjtin numër 6174.

3) . Le të vizatojmë disa rrathë me një qendër të përbashkët dhe të shkruajmë çdo katër numra natyrorë në rrethin e brendshëm. Për çdo çift numrash ngjitur, zbritni më të voglin nga më i madhi dhe shkruajeni rezultatin në rrethin tjetër. Rezulton se nëse e përsëritni këtë mjaft herë, në një nga rrathët të gjithë numrat do të jenë të barabartë me zero, dhe për këtë arsye nuk do të vazhdoni të merrni asgjë përveç zerove. Figura e tregon këtë për rastin kur në rrethin e brendshëm shkruhen numrat 25, 17, 55, 47.

4) . Le të marrim çdo numër (madje edhe një numër mijërashifror) të shkruar në sistemin e numrave dhjetorë. Le t'i vendosim në katror të gjithë numrat e tij dhe t'i mbledhim. Le të bëjmë të njëjtën gjë me sasinë. Rezulton se pas disa hapash marrim ose numrin 1, pas të cilit nuk do të ketë numra të tjerë, ose 4, pas së cilës kemi numrat 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 dhe përsëri ne merrni 4. Kjo do të thotë se nuk ka asnjë cikël shmangie edhe këtu.

5. Le të krijojmë një tabelë kaq të pafundme. Në kolonën e parë do të shkruajmë numrat 4, 7, 10, 13, 16, ... (secili tjetër është 3 më shumë se ai i mëparshmi). Nga numri 4 vizatojmë një vijë djathtas, duke i rritur numrat me 3 në çdo hap. Nga numri 7 tërheqim një vijë, duke i rritur numrat me 5, nga numri 10 - me 7, etj. Tabela e mëposhtme është fituar:

Nëse merrni ndonjë numër nga kjo tabelë, shumëzoni atë me 2 dhe shtoni 1 në produktin, gjithmonë do të merrni një numër të përbërë. Nëse bëjmë të njëjtën gjë me një numër që nuk përfshihet në këtë tabelë, marrim një numër të thjeshtë. Për shembull, le të marrim nga tabela numrin 45. Numri 2*45+1=91 është i përbërë, është i barabartë me 7*13. Por numri 14 nuk është në tabelë, dhe numri 2*14+1=29 është i thjeshtë.

Kjo mënyrë e mrekullueshme për të dalluar numrat e thjeshtë nga numrat e përbërë u shpik në vitin 1934 nga studenti indian Sundaram. Vëzhgimet e numrave zbulojnë pohime të tjera të jashtëzakonshme. Vetitë e botës së numrave janë vërtet të pashtershme.

Truket me numra.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Në fund të fundit, nëse pranë një numri treshifror shkruani përsëri të njëjtin numër, atëherë numri origjinal do të shumëzohet me 1001 (për shembull, 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">

Dhe numrat katërshifrorë përsëriten një herë dhe pjesëtohen me 73 137. Zgjidhja është në barazi

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Vini re se kubet e numrave 0, 1, 4, 5, 6 dhe 9 përfundojnë me të njëjtin numër (për shembull, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24 " height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Përveç kësaj, duhet të mbani mend tabelën e mëposhtme që tregon se ku fillojnë fuqitë e pesta të numrave të mëposhtëm:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Kjo do të thotë që ju duhet të shtoni numrin 3 në numrin pesëshifror shkruar fillimisht në tabelën përpara dhe zbrit 3 nga numri që rezulton.

Për të parandaluar audiencën të hamendësojë mashtrimin, mund të zvogëloni shifrën e parë të cilitdo prej numrave me disa njësi dhe të zvogëloni shifrën përkatëse në total me të njëjtin numër njësish. Për shembull, në figurë, shifra e parë në termin e tretë zvogëlohet me 2 dhe shifra përkatëse në shumë zvogëlohet me të njëjtën shumë.

konkluzioni.

Pasi mblodha dhe përmblodha materiale rreth numrave të thjeshtë dhe të përbërë, arrita në përfundimin e mëposhtëm:

1. Studimi i numrave shkon në kohët e lashta dhe ka një histori të pasur.

2. Roli i numrave të thjeshtë në matematikë është i madh: ata janë blloqet ndërtuese nga të cilat ndërtohen të gjithë numrat e tjerë duke përdorur shumëzimin.

3. Numrat natyrorë kanë shumë veti interesante. Vetitë e botës së numrave janë vërtet të pashtershme.

4. Materiali që përgatita mund të përdoret në mënyrë të sigurt në mësimet e matematikës dhe në klasat e rrethit të matematikës. Ky material do t'ju ndihmojë të përgatiteni më thellë për lloje të ndryshme olimpiadash.

Zbërthimi i numrave natyrorë në prodhime të numrave të thjeshtë

Algoritme për kërkimin dhe njohjen e numrave të thjeshtë

Metodat e thjeshta për të gjetur një listë fillestare të numrave të thjeshtë deri në një vlerë janë dhënë nga Sieve of Eratosthenes, Sieve of Sundaram dhe Sieve of Atkin.

Sidoqoftë, në praktikë, në vend që të merrni një listë të numrave të thjeshtë, shpesh dëshironi të kontrolloni nëse një numër i caktuar është i thjeshtë. Algoritmet që zgjidhin këtë problem quhen teste të parësisë. Ka shumë teste të primitetit polinomial, por shumica janë probabiliste (si testi Miller-Rabin) dhe përdoren për nevojat e kriptografisë. Në vitin 2002, u vërtetua se problemi i testit të parësisë është i zgjidhshëm në mënyrë polinomike në formën e tij të përgjithshme, por testi i propozuar përcaktues Agrawal–Kajal–Saxena ka një kompleksitet mjaft të madh llogaritës, gjë që e bën të vështirë zbatimin e tij praktik.

Për disa klasa numrash ekzistojnë teste të specializuara efikase të parësisë (shih më poshtë).

Pafundësia e bashkësisë së numrave të thjeshtë

Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë. Prova më e vjetër e njohur e këtij fakti është dhënë nga Euklidi në Elementet (Libri IX, deklarata 20). Prova e tij mund të riprodhohet shkurtimisht si më poshtë:

Le të imagjinojmë se numri i numrave të thjeshtë është i fundëm. Le t'i shumëzojmë dhe të shtojmë një. Numri që rezulton nuk është i pjesëtueshëm me asnjë nga grupet e fundme të numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur e pjesëtimit me cilindo prej tyre jep një. Kjo do të thotë që numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me ndonjë numër të thjeshtë që nuk përfshihet në këtë grup. Polemika.

Matematikanët ofruan prova të tjera. Njëra prej tyre (e dhënë nga Euler) tregon se shuma e reciprocaleve të të parit n numrat e thjeshtë, rritet në mënyrë të pakufizuar me rritjen n.

Numrat Mersenne ndryshojnë në mënyrë të favorshme nga të tjerët nga prania e një testi efektiv të parësisë: testi Luc-Lemaire. Falë tij, numrat e parë të Mersenne kanë mbajtur prej kohësh rekordin si numrat më të mëdhenj të njohur.

