Taqdimot "Natural sonlar yozuvi". Butun sonlar

Nolni joylashtiring

Aniqlashda ikkita yondashuv mavjud natural sonlar:

sanash (raqamlash) buyumlar ( birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi…);
natural sonlar qachon paydo bo'ladigan sonlardir miqdorni belgilash buyumlar ( 0 ta element, 1 ta element, 2 ta element, 3 ta element, 4 ta element, 5 ta element…).

Birinchi holda, natural sonlar qatori birdan, ikkinchisida - noldan boshlanadi. Ko‘pchilik matematiklar o‘rtasida birinchi yoki ikkinchi yondashuv afzalligi (ya’ni, nolni natural son deb hisoblash kerakmi yoki yo‘qmi) to‘g‘risida konsensus yo‘q. Rus manbalarining aksariyati an'anaviy ravishda birinchi yondashuvni qabul qiladi. Ikkinchi yondashuv, masalan, Nikolas Burbakining asarlarida olingan bo'lib, bu erda natural sonlar cheklangan to'plamlarning kardinalliklari sifatida aniqlanadi. Nolning mavjudligi natural sonlar arifmetikasida ko'plab teoremalarni shakllantirish va isbotlashni osonlashtiradi, shuning uchun birinchi yondashuv foydali tushunchani taqdim etadi. kengaytirilgan tabiiy diapazon shu jumladan nol.

Barcha natural sonlar to'plami odatda belgi bilan belgilanadi. ISO 31-11 (1992) va ISO 80000-2 (2009) xalqaro standartlari quyidagi belgilarni belgilaydi:

Rus manbalarida bu standart hali kuzatilmagan - ularda belgi N (\displaystyle \mathbb (N)) nolsiz natural sonlarni, kengaytirilgan natural qatorni bildiradi N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) va hokazo.

Natural sonlar to'plamini aniqlash imkonini beruvchi aksiomalar

Natural sonlar uchun Peano aksiomalari

Bir guruh N (\displaystyle \mathbb (N)) agar biror element o'zgarmas bo'lsa, natural sonlar to'plami deyiladi 1 (birlik), funksiya S (\displaystyle S) ta'rif sohasi bilan N (\displaystyle \mathbb (N)), kuzatish funktsiyasi deb ataladi ( S: N (\displaystyle S\kolon \mathbb (N))) va quyidagi shartlar bajariladi:

birinchi element ushbu to'plamga tegishli ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), ya'ni natural son;
natural sondan keyingi son ham natural sondir (agar , u holda S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\mathbb (N) da) yoki qisqaroq qilib aytganda, S: N → N (\displaystyle S\kolon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
hech qanday natural songa ergashmaydi ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \mathbb (N) \ (S(x)=1) da x\ mavjud)));
natural son bo'lsa a (\displaystyle a) darhol natural son sifatida keladi b (\displaystyle b), va natural son uchun c (\displaystyle c), Bu b (\displaystyle b) Va c (\displaystyle c) bir xil raqam (agar S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) Va S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), Bu b = c (\displaystyle b=c));
(induksiya aksiomasi) agar biror gap (bayon) P (\displaystyle P) natural sonlar uchun isbotlangan n = 1 (\displaystyle n=1) (induksion asos) va agar boshqa natural son uchun to'g'ri degan farazdan kelib chiqsa n (\displaystyle n), shundan kelib chiqadiki, bu quyidagi uchun to'g'ri n (\displaystyle n) natural son ( induktiv gipoteza), u holda bu jumla barcha natural sonlar uchun to'g'ri bo'ladi (kelsin P(n) (\displaystyle P(n))- parametri natural son bo'lgan ba'zi bir o'rinli (unar) predikatlar n (\displaystyle n). Keyin agar P (1) (\displaystyle P(1)) Va ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n)))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Oʻng strelka P(S(n)))), Bu ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Sanab o'tilgan aksiomalar bizning tabiiy qatorlar va raqamlar chizig'i haqidagi intuitiv tushunchamizni aks ettiradi.

Asosiy haqiqat shundaki, bu aksiomalar tabiiy sonlarni (Peano aksioma tizimining kategorik tabiati) o'ziga xos tarzda aniqlaydi. Ya'ni, agar buni isbotlash mumkin (qarang, shuningdek, qisqacha dalil). (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) Va (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N))),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- Peano aksioma tizimi uchun ikkita model, keyin ular majburiy ravishda izomorf bo'ladi, ya'ni teskari xaritalash (bijection) mavjud. f: N → N ~ (\displaystyle f\kolon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) shu kabi f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1))) Va f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\ Displaystyle f (S (x)) = (\ tilda (S)) (f (x)) Barcha uchun x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

Shuning uchun, sifatida tuzatish kifoya N (\displaystyle \mathbb (N)) natural sonlar to'plamining har qanday o'ziga xos modeli.

