Презентация "Запис на естествени числа". Цели числа

Поставете нула

Има два подхода за определяне естествени числа:

броене (номериране)елементи ( първи, второ, трети, четвърто, пети…);
естествените числа са числа, които възникват, когато обозначение на количествотоелементи ( 0 елемента, 1 елемент, 2 елемента, 3 елемента, 4 елемента, 5 елемента…).

В първия случай редицата от естествени числа започва от единица, във втория - от нула. Няма консенсус сред повечето математици дали първият или вторият подход е за предпочитане (т.е. дали нулата трябва да се счита за естествено число или не). По-голямата част от руските източници традиционно приемат първия подход. Вторият подход е възприет например в трудовете на Никола Бурбаки, където естествените числа се дефинират като мощности на крайни множества. Наличието на нула улеснява формулирането и доказването на много теореми в аритметиката на естествените числа, така че първият подход въвежда полезното понятие разширен естествен ареалвключително нула.

Съвкупността от всички естествени числа обикновено се означава със символа . Международните стандарти ISO 31-11 (1992) и ISO 80000-2 (2009) установяват следните обозначения:

В руските източници този стандарт все още не се спазва - в тях символът N (\displaystyle \mathbb (N) )означава естествените числа без нула, а разширеният естествен ред е означен N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))и т.н.

Аксиоми, които ни позволяват да определим множеството от естествени числа

Аксиоми на Пеано за естествени числа

Няколко N (\displaystyle \mathbb (N) )ще се нарича набор от естествени числа, ако някой елемент е фиксиран 1 (единица), функция S (\displaystyle S)с домейн на дефиниция N (\displaystyle \mathbb (N) ), наречена функция за следване ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), и са изпълнени следните условия:

елемент едно принадлежи към това множество ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), тоест е естествено число;
числото, следващо естественото число, също е естествено число (ако , тогава S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )или по-кратко, S: N → N (\displaystyle S\колон \mathbb (N) \до \mathbb (N) ));
не следва нито едно естествено число ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
ако е естествено число a (\displaystyle a)следва непосредствено като естествено число b (\displaystyle b), и за естествено число c (\displaystyle c), Че b (\displaystyle b)И c (\displaystyle c)е същото число (ако S (b) = a (\displaystyle S(b)=a)И S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), Че b = c (\displaystyle b=c));
(аксиома на индукцията) ако има изречение (изявление) P (\displaystyle P)доказано за естествени числа n = 1 (\displaystyle n=1) (индукционна основа) и ако от предположението, че е вярно за друго естествено число n (\displaystyle n), следва, че е вярно за следното n (\displaystyle n)естествено число ( индуктивна хипотеза), тогава това изречение е вярно за всички естествени числа (нека P(n) (\displaystyle P(n))- някакъв едноместен (унарен) предикат, чийто параметър е естествено число n (\displaystyle n). Тогава ако P (1) (\displaystyle P(1))И ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), Че ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Изброените аксиоми отразяват нашето интуитивно разбиране за естествената редица и числовата ос.

Основният факт е, че тези аксиоми по същество уникално дефинират естествените числа (категоричният характер на аксиомната система на Пеано). А именно, може да се докаже (виж, както и кратко доказателство), че ако (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))И (N ~, 1 ~, S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- два модела за аксиомната система на Пеано, тогава те задължително са изоморфни, т.е. има обратимо картографиране (биекция) f: N → N ~ (\displaystyle f\колон \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))такова, че f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))И f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))за всички x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Следователно е достатъчно да се определи като N (\displaystyle \mathbb (N) )всеки конкретен модел на множеството от естествени числа.

Понякога, особено в чуждестранната и преводната литература, в първата и третата аксиома на Пеано единица се заменя с нула. В този случай нулата се счита за естествено число. Когато се дефинира чрез класове набори от еквистепени, нулата е естествено число по дефиниция. Би било неестествено да го отхвърлите умишлено. Освен това това значително би усложнило по-нататъшното изграждане и приложение на теорията, тъй като в повечето конструкции нулата, както и празното множество, не е нещо отделно. Друго предимство на третирането на нулата като естествено число е, че тя N (\displaystyle \mathbb (N) )образува моноид. Както вече споменахме, в руската литература традиционно нулата е изключена от списъка на естествените числа.