Për gjetjen e numrave të thjeshtë me më shumë se 100,000,000 dhe 1,000,000,000 shifra dhjetore, EFF dha çmime në para prej 150,000 USD dhe 250,000 USD, respektivisht. EFF ka dhënë më parë çmime për gjetjen e numrave të thjeshtë me 1,000,000 dhe 10,000,000 shifra dhjetore.

Numrat kryesorë të një lloji të veçantë

Ka një sërë numrash, parësia e të cilëve mund të përcaktohet në mënyrë efikase duke përdorur algoritme të specializuara.

Duke përdorur testin Brillhart-Lehmer-Selfridge ( anglisht) mund të kontrollohet thjeshtësia e numrave të mëposhtëm:

Për të kërkuar numrat kryesorë të llojeve të përcaktuara, aktualisht përdoren projektet kompjuterike të shpërndara GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen ose Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Disa prona

• Nëse është i thjeshtë dhe ndan , atëherë ndan ose . Prova e këtij fakti është dhënë nga Euklidi dhe njihet si lema e Euklidit. Përdoret në vërtetimin e teoremës themelore të aritmetikës.
• Një unazë mbetje është një fushë nëse dhe vetëm nëse është e thjeshtë.
• Karakteristika e secilës fushë është zero ose një numër i thjeshtë.
• Nëse - është e thjeshtë dhe - është e natyrshme, atëherë pjesëtohet me (teorema e vogël e Fermatit).
• Nëse është një grup i fundëm me elementë, atëherë ai përmban një element të rendit.
• Nëse është një grup i fundëm, dhe është fuqia maksimale që ndan , atëherë ai ka një nëngrup të rendit të quajtur nëngrup Sylow, për më tepër, numri i nëngrupeve Sylow është i barabartë për disa numra të plotë (teorema e Sylow).
• Një natyrore është e thjeshtë nëse dhe vetëm nëse pjesëtohet me (teorema e Wilsonit).
• Nëse është e natyrshme, atëherë ekziston një kryetar i tillë që (postulati i Bertrandit).
• Seria e inverseve të numrave të thjeshtë divergjent. Për më tepër, kur
• Çdo progresion aritmetik i formës , ku janë numra të plotë të përbashkët, përmban pafundësisht shumë numra të thjeshtë (teorema e Dirichlet-it mbi numrat e thjeshtë në një progresion aritmetik).
• Çdo numër i thjeshtë më i madh se 3 mund të përfaqësohet si ose , ku është një numër natyror. Prandaj, nëse ndryshimi midis disa numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm (për k>1) është i njëjtë, atëherë ai domosdoshmërisht është shumëfish i 6 - për shembull: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Nëse - i thjeshtë, atëherë ai është një shumëfish i 24-ës (e vërtetë edhe për të gjithë numrat tek që nuk pjesëtohen me 3).
• Teorema Green-Tao. Ka progresione aritmetike të fundme arbitrarisht të gjata të përbëra nga numra të thjeshtë.
• n>2, k>1. Me fjalë të tjera, numri që ndjek numrin e thjeshtë nuk mund të jetë katror ose fuqi më e lartë me bazë më të madhe se 2. Nga kjo rrjedh gjithashtu se nëse një numër i thjeshtë ka formën , atëherë k- i thjeshtë (shih numrat Mersenne).
• Asnjë numër i thjeshtë nuk mund të ketë formën , ku n>1, k>0. Me fjalë të tjera, një numër që i paraprin një numri të thjeshtë nuk mund të jetë një kub ose një fuqi teke më e lartë me një bazë më të madhe se 1.

që përmban 26 ndryshore dhe ka shkallën 25. Shkalla më e vogël për polinomet e njohur të këtij lloji është 5 me 42 ndryshore; numri më i vogël i variablave është 10 me një shkallë rreth 15905. Ky rezultat është një rast i veçantë i vetive Diofantine të çdo grupi të numërueshëm të provuar nga Yuri Matiyasevich.

Pyetje të hapura

Shpërndarja e numrit të thjeshtë fq n = f (Δ s n); Δ s n = fq n+1 ² - fq n ². Δ fq n = fq n+1 - fq n ; Δ fq n = 2, 4, 6, … .

Ka ende shumë pyetje të hapura në lidhje me numrat e thjeshtë, më të famshmit prej të cilëve u renditën nga Edmund Landau në Kongresin e Pestë Ndërkombëtar të Matematikës:

Është gjithashtu një problem i hapur që ka një numër të pafund numrash të thjeshtë në shumë sekuenca të numrave të plotë, duke përfshirë numrat Fibonacci, numrat Fermat, etj.

Aplikacionet

Variacione dhe përgjithësime

• Në teorinë e unazave, përcaktohet një degë e algjebrës abstrakte, koncepti i një elementi kryesor dhe një ideali kryesor.
• Në teorinë e nyjeve, koncepti i një nyje të thjeshtë përcaktohet ( anglisht), si një nyje jo e parëndësishme që nuk mund të përfaqësohet si një shumë e lidhur e nyjeve jo të parëndësishme.

Shiko gjithashtu

Shënime

Letërsia

• Galperin G."Vetëm rreth numrave të thjeshtë" // Kuantike. - Nr. 4. - F. 9-14,38.
• Nesterenko Yu. V. Problemet algoritmike të teorisë së numrave // ​​Hyrje në kriptografi / Redaktuar nga V. V. Yashchenko. - Pjetri, 2001. - 288 f. - ISBN 5-318-00443-1
• Vasilenko O. N. Algoritmet teorike të numrave në kriptografi. - M.: MTsNMO, 2003. - 328 f. - ISBN 5-94057-103-4
• Cheremushkin A.V.. - M.: MTsNMO, 2002. - 104 f. - ISBN 5-94057-060-7
• Knop K."Ndjekja e thjeshtësisë"
• Kordemsky B. A. Njohur matematikore. - M.: GIFML, 1958. - 576 f.
• Henry S. Warren, Jr. Kapitulli 16. Formulat për numrat e thjeshtë // Truket algoritmike për programuesit = Hacker's Delight. - M.: Williams, 2007. - 288 f. - ISBN 0-201-91465-4
• Yu. Matiyasevich. Formulat për numrat e thjeshtë // Kuantike. - 1975. - Nr. 5. - F. 5-13.
• N. Karpushina. Palindromat dhe "përmbysjet" midis numrave të thjeshtë // Shkenca dhe jeta. - 2010. - № 5.
• D. Zager. 50 milionë primat e para // Përparimet në shkencat matematikore. - 1984. - T. 39. - Nr 6(240). - F. 175–190.

Lidhjet

• Faqet kryesore - baza e të dhënave e numrave kryesorë më të mëdhenj të njohur
• Listat kryesore të PrimeGrid - të gjithë numrat kryesorë të gjetur brenda projektit PrimeGrid
• Gjeometria e numrave të thjeshtë dhe të përsosur (Spanjisht)

Sistemet numerike
Duke numëruar grupe	Numrat natyrorë () Numrat e plotë () Racionalë () Algjebrikë () Periodat Aritmetikë të Llogaritshme
Numrat realë dhe zgjerimet e tyre	Real () Kompleks () Kuaternione ()

Prezantimi

Një numër i thjeshtë është një numër natyror që ka saktësisht dy faktorë natyrorë të dallueshëm: një dhe vetveten. Të gjithë numrat e tjerë përveç njërit quhen numra të përbërë. Kështu, të gjithë numrat natyrorë më të mëdhenj se një ndahen në të thjeshtë dhe të përbërë. Teoria e numrave studion vetitë e numrave të thjeshtë.