Ba'zan, ayniqsa xorijiy va tarjima adabiyotida, birinchi va uchinchi Peano aksiomalarida bir nolga almashtiriladi. Bunda nol natural son hisoblanadi. Teng kuchlar to'plamlari sinflari orqali aniqlanganda, nol ta'rifi bo'yicha natural sondir. Uni ataylab rad etish g'ayritabiiy bo'lar edi. Bundan tashqari, bu nazariyani keyingi qurish va qo'llashni sezilarli darajada murakkablashtiradi, chunki ko'pgina konstruktsiyalarda nol, bo'sh to'plam kabi, alohida narsa emas. Nolga natural son sifatida qarashning yana bir afzalligi shundaki N (\displaystyle \mathbb (N)) monoid hosil qiladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, rus adabiyotida an'anaviy ravishda nol natural sonlar ro'yxatidan chiqariladi.

Natural sonlarning to'plam nazariy ta'rifi (Frej-Rassel ta'rifi)

Shunday qilib, natural sonlar ham to'plam tushunchasi asosida ikkita qoidaga muvofiq kiritiladi:

Shu tarzda aniqlangan raqamlar tartib deyiladi.

Keling, birinchi bir nechta tartib sonlarni va ularga mos keladigan natural sonlarni tavsiflaymiz:

Natural sonlar to'plamining kattaligi

Cheksiz to'plamning o'lchami "to'plamning kardinalligi" tushunchasi bilan tavsiflanadi, bu cheksiz to'plam elementlari sonining cheksiz to'plamlarga umumlashtirilishi. Kattalik (ya'ni, kardinallik) bo'yicha natural sonlar to'plami har qanday chekli to'plamdan kattaroq, lekin har qanday intervaldan kichikroq, masalan, interval. (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). Natural sonlar to'plami kardinallik bo'yicha to'plam bilan bir xil ratsional sonlar. Natural sonlar to'plami bilan bir xil kardinallik to'plami sanaladigan to'plam deb ataladi. Shunday qilib, har qanday ketma-ketlikning shartlari to'plamini sanash mumkin. Shu bilan birga, har bir natural son cheksiz ko'p marta paydo bo'ladigan ketma-ketlik mavjud, chunki natural sonlar to'plami ajratilgan sanaladigan to'plamlarning sanaladigan birlashmasi sifatida ifodalanishi mumkin (masalan, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\o'ng))).

Natural sonlar ustida amallar

Natural sonlar ustidagi yopiq amallar (natural sonlar toʻplamidan natija chiqmaydigan amallar) quyidagi arifmetik amallarni oʻz ichiga oladi:

Bundan tashqari, yana ikkita operatsiya ko'rib chiqiladi (rasmiy nuqtai nazardan, ular natural sonlar bo'yicha amallar emas, chunki ular uchun aniqlanmagan. hamma raqamlar juftligi (ba'zida mavjud, ba'zida yo'q)):

Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ko'paytirish amallari asosiy hisoblanadi. Xususan, butun sonlar halqasi qo‘shish va ko‘paytirishning ikkilik amallari orqali aniq aniqlanadi.

Asosiy xususiyatlar

Qo'shishning kommutativligi:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

Ko'paytirishning kommutativligi:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

Qo'shimcha assotsiativlik:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

Ko'paytirishning assotsiativligi:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(holatlar))).

Algebraik tuzilish

Qo'shish natural sonlar to'plamini birlikli yarim guruhga aylantiradi, birlik rolini o'ynaydi 0 . Ko'paytirish, shuningdek, natural sonlar to'plamini o'ziga xoslik elementi bo'lgan yarim guruhga aylantiradi. 1 . Qo'shish-ayirish va ko'paytirish-bo'lish amallariga nisbatan yopilishlar yordamida butun sonlar guruhlari olinadi. Z (\displaystyle \mathbb (Z)) va ratsional ijobiy sonlar Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) mos ravishda.