Теоретично-множествена дефиниция на естествени числа (дефиниция на Фреге-Ръсел)

По този начин естествените числа също се въвеждат въз основа на концепцията за множество, съгласно две правила:

Дефинираните по този начин числа се наричат редни.

Нека опишем първите няколко редни числа и съответните естествени числа:

Величина на множеството от естествени числа

Размерът на безкрайно множество се характеризира с понятието „кардиналност на множество“, което е обобщение на броя на елементите на крайно множество към безкрайни множества. По величина (т.е. кардиналност) наборът от естествени числа е по-голям от всеки краен набор, но по-малък от всеки интервал, например интервала (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Множеството от естествени числа е същото по кардиналност като множеството рационални числа. Множество със същата мощност като множеството от естествени числа се нарича изброимо множество. По този начин множеството от членове на всяка последователност е изброимо. В същото време има последователност, в която всяко естествено число се появява безкраен брой пъти, тъй като множеството от естествени числа може да бъде представено като изброимо обединение на несвързани изброими множества (например, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

Операции с естествени числа

Затворените операции (операции, които не извличат резултат от набор от естествени числа) върху естествени числа включват следните аритметични операции:

Освен това се разглеждат още две операции (от формална гледна точка те не са операции върху естествени числа, тъй като не са дефинирани за всекидвойки числа (понякога съществуват, понякога не)):

Трябва да се отбележи, че операциите събиране и умножение са основни. По-специално, пръстенът от цели числа се дефинира точно чрез двоичните операции събиране и умножение.

Основни свойства

Комутативност на събирането:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

Комутативност на умножението:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

Допълнителна асоциативност:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

Асоциативност на умножението:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

Разпределимост на умножението спрямо събирането:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

Алгебрична структура

Събирането превръща множеството от естествени числа в полугрупа с единица, ролята на единица играе 0 . Умножението също превръща набора от естествени числа в полугрупа с идентичност, като елементът на идентичност е 1 . С помощта на затваряния по отношение на операциите събиране-изваждане и умножение-деление се получават групи от цели числа Z (\displaystyle \mathbb (Z) )и рационални положителни числа Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*))съответно.

Историята на естествените числа започва в първобитни времена.От древни времена хората са броили предмети. Например в търговията ви трябваше сметка на стоки или в строителството сметка на материали. Да, дори в ежедневието също трябваше да броя неща, храна, добитък. Първоначално числата се използват само за броене в живота, на практика, но по-късно, с развитието на математиката, те стават част от науката.

Цели числа- това са числата, които използваме, когато броим предмети.

Например: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Нулата не е естествено число.

Всички естествени числа, или да кажем набор от естествени числа, се означават със символа N.

Таблица на естествените числа.

Естествена серия.

Естествени числа, записани подред във възходящ ред естествени серииили поредица от естествени числа.

Свойства на естествената серия:

Най-малкото естествено число е едно.
В естествена серия следващото число е по-голямо от предишното едно по едно. (1, 2, 3, ...) Три точки или елипси се поставят, ако е невъзможно да се завърши редицата от числа.
Естественият ред няма най-голям брой, той е безкраен.

Пример #1:
Напишете първите 5 естествени числа.
Решение:
Естествените числа започват от единица.
1, 2, 3, 4, 5

Пример #2:
Нулата естествено число ли е?
Отговор: не.

Пример #3:
Кое е първото число в естествени серии?
Отговор: Естественият ред започва от единица.

Пример #4:
Кое е последното число в естествената редица? Кое е най-голямото естествено число?
Отговор: Естественият ред започва с единица. Всяко следващо число е едно по едно по-голямо от предишното, така че последното число не съществува. Няма най-голямо число.

Пример #5:
Единицата в естествения ред има предишен номер?
Отговор: не, защото единица е първото число в естествената редица.