Teorema themelore e aritmetikës thotë se çdo numër natyror më i madh se një mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë dhe në një mënyrë unike, deri në rendin e faktorëve. Kështu, numrat e thjeshtë janë "blloqet ndërtuese" elementare të numrave natyrorë.

Paraqitja e një numri natyror si prodhim i numrave të thjeshtë quhet zbërthim i thjeshtë ose faktorizimi i një numri.

Nga historia e numrave të thjeshtë

Matematikani grek Eratosthenes, i cili jetoi më shumë se 2000 para Krishtit, përpiloi tabelën e parë të numrave të thjeshtë. Eratosthenes lindi në qytetin e Kirenës, u shkollua në Aleksandri nën drejtimin e Callimachus dhe Lisanias, në Athinë ai dëgjoi filozofët Ariston i Kios dhe Arcesilaus dhe u lidh ngushtë me shkollën e Platonit. Në vitin 246 para Krishtit, pas vdekjes së Callimachus, mbreti Ptolemeu Evergetes thirri Eratosthenes nga Athina dhe e caktoi atë të menaxhonte Bibliotekën e Aleksandrisë. Eratosthenes punoi në shumë fusha të shkencës: filologji, gramatikë, histori, letërsi, matematikë, kronologji, astronomi, gjeografi dhe muzikë.

Për të gjetur numrat e thjeshtë, Eratosthenes doli me këtë metodë. Ai i shënoi të gjithë numrat nga 1 në një numër, dhe më pas shënoi njërin, i cili nuk është as numër i thjeshtë dhe as i përbërë, më pas kaloi nëpër një të gjithë numrat që vijnë pas 2 (numrat që janë shumëfish të 2, d.m.th. 4.6 , 8, etj.). Numri i parë i mbetur pas 2 ishte 3. Më tej, të gjithë numrat që ishin shumëfish të 3-it u kryqëzuan, d.m.th. 6,9,12, etj. Në fund, vetëm numrat e thjeshtë mbetën të pakryqëzuar. (Fig. 1)

Meqenëse grekët bënin shënime në tableta të veshura me dylli ose në papirus të shtrirë, dhe numrat nuk ishin të kryqëzuara, por të nxjerra me gjilpërë, tabela në fund të llogaritjeve i ngjante një sitë. Prandaj, metoda e Eratosthenes quhet sita e Eratosthenes: në këtë sitë, numrat e thjeshtë "shihen" nga numrat e përbërë. Në këtë mënyrë, aktualisht përpilohen tabelat e numrave të thjeshtë, por me ndihmën e kompjuterëve.

Numrat e thjeshtë në natyrë dhe përdorimi i tyre nga njerëzit

1) Cikada periodike

Njerëzit kanë ndryshuar botën përreth nesh, kanë ndërtuar qytete të jashtëzakonshme dhe kanë zhvilluar teknologji mbresëlënëse që kanë krijuar botën moderne. E fshehur nën guaskën e jashtme të planetit ku jetojmë, bota e padukshme përbëhet nga numra, sekuenca dhe gjeometri. Matematika është kodi që i jep kuptim gjithë universit.

Në pyjet e Tenesit këtë verë, një pjesë e kodit në fjalë u rrit fjalë për fjalë nga toka. Çdo 13 vjet, për rreth 6 javë, një kor insektesh magjeps të gjithë ata që janë dëshmitarë të këtij fenomeni të rrallë natyror. Mbijetesa e këtyre cikadave, të cilat mund të gjenden vetëm në rajonet lindore të Amerikës së Veriut, varet nga vetitë e çuditshme të disa prej numrave më themelorë në matematikë - numrat e thjeshtë, numra që pjesëtohen vetëm me veten dhe të tjerët.

Cikadat shfaqen këtu në mënyrë periodike, por shfaqja e tyre ndodh gjithmonë në ato vite, numrat e të cilëve përbëhen nga numra të thjeshtë. Në rastin e pjellës që u shfaq rreth Nashville këtë vit, kanë kaluar 13 vjet nga shfaqja e tyre e fundit. Zgjedhja e një cikli 13-vjeçar nuk duket e rastësishme. Ka edhe dy pjellë të tjera në pjesë të ndryshme të Amerikës së Veriut, të cilët gjithashtu kanë një cikël jetësor prej 13 vjetësh. Ato shfaqen në rajone të ndryshme dhe në vite të ndryshme, por midis shfaqjes së këtyre gjallesave kalojnë saktësisht 13 vjet. Përveç kësaj, ka edhe 12 pjellë insektesh që shfaqen çdo 17 vjet.

Ju mund t'i merrni këto numra si krejtësisht të rastësishëm. Por është shumë interesante që nuk ka cikada me cikël jetësor 12, 14, 15, 16 ose 18 vjet. Megjithatë, shikoni këto cikada me sytë e një matematikani dhe fotografia fillon të bëhet më e qartë. Për shkak se numrat 13 dhe 17 janë të dy të pandashëm, kjo u jep cikadave një avantazh evolucionar ndaj kafshëve të tjera, ciklet e jetës së të cilëve janë periodikë dhe jo numra të thjeshtë. Merrni, për shembull, një grabitqar që shfaqet në pyje çdo gjashtë vjet. Pastaj ciklet e jetës tetë ose nëntë-vjeçare të cikadave do të përkojnë me ciklet e jetës së grabitqarëve, ndërsa ciklet e jetës shtatëvjeçare do të përkojnë me ciklin jetësor të një grabitqari shumë më rrallë.

Këto insekte ngatërruan kodin matematikor për të mbijetuar.

2) Kriptografia

Cicadas zbuluan përfitimet e përdorimit të numrave të thjeshtë për mbijetesën e tyre, por njerëzit kuptuan se këta numra nuk ishin vetëm çelësi i mbijetesës, por edhe një bllok i madh ndërtimi në matematikë. Çdo numër është në thelb një koleksion numrash të thjeshtë, dhe një koleksion numrash përbën matematikën, dhe nga matematika ju merrni të gjithë botën shkencore.

Numrat kryesorë gjenden të fshehur në natyrë, por njerëzimi ka mësuar t'i përdorë ato.

Kuptimi i natyrës themelore të këtyre numrave dhe përdorimi i vetive të tyre nga njerëzit, fjalë për fjalë i vendos ato në bazë të të gjitha kodeve që mbrohen nga sekretet kibernetike të botës.

Kriptografia që i mban kartat tona të kreditit të sigurta kur blejmë diçka në internet përdor të njëjtët numra që mbrojnë cikadat e Amerikës së Veriut - numrat kryesorë. Sa herë që futni numrin e kartës suaj të kreditit në një faqe interneti, ju po mbështeteni në numra të thjeshtë për të mbajtur sekretet dhe informacionet tuaja rreth jush. Për të kriptuar kartën tuaj të kreditit, kompjuteri juaj merr një numër publik H nga faqja e internetit, i cili do të përdoret për të përfunduar transaksionet me kartën tuaj të kreditit.