Natural sonlar tarixi ibtidoiy davrlarda boshlangan. Qadim zamonlardan beri odamlar ob'ektlarni hisoblashgan. Masalan, savdoda sizga tovarlar hisobi yoki qurilishda materiallar hisobi kerak edi. Ha, hatto kundalik hayotda ham narsalarni, oziq-ovqatlarni, chorva mollarini hisoblashim kerak edi. Dastlab raqamlar hayotda, amalda faqat hisoblash uchun ishlatilgan bo'lsa, keyinchalik matematikaning rivojlanishi bilan ular fanning bir qismiga aylandi.

Butun sonlar- bu biz ob'ektlarni sanashda foydalanadigan raqamlar.

Masalan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….

Nol natural son emas.

Barcha natural sonlar yoki natural sonlar to‘plamini aytaylik, N belgisi bilan belgilanadi.

Natural sonlar jadvali.

Tabiiy seriyalar.

O'sish tartibida qatorga yozilgan natural sonlar tabiiy seriyalar yoki natural sonlar qatori.

Tabiiy qatorning xususiyatlari:

Eng kichik natural son bitta.
Tabiiy qatorda keyingi son oldingisidan birma-bir kattaroq bo'ladi. (1, 2, 3, ...) Agar raqamlar ketma-ketligini bajarishning iloji bo'lmasa, uchta nuqta yoki ellips qo'yiladi.
Tabiiy qatorlar eng katta songa ega emas, u cheksizdir.

1-misol:
Birinchi 5 ta natural sonni yozing.
Yechim:
Natural sonlar birdan boshlanadi.
1, 2, 3, 4, 5

2-misol:
Nol natural sonmi?
Javob: yo'q.

3-misol:
Birinchi raqam qaysi tabiiy seriyalar?
Javob: Tabiiy qator birdan boshlanadi.

4-misol:
Tabiiy qatordagi oxirgi raqam qaysi? Eng katta natural son nima?
Javob: Tabiiy seriya bittadan boshlanadi. Har bir keyingi raqam avvalgisidan birma-bir kattaroqdir, shuning uchun oxirgi raqam mavjud emas. Eng katta raqam yo'q.

5-misol:
Tabiiy seriyadagi birlik mavjud oldingi raqam?
Javob: yo'q, chunki bitta tabiiy qatordagi birinchi raqam.

6-misol:
Natural qatordagi keyingi sonni ayting: a)5, b)67, c)9998.
Javob: a)6, b)68, c)9999.

7-misol:
Sonlar orasidagi natural qatorda nechta son bor: a) 1 va 5, b) 14 va 19.
Yechim:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - uchta raqam 1 va 5 raqamlari orasida.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - to'rtta raqam 14 va 19 raqamlari orasida.

8-misol:
11 dan keyin oldingi raqamni ayting.
Javob: 10.

9-misol:
Ob'ektlarni sanashda qanday raqamlar ishlatiladi?
Javob: natural sonlar.

Eng oddiy raqam natural son. Ular ichida ishlatiladi Kundalik hayot hisoblash uchun ob'ektlar, ya'ni. ularning soni va tartibini hisoblash uchun.

Natural son nima: natural sonlar odatlangan raqamlarni nomlang ob'ektlarni hisoblash yoki barcha bir hil buyumning seriya raqamini ko'rsatish uchun buyumlar.

Butun sonlar- bu birdan boshlanadigan raqamlar. Ular hisoblashda tabiiy ravishda hosil bo'ladi.Masalan, 1,2,3,4,5... -birinchi natural sonlar.

Eng kichik natural son- bitta. Eng katta natural son yo'q. Raqamni hisoblashda Nol ishlatilmaydi, shuning uchun nol natural sondir.

Natural sonlar qatori barcha natural sonlar ketma-ketligidir. Natural sonlarni yozish:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Tabiiy qatorlarda har bir raqam oldingisidan birma-bir kattaroqdir.

Natural qatorda nechta son bor? Tabiiy qator cheksiz, eng katta natural son mavjud emas.

Har qanday raqamning 10 birligidan beri o'nlik eng yuqori raqamning 1 birligini tashkil qiladi. Pozitiv jihatdan shunday raqamning ma'nosi uning raqamdagi o'rniga qanday bog'liq, ya'ni. yozilgan toifadan.

Natural sonlar sinflari.

Har qanday natural sonni 10 ta arab raqamlari yordamida yozish mumkin:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natural sonlarni o'qish uchun ular o'ngdan boshlab, har biri 3 raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi. 3 birinchi o'ngdagi raqamlar - birliklar sinfi, keyingi 3 - minglar sinfi, keyin millionlar, milliardlar vava boshqalar. Sinf raqamlarining har biri uning deyiladitushirish.