Пример #6:
Назовете следващото число от естествения ред: а)5, б)67, в)9998.
Отговор: а)6, б)68, в)9999.

Пример #7:
Колко числа има в естествения ред между числата: а) 1 и 5, б) 14 и 19.
Решение:
а) 1, 2, 3, 4, 5 – три числа са между числата 1 и 5.
б) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – четири числа са между числата 14 и 19.

Пример #8:
Кажете предишното число след 11.
Отговор: 10.

Пример #9:
Какви числа се използват при броене на предмети?
Отговор: естествени числа.

Най-простото число е естествено число. Те се използват в Ежедневиетоза броене обекти, т.е. да се изчисли техният брой и ред.

Какво е естествено число: естествени числаназовавайте числата, с които сте свикнали броене на артикули или за посочване на серийния номер на всеки артикул от всички хомогенниелементи.

Цели числа- това са числа, започващи от единица. Те се образуват естествено при броене.Например 1,2,3,4,5... -първи естествени числа.

Най-малкото естествено число- един. Няма най-голямо естествено число. При броене на броя Нула не се използва, така че нулата е естествено число.

Редица от естествени числае последователността от всички естествени числа. Писане на естествени числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В естествената серия всяко число е по-голямо от предишното едно по едно.

Колко числа има в естествения ред? Естественият ред е безкраен, най-голямото естествено число не съществува.

Десетичен, тъй като 10 единици от всяка цифра образуват 1 единица от най-високата цифра. Позиционно така как значението на една цифра зависи от нейното място в числото, т.е. от категорията, където е написано.

Класове естествени числа.

Всяко естествено число може да се запише с 10 арабски цифри:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

За да се разчетат естествените числа, те се разделят, започвайки отдясно, на групи от по 3 цифри. 3 първо числата вдясно са класът на единиците, следващите 3 са класът на хилядите, след това класовете на милионите, милиардите ии т.н. Всяка от цифрите на класа се нарича свояосвобождаване от отговорност.

Сравнение на естествени числа.

От 2 естествени числа по-малкото е числото, което се извиква по-рано при броенето. Например, номер 7 по-малко 11 (написано така:7 < 11 ). Когато едно число е по-голямо от второто, се записва така:386 > 99 .

Таблица с цифри и класове числа.


единица 1 клас	1-ва цифра на единицата 2-ра цифра десетици 3-то място стотни
2-ри клас хил	1-ва цифра на хилядната единица 2-ра цифра десетки хиляди 3-та категория стотици хиляди
3-ти клас милиони	1-ва цифра на единица милиони 2-ра категория десетки милиони 3-та категория стотици милиони
Милиарди от 4 клас	1-ва цифра на единица милиарди 2-ра категория десетки милиарди 3-та категория стотици милиарди

Числата от 5 клас и нагоре се считат за големи числа. Единици от 5-ти клас са трилиони, 6-ти клас - квадрилиони, 7 клас - квинтилиони, 8 клас - секстилиони, 9 клас -ептилиони.

Основни свойства на естествените числа.

Комутативност на събирането . a + b = b + a
Комутативност на умножението. ab = ba
Асоциативност на добавянето. (a + b) + c = a + (b + c)
Асоциативност на умножението.
Разпределимост на умножението спрямо събирането:

Операции с естествени числа.

4. Деленето на естествени числа е действие, обратно на умножението.

Ако b ∙ c = a, Че

Формули за деление:

а: 1 = а

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(А∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(А∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Числови изрази и числени равенства.

Нотация, при която числата са свързани със знаци за действие, е числено изражение.

Например 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Записите, в които 2 числови израза са комбинирани със знак за равенство, са числови равенства. Равенството има лява и дясна страна.

Редът за извършване на аритметични операции.

Събирането и изваждането на числата са операции от първа степен, докато умножението и делението са операции от втора степен.

Когато числовият израз се състои от действия само от една степен, те се извършват последователноот ляво на дясно.

Когато изразите се състоят от действия само от първа и втора степен, тогава действията се извършват първи втора степен, а след това - действия от първа степен.

Когато в даден израз има скоби, първо се изпълняват действията в скобите.

Например 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Числа, предназначени за броене на предмети и отговарящи на въпроса „колко?“ ("Колко

топки?", "Колко ябълки?", "Колко войници?"), се наричат естествени.

Ако ги напишете в ред, от най-малкото число до най-голямото, ще получите естествена редица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Естествената редица от числа започва с числото 1.

Всяко следващо естествено число е с 1 по-голямо от предходното.

Естествената редица от числа е безкрайна.

Числата могат да бъдат четни или нечетни.Четните числа се делят на две и Не четни числане се делят на две.

Серия от нечетни числа:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Редица от четни числа:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

В естествения ред нечетните и четните числа се редуват:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Как да сравняваме естествените числа

Когато сравняваме две естествени числа, това отдясно в естествения ред е по-голямо:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

И така, седем е повече от три, а пет е повече от едно.

В математиката думата „по-малко“ се записва със знака „<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Острият ъгъл на символите по-голямо и по-малко винаги сочи към по-малкото от двете числа.

Записът 7 > 3 се чете като „седем върху три“.

Вписване 3< 7 читается как «три меньше семи».

Записът 5 > 1 се чете като „пет върху едно“.

Вписване 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Думата „равно“ в математиката се заменя със знака „=“:

Когато числата са големи, е трудно веднага да се каже кое е отдясно в естествения ред.

Когато сравняваме две естествени числа с различен брой цифри, по-голямо е това с най-много цифри.

Например 233 000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Многоцифрените естествени числа с еднакъв брой цифри се сравняват побитово, като се започне от най-значимата цифра.

Първо се сравняват единиците на най-значимата цифра, след това следващата, следващата и т.н. Например, нека сравним числата 5401 и 5430:

5401 = 5 хиляди 4 стотици 0 десетици 1 единица;

5430 = 5 хиляди 4 стотици 3 десетици 0 единици.

Сравняване на хилядни единици. На мястото на хилядните единици на числото 5401 има 5 единици, на мястото на хилядните единици на числото 5430 има 5 единици. Чрез сравняване на хилядни единици все още е невъзможно да се каже кое число е по-голямо.

Сравняване на стотици. На мястото на стотните на числото 5401 има 4 единици, на мястото на стотните числото 5430 също е 4 единици. Трябва да продължим сравнението.

Сравняване на десетки. В десетиците на числото 5401 има 0 единици, в десетиците на числото 5430 има 3 единици.

Сравнявайки, получаваме 0< 3, поэтому 5401 < 5430.

Числата могат да бъдат подредени в низходящ или възходящ ред.

Ако в запис на няколко естествени числа всяко следващо число е по-малко от предходното, тогава се казва, че числата са записани в низходящ ред.

Нека запишем числата 5, 22, 13, 800 в низходящ ред.

Да намерим по-голям брой. Числото 5 е едноцифрено число, 13 и 22 са двуцифрени числа, 800 е трицифрено число и следователно най-голямото. Пишем 800 на първо място.

От двуцифрените числа 13 и 22 по-голямото е 22. След числото 800 записваме числото 22, а след това 13.

Най-малкото число е едноцифреното число 5. Записваме го последно.

800, 22, 13, 5 - записване на тези числа в низходящ ред.

Ако в запис на няколко естествени числа всяко следващо число е по-голямо от предходното, тогава се казва, че числата са записани във възходящ ред.

Как се записват числата 15, 2, 31, 278, 298 във възходящ ред?

Сред числата 15, 2, 31, 278, 298 ще намерим по-малкото.

Това е едноцифрено число 2. Нека го запишем на първо място.

От двуцифрените числа 15 и 31 изберете по-малкото - 15, запишете го на второ място, а след него - 31.

От трицифрените числа 278 е най-малкото, записваме го след числото 31, а последно записваме числото 298.

2, 15, 21, 278, 298 - изписване на тези числа във възходящ ред