Kjo përzien të dhënat tuaja në mënyrë që letra e koduar të mund të dërgohet përmes Internetit. Faqja e internetit përdor numrat kryesorë të ndarë me H për të deshifruar mesazhin. Megjithëse H është një numër publik, numrat kryesorë që e përbëjnë atë janë çelësat sekretë që deshifrojnë të dhënat. Arsyeja pse ky kodim është kaq i sigurt është se është shumë e lehtë të shumëzohen numrat e thjeshtë së bashku, por zbërthimi i një numri në numra të thjeshtë është pothuajse i pamundur.

3) Gjëegjëza me numra të thjeshtë

Numrat e thjeshtë janë atomet e aritmetikës, hidrogjeni dhe oksigjeni i botës së numrave. Por pavarësisht natyrës së tyre themelore, ato përfaqësojnë gjithashtu një nga misteret më të mëdha të matematikës. Sepse ndërsa ecni nëpër universin e numrave, është pothuajse e pamundur të parashikoni se ku do të takoni numrin tjetër të thjeshtë.

Ne e dimë se numri i numrave të thjeshtë shkon në pafundësi, por gjetja e një modeli për paraqitjen e numrave të thjeshtë është misteri më i madh në matematikë. Një çmim prej një milion dollarësh i premtohet atij që mund të zbulojë sekretin e këtyre numrave. Misteri se kur cikadat filluan të përdorin numrat e thjeshtë për të mbijetuar është po aq kompleks sa edhe vetë misteri i numrave të thjeshtë.

Numrat kryesorë janë kapriçioz. Tabelat e numrave të thjeshtë zbulojnë "parregullsi" të mëdha në shpërndarjen e numrave të thjeshtë

Larmia e tablosë së shpërndarjes së numrave të thjeshtë rritet edhe më shumë nëse vërejmë se ka çifte numrash të thjeshtë që ndahen në serinë natyrore vetëm me një numër (“binjakë”). Për shembull. 3 dhe 5, 5 dhe 7, 11 dhe 13, 10016957 dhe 10016959. Nga ana tjetër, ka çifte numrash të thjeshtë me shumë numra të përbërë ndërmjet tyre. Për shembull, të gjithë 153 numrat nga 4652354 deri në 4652506 janë numra të përbërë.

Për gjetjen e numrave të thjeshtë me më shumë se 100,000,000 dhe 1,000,000,000 shifra dhjetore, EFF dha çmime në para prej 150,000 USD dhe 250,000 USD, respektivisht.

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë. Shenjat e pjesëtueshmërisë.

2014-02-01

Privat
pjesëtues
të shumëfishta
numër çift
numër i rastësishëm
Numri kryesor
numër i përbërë
Test për pjesëtueshmërinë me 2
Test për pjesëtueshmërinë me 4
Testi i pjesëtueshmërisë me 5
Test për pjesëtueshmërinë me 3 dhe 9

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë, dhe
$a=bq$,
ku $q$ është gjithashtu një numër natyror, atëherë themi se $q$ është

herësi i pjesëtimit të numrit $a$ me numrin $b$ dhe shkruaj: $q = a/b$.

Thuhet gjithashtu se $a$ pjesëtohet me $b$ plotësisht ose pa lënë gjurmë.

Çdo numër $b$ që ndan $a$ pa mbetje quhet pjesëtues i $a$

Vetë

numri $a$ në raport me pjesëtuesin e tij quhet shumëfish

Kështu, shumëfishat e $b$ janë numrat $b, 2b, 3b, \cdots$.

Numrat që janë shumëfish të 2 (d.m.th. të pjesëtueshëm me 2 pa mbetje) quhen çift.

.

Numrat që nuk pjesëtohen në mënyrë të barabartë me 2 quhen tek.

Çdo numër natyror është ose çift ose tek.

Nëse secili nga dy numrat $a_(1), a_(2)$ është shumëfish i $b$, atëherë shuma $a_(1)+a_(2)$ është shumëfish i $b$. Kjo mund të shihet nga hyrja $a_(1)=bq_(1), a_(2)=bq_(2); a_(1)+a_(2)=bq_(1)+bq_(2)= b (q_(1)+q_(2))$.
Në të kundërt, nëse $a_(1)$ dhe $a_(1)+a_(2)$ janë shumëfish të $b$, atëherë $a_(2)$ është gjithashtu një shumëfish i $b$.

Çdo numër natyror përveç njërit ka të paktën dy pjesëtues: një dhe vetveten.

Nëse një numër nuk ka pjesëtues të tjerë përveç tij dhe një, ai quhet i thjeshtë

.

Një numër që ka një pjesëtues të ndryshëm nga ai dhe një quhet i përbërë.

Në numër. Është zakon që njësia të klasifikohet as si numër i thjeshtë dhe as i përbërë. Këtu janë disa numrat e parë të thjeshtë, të shkruar në rend rritës:
$2,3,5,7,11,13,17,\cdots$
Numri 2 është i vetmi numër i thjeshtë çift; të gjithë numrat e tjerë të thjeshtë janë tek.

Fakti që ka një numër të pafund numrash të thjeshtë është vërtetuar në kohët e lashta (Euklidi, shekulli III para Krishtit).

Ideja pas provës së Euklidit për pafundësinë e grupit të numrave të thjeshtë është mjaft e thjeshtë. Le të supozojmë se ka një numër të kufizuar numrash të thjeshtë; Le t'i rendisim të gjitha, për shembull, duke i renditur në rend rritës:
$2,3,5, \cdots , p$. (1)
Le të bëjmë një numër të barabartë me produktin e tyre plus një:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Natyrisht, ky numër nuk është i pjesëtueshëm me asnjë nga numrat (1). Prandaj, ose është vetë i thjeshtë, ose, nëse është i përbërë, ka një faktor të thjeshtë të ndryshëm nga numrat në (1), i cili bie ndesh me supozimin se shënimi (1) rendit të gjithë numrat e thjeshtë.

Kjo provë është me interes të madh sepse ofron një shembull të një prove të një teoreme ekzistence (të një grupi të pafund numrash të thjeshtë) që nuk përfshin gjetjen e vërtetë të objekteve, ekzistenca e të cilëve është duke u vërtetuar.

Mund të vërtetohet se çdo numër i përbërë mund të paraqitet si prodhim i numrave të thjeshtë. Për shembull,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ ose $1176 = 2^(3) \cdot 3 \cdot 7^(2)$.
Siç shihet nga ky shembull, në zbërthimin e një numri të caktuar në faktorë të thjeshtë, disa prej tyre mund të përsëriten disa herë.

Në përgjithësi, në shënimin e zbërthimit të numrit $a$ në faktorë të thjeshtë
$a = p^(k_(1))_(1) p^(k_(2))_(2) \cpika p^(k_(n))_(n)$ (2)
nënkuptohet se të gjithë numrat e thjeshtë $p_(1),p_(2), \cdots , p_(n)$ janë të ndryshëm nga njëri-tjetri (dhe $p_(1)$ përsëritet me një faktor $k_(1)$ herë, $p_(2 )$ përsëritet me një faktor prej $k_(2)$ herë, etj.). Në këtë kusht, mund të vërtetohet se zgjerimi është unik deri në rendin në të cilin janë shkruar faktorët.

Kur zbërthehet një numër në faktorë të thjeshtë, është e dobishme të përdoren testet e pjesëtueshmërisë, të cilat ju lejojnë të zbuloni nëse një numër i caktuar është i pjesëtueshëm me një numër tjetër pa mbetje, pa kryer vetë pjesëtimin. Ne do të nxjerrim kriteret e pjesëtueshmërisë për numrat 2, 3, 4, 5, 9.

Testi i pjesëtueshmërisë me 2. Ata dhe vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 2 në të cilët shifra e fundit shpreh një numër çift (0, 2, 4, 6 ose 8).

Dëshmi. Le të paraqesim numrin $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ si $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \overline(c_( 1 )c_(2) \cpika 0) + c_(m)$.
Termi i parë në anën e djathtë është i pjesëtueshëm me 10 dhe për këtë arsye çift; shuma do të jetë çift nëse dhe vetëm nëse $c_(m)$ është numër çift.

Pjesëtueshmëria me 4 Numri $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ plotpjesëtohet me 4 nëse dhe vetëm nëse numri dyshifror i shprehur me dy shifrat e fundit të tij pjesëtohet me 4.

Dëshmi. Le të paraqesim numrin $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ në formën
$\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m)) = \mbi linjë(c_(1)c_(2) \cdots 00) + \mbi linjë(c_(m-1)c_(m)) $
Termi i parë pjesëtohet me 100 dhe aq më tepër me 4. Shuma do të pjesëtohet me 4 nëse dhe vetëm nëse $\overline(c_(m-1)c_(m))$ pjesëtohet me 4.

Testoni për pjesëtueshmërinë me 5. Ata dhe vetëm ata numra, shënimi i të cilëve përfundon me numrin 0 ose numrin 5, pjesëtohen me 5.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 3 dhe 9. Një numër pjesëtohet me 3 (përkatësisht me 9) nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3 (përkatësisht me 9).

Dëshmi. Le të shkruajmë barazitë e dukshme
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$\cdots$,
për shkak të së cilës numri $\overline(c_(1)c_(2) \cdots c_(m))$ mund të përfaqësohet si
$a_(m)=c_(1)(99 \cpika 9 + 1) + \cpika + c_(m-1) (9+1) + c_(m)$
ose
$a_(m)=c_(1) \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_(m-1) \cdot 9 + (c_(1) + c_(2) + \cdots + c_(m-1) + c_(m))$.
Mund të shihet se të gjithë termat, përveç ndoshta kllapa e fundit, janë të pjesëtueshëm me 9 (dhe aq më tepër me 3). Prandaj, një numër i dhënë është i pjesëtueshëm me 3 ose 9 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të tij $c_(1)+c_(2)+ \cdots + c_(m)$ është e pjesëtueshme me 3 ose 9.

Departamenti i Arsimit dhe Politikave Rinore të Administratës

Rrethi Yalchik i Republikës Chuvash

Projekti
Numrat kryesorë...

A është kaq e thjeshtë historia e tyre?

Përfunduar nga një nxënës i klasës së 7-të të institucionit arsimor komunal "Shkolla e Mesme Novoshimkusskaya e Rrethit Yalchik të Republikës Chuvash" Efimova Marina

Drejtues: Mësues i matematikës i kategorisë I, Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme Novoshimkus, rrethi Yalchik, Republika Çuvash" Kirillova S.M.

Fshati i Ri Shimkusy - 2007

1. 
   Përcaktimi i numrave të thjeshtë 3
2. 
   Meritat e Euler 3
3. 
   Teorema themelore e aritmetikës 4
4. 
   Mersen kryeson 4
5. 
   Fermat 5 numra të thjeshtë
6. 
   Sita e Eratosthenes 5
7. 
   Zbulimi i P.L. Chebyshev 6
8. 
   Problemi Goldbach 7
9. 
   I.M.Vinogradov 8
10. 
    Përfundimi 8
11. 
    Letërsia 10

Përkufizimi i numrave të thjeshtë

Interesi për studimin e numrave të thjeshtë u ngrit midis njerëzve në kohët e lashta. Dhe kjo u shkaktua jo vetëm nga nevoja praktike. Ata tërhiqeshin nga fuqia e tyre e jashtëzakonshme magjike. Numrat që mund të përdoren për të shprehur sasinë e çdo objekti. Vetitë e papritura dhe në të njëjtën kohë natyrore të numrave natyrorë të zbuluar nga matematikanët e lashtë i befasuan ata me bukurinë e tyre të jashtëzakonshme dhe frymëzuan kërkime të reja.

Duhet të ketë qenë një nga vetitë e para të numrave të zbuluar nga njeriu që disa prej tyre mund të faktorizohen në dy ose më shumë faktorë, p.sh.

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, ndërsa të tjerat, si 3, 7, 13, 37, nuk mund të zgjerohen në këtë mënyrë.

Kur numri c = Abështë prodhim i dy numrave A dhe b , pastaj numrat një dheb quhen shumëzuesit ose ndarëse numrat s. Çdo numër mund të përfaqësohet si produkt i dy faktorëve. Për shembull, me = 1 *c = c*1.

E thjeshtëështë një numër që pjesëtohet vetëm me vetveten dhe një.

Një njësi që ka vetëm një pjesëtues nuk është numër i thjeshtë. Nuk vlen as për numrat e përbërë. Njësia zë një pozicion të veçantë në serinë e numrave. Pitagorianët mësuan se njësia është nëna e të gjithë numrave, shpirti nga i cili vjen e gjithë bota e dukshme, është arsyeja, mirësia, harmonia.

Në Universitetin e Kazanit, profesor Nikolsky, me ndihmën e një njësie, arriti të provojë ekzistencën e Zotit. Ai tha: "Ashtu si nuk mund të ketë një numër pa një, ashtu edhe Universi nuk mund të ekzistojë pa një Zot të vetëm."

Një është me të vërtetë një numër me veti unike: është i pjesëtueshëm vetëm me vetveten, por çdo numër tjetër është i pjesëtueshëm me të pa mbetje, çdo shkallë e tij është e barabartë me të njëjtin numër - një!

Pas pjesëtimit me të, nuk ndryshon asnjë numër i vetëm, dhe nëse pjesëtoni ndonjë numër me vete, ju merrni përsëri një! A nuk është e habitshme kjo? Pasi mendoi për këtë, Euler tha: "Duhet të përjashtohet njësia nga sekuenca e numrave të thjeshtë; ajo nuk është as e thjeshtë as e përbërë".

Ky ishte tashmë një renditje thelbësore në çështjen e errët dhe komplekse të numrave të thjeshtë.

Meritat e Euler-it

Leonard Euler

(1707-1783)

Të gjithë kanë studiuar me Euler - si në Evropën Perëndimore ashtu edhe në Rusi. Gama e krijimtarisë së tij është e gjerë: llogaritja diferenciale dhe integrale, algjebra, mekanika, dioptria, artileria, shkenca detare, teoria e lëvizjes planetare dhe hënore, teoria e muzikës - nuk mund të renditësh gjithçka. Në gjithë këtë mozaik shkencor është teoria e numrave. Euler i kushtoi shumë përpjekje dhe arriti shumë. Ai, si shumë nga paraardhësit e tij, po kërkonte një formulë magjike që do të bënte të mundur izolimin e numrave të thjeshtë nga grupi i pafund i numrave në serinë natyrore, domethënë nga të gjithë numrat që mund të imagjinohen. Euler shkroi më shumë se njëqind vepra mbi teorinë e numrave.

...Është vërtetuar p.sh. se numri i numrave të thjeshtë është i pakufizuar, pra: 1) nuk ka numër të thjeshtë më të madh; 2) nuk ka asnjë numër të thjeshtë të fundit pas të cilit të gjithë numrat do të ishin të përbërë. Prova e parë e këtij pozicioni u përket shkencëtarëve të Greqisë antike (shek. V-III para Krishtit), prova e dytë - Euler (1708-1783).

Teorema Themelore e Aritmetikës

Çdo numër natyror përveç 1 është ose i thjeshtë ose mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë, dhe në mënyrë unike, nëse nuk i kushtoni vëmendje renditjes së faktorëve.

Dëshmi. Le të marrim një numër natyror n≠ 1. Nëse n është i thjeshtë, atëherë ky është rasti i përmendur në përfundimin e teoremës. Tani supozoni se n është i përbërë. Pastaj ai përfaqësohet si produkt n = ab, ku numrat natyrorë a dhe b janë më të vegjël se n. Përsëri, ose a dhe b janë të thjeshta, atëherë gjithçka vërtetohet, ose të paktën njëri prej tyre është i përbërë, domethënë i përbërë nga faktorë më të vegjël, e kështu me radhë; përfundimisht do të marrim një faktorizim kryesor.

Nëse numri n nuk pjesëtohet me ndonjë të thjeshtë që nuk tejkalon√n, atëherë është e thjeshtë.

Dëshmi. Supozoni të kundërtën, le të jetë n e përbërë dhe P = ab, ku 1 ≤b dhe p është pjesëtues kryesor i numrit A, prandaj numrat n. Sipas kushteve P nuk është i pjesëtueshëm me asnjë të thjeshtë që nuk tejkalon √ n. Prandaj, р >√n. Por pastaj a >√n Dhe √ n ≤ A≤ b ,

ku n = ab = √ n√ n = P; erdhi në një kontradiktë, supozimi ishte i pasaktë, teorema u vërtetua.

Shembulli 1. Nëse c = 91 atëherë √ с = 9, ... kontrolloni numrat e thjeshtë 2, 3, 5, 7. Konstatojmë se 91 = 7 13.

Shembulli 2. Nëse c = 1973, atëherë gjejmë √ c = √ 1973 =44, ...

pasi nuk kishte numër të thjeshtë më parë 43 nuk pjesëtohet me, atëherë ky numër është i thjeshtë.

Shembulli 3. Gjeni numrin e thjeshtë pas numrit të thjeshtë 1973. Përgjigje: 1979.

Mersen kryeson

Për disa shekuj ka pasur një ndjekje të numrave të thjeshtë. Shumë matematikanë kanë konkurruar për nderin e të qenit zbulues i numrit kryesor më të madh të njohur.

Numrat e thjeshtë të Mersenit janë numra të thjeshtë të një forme të veçantë M p = 2 p - 1

Ku R - një numër tjetër i thjeshtë.

Këta numra kanë qenë pjesë e matematikës për një kohë të gjatë; ato shfaqen në reflektimet Euklidiane mbi numrat modernë. Ata morën emrin e tyre për nder të murgut francez Merenne Mersen (1589-1648), i cili kaloi një kohë të gjatë duke punuar në problemin e numrave modernë.

Nëse llogarisim numrat duke përdorur këtë formulë, marrim:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – i thjeshtë;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – e thjeshtë;

M 5 = 2 5 – 1 = 31 – e thjeshtë;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – e thjeshtë;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Një mënyrë e përgjithshme për të gjetur numrat e thjeshtë të Mersenit është testimi i të gjithë numrave M p për numra të thjeshtë të ndryshëm R.

Këto shifra rriten shumë shpejt dhe kostot e punës për t'i gjetur ato rriten po aq shpejt.

Në studimin e numrave të Mersenit, mund të dallohet një fazë e hershme, e cila arrin kulmin në vitin 1750, kur Euler vendosi se numri M 31 është i thjeshtë. Në atë kohë, ishin gjetur tetë numra të thjeshtë të Mersenit: "r

R= 2, р= 3, р = 5 , р = 7, р= 13, p = 17, p = 19, R =31.

Numri M 31 i Euler-it mbeti numri kryesor më i madh i njohur për më shumë se njëqind vjet.

Në 1876, matematikani francez Lucas vërtetoi se numri i madh M 127 ka 39 shifra. 12 numrat e parë Mersen u llogaritën duke përdorur vetëm laps dhe letër, dhe të tjerat u llogaritën duke përdorur makina mekanike për shtimin e desktopit.

Ardhja e kompjuterëve me lëvizje elektrike bëri të mundur vazhdimin e kërkimit, duke e sjellë atë në R = 257.

Megjithatë, rezultatet ishin zhgënjyese, dhe mes tyre nuk kishte prime të reja Mersen.

Pastaj detyra u transferua në kompjuter.

Numri më i madh i njohur aktualisht ka 3376 shifra. Ky numër u gjet në një kompjuter në Universitetin e Illinois (SHBA). Departamenti i matematikës i këtij universiteti ishte aq krenar për arritjet e tyre, saqë këtë numër e paraqitën në vulën e postës, duke e riprodhuar kështu në çdo letër që dërgonin që ta shihnin të gjithë.

Kryetarët e Fermatit

Ekziston një lloj tjetër numri i thjeshtë me një histori të gjatë dhe interesante. Ato u prezantuan për herë të parë nga juristi francez Pierre Fermat (1601-1665), i cili u bë i famshëm për veprat e tij të jashtëzakonshme matematikore.

Pierre Fermat (1601-1665)
Numrat e parë të thjeshtë të Fermatit ishin numra që plotësonin formulën F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Megjithatë, ky supozim u dërgua në arkivin e hipotezave të pajustifikuara matematikore, por pasi Leonhard Euler bëri një hap më tej dhe tregoi se numri tjetër Fermat F 5 = 641 6 700 417 është i përbërë.

Është e mundur që historia e numrave Fermat të kishte përfunduar nëse numrat Fermat nuk do të shfaqeshin në një problem krejtësisht të ndryshëm - ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt duke përdorur një busull dhe vizore.

Megjithatë, asnjë numër i thjeshtë Fermat nuk është gjetur dhe shumë matematikanë tani priren të besojnë se ata nuk ekzistojnë më.
Sita e Eratosthenes

Ka tabela të numrave të thjeshtë që shtrihen në numra shumë të mëdhenj. Si t'i qasemi përpilimit të një tabele të tillë? Ky problem, në njëfarë kuptimi, u zgjidh (rreth 200 para Krishtit) nga Eratosthenes, një matematikan nga Aleksandria. -

Skema e tij është si më poshtë. Le të shkruajmë një sekuencë të të gjithë numrave të plotë nga 1 në numrin me të cilin duam të mbyllim tabelën.

Le të fillojmë me numrin e thjeshtë 2. Do të hedhim çdo numër të dytë. Le të fillojmë me 2 (me përjashtim të vetë numrit 2), pra numrat çift: 4, 6, 8, 10, etj., nënvizoni secilin prej tyre.

Pas këtij veprimi, numri i parë i pa nënvizuar do të jetë 3. Është i thjeshtë, pasi nuk pjesëtohet me 2. Duke e lënë numrin 3 të pa nënvizuar, do të nënvizojmë çdo numër të tretë pas tij, pra numrat 6, 9, 12. , 15... Disa prej tyre tashmë janë nënvizuar sepse janë të barabartë. Në hapin tjetër, numri i parë i nënvizuar do të jetë numri 5; është e thjeshtë, pasi nuk pjesëtohet as me 2, as me 3. Të lëmë numrin 5 të pa nënvizuar, por të nënvizojmë çdo numër të pestë pas tij, pra numrat 10, 15, 20... Si më parë, disa prej tyre rezultuan të të nënvizohet . Tani numri më i vogël i patheksuar do të jetë numri 7. Ai është i thjeshtë sepse nuk pjesëtohet me asnjë nga numrat e tij më të thjeshtë 2, 3, 5. Duke e përsëritur këtë proces, përfundimisht do të marrim një sekuencë numrash të patheksuar; të gjithë ata (përveç numrit 1) janë të thjeshtë. Kjo metodë e shoshitjes së numrave njihet si "sosha e Eratosthenes". Çdo tabelë e numrave të thjeshtë krijohet sipas këtij parimi.

Eratostheni krijoi një tabelë me numrat e thjeshtë nga 1 në 120 më shumë se 2000 vjet më parë. Ai shkruante në papirus të shtrirë mbi një kornizë, ose në një tabletë dylli dhe nuk i gërvishti si ne, por i shpoi numrat e përbërë. Rezultati ishte diçka si një sitë përmes së cilës "shoshiteshin" numrat e përbërë. Prandaj, tabela e numrave të thjeshtë quhet "Sosha e Eratosthenes".

Sa numra të thjeshtë ka? A ka një numër të thjeshtë të fundit, domethënë një pas të cilit të gjithë numrat do të jenë të përbërë? Nëse ekziston një numër i tillë, si ta gjejmë atë? Të gjitha këto pyetje i kanë interesuar shkencëtarët që nga kohërat e lashta, por përgjigja e tyre nuk ishte aq e lehtë për t'u gjetur.

Eratostheni ishte një njeri shumë i zgjuar. Ky bashkëkohës dhe mik i Arkimedit, me të cilin ai vazhdimisht korrespondonte, ishte matematikan, astronom dhe mekanik, gjë që konsiderohej e natyrshme për njerëzit e mëdhenj të asaj kohe. Ishte i pari që mati diametrin e globit, pa u larguar nga biblioteka e Aleksandrisë ku punonte. Saktësia e matjeve të tij ishte jashtëzakonisht e lartë, madje edhe më e lartë se ajo me të cilën Arkimedi mati Tokën.

Eratosthenes shpiku një pajisje të zgjuar - mesolabit, me me ndihmën e të cilit ai zgjidhi mekanikisht problemin e njohur të dyfishimit të një kubi, për të cilin ai ishte shumë krenar, dhe për këtë arsye dha urdhrin për të përshkruar këtë pajisje në një kolonë në Aleksandri. Për më tepër, ai korrigjoi kalendarin egjiptian duke shtuar një ditë në katër vjet - në një vit të brishtë.

Sita e Eratosthenes - kjo është një shpikje primitive dhe në të njëjtën kohë e zgjuar, të cilën Euklidi as që e kishte menduar - sugjeron idenë e njohur se çdo gjë e zgjuar është e thjeshtë.

Sita e Eratosthenes funksionoi mirë për studiuesit e numrave të thjeshtë. Koha kaloi. Kishte një kërkim për mënyra për të kapur numrat e thjeshtë. Një lloj konkursi filloi për të gjetur numrin më të madh kryesor që nga kohërat e lashta deri në Chebyshev dhe madje deri në ditët e sotme.
Zbulimi i P.L. Chebysheva

DHE Kështu, numri i numrave të thjeshtë është i pafund. Ne kemi parë tashmë se numrat e thjeshtë janë të renditur pa asnjë renditje. Le ta shohim më në detaje.

2 dhe 3 janë numra të thjeshtë. Ky është çifti i vetëm i numrave të thjeshtë që janë ngjitur.

Pastaj vijnë 3 dhe 5, 5 dhe 7, 11 dhe 13, 17 dhe 19, etj. Këto janë të ashtuquajturat prime ose binjakë ngjitur. Ka shumë binjakë: 29 dhe 31, 41 dhe 43, 59 dhe 61, 71 dhe 73, 101 dhe 103, 827 dhe 829, etj. Çifti më i madh i binjakëve të njohur tani është: 10016957 dhe 10,016,959.

Panfutiy Lvovich Chebyshev

Si shpërndahen numrat e thjeshtë në një seri natyrore në të cilën nuk ka një numër të vetëm të thjeshtë? A ka ndonjë ligj në shpërndarjen e tyre apo jo?

Nëse po, cili? Si ta gjeni? Por përgjigja e këtyre pyetjeve nuk është gjetur për më shumë se 2000 vjet.

Hapi i parë dhe shumë i madh në zgjidhjen e këtyre çështjeve u bë nga shkencëtari i madh rus Panfuty Lvovich Chebyshev. Në 1850, ai vërtetoi se midis çdo numri natyror (jo i barabartë me 1) dhe një numri dyfishi i madhësisë së tij (d.m.th., midis n dhe 2n), ekziston të paktën një numër i thjeshtë.
Le ta kontrollojmë këtë me shembuj të thjeshtë. Le të marrim disa vlera arbitrare të n për n . dhe gjeni vlerën 2n në përputhje me rrethanat.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Ne shohim se për shembujt e konsideruar, teorema e Chebyshev është e vërtetë.

Chebyshev e vërtetoi për çdo rast, për çdo n. Për këtë teoremë ai u quajt fitues i numrave të thjeshtë. Ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë i zbuluar nga Chebyshev ishte një ligj vërtet themelor në teorinë e numrave pas ligjit të zbuluar nga Euklidi për pafundësinë e numrit të numrave të thjeshtë.

Ndoshta përgjigja më dashamirëse, më entuziaste ndaj zbulimit të Chebyshev erdhi nga Anglia nga matematikani i famshëm Sylvester: “...Sukseset e mëtejshme në teorinë e numrave të thjeshtë mund të priten kur të lindë dikush që është po aq më i lartë se Chebyshev në depërtimin dhe mendimin e tij sa Chebyshev është superior ndaj këtyre cilësive të njerëzve të zakonshëm."

Më shumë se gjysmë shekulli më vonë, matematikani gjerman E. Landau, një specialist i shquar i teorisë së numrave, shtoi në këtë deklaratë: "I pari pas Euklidit, Chebyshev mori rrugën e duhur në zgjidhjen e problemit të numrave të thjeshtë dhe arriti rezultate të rëndësishme. .”
Problemi i Goldbach

Le të shkruajmë të gjithë numrat e thjeshtë nga 1 në 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Tani le të provojmë çdo numër nga 4 në 50 paraqesin atë si shumën e dy ose tre numrave të thjeshtë. Le të marrim disa numra në mënyrë të rastësishme:

Siç mund ta shihni, ne e përfunduam detyrën pa vështirësi. A është gjithmonë e mundur kjo? A mund të paraqitet ndonjë numër si shuma e disa numrave të thjeshtë? Dhe nëse po, sa: dy? tre? dhjetë?

Në 1742, Goldbach, një anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut, në një letër drejtuar Euler-it, sugjeroi se çdo numër i plotë pozitiv më i madh se pesë është shuma e jo më shumë se tre numrave të thjeshtë.

Goldbach testoi shumë numra dhe nuk takoi kurrë një numër që nuk mund të zbërthehej në shumën e dy ose tre termave të thjeshtë. Por nëse do të jetë gjithmonë kështu, ai nuk e ka vërtetuar. Shkencëtarët kanë studiuar për një kohë të gjatë këtë problem, i cili quhet "Problemi Goldbach" dhe është formuluar si më poshtë.

Ju duhet të provoni ose kundërshtoni propozimin:

Çdo numër më i madh se një është shuma e jo më shumë se tre numrave të thjeshtë.

Për gati 200 vjet, shkencëtarë të shquar u përpoqën të zgjidhnin problemin Goldbach-Euler, por pa sukses. Shumë kanë arritur në përfundimin se është e pamundur ta zgjidhësh atë.

Por zgjidhja e saj, pothuajse plotësisht, u gjet në vitin 1937 nga matematikani sovjetik I.M. Vinogradov.

ATA. Vinogradov

Ivan Matveevich Vinogradov është një nga matematikanët më të mëdhenj modernë. Ai lindi më 14 shtator 1891 në fshatin Milolub të provincës Pskov. Më 1914 u diplomua në Universitetin e Shën Petersburgut dhe u la të përgatitej për një post profesori.

Puna e tij e parë shkencore I.M. Vinogradov shkroi në vitin 1915. Që atëherë ai ka shkruar më shumë se 120 vepra të ndryshme shkencore. Në to, ai zgjidhi shumë probleme për të cilat shkencëtarët në mbarë botën kishin punuar për dhjetëra e qindra vjet.

Ivan Matveevich Vinogradov
Për shërbimet në fushën e matematikës I.M. Vinogradov njihet nga të gjithë shkencëtarët e botës si një nga matematikanët e parë të kohës sonë dhe u zgjodh në numrin e anëtarëve të shumë akademive në mbarë botën.

Jemi krenarë për bashkatdhetarin tonë të mrekullueshëm.

konkluzioni.
Nga klasa në hapësirën e jashtme

Le ta fillojmë bisedën tonë për numrat e thjeshtë me një histori magjepsëse rreth një udhëtimi imagjinar nga klasa në hapësirën e jashtme. Ky udhëtim imagjinar u shpik nga mësuesi i famshëm sovjetik i matematikës, profesor Ivan Kozmich Andronov (lindur në 1894). “...a) merr mendërisht një tel të drejtë që del nga klasa në hapësirën botërore, duke shpuar atmosferën e tokës, duke shkuar atje ku rrotullohet Hëna, dhe më pas përtej topit të zjarrit të Diellit dhe më tej në pafundësinë e botës;

b) varni mendërisht llambat në një tel çdo metër, duke i numëruar ato duke filluar nga më e afërta: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1.000.000...;

c) ndizni mendërisht rrymën në atë mënyrë që të ndizen të gjitha llambat me numra të thjeshtë dhe vetëm ato me numra të thjeshtë; : .

d) fluturoni mendërisht afër telit.

Para nesh do të shpaloset fotografia e mëposhtme.

1. Llamba numër 1 nuk ndizet. Pse? Sepse një nuk është numër i thjeshtë.

2. Dy llambat e ardhshme, me numër 2 dhe 3, janë ndezur pasi 2 dhe 3 janë të dy numra të thjeshtë. A mund të takohen dy llamba ngjitur me djegie në të ardhmen? Jo, nuk munden. Pse? Çdo numër i thjeshtë përveç dy është një numër tek, dhe ata ngjitur me një të thjeshtë në secilën anë do të jenë numra çift, dhe çdo numër çift përveç dy është një numër i përbërë, pasi është i pjesëtueshëm me dy.

3. Më pas vëzhgojmë një palë llamba që digjen nga një llambë me numrat 3 dhe 5, 5 dhe 7, etj. Është e qartë pse digjen: këta janë binjakë. Vërejmë se në të ardhmen ato ndodhin më rrallë; të gjitha çiftet e binjakëve, si çiftet e numrave të thjeshtë, kanë formën 6n ± 1; Për shembull

6*3 ± 1 është e barabartë me 19 dhe 17

ose 6*5 ± 1 është e barabartë me 31 dhe 29, ...;

por 6*20 ± 1 është e barabartë me 121 dhe 119 - ky çift nuk është binjak, pasi ka një palë numrash të përbërë.

Arrijmë në çiftin e binjakëve 10,016,957 dhe 10,016,959. A do të ketë çifte të tjera binjakësh? Shkenca moderne nuk jep ende një përgjigje: nuk dihet nëse ka një numër të fundëm apo të pafund të çifteve binjake.

4. Por atëherë fillon të veprojë ligji i një boshllëku të madh, i mbushur vetëm me numra të përbërë: ne fluturojmë në errësirë, shikojmë prapa - errësirë ​​dhe asnjë dritë nuk është e dukshme përpara. Ne kujtojmë pronën e zbuluar nga Euklidi dhe ecim me guxim përpara, pasi duhet të ketë llamba të ndritshme përpara dhe duhet të ketë një numër të pafundëm të tyre përpara.

5. Pasi kemi fluturuar në një vend në serinë natyrore, ku disa vite të lëvizjes sonë kanë kaluar tashmë në errësirë, ne kujtojmë pronën e provuar nga Chebyshev dhe qetësohemi, të sigurt se në çdo rast, nuk duhet të fluturojmë më shumë se ne fluturuam për të parë të paktën një llambë ndriçuese."
Letërsia
1. Mjeshtri i madh i induksionit, Leonhard Euler.

2. Pas faqeve të një teksti matematike.

3. Prudnikov N.I. P.L. Chebyshev.

4. Serbsky I. A.Çfarë dimë dhe nuk dimë për numrat e thjeshtë.

5. Shtëpia botuese “I Shtatori i Parë”. Matematika nr 13, 2002

6. Shtëpia botuese “I Shtatori i Parë”. Matematika nr 4, 2006