Natural sonlarni solishtirish.

2 ta natural sondan, sanashda avvalroq chaqiriladigan son kichikroqdir. Masalan, raqam 7 Ozroq 11 (bunday yozilgan:7 < 11 ). Agar bitta raqam ikkinchisidan katta bo'lsa, u quyidagicha yoziladi:386 > 99 .

Raqamlar jadvali va raqamlar sinflari.


1-sinf birligi	Birlikning 1 raqami 2-raqamli o'nliklar 3-o'rin yuzlab
2-sinf ming	Minglar birligining 1-raqami 2-raqam o'n minglar 3-toifa - yuz minglab
3-sinf millionlar	Million birligining 1-raqami 2-toifa o'n millionlar 3-toifa - yuzlab millionlar
4-sinf milliardlar	Milliardlar birligining 1-raqami 2-toifa o'nlab milliardlar 3-toifa - yuzlab milliardlar

5-sinf va undan yuqori raqamlar katta sonlar hisoblanadi. 5-sinf birliklari trillionlar, 6-chi sinf - kvadrilionlar, 7-sinf - kvintillionlar, 8-sinf - sekstilionlar, 9-sinf - epitilyonlar.

Natural sonlarning asosiy xossalari.

Qo'shishning kommutativligi . a + b = b + a
Ko'paytirishning kommutativligi. ab = ba
Qo'shishning assotsiativligi. (a + b) + c = a + (b + c)
Ko'paytirishning assotsiativligi.
Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

Natural sonlar ustida amallar.

4. Natural sonlarni bo‘lish ko‘paytirishga teskari amaldir.

Agar b ∙ c = a, Bu

Bo'linish uchun formulalar:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Raqamli ifodalar va sonli tengliklar.

Raqamlar harakat belgilari bilan bog'langan belgi raqamli ifoda.

Masalan, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

2 ta sonli ifoda teng belgisi bilan birlashtirilgan yozuvlar raqamli tengliklar. Tenglik chap va o'ng tomonlarga ega.

Arifmetik amallarni bajarish tartibi.

Sonlarni qo‘shish va ayirish birinchi darajali amallar, ko‘paytirish va bo‘lish ikkinchi darajali amallardir.

Raqamli ifoda faqat bir darajali harakatlardan iborat bo'lsa, ular ketma-ket bajariladi chapdan o'ngga.

Agar ifodalar faqat birinchi va ikkinchi darajali harakatlardan iborat bo'lsa, u holda birinchi navbatda harakatlar bajariladi ikkinchi darajali, keyin esa - birinchi darajali harakatlar.

Ifodada qavslar mavjud bo'lganda, birinchi navbatda qavs ichidagi amallar bajariladi.

Masalan, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Ob'ektlarni hisoblash va "qancha?" Degan savolga javob berish uchun mo'ljallangan raqamlar. ("Necha

to'plar?", "Qancha olma?", "Qancha askar?"), tabiiy deyiladi.

Agar siz ularni eng kichik sondan kattagacha tartibda yozsangiz, siz tabiiy raqamlar qatorini olasiz:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

Tabiiy raqamlar qatori 1 raqamidan boshlanadi.

Har bir keyingi natural son oldingisidan 1 ga katta.

Raqamlarning tabiiy qatori cheksizdir.

Raqamlar juft yoki toq bo'lishi mumkin. Juft sonlar ikkiga bo'linadi va Yo'q juft raqamlar ikkiga boʻlinmaydi.

Toq raqamlar qatori:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

Juft sonlar qatori:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

Tabiiy qatorlarda toq va juft raqamlar almashinadi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

Natural sonlarni qanday solishtirish mumkin

Ikki natural sonni solishtirganda natural qatorning o‘ng tomoni kattaroq bo‘ladi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Demak, yettita uchdan ko‘p, beshta birdan ko‘p.

Matematikada "kamroq" so'zi "" belgisi yordamida yoziladi.<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

Katta va kichik belgilarning o'tkir burchagi har doim ikkita raqamdan kichigiga ishora qiladi.

7 > 3 yozuvi “uchdan yetti” deb o'qiladi.

Kirish 3< 7 читается как «три меньше семи».

5 > 1 yozuvi “birdan besh” deb o'qiladi.

Kirish 1