Historia e numrave të thjeshtë. Numri kryesor

Molokov Maksim

Këtë vit ne studiuam temën "Numrat e thjeshtë dhe të përbërë" dhe pyeta se cilët shkencëtarë po i studionin, si të merrnin numra të thjeshtë përveç atyre që gjenden në fletën e mizave të librit tonë shkollor (nga 1 deri në 1000), ky u bë qëllimi i plotësimit. kjo pune.
Detyrat:
1. Studioni historinë e zbulimit të numrave të thjeshtë.
2. Njihuni me metodat moderne të gjetjes së numrave të thjeshtë.
3. Zbuloni se në cilat fusha shkencore përdoren numrat e thjeshtë.
4. A ka emra midis shkencëtarëve rusë të atyre që studiuan numrat e thjeshtë?

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Historia e numrave të thjeshtë Shkolla e mesme MBOU Sukhovskaya Autori: nxënësi i klasës së 6-të Molokov Maxim Mbikëqyrës: mësuesja e matematikës Babkina L. A. p. Novosukhovy Dhjetor 2013

Këtë vit ne studiuam temën "Numrat e thjeshtë dhe të përbërë" dhe pyeta se cilët shkencëtarë po i studionin, si të merrnin numra të thjeshtë përveç atyre që gjenden në fletën e mizave të librit tonë shkollor (nga 1 deri në 1000), ky u bë qëllimi i plotësimit. kjo pune. Objektivat: 1. Të studiohet historia e zbulimit të numrave të thjeshtë. 2. Njihuni me metodat moderne të gjetjes së numrave të thjeshtë. 3. Zbuloni se në cilat fusha shkencore përdoren numrat e thjeshtë. 4. A ka emra midis shkencëtarëve rusë të atyre që studiuan numrat e thjeshtë?

Kushdo që studion numrat e thjeshtë magjepset dhe në të njëjtën kohë ndihet i pafuqishëm. Përkufizimi i numrave të thjeshtë është kaq i thjeshtë dhe i qartë; gjetja e numrit të thjeshtë tjetër është kaq e lehtë; Faktorizimi në faktorët kryesorë është një veprim kaq i natyrshëm. Pse numrat e thjeshtë i rezistojnë me kaq kokëfortësi përpjekjeve tona për të kuptuar rendin dhe modelet e renditjes së tyre? Ndoshta nuk ka fare rregull në to, apo jemi kaq të verbër sa nuk e shohim? C. Userell.

Pitagora dhe studentët e tij studiuan çështjen e pjesëtueshmërisë së numrave. Ata e quajtën një numër të barabartë me shumën e të gjithë pjesëtuesve të tij (pa vetë numrin) një numër të përsosur. Për shembull, numrat 6 (6 = 1 + 2 +3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) janë të përsosur. Numrat e mëposhtëm të përsosur janë 496, 8128, 33550336.. Pitagora (shekulli VI para Krishtit)

Pitagorianët dinin vetëm tre numrat e parë të përsosur. E katërta - 8128 - u bë e njohur në shekullin e parë pas Krishtit. E pesta - 33550336 - u gjet në shekullin e 15-të. Deri në vitin 1983, 27 ishin tashmë të njohur numra të përsosur. Por shkencëtarët ende nuk e dinë nëse ka numra të përsosur tek apo nëse ka një numër më të madh të përsosur.

Interesi i matematikanëve të lashtë për numrat e thjeshtë është për faktin se çdo numër është ose i thjeshtë ose mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë, d.m.th. Numrat e thjeshtë janë si tullat nga të cilat janë ndërtuar pjesa tjetër e numrave natyrorë.

Ju ndoshta keni vënë re se numrat e thjeshtë në serinë e numrave natyrorë ndodhin në mënyrë të pabarabartë - në disa pjesë të serisë ka më shumë prej tyre, në të tjera - më pak. Por sa më tej lëvizim përgjatë serisë së numrave, aq më pak të zakonshëm janë numrat e thjeshtë.

Shtrohet pyetja: a ka një numër të thjeshtë të fundit (më të madh)? Matematikani i lashtë grek Euklidi (shek. III para Krishtit) në librin e tij (“Elementet”), i cili ishte teksti kryesor në matematikë për 2000 vjet, vërtetoi se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë, d.m.th. Pas çdo numri të thjeshtë ka një numër më të madh Euklidi (shek. III para Krishtit)

Një tjetër matematikan grek Eratosthenes doli me këtë metodë për të gjetur numrat e thjeshtë. Ai i shënoi të gjithë numrat nga një në një numër, dhe më pas shënoi njërin, i cili nuk është numër i thjeshtë ose i përbërë, pastaj kaloi përmes një të gjithë numrat që vijnë pas numrit të dytë, shumëfishat e dy, d.m.th. 4,6,8, etj.

Numri i parë i mbetur pas dy ishte 3. Pastaj, pas dy, të gjithë numrat që vinin pas tre (numrat shumëfish të 3, d.m.th. 6,9,12, etj.) u kryqëzuan. Në fund, vetëm numrat e thjeshtë mbetën të pakryqëzuar.

Meqenëse grekët bënin shënime në tableta të veshura me dylli ose në papirus të vizatuar, dhe numrat nuk ishin të kryqëzuara, por të nxjerra me gjilpërë, tabela në fund të llogaritjeve i ngjante një sitë. Prandaj, metoda e Eratosthenes quhet sita e Eratosthenes: në këtë sitë, numrat e thjeshtë "shihen" nga numrat e përbërë.

Pra, numrat e thjeshtë nga 2 deri në 60 janë 17 numra: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. në këtë mënyrë dhe në Aktualisht përpilohen tabelat e numrave të thjeshtë, por me ndihmën e kompjuterëve.

Euklidi (shek. III p.e.s.) vërtetoi se midis numrit natyror n dhe n! Duhet të ketë të paktën një numër kryesor. Kështu, ai vërtetoi se seria natyrore e numrave është e pafundme. Në mesin e shekullit të 11-të. Matematikani dhe mekaniku rus Pafnutiy Lvovich Chebyshev provoi një teoremë më të fortë se Euklidi. Midis numrit natyror n dhe një numri 2 herë më të madh se ai, d.m.th. 2 n përmban të paktën një numër të thjeshtë. Kjo do të thotë, në teoremën e Euklidit numri n! zëvendësohet me numrin 2n. Pafnuty Lvovich Chebyshev (1821-1894) matematikan dhe mekanik rus

Shtrohet pyetja tjetër: "Nëse është kaq e vështirë të gjesh numrin tjetër të thjeshtë, atëherë ku dhe për çfarë mund të përdoren në praktikë këta numra?" Përdorimi më i zakonshëm i numrave të thjeshtë është në kriptografi (kriptimi i të dhënave). Metodat më të sigurta dhe më të vështira për t'u deshifruar kriptografinë bazohen në përdorimin e numrave të thjeshtë me më shumë se treqind shifra.

Përfundim Problemi i mungesës së modeleve në shpërndarjen e numrave të thjeshtë ka pushtuar mendjet e njerëzimit që nga koha. matematikanët e lashtë grekë. Falë Euklidit, ne e dimë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Erastofeni propozoi algoritmin e parë për testimin e numrave për parësinë. Chebyshev dhe shumë matematikanë të tjerë të famshëm u përpoqën dhe ende po përpiqen të zgjidhin enigmën e numrave të thjeshtë. Deri më sot, janë gjetur dhe propozuar shumë algoritme dhe modele elegante, por të gjitha ato janë të zbatueshme vetëm për një seri të fundme numrash të thjeshtë ose numra të thjeshtë të një lloji të veçantë. Përparësia e shkencës në studimin e numrave të thjeshtë në pafundësi konsiderohet të jetë prova e hipotezës së Riemann-it. Është një nga shtatë problemet e pazgjidhura të mijëvjeçarit, për vërtetimin ose përgënjeshtrimin e të cilit Instituti Matematik Clay ka ofruar një çmim prej 1.000.000 dollarësh.

Internet - burime dhe literaturë http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Libër mësuesi “Matematika” për klasën e gjashtë të institucioneve arsimore /N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburg - M. Mnemosyne 2010/

Departamenti i Arsimit dhe Politikave Rinore të Administratës

Rrethi Yalchik i Republikës Chuvash

Projekti
Numrat kryesorë...

A është kaq e thjeshtë historia e tyre?

Përfunduar nga një nxënës i klasës së 7-të të institucionit arsimor komunal "Shkolla e Mesme Novoshimkusskaya e Rrethit Yalchik të Republikës Chuvash" Efimova Marina

Drejtues: Mësues i matematikës i kategorisë I, Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme Novoshimkus, rrethi Yalchik, Republika Çuvash" Kirillova S.M.

Fshati i Ri Shimkusy - 2007

Përcaktimi i numrave të thjeshtë 3
Meritat e Euler 3
Teorema themelore e aritmetikës 4
Mersen kryeson 4
Fermat 5 numra të thjeshtë
Sita e Eratosthenes 5
Zbulimi i P.L. Chebyshev 6
Problemi Goldbach 7
I.M.Vinogradov 8
Përfundimi 8
Letërsia 10

Përkufizimi i numrave të thjeshtë

Interesi për studimin e numrave të thjeshtë u ngrit midis njerëzve në kohët e lashta. Dhe kjo u shkaktua jo vetëm nga nevoja praktike. Ata tërhiqeshin nga fuqia e tyre e jashtëzakonshme magjike. Numrat që mund të përdoren për të shprehur sasinë e çdo objekti. Vetitë e papritura dhe në të njëjtën kohë natyrore të numrave natyrorë të zbuluar nga matematikanët e lashtë i befasuan ata me bukurinë e tyre të jashtëzakonshme dhe frymëzuan kërkime të reja.

Duhet të ketë qenë një nga vetitë e para të numrave të zbuluar nga njeriu që disa prej tyre mund të faktorizohen në dy ose më shumë faktorë, p.sh.

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, ndërsa të tjerat, si 3, 7, 13, 37, nuk mund të zgjerohen në këtë mënyrë.

Kur numri c = Abështë prodhim i dy numrave A dhe b , pastaj numrat një dheb quhen shumëzuesit ose ndarëse numrat s. Çdo numër mund të përfaqësohet si produkt i dy faktorëve. Për shembull, me = 1 *c = c*1.

E thjeshtëështë një numër që pjesëtohet vetëm me vetveten dhe një.

Një njësi që ka vetëm një pjesëtues nuk është numër i thjeshtë. Nuk vlen as për numrat e përbërë. Njësia zë një pozicion të veçantë në serinë e numrave. Pitagorianët mësuan se njëri është nëna e të gjithë numrave, shpirti nga i cili vijnë të gjitha gjërat. botë e dukshme, ajo është arsyeja, mirësia, harmonia.

Në Universitetin e Kazanit, profesor Nikolsky, me ndihmën e një njësie, arriti të provojë ekzistencën e Zotit. Ai tha: "Ashtu si nuk mund të ketë një numër pa një, ashtu edhe Universi nuk mund të ekzistojë pa një Zot të vetëm."

Një është me të vërtetë një numër me veti unike: është i pjesëtueshëm vetëm me vetveten, por çdo numër tjetër është i pjesëtueshëm me të pa mbetje, çdo shkallë e tij është e barabartë me të njëjtin numër - një!

Pas pjesëtimit me të, nuk ndryshon asnjë numër i vetëm, dhe nëse pjesëtoni ndonjë numër me vete, ju merrni përsëri një! A nuk është e habitshme kjo? Pasi mendoi për këtë, Euler tha: "Duhet të përjashtohet njësia nga sekuenca e numrave të thjeshtë; ajo nuk është as e thjeshtë as e përbërë".

Ky ishte tashmë një renditje thelbësore në çështjen e errët dhe komplekse të numrave të thjeshtë.

Meritat e Euler-it

Leonard Euler

(1707-1783)

Të gjithë kanë studiuar me Euler - si në Evropën Perëndimore ashtu edhe në Rusi. Gama e krijimtarisë së tij është e gjerë: llogaritja diferenciale dhe integrale, algjebra, mekanika, dioptria, artileria, shkenca detare, teoria e lëvizjes planetare dhe hënore, teoria e muzikës - nuk mund të renditësh gjithçka. Në gjithë këtë mozaik shkencor është teoria e numrave. Euler i kushtoi shumë përpjekje dhe arriti shumë. Ai, si shumë nga paraardhësit e tij, po kërkonte formulë magjike, e cila do të bënte të mundur zgjedhjen e numrave të thjeshtë nga një grup i pafund numrash seri natyrale, pra nga të gjithë numrat që mund të imagjinohen. Euler shkroi më shumë se njëqind vepra mbi teorinë e numrave.

...Është vërtetuar p.sh. se numri i numrave të thjeshtë është i pakufizuar, pra: 1) nuk ka numër të thjeshtë më të madh; 2) nuk ka asnjë numër të thjeshtë të fundit pas të cilit të gjithë numrat do të ishin të përbërë. Prova e parë e këtij pozicioni u përket shkencëtarëve Greqia e lashte(shek. V-III p.e.s.), prova e dytë është për Euler (1708-1783).

Teorema Themelore e Aritmetikës

Të gjitha llojet e gjërave numri natyror, i ndryshëm nga 1, është ose i thjeshtë, ose mund të përfaqësohet si produkt i numrave të thjeshtë, dhe pa mëdyshje, nëse nuk i kushtoni vëmendje renditjes së faktorëve.

Dëshmi. Le të marrim një numër natyror n≠ 1. Nëse n është i thjeshtë, atëherë ky është rasti i përmendur në përfundimin e teoremës. Tani supozoni se n është i përbërë. Pastaj ai përfaqësohet si produkt n = ab, ku numrat natyrorë a dhe b janë më të vegjël se n. Përsëri, ose a dhe b janë të thjeshta, atëherë gjithçka vërtetohet, ose të paktën njëri prej tyre është i përbërë, domethënë i përbërë nga faktorë më të vegjël, e kështu me radhë; përfundimisht do të marrim një faktorizim kryesor.

Nëse numri n nuk pjesëtohet me ndonjë të thjeshtë që nuk tejkalon√n, atëherë është e thjeshtë.

Dëshmi. Supozoni të kundërtën, le të jetë n e përbërë dhe P = ab, ku 1 ≤b dhe p është pjesëtues kryesor i numrit A, prandaj numrat n. Sipas kushteve P nuk është i pjesëtueshëm me asnjë të thjeshtë që nuk tejkalon √ n. Prandaj, р >√n. Por pastaj a >√n Dhe √ n ≤ A≤ b ,

ku n = ab = √ n√ n = P; erdhi në një kontradiktë, supozimi ishte i pasaktë, teorema u vërtetua.

Shembulli 1. Nëse c = 91 atëherë √ с = 9, ... kontrolloni numrat e thjeshtë 2, 3, 5, 7. Konstatojmë se 91 = 7 13.

Shembulli 2. Nëse c = 1973, atëherë gjejmë √ c = √ 1973 =44, ...

pasi nuk kishte numër të thjeshtë më parë 43 nuk pjesëtohet me, atëherë ky numër është i thjeshtë.

Shembulli 3. Gjeni numrin e thjeshtë pas numrit të thjeshtë 1973. Përgjigje: 1979.

Mersen kryeson

Për disa shekuj ka pasur një ndjekje të numrave të thjeshtë. Shumë matematikanë kanë konkurruar për nderin e të qenit zbulues i numrit kryesor më të madh të njohur.

Numrat e thjeshtë të Mersenit janë numra të thjeshtë të një forme të veçantë M p = 2 p - 1

Ku R - një numër tjetër i thjeshtë.

Këta numra janë përfshirë në matematikë për një kohë të gjatë; ato shfaqen në reflektimet Euklidiane mbi numrat modernë. Ata morën emrin e tyre për nder të murgut francez Merenne Mersen (1589-1648), i cili kaloi një kohë të gjatë duke punuar në problemin e numrave modernë.

Nëse llogarisim numrat duke përdorur këtë formulë, marrim:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – i thjeshtë;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – e thjeshtë;

M 5 = 2 5 – 1 = 31 – e thjeshtë;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – e thjeshtë;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Një mënyrë e përgjithshme për të gjetur numrat e thjeshtë të Mersenit është testimi i të gjithë numrave M p për numra të thjeshtë të ndryshëm R.

Këto shifra rriten shumë shpejt dhe kostot e punës për t'i gjetur ato rriten po aq shpejt.

Në studimin e numrave të Mersenit, mund të dallohet një fazë e hershme, e cila arrin kulmin në vitin 1750, kur Euler vendosi se numri M 31 është i thjeshtë. Në atë kohë, ishin gjetur tetë numra të thjeshtë të Mersenit: "r

R= 2, р= 3, р = 5 , р = 7, р= 13, p = 17, p = 19, R =31.

Numri M 31 i Euler-it mbeti numri kryesor më i madh i njohur për më shumë se njëqind vjet.

Në 1876, matematikani francez Lucas vërtetoi se numri i madh M 127 ka 39 shifra. 12 numrat e parë Mersen u llogaritën duke përdorur vetëm laps dhe letër, dhe të tjerat u llogaritën duke përdorur makina mekanike për shtimin e desktopit.

Ardhja e kompjuterëve me lëvizje elektrike bëri të mundur vazhdimin e kërkimit, duke e sjellë atë në R = 257.

Megjithatë, rezultatet ishin zhgënjyese, dhe mes tyre nuk kishte prime të reja Mersen.

Pastaj detyra u transferua në kompjuter.

Numri më i madh i njohur aktualisht ka 3376 shifra. Ky numër u gjet në një kompjuter në Universitetin e Illinois (SHBA). Departamenti i matematikës i këtij universiteti ishte aq krenar për arritjet e tyre, saqë këtë numër e paraqitën në vulën e postës, duke e riprodhuar kështu në çdo letër që dërgonin që ta shihnin të gjithë.

Kryetarët e Fermatit

Ekziston një lloj tjetër numri i thjeshtë me një histori të gjatë dhe interesante. Ato u prezantuan për herë të parë nga juristi francez Pierre Fermat (1601-1665), i cili u bë i famshëm për veprat e tij të jashtëzakonshme matematikore.

Pierre Fermat (1601-1665)
Numrat e parë të thjeshtë të Fermatit ishin numra që plotësonin formulën F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Megjithatë, ky supozim u dërgua në arkivin e hipotezave të pajustifikuara matematikore, por pasi Leonhard Euler bëri një hap më tej dhe tregoi se numri tjetër Fermat F 5 = 641 6 700 417 është i përbërë.

Është e mundur që historia e numrave Fermat të kishte përfunduar nëse numrat Fermat nuk do të shfaqeshin në një problem krejtësisht të ndryshëm - ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt duke përdorur një busull dhe vizore.

Megjithatë, asnjë numër i thjeshtë Fermat nuk është gjetur dhe shumë matematikanë tani priren të besojnë se ata nuk ekzistojnë më.
Sita e Eratosthenes

Ka tabela të numrave të thjeshtë që shtrihen në numra shumë të mëdhenj. Si t'i qasemi përpilimit të një tabele të tillë? Ky problem, në njëfarë kuptimi, u zgjidh (rreth 200 para Krishtit) nga Eratosthenes, një matematikan nga Aleksandria. -

Skema e tij është si më poshtë. Le të shkruajmë një sekuencë të të gjithë numrave të plotë nga 1 në numrin me të cilin duam të mbyllim tabelën.

Le të fillojmë me numrin e thjeshtë 2. Do të hedhim çdo numër të dytë. Le të fillojmë me 2 (me përjashtim të vetë numrit 2), pra numrat çift: 4, 6, 8, 10, etj., nënvizoni secilin prej tyre.

Pas këtij veprimi, numri i parë i pa nënvizuar do të jetë 3. Është i thjeshtë, pasi nuk pjesëtohet me 2. Duke e lënë numrin 3 të pa nënvizuar, do të nënvizojmë çdo numër të tretë pas tij, pra numrat 6, 9, 12. , 15... Disa prej tyre tashmë janë nënvizuar sepse janë të barabartë. Në hapin tjetër, numri i parë i nënvizuar do të jetë numri 5; është e thjeshtë, pasi nuk pjesëtohet as me 2, as me 3. Të lëmë numrin 5 të pa nënvizuar, por të nënvizojmë çdo numër të pestë pas tij, pra numrat 10, 15, 20... Si më parë, disa prej tyre rezultuan të të nënvizohet . Tani numri më i vogël i patheksuar do të jetë numri 7. Ai është i thjeshtë sepse nuk pjesëtohet me asnjë nga numrat e tij më të thjeshtë 2, 3, 5. Duke e përsëritur këtë proces, përfundimisht do të marrim një sekuencë numrash të patheksuar; të gjithë ata (përveç numrit 1) janë të thjeshtë. Kjo metodë e shoshitjes së numrave njihet si "sosha e Eratosthenes". Çdo tabelë e numrave të thjeshtë krijohet sipas këtij parimi.

Eratostheni krijoi një tabelë me numrat e thjeshtë nga 1 në 120 më shumë se 2000 vjet më parë. Ai shkruante në papirus të shtrirë mbi një kornizë, ose në një tabletë dylli dhe nuk i gërvishti si ne, por i shpoi numrat e përbërë. Rezultati ishte diçka si një sitë përmes së cilës "shoshiteshin" numrat e përbërë. Prandaj, tabela e numrave të thjeshtë quhet "Sosha e Eratosthenes".

Sa numra të thjeshtë ka? A ka një numër të thjeshtë të fundit, domethënë një pas të cilit të gjithë numrat do të jenë të përbërë? Nëse ekziston një numër i tillë, si ta gjejmë atë? Të gjitha këto pyetje i kanë interesuar shkencëtarët që nga kohërat e lashta, por përgjigja e tyre nuk ishte aq e lehtë për t'u gjetur.

Eratostheni ishte një njeri shumë i zgjuar. Ky bashkëkohës dhe mik i Arkimedit, me të cilin ai vazhdimisht korrespondonte, ishte matematikan, astronom dhe mekanik, gjë që konsiderohej e natyrshme për njerëzit e mëdhenj të asaj kohe. Ishte i pari që mati diametrin e globit, pa u larguar nga biblioteka e Aleksandrisë ku punonte. Saktësia e matjeve të tij ishte jashtëzakonisht e lartë, madje edhe më e lartë se ajo me të cilën Arkimedi mati Tokën.

Eratosthenes shpiku një pajisje të zgjuar - mesolabit, me me ndihmën e të cilit ai zgjidhi mekanikisht problemin e njohur të dyfishimit të një kubi, për të cilin ai ishte shumë krenar, dhe për këtë arsye dha urdhrin për të përshkruar këtë pajisje në një kolonë në Aleksandri. Për më tepër, ai korrigjoi kalendarin egjiptian duke shtuar një ditë në katër vjet - në një vit të brishtë.

Sita e Eratosthenes - kjo është një shpikje primitive dhe në të njëjtën kohë e zgjuar, të cilën Euklidi as që e kishte menduar - sugjeron idenë e njohur se çdo gjë e zgjuar është e thjeshtë.

Sita e Eratosthenes funksionoi mirë për studiuesit e numrave të thjeshtë. Koha kaloi. Kishte një kërkim për mënyra për të kapur numrat e thjeshtë. Një lloj konkursi filloi për të gjetur numrin më të madh kryesor që nga kohërat e lashta deri në Chebyshev dhe madje deri në ditët e sotme.
Zbulimi i P.L. Chebysheva

DHE Kështu, numri i numrave të thjeshtë është i pafund. Ne kemi parë tashmë se numrat e thjeshtë janë të renditur pa asnjë renditje. Le ta shohim më në detaje.

2 dhe 3 janë numra të thjeshtë. Ky është çifti i vetëm i numrave të thjeshtë që janë ngjitur.

Pastaj vijnë 3 dhe 5, 5 dhe 7, 11 dhe 13, 17 dhe 19, etj. Këto janë të ashtuquajturat prime ose binjakë ngjitur. Ka shumë binjakë: 29 dhe 31, 41 dhe 43, 59 dhe 61, 71 dhe 73, 101 dhe 103, 827 dhe 829, etj. Çifti më i madh i binjakëve të njohur tani është: 10016957 dhe 10,016,959.

Panfutiy Lvovich Chebyshev

Si shpërndahen numrat e thjeshtë në një seri natyrore në të cilën nuk ka një numër të vetëm të thjeshtë? A ka ndonjë ligj në shpërndarjen e tyre apo jo?

Nëse po, cili? Si ta gjeni atë? Por përgjigja e këtyre pyetjeve nuk është gjetur për më shumë se 2000 vjet.

Hapi i parë dhe shumë i madh në zgjidhjen e këtyre çështjeve u bë nga shkencëtari i madh rus Panfuty Lvovich Chebyshev. Në 1850, ai vërtetoi se midis çdo numri natyror (jo i barabartë me 1) dhe një numri dyfishi i madhësisë së tij (d.m.th., midis n dhe 2n), ekziston të paktën një numër i thjeshtë.
Le ta kontrollojmë këtë me shembuj të thjeshtë. Le të marrim disa vlera arbitrare të n për n . dhe gjeni vlerën 2n në përputhje me rrethanat.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Ne shohim se për shembujt e konsideruar, teorema e Chebyshev është e vërtetë.

Chebyshev e vërtetoi për çdo rast, për çdo n. Për këtë teoremë ai u quajt fitues i numrave të thjeshtë. Ligji i shpërndarjes së numrave të thjeshtë i zbuluar nga Chebyshev ishte një ligj vërtet themelor në teorinë e numrave pas ligjit të zbuluar nga Euklidi për pafundësinë e numrit të numrave të thjeshtë.

Ndoshta përgjigja më dashamirëse, më entuziaste ndaj zbulimit të Chebyshev erdhi nga Anglia nga matematikani i famshëm Sylvester: “...Sukseset e mëtejshme në teorinë e numrave të thjeshtë mund të priten kur të lindë dikush që është po aq më i lartë se Chebyshev në depërtimin dhe mendimin e tij sa Chebyshev është superior ndaj këtyre cilësive të njerëzve të zakonshëm."

Më shumë se gjysmë shekulli më vonë, matematikani gjerman E. Landau, një specialist i shquar i teorisë së numrave, shtoi në këtë deklaratë: "I pari pas Euklidit, Chebyshev mori rrugën e duhur në zgjidhjen e problemit të numrave të thjeshtë dhe arriti rezultate të rëndësishme. .”
Problemi i Goldbach

Le të shkruajmë të gjithë numrat e thjeshtë nga 1 në 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Tani le të provojmë çdo numër nga 4 në 50 paraqesin atë si shumën e dy ose tre numrave të thjeshtë. Le të marrim disa numra në mënyrë të rastësishme:

Siç mund ta shihni, ne e përfunduam detyrën pa vështirësi. A është gjithmonë e mundur kjo? A mund të paraqitet ndonjë numër si shuma e disa numrave të thjeshtë? Dhe nëse po, sa: dy? tre? dhjetë?

Në 1742, Goldbach, një anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut, në një letër drejtuar Euler-it, sugjeroi se çdo numër i plotë pozitiv më i madh se pesë është shuma e jo më shumë se tre numrave të thjeshtë.

Goldbach testoi shumë numra dhe nuk takoi kurrë një numër që nuk mund të zbërthehej në shumën e dy ose tre termave të thjeshtë. Por nëse do të jetë gjithmonë kështu, ai nuk e ka vërtetuar. Shkencëtarët kanë studiuar për një kohë të gjatë këtë problem, i cili quhet "Problemi Goldbach" dhe është formuluar si më poshtë.

Ju duhet të provoni ose kundërshtoni propozimin:

Çdo numër më i madh se një është shuma e jo më shumë se tre numrave të thjeshtë.

Për gati 200 vjet, shkencëtarë të shquar u përpoqën të zgjidhnin problemin Goldbach-Euler, por pa sukses. Shumë kanë arritur në përfundimin se është e pamundur ta zgjidhësh atë.

Por zgjidhja e saj, pothuajse plotësisht, u gjet në vitin 1937 nga matematikani sovjetik I.M. Vinogradov.

ATA. Vinogradov

Ivan Matveevich Vinogradov është një nga matematikanët më të mëdhenj modernë. Ai lindi më 14 shtator 1891 në fshatin Milolub të provincës Pskov. Më 1914 u diplomua në Universitetin e Shën Petersburgut dhe u la të përgatitej për një post profesori.

Puna e tij e parë shkencore I.M. Vinogradov shkroi në vitin 1915. Që atëherë ai ka shkruar më shumë se 120 të ndryshme punimet shkencore. Në to, ai zgjidhi shumë probleme për të cilat shkencëtarët në mbarë botën kishin punuar për dhjetëra e qindra vjet.

Ivan Matveevich Vinogradov
Për shërbimet në fushën e matematikës I.M. Vinogradov njihet nga të gjithë shkencëtarët e botës si një nga matematikanët e parë të kohës sonë dhe u zgjodh në numrin e anëtarëve të shumë akademive në mbarë botën.

Jemi krenarë për bashkatdhetarin tonë të mrekullueshëm.

konkluzioni.
Nga klasa në hapësirën e jashtme

Le ta fillojmë bisedën tonë për numrat e thjeshtë me një histori magjepsëse rreth një udhëtimi imagjinar nga klasa në hapësirën e jashtme. Ky udhëtim imagjinar u shpik nga mësuesi i famshëm sovjetik i matematikës, profesor Ivan Kozmich Andronov (lindur në 1894). “...a) merr mendërisht një tel të drejtë që del nga klasa në hapësirën botërore, duke shpuar atmosferën e tokës, duke shkuar atje ku rrotullohet Hëna, dhe më pas përtej topit të zjarrit të Diellit dhe më tej në pafundësinë e botës;

b) varni mendërisht llambat në një tel çdo metër, duke i numëruar ato duke filluar nga më e afërta: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1.000.000...;

c) ndizni mendërisht rrymën në atë mënyrë që të ndizen të gjitha llambat me numra të thjeshtë dhe vetëm ato me numra të thjeshtë; : .

d) fluturoni mendërisht afër telit.

Para nesh do të shpaloset fotografia e mëposhtme.

1. Llamba numër 1 nuk ndizet. Pse? Sepse një nuk është numër i thjeshtë.

2. Dy llambat e ardhshme, me numër 2 dhe 3, janë ndezur pasi 2 dhe 3 janë të dy numra të thjeshtë. A mund të takohen dy llamba ngjitur me djegie në të ardhmen? Jo, nuk munden. Pse? Çdo numër i thjeshtë përveç dy është një numër tek, dhe ata ngjitur me një të thjeshtë në secilën anë do të jenë numra çift, dhe çdo numër çift përveç dy është një numër i përbërë, pasi është i pjesëtueshëm me dy.

3. Më pas vëzhgojmë një palë llamba që digjen nga një llambë me numrat 3 dhe 5, 5 dhe 7, etj. Është e qartë pse digjen: këta janë binjakë. Vërejmë se në të ardhmen ato ndodhin më rrallë; të gjitha çiftet e binjakëve, si çiftet e numrave të thjeshtë, kanë formën 6n ± 1; Për shembull

6*3 ± 1 është e barabartë me 19 dhe 17

ose 6*5 ± 1 është e barabartë me 31 dhe 29, ...;

por 6*20 ± 1 është e barabartë me 121 dhe 119 - ky çift nuk është binjak, pasi ka një palë numrash të përbërë.

Arrijmë në çiftin e binjakëve 10,016,957 dhe 10,016,959. A do të ketë çifte të tjera binjakësh? Shkenca moderne deri tani nuk jep një përgjigje: nuk dihet nëse ka një grup çiftesh binjakesh të fundme apo të pafundme.

4. Por atëherë fillon të veprojë ligji i një boshllëku të madh, i mbushur vetëm me numra të përbërë: ne fluturojmë në errësirë, shikojmë prapa - errësirë dhe asnjë dritë nuk është e dukshme përpara. Ne kujtojmë pronën e zbuluar nga Euklidi dhe ecim me guxim përpara, pasi duhet të ketë llamba të ndritshme përpara dhe duhet të ketë një numër të pafund të tyre përpara.

5. Pasi kemi fluturuar në një vend në serinë natyrore, ku disa vite të lëvizjes sonë kanë kaluar tashmë në errësirë, ne kujtojmë pronën e provuar nga Chebyshev dhe qetësohemi, të sigurt se në çdo rast, nuk duhet të fluturojmë më shumë se ne fluturuam për të parë të paktën një llambë ndriçuese."
Letërsia
1. Mjeshtri i madh i induksionit, Leonhard Euler.

2. Pas faqeve të një teksti matematike.

3. Prudnikov N.I. P.L. Chebyshev.

4. Serbsky I. A.Çfarë dimë dhe nuk dimë për numrat e thjeshtë.

5. Shtëpia botuese “I Shtatori i Parë”. Matematika nr 13, 2002

6. Shtëpia botuese “I Shtatori i Parë”. Matematika nr 4, 2006

Fakte rreth numrave. Këta janë numra të thjeshtë dhe shumë të tjerë. Ne kemi përfshirë disa numra, si Pi dhe një numër të tjerë, në materiale të veçanta. Ndaj ju këshillojmë t'i lexoni edhe ju. Këtu janë disa fakte argëtuese për numrat, e cila ndoshta do të jetë me interes për ju.

Fakte rreth numrave negativë

Në ditët e sotme, numrat negativë janë të njohur për shumë njerëz, por nuk ishte gjithmonë kështu. Numrat negativë u përdorën për herë të parë në Kinë në shekullin e 3-të, por ato u lejuan të përdoren vetëm në raste të jashtëzakonshme, pasi konsideroheshin të pakuptimta. Pak më vonë, numrat negativë filluan të përdoren në Indi për të treguar borxhet.

Kështu, në veprën "Matematika" në nëntë libra, botuar në vitin 179 pas Krishtit. Para Krishtit, gjatë dinastisë Han dhe komentuar në vitin 263 nga Liu Hui, sistemi kinez i numërimit të shkopinjve përdorte shkopinj të zinj për numrat negativë dhe të kuqtë për numrat pozitivë. Gjithashtu, Liu Hui përdori shkopinj numërimi të pjerrët për të treguar numrat negativë.

Shenja "-", e cila tani përdoret për të treguar numrat negativë, u pa për herë të parë në dorëshkrimin e lashtë Bakhshali në Indi, por nuk ka konsensus midis studiuesve se kur u krijua, me mosmarrëveshje që variojnë nga viti 200 pas Krishtit deri në vitin 600 pas Krishtit. e.

Numrat negativë njiheshin tashmë në Indi në vitin 630 pas Krishtit. e.. Ato u përdorën nga matematikani Brahmagupta (598-668).

Numrat negativë u përdorën për herë të parë në Evropë rreth vitit 275 pas Krishtit. Para Krishtit Ato u futën në përdorim nga matematikani grek Diophantus i Aleksandrisë, por në Perëndim ato u konsideruan absurde deri në shfaqjen e librit "Ars Magna" ("Arti i madh"), shkruar në 1545 nga matematikani italian Girolamo Cardano (1501). -1576).

Faktet e numrave kryesorë

Numrat 2 dhe 5 janë të vetmit në një seri numrash të thjeshtë që përfundojnë me 2 dhe 5.

Fakte të tjera rreth numrave

Numri 18 është i vetmi numër (përveç 0) shuma e shifrave të të cilit është 2 herë më e vogël se ai.

2520 është numri më i vogël që mund të ndahet pa mbetje me të gjithë numrat nga 1 në 10.

Numri "pesë" shqiptohet "ha" në Thai. Prandaj, numri i përbërë nga tre pesëshe - 555, do të shqiptohet si një frazë zhargon që tregon të qeshurën njerëzore - "Ha, ha, ha".

Të gjithë e dimë se ekzistojnë fjalë palindromike. Domethënë ato që mund të lexohen nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë dhe kuptimi i tyre nuk ndryshon. Megjithatë, ka edhe numra palindromikë (palindromon). Ato përfaqësojnë një numër pasqyre që do të lexohet dhe do të ketë të njëjtën vlerë në të dy drejtimet, për shembull 1234321.

Fjala Googol (origjina e markës Google) përfaqëson numrin 1 të ndjekur nga 100 zero.

Numri i vetëm që nuk mund të shkruhet me numra romakë është "Zero". Gjithashtu, në matematikën moderne, zero ka disa veçori në interpretimin e saj. Kështu, në matematikën ruse nuk klasifikohet si një seri numrash natyrorë, por në shkencën e huaj është.

Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme Chastoozersk"

Puna kërkimore me temën:

"Numrat sundojnë botën!"

Puna e përfunduar:

Nxënëse e klasës së 6-të.

Mbikëqyrësi: ,

mësues i matematikës.

Me. Chastoozerye.

I. paraqitje. -3 faqe

II. Pjesa kryesore. -4 faqe

· Matematika tek grekët e lashtë. - 4 faqe

· Pitagora e Samosit. -6 faqe

· Pitagora dhe numrat. -8 f.

2. Numrat janë të thjeshtë dhe të përbërë. -10 pp.

3. Problemi i Goldbach. -12 f.

4. Shenjat e pjesëtueshmërisë. -13 f.

5. Veti kurioze të numrave natyrorë.-15fq.

6. Truket me numra. -18 f.

III. konkluzioni. -22 f.

IV. Bibliografi. -23 f.

I. paraqitje.

Rëndësia:

Gjatë studimit të temës "Pjestueshmëria e numrave" në mësimet e matematikës, mësuesi sugjeroi përgatitjen e një raporti mbi historinë e zbulimit të numrave të thjeshtë dhe të përbërë. Gjatë përgatitjes së mesazhit, më interesuan fjalët e Pitagorës: "Numrat sundojnë botën!"

Pyetjet kanë lindur:

· Kur lindi shkenca e numrave?

· Kush kontribuoi në zhvillimin e shkencës së numrave?

· Kuptimi i numrave në matematikë?

Vendosa të studioj në detaje dhe të përmbledh materialin për numrat dhe vetitë e tyre.

Qëllimi i studimit: studiojnë numrat e thjeshtë dhe të përbërë dhe tregojnë rolin e tyre në matematikë.

Objekti i studimit: numrat e thjeshtë dhe të përbërë.

Hipoteza: Nëse, sipas fjalëve të Pitagorës, "Numrat sundojnë botën,

atëherë cili është roli i tyre në matematikë.

Objektivat e kërkimit:

I. Mblidhni dhe përmblidhni të gjitha llojet e informacionit për numrat e thjeshtë dhe të përbërë.

II. Tregoni kuptimin e numrave në matematikë.

III. Trego vetitë interesante të numrave natyrorë.

Metodat e hulumtimit:

· Analizë teorike e letërsisë.

· Mënyra e sistemimit dhe përpunimit të të dhënave.

II. Pjesa kryesore.

1. Historia e shfaqjes së shkencës së numrave.

· Matematika tek grekët e lashtë.

Si në Egjipt ashtu edhe në Babiloni, numrat përdoreshin kryesisht për zgjidhjen e problemeve praktike.

Situata ndryshoi kur grekët filluan matematikën. Në duart e tyre, matematika u shndërrua nga një zanat në një shkencë.

Fiset greke filluan të vendosen në brigjet veriore dhe lindore të Detit Mesdhe rreth katër mijë vjet më parë.

Pjesa më e madhe e grekëve u vendosën në Gadishullin Ballkanik – aty ku është tani shteti i Greqisë. Pjesa tjetër u vendos në ishujt e Detit Mesdhe dhe përgjatë brigjeve të Azisë së Vogël.

Grekët ishin marinarë të shkëlqyer. Anijet e tyre të lehta me hundë të mprehtë rrotulloheshin në Detin Mesdhe në të gjitha drejtimet. Ata sollën enët dhe bizhuteritë nga Babilonia, armë bronzi nga Egjipti, lëkurë kafshësh dhe bukë nga brigjet e Detit të Zi. Dhe sigurisht, si popujt e tjerë, anijet sillnin dijen në Greqi bashkë me mallrat. Por grekët nuk janë të drejtë

mësuar nga popujt e tjerë. Shumë shpejt ata kaluan mësuesit e tyre.

Mjeshtrit grekë ndërtuan pallate dhe tempuj me bukuri të mahnitshme, të cilat më vonë shërbyen si model për arkitektët e të gjitha vendeve për mijëra vjet.

Skulptorët grekë krijuan statuja të mrekullueshme nga mermeri. Dhe jo vetëm matematika "e vërtetë" filloi me shkencëtarët grekë, por edhe shumë shkenca të tjera që studiojmë në shkollë.

A e dini pse grekët ishin përpara të gjitha kombeve të tjera në matematikë? Sepse ata ishin të mirë në grindje.

Si mund ta ndihmojë shkencën debati?

Në kohët e lashta, Greqia përbëhej nga shumë shtete të vogla. Pothuajse çdo qytet me fshatrat përreth ishte një shtet më vete. Sa herë që duhej zgjidhur një çështje e rëndësishme shtetërore, banorët e qytetit mblidheshin në shesh dhe diskutonin për të. Ata debatuan se si ta bënin më mirë dhe më pas votuan. Është e qartë se ata ishin debatues të mirë: në takime të tilla duhej të përgënjeshtronin kundërshtarët e tyre, të arsyetonin dhe të vërtetonin se kishin të drejtë. Grekët e lashtë besonin se argumenti ndihmon për të gjetur më të mirën. Më së shumti zgjidhje e saktë. Ata madje dolën me thënien e mëposhtme: "E vërteta lind në një mosmarrëveshje".

Dhe në shkencë grekët filluan të bëjnë të njëjtën gjë. Si në një mbledhje popullore. Ata jo vetëm që mësuan përmendësh rregullat, por kërkuan arsye: pse ishte e drejtë të bëhej në këtë mënyrë dhe jo ndryshe. Matematikanët grekë u përpoqën të shpjegonin çdo rregull dhe të provonin se nuk ishte e vërtetë. Ata po debatonin me njëri-tjetrin. Ata arsyetuan dhe u përpoqën të gjenin gabime në arsyetim.

Ata do të vërtetojnë një rregull - arsyetimi të çon në një tjetër, më kompleks, pastaj në një të tretë, në një të katërt. Ligjet u bënë nga rregullat. Dhe shkenca e ligjeve është matematika.

Sapo lindi, matematika greke eci menjëherë përpara me hapa të mëdhenj. Ajo u ndihmua nga çizmet e mrekullueshme për ecje, të cilat kombet e tjera nuk i kishin më parë. Ata u quajtën "arsyetim" dhe "provë".

· Pitagora e Samosit.

I pari që foli për numrat ishte greku Pitagora, i cili lindi në ishullin Samos në shekullin e 6 pas Krishtit.

Prandaj, ai shpesh quhet Pitagora i Samos. Grekët treguan shumë legjenda për këtë mendimtar.

Pitagora në fillim tregoi një aftësi për shkencën dhe At Mnesarchus e çoi në Siri, në Tiro, në mënyrë që të urtët kaldeas ta mësonin atje. Ajo mëson për misteret e priftërinjve egjiptianë. I ndezur nga dëshira për të hyrë në rrethin e tyre dhe për t'u bërë një iniciator, Pitagora fillon të përgatitet për një udhëtim në Egjipt. Një vit e kalon në Feniki, në shkollën e priftërinjve. Më pas ai do të vizitojë Egjiptin, Heliopolis. Por priftërinjtë vendas nuk ishin miqësorë.

Pasi tregoi këmbëngulje dhe kaloi teste jashtëzakonisht të vështira hyrëse, Pitagora e arrin qëllimin e tij - ai pranohet në kastë. Ai kaloi 21 vjet në Egjipt, studioi në mënyrë të përsosur të gjitha llojet e shkrimit egjiptian dhe lexoi shumë papirus. Faktet e njohura për egjiptianët në matematikë e çojnë atë në zbulimet e tij matematikore.

I urti tha: “Ka gjëra në botë për të cilat duhet të përpiqesh. Është, së pari, e bukur dhe e lavdishme, së dyti, e dobishme për jetën, së treti, duke dhënë kënaqësi. Megjithatë, kënaqësia është dy llojesh: njëra, e cila e ngop grykësinë tonë me luks, është katastrofike; tjetri është i drejtë dhe i nevojshëm për jetën.”

Numrat zinin një vend qendror në filozofinë e studentëve dhe ithtarëve të Pitagorës:

« Aty ku nuk ka numër dhe masë, ka kaos dhe kimera.”

"Gjëja më e mençur është një numër"

"Numrat sundojnë botën."

Prandaj, shumë e konsiderojnë Pitagorën babain e numërimit - një shkencë komplekse e mbuluar me mister, që përshkruan ngjarjet në të, zbulon të kaluarën dhe të ardhmen, duke parashikuar fatin e njerëzve.

· Pitagora dhe numrat.

Grekët e lashtë, dhe bashkë me ta Pitagora dhe Pitagorianët, mendonin për numrat dukshëm në formën e guralecave të vendosura në rërë ose në një tabelë numërimi - një numërator.

Numrat e guralecave u renditën në formë të rregullt forma gjeometrike, këto shifra u klasifikuan dhe kështu lindën numrat që sot quhen numra të figuruar: numra linearë (d.m.th. numrat e thjeshtë) - numra që janë të pjesëtueshëm me një dhe nga vetvetja dhe, për rrjedhojë, të përfaqësohen si një sekuencë pikash të rreshtuara në një vijë.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image006_30.jpg" width="312" height="85 src=">

numra të ngurtë të shprehur me prodhimin e tre faktorëve

https://pandia.ru/text/79/542/images/image008_20.jpg" width="446" height="164 src=">

numra katror:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image010_15.jpg" width="323" height="150 src=">

Dhe. etj. Është nga numrat e figurshëm që shprehja " Një numër katror ose kub».

Pitagora nuk e kufizoi veten në figura të sheshta. Nga pikat, ai filloi të shtojë piramida, kube dhe trupa të tjerë dhe të studiojë numra piramidale, kubike dhe numra të tjerë (shih Fig. 1). Nga rruga, emri kub numrash E përdorim edhe sot.

Por Pitagora nuk ishte i kënaqur me numrat e marrë nga figura të ndryshme. Në fund të fundit, ai shpalli se numrat sundojnë botën. Prandaj, ai duhej të kuptonte se si të përdorte numrat për të përshkruar koncepte të tilla si drejtësia, përsosmëria dhe miqësia.

Për të përshkruar përsosmërinë, Pitagora filloi të punonte në pjesëtuesit e numrave (ai mori pjesëtuesin 1, por nuk e mori vetë numrin). Ai i shtoi të gjithë pjesëtuesit e numrit dhe nëse shuma ishte më e vogël se numri, shpallej e pamjaftueshme, e nëse më shumë, shpallej e tepërt. Dhe vetëm kur shuma ishte saktësisht e barabartë me numrin, ajo u shpall e përsosur. Numrat e miqësisë përshkruheshin në një mënyrë të ngjashme - dy numra quheshin miqësorë nëse secili prej tyre ishte i barabartë me shumën e pjesëtuesve të numrit tjetër. Për shembull, numri 6 (6=1+2+3) është i përsosur, numri 28 (1+2+4+7+17) është i përsosur. Numrat e ardhshëm të përsosur janë 496, 8128, .

2. Numrat janë të thjeshtë dhe të përbërë.

Matematika moderne kujton numrat miqësorë ose të përsosur me një buzëqeshje si një hobi fëmijërie.

Dhe konceptet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë të prezantuara nga Pitagora janë ende objekt i një kërkimi serioz, për të cilin matematikanët marrin çmime të larta shkencore.

Nga përvoja e llogaritjeve, njerëzit e dinin se çdo numër është ose një numër i thjeshtë ose produkt i disa numrave të thjeshtë. Por ata nuk dinin si ta vërtetonin. Pitagora ose një nga ndjekësit e tij gjetën prova të kësaj deklarate.

Tani është e lehtë të shpjegohet roli i numrave të thjeshtë në matematikë: ata janë blloqet ndërtuese nga të cilat numrat e tjerë ndërtohen duke përdorur shumëzimin.

Zbulimi i modeleve në një seri numrash është një ngjarje shumë e këndshme për matematikanët: në fund të fundit, këto modele mund të përdoren për të ndërtuar hipoteza, për të testuar prova dhe formula. Një nga vetitë e numrave të thjeshtë që i intereson matematikanët është se ata refuzojnë t'i binden çdo modeli.

Mënyra e vetme për të përcaktuar nëse një numër 100,895,598,169 është i thjeshtë është përdorimi i "Soshës së Eratosthenes" mjaft të mundimshëm.

Tabela tregon një nga opsionet për këtë sitë.

Në këtë tabelë, të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se 48 janë të rrethuar. Ato gjenden kështu: 1 ka një pjesëtues të vetëm - vetë, prandaj 1 nuk konsiderohet numër i thjeshtë. 2 është numri i thjeshtë më i vogël (dhe i vetëm çift). Të gjithë numrat e tjerë çift janë të pjesëtueshëm me 2, që do të thotë se ata kanë të paktën tre pjesëtues; prandaj nuk janë të thjeshta dhe mund të kryqëzohen. Numri tjetër i pakryqëzuar është 3; ka saktësisht dy pjesëtues, pra është i thjeshtë. Të gjithë numrat e tjerë që janë shumëfish të tre (d.m.th. ata që mund të ndahen me 3 pa mbetje) janë të kryqëzuara. Tani numri i parë i pashkruar është 5; është e thjeshtë dhe të gjitha shumëfishat e tij mund të kryqëzohen.

Duke vazhduar të kryqëzoni shumëfishat, mund të eliminoni të gjithë numrat e thjeshtë më të vegjël se 48.

3. Problemi i Goldbach.

Çdo numër mund të merret nga numrat e thjeshtë me shumëzim. Çfarë ndodh nëse shtoni numra të thjeshtë?

Matematikani Goldbach, i cili jetoi në Rusi në shekullin e 18-të, vendosi të shtojë numrat e thjeshtë tek vetëm në çifte. Ai zbuloi një gjë të mahnitshme: sa herë që ishte në gjendje të imagjinonte numër çift si shuma e dy numrave të thjeshtë. (siç ishte rasti në kohën e Goldbach, ne e konsiderojmë 1 si një numër të thjeshtë).

4 = 1 +3, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5. etj.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image016_5.jpg" width="156" height="191 src=">

Goldbach shkroi për vëzhgimin e tij ndaj matematikanit të madh

shekulli XVIII për Leonhard Euler, i cili ishte anëtar i Akademisë së Shkencave të Shën Petersburgut. Pasi testoi shumë të tjerë numra çift, Euler u bind se ata ishin të gjithë shuma e dy numrave të thjeshtë. Por ka pafundësisht shumë numra çift. Prandaj, llogaritjet e Euler-it dhanë vetëm shpresë se të gjithë numrat kishin pronën që vuri re Goldbach. Megjithatë, përpjekjet për të provuar se kjo do të jetë gjithmonë rasti nuk kanë çuar askund.

Matematikanët medituan problemin e Goldbach për dyqind vjet. Dhe vetëm shkencëtari rus Ivan Matveevich Vinogradov arriti të ndërmarrë hapin vendimtar. Ai vërtetoi se çdo numër natyror mjaft i madh është

shuma e tre numrave të thjeshtë. Por numri nga i cili deklarata e Vinogradov është e vërtetë është e paimagjinueshme.

4. Shenjat e pjesëtueshmërisë.

489566: 11 = ?

Për të zbuluar se si është numri i dhënë- e thjeshtë ose e përbërë, nuk keni nevojë të shikoni gjithmonë tabelën e numrave të thjeshtë. Shpesh për këtë mjafton të përdoren shenjat e pjesëtueshmërisë.

· Test për pjesëtueshmërinë me 2.

Nëse një numër natyror përfundon me një shifër çift, atëherë numri është çift dhe pjesëtohet me 2 pa mbetje.

· Test për pjesëtueshmërinë me 3.

Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 3, atëherë numri pjesëtohet me 3.

· Test për pjesëtueshmërinë me 4.

Një numër natyror që përmban të paktën tre shifra është i pjesëtueshëm me 4 nëse numri i formuar nga dy shifrat e fundit të atij numri është i pjesëtueshëm me 4.

· Test për pjesëtueshmërinë me 5.

Nëse një numër natyror përfundon me 0 ose 5, atëherë ai numër pjesëtohet me 5 pa mbetje.

· Test për pjesëtueshmërinë me 7 (me 13).

Një numër natyror pjesëtohet me 7 (me 13) nëse shuma algjebrike e numrave që formojnë faqe me tre shifra (duke filluar me shifrën e njësive), të marra me shenjën "+" për fytyrat tek dhe me shenjën "minus" për çiftet. fytyrat, pjesëtohet me, kompozojmë shumën algjebrike të fytyrave, duke filluar nga faqja e fundit dhe duke alternuar shenjat + dhe -: + 254 = 679. Numri 679 pjesëtohet me 7, që do të thotë se edhe ky numër pjesëtohet me 7. .

· Test për pjesëtueshmërinë me 8.

Një numër natyror që përmban të paktën katër shifra ndahet me 8 nëse numri i formuar nga tre shifrat e fundit pjesëtohet me 8.

· Test për pjesëtueshmërinë me 9.

Nëse shuma e shifrave të një numri pjesëtohet me 9, atëherë vetë numri pjesëtohet me 9.

· Test për pjesëtueshmërinë me 10.

Nëse një numër natyror përfundon me 0, atëherë ai pjesëtohet me 10.

· Testi i pjesëtueshmërisë 11.

Një numër natyror plotpjesëtohet me 11 nëse shuma algjebrike e shifrave të tij, e marrë me një shenjë plus nëse shifrat janë në vende tek (duke filluar nga shifra e njësheve), dhe e marrë me shenjën minus nëse shifrat janë në vende çift, është pjesëtueshëm me, 7 – 1 + 5 = 11, pjesëtueshëm me 11).

· Test për pjesëtueshmërinë me 25.

Një numër natyror që përmban të paktën tre shifra është i pjesëtueshëm me 25 nëse numri i formuar nga dy shifrat e fundit të atij numri është i plotpjesëtueshëm me 25.

· Test për pjesëtueshmërinë me 125.

Një numër natyror që përmban të paktën katër numra është i pjesëtueshëm me 125 nëse numri i formuar nga tre shifrat e fundit të atij numri është i plotpjesëtueshëm me 125.

5. Veti kurioze të numrave natyrorë.

Numrat natyrorë kanë shumë veti interesante që zbulohen kur mbi ta kryhen veprime aritmetike. Por është akoma më e lehtë t'i vëresh këto veti sesa t'i vërtetosh ato. Le të paraqesim disa veti të tilla.

1) Le të marrim një numër natyror të rastësishëm, për shembull 6, dhe të shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e tij: 1, 2, 3.6. Për secilin nga këta numra, shkruani sa pjesëtues ka. Meqenëse 1 ka vetëm një pjesëtues (vetë numri), 2 dhe 3 kanë nga dy pjesëtues secila, dhe 6 ka 4 pjesëtues, marrim numrat 1, 2, 2, 4. Ata kanë një veçori të jashtëzakonshme: nëse i ngrini këta numra në kubike dhe mblidhni përgjigjet, ju merrni saktësisht të njëjtën sasi që do të merrnim duke mbledhur së pari këta numra dhe më pas duke e katroruar shumën, me fjalë të tjera,

https://pandia.ru/text/79/542/images/image019_3.jpg" width="554" height="140 src=">

Llogaritjet tregojnë se si në të majtë ashtu edhe në të djathtë përgjigja është e njëjtë, përkatësisht 324.

Çfarëdo numri të marrim, prona që kemi vërejtur do të plotësohet. Por është mjaft e vështirë ta vërtetosh këtë.

2) . Le të marrim çdo numër katërshifror, për shembull 2519, dhe t'i renditim shifrat e tij fillimisht në rend zbritës dhe më pas në rend rritës: dhe nga më shumë zbres më të voglin: =8262. Le të bëjmë të njëjtën gjë me numrin që rezulton: 86=6354. Dhe një hap tjetër i ngjashëm: 65 = 3087. Tjetra, = 8352, = 6174. Nuk jeni lodhur duke zbritur? Le të bëjmë një hap më shumë: =6174. Përsëri doli të ishte 6174.

Tani ne jemi, siç thonë programuesit, "në një lak": pa marrë parasysh sa herë zbresim tani, nuk do të marrim asgjë tjetër përveç 6174. Ndoshta fakti është se kështu është zgjedhur numri origjinal 2519? Rezulton se nuk ka asnjë lidhje me të: pavarësisht nga numri katërshifror që marrim, pas jo më shumë se shtatë hapash do të marrim patjetër të njëjtin numër 6174.

3) . Le të vizatojmë disa rrathë me një qendër të përbashkët dhe të shkruajmë çdo katër numra natyrorë në rrethin e brendshëm. Për çdo çift numrash ngjitur, zbritni më të voglin nga më i madhi dhe shkruajeni rezultatin në rrethin tjetër. Rezulton se nëse e përsëritni këtë mjaft herë, në një nga rrathët të gjithë numrat do të jenë të barabartë me zero, dhe për këtë arsye nuk do të vazhdoni të merrni asgjë përveç zerove. Figura e tregon këtë për rastin kur në rrethin e brendshëm shkruhen numrat 25, 17, 55, 47.

4) . Le të marrim çdo numër (madje edhe një numër mijërashifror) të shkruar në sistemin e numrave dhjetorë. Le t'i vendosim në katror të gjithë numrat e tij dhe t'i mbledhim. Le të bëjmë të njëjtën gjë me sasinë. Rezulton se pas disa hapash marrim ose numrin 1, pas të cilit nuk do të ketë numra të tjerë, ose 4, pas së cilës kemi numrat 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20 dhe përsëri ne merrni 4. Kjo do të thotë se nuk ka asnjë cikël shmangie edhe këtu.

5. Le të krijojmë një tabelë kaq të pafundme. Në kolonën e parë do të shkruajmë numrat 4, 7, 10, 13, 16, ... (secili tjetër është 3 më shumë se ai i mëparshmi). Nga numri 4 vizatojmë një vijë djathtas, duke i rritur numrat me 3 në çdo hap. Nga numri 7 tërheqim një vijë, duke i rritur numrat me 5, nga numri 10 - me 7, etj. Tabela e mëposhtme është fituar:

Nëse merrni ndonjë numër nga kjo tabelë, shumëzoni atë me 2 dhe shtoni 1 në produktin, gjithmonë do të merrni një numër të përbërë. Nëse bëjmë të njëjtën gjë me një numër që nuk përfshihet në këtë tabelë, marrim një numër të thjeshtë. Për shembull, le të marrim nga tabela numrin 45. Numri 2*45+1=91 është i përbërë, është i barabartë me 7*13. Por numri 14 nuk është në tabelë, dhe numri 2*14+1=29 është i thjeshtë.

Kjo mënyrë e mrekullueshme për të dalluar numrat e thjeshtë nga numrat e përbërë u shpik në vitin 1934 nga studenti indian Sundaram. Vëzhgimet e numrave zbulojnë pohime të tjera të jashtëzakonshme. Vetitë e botës së numrave janë vërtet të pashtershme.

Truket me numra.

https://pandia.ru/text/79/542/images/image022_2.jpg" width="226" height="71">

Në fund të fundit, nëse pranë një numri treshifror shkruani përsëri të njëjtin numër, atëherë numri origjinal do të shumëzohet me 1001 (për shembull, 289 289= 289https://pandia.ru/text/79/542/images/ image024_3.jpg" width="304" height="74">

Dhe numrat katërshifrorë përsëriten një herë dhe pjesëtohen me 73 137. Zgjidhja është në barazi

https://pandia.ru/text/79/542/images/image026_6.jpg" width="615" height="40 src=">

Vini re se kubet e numrave 0, 1, 4, 5, 6 dhe 9 përfundojnë me të njëjtin numër (për shembull, https://pandia.ru/text/79/542/images/image028_4.jpg" width="24 " height= "24 src=">.jpg" width="389" height="33">

Përveç kësaj, duhet të mbani mend tabelën e mëposhtme që tregon se ku fillojnë fuqitë e pesta të numrave të mëposhtëm:

https://pandia.ru/text/79/542/images/image032_2.jpg" width="200 height=28" height="28">Kjo do të thotë që ju duhet të shtoni numrin 3 në numrin pesëshifror shkruar fillimisht në tabelën përpara dhe zbrit 3 nga numri që rezulton.

Për të parandaluar audiencën të hamendësojë mashtrimin, mund të zvogëloni shifrën e parë të cilitdo prej numrave me disa njësi dhe të zvogëloni shifrën përkatëse në total me të njëjtin numër njësish. Për shembull, në figurë, shifra e parë në termin e tretë zvogëlohet me 2 dhe shifra përkatëse në shumë zvogëlohet me të njëjtën shumë.

konkluzioni.

Pasi mblodha dhe përmblodha materiale rreth numrave të thjeshtë dhe të përbërë, arrita në përfundimin e mëposhtëm:

1. Studimi i numrave shkon në kohët e lashta dhe ka një histori të pasur.

2. Roli i numrave të thjeshtë në matematikë është i madh: ata janë blloqet ndërtuese nga të cilat ndërtohen të gjithë numrat e tjerë duke përdorur shumëzimin.

3. Numrat natyrorë kanë shumë veti interesante. Vetitë e botës së numrave janë vërtet të pashtershme.

4. Materiali që përgatita mund të përdoret në mënyrë të sigurt në mësimet e matematikës dhe në klasat e rrethit të matematikës. Ky material do t'ju ndihmojë të përgatiteni më thellë për lloje të ndryshme olimpiadash.

Zbërthimi i numrave natyrorë në prodhime të numrave të thjeshtë

Algoritme për kërkimin dhe njohjen e numrave të thjeshtë

Metodat e thjeshta për të gjetur një listë fillestare të numrave të thjeshtë deri në një vlerë janë dhënë nga Sieve of Eratosthenes, Sieve of Sundaram dhe Sieve of Atkin.

Sidoqoftë, në praktikë, në vend që të merrni një listë të numrave të thjeshtë, shpesh dëshironi të kontrolloni nëse një numër i caktuar është i thjeshtë. Algoritmet që zgjidhin këtë problem quhen teste të parësisë. Ka shumë teste të primitetit polinomial, por shumica janë probabiliste (si testi Miller-Rabin) dhe përdoren për nevojat e kriptografisë. Në vitin 2002, u vërtetua se problemi i testit të parësisë në pamje e përgjithshmeështë i zgjidhshëm në mënyrë polinomike, por testi i propozuar përcaktues Agrawal–Kajal–Saxena ka një kompleksitet mjaft të madh llogaritës, gjë që e bën të vështirë zbatimin e tij praktik.

Për disa klasa numrash ekzistojnë teste të specializuara efikase të parësisë (shih më poshtë).

Pafundësia e bashkësisë së numrave të thjeshtë

Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë. Më e vjetra prova e njohur Ky fakt u dha nga Euklidi në Elementet (Libri IX, deklarata 20). Prova e tij mund të riprodhohet shkurtimisht si më poshtë:

Le të imagjinojmë se numri i numrave të thjeshtë është i fundëm. Le t'i shumëzojmë dhe të shtojmë një. Numri që rezulton nuk është i pjesëtueshëm me asnjë nga grupet e fundme të numrave të thjeshtë, sepse pjesa e mbetur e pjesëtimit me cilindo prej tyre jep një. Kjo do të thotë që numri duhet të jetë i pjesëtueshëm me ndonjë numër të thjeshtë që nuk përfshihet në këtë grup. Polemika.

Matematikanët ofruan prova të tjera. Njëra prej tyre (e dhënë nga Euler) tregon se shuma e reciprocaleve të të parit n numrat e thjeshtë, rritet në mënyrë të pakufizuar me rritjen n.

Numrat Mersenne ndryshojnë në mënyrë të favorshme nga të tjerët nga prania e një testi efektiv të parësisë: testi Luc-Lemaire. Falë tij, numrat e parë të Mersenne kanë mbajtur prej kohësh rekordin si numrat më të mëdhenj të njohur.

Për gjetjen e numrave të thjeshtë me më shumë se 100,000,000 dhe 1,000,000,000 shifra dhjetore, EFF dha çmime në para prej 150,000 USD dhe 250,000 USD, respektivisht. EFF ka dhënë më parë çmime për gjetjen e numrave të thjeshtë me 1,000,000 dhe 10,000,000 shifra dhjetore.

Numrat kryesorë të një lloji të veçantë

Ka një sërë numrash, parësia e të cilëve mund të përcaktohet në mënyrë efikase duke përdorur algoritme të specializuara.

Duke përdorur testin Brillhart-Lehmer-Selfridge ( anglisht) mund të kontrollohet thjeshtësia e numrave të mëposhtëm:

Për të kërkuar numrat kryesorë të llojeve të përcaktuara, aktualisht përdoren projektet kompjuterike të shpërndara GIMPS, PrimeGrid, Ramsey@Home, Seventeen ose Bust, Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Disa prona

Nëse është i thjeshtë dhe ndan , atëherë ndan ose . Vërtetimi i këtij fakti është dhënë nga Euklidi dhe njihet si lema e Euklidit. Përdoret në vërtetimin e teoremës themelore të aritmetikës.
Një unazë mbetje është një fushë nëse dhe vetëm nëse është e thjeshtë.
Karakteristika e secilës fushë është zero ose një numër i thjeshtë.
Nëse - është e thjeshtë dhe - është e natyrshme, atëherë pjesëtohet me (teorema e vogël e Fermatit).
Nëse është një grup i fundëm me elementë, atëherë ai përmban një element të rendit.
Nëse është një grup i fundëm, dhe është fuqia maksimale që ndan , atëherë ai ka një nëngrup të rendit të quajtur nëngrup Sylow, për më tepër, numri i nëngrupeve Sylow është i barabartë për disa numra të plotë (teorema e Sylow).
Një natyrore është e thjeshtë nëse dhe vetëm nëse pjesëtohet me (teorema e Wilsonit).
Nëse është e natyrshme, atëherë ekziston një kryetar i tillë që (postulati i Bertrandit).
Seria e inverseve të numrave të thjeshtë divergjent. Për më tepër, kur
Çdo progresion aritmetik i formës , ku janë numra të plotë të përbashkët, përmban pafundësisht shumë numra të thjeshtë (teorema e Dirichlet-it mbi numrat e thjeshtë në një progresion aritmetik).
Çdo numër i thjeshtë më i madh se 3 mund të përfaqësohet si ose , ku është një numër natyror. Prandaj, nëse ndryshimi midis disa numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm (për k>1) është i njëjtë, atëherë ai domosdoshmërisht është shumëfish i 6 - për shembull: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
Nëse - kryeministër, atëherë është shumëfish i 24 (e vërtetë edhe për të gjithë numra tek, jo i pjesëtueshëm me 3).
Teorema Green-Tao. Ka progresione aritmetike të fundme arbitrarisht të gjata të përbëra nga numra të thjeshtë.
n>2, k>1. Me fjalë të tjera, numri që ndjek numrin e thjeshtë nuk mund të jetë katror ose fuqi më e lartë me bazë më të madhe se 2. Nga kjo rrjedh gjithashtu se nëse një numër i thjeshtë ka formën , atëherë k- i thjeshtë (shih numrat Mersenne).
Asnjë numër i thjeshtë nuk mund të ketë formën , ku n>1, k>0. Me fjalë të tjera, një numër që i paraprin një numri të thjeshtë nuk mund të jetë një kub ose një fuqi teke më e lartë me një bazë më të madhe se 1.

që përmban 26 ndryshore dhe ka shkallën 25. Shkalla më e vogël për polinomet e njohur të këtij lloji është 5 me 42 ndryshore; numri më i vogël variablat - 10 me një shkallë rreth 15905. Ky rezultat është një rast i veçantë i vetive Diofantine të çdo grupi të numërueshëm të provuar nga Yuri Matiyasevich.

Pyetje të hapura

Shpërndarja e numrit të thjeshtë fq n = f (Δ s n); Δ s n = fq n+1 ² - fq n ². Δ fq n = fq n+1 - fq n ; Δ fq n = 2, 4, 6, … .

Ka ende shumë pyetje të hapura në lidhje me numrat e thjeshtë, më të famshmit prej të cilëve u renditën nga Edmund Landau në Kongresin e Pestë Ndërkombëtar të Matematikës:

Është gjithashtu një problem i hapur që ka një numër të pafund numrash të thjeshtë në shumë sekuenca numrash të plotë, duke përfshirë numrat Fibonacci, numrat Fermat, etj.

Aplikacionet

Variacione dhe përgjithësime

Në teorinë e unazave, përcaktohet një degë e algjebrës abstrakte, koncepti i një elementi kryesor dhe një ideali kryesor.
Në teorinë e nyjeve, koncepti i një nyje të thjeshtë përcaktohet ( anglisht), si një nyje jo e parëndësishme që nuk mund të përfaqësohet si një shumë e lidhur e nyjeve jo të parëndësishme.

Shiko gjithashtu

Shënime

Letërsia

Galperin G."Vetëm rreth numrave të thjeshtë" // Kuantike. - Nr. 4. - F. 9-14,38.
Nesterenko Yu. V. Problemet algoritmike të teorisë së numrave // Hyrje në kriptografi / Redaktuar nga V. V. Yashchenko. - Pjetri, 2001. - 288 f. - ISBN 5-318-00443-1
Vasilenko O. N. Algoritmet teorike të numrave në kriptografi. - M.: MTsNMO, 2003. - 328 f. - ISBN 5-94057-103-4
Cheremushkin A.V.. - M.: MTsNMO, 2002. - 104 f. - ISBN 5-94057-060-7
Knop K."Ndjekja e thjeshtësisë"
Kordemsky B. A. Njohur matematike. - M.: GIFML, 1958. - 576 f.
Henry S. Warren, Jr. Kapitulli 16. Formulat për numrat e thjeshtë // Truket algoritmike për programuesit = Hacker's Delight. - M.: Williams, 2007. - 288 f. - ISBN 0-201-91465-4
Yu. Matiyasevich. Formulat për numrat e thjeshtë // Kuantike. - 1975. - Nr. 5. - F. 5-13.
N. Karpushina. Palindromat dhe "përmbysjet" midis numrave të thjeshtë // Shkenca dhe jeta. - 2010. - № 5.
D. Zager. 50 milionë primat e para // Përparimet në shkencat matematikore. - 1984. - T. 39. - Nr 6(240). - F. 175–190.

Lidhjet

Faqet kryesore - baza e të dhënave e numrave kryesorë më të mëdhenj të njohur
Listat kryesore të PrimeGrid - të gjithë numrat kryesorë të gjetur brenda projektit PrimeGrid
Gjeometria e numrave të thjeshtë dhe të përsosur (Spanjisht)

Sistemet numerike
Duke numëruar grupe	Numrat natyrorë () Numrat e plotë () Racionalë () Algjebrikë () Periodat Aritmetikë të Llogaritshme
Numrat realë dhe zgjerimet e tyre	Real () Kompleks () Kuaternione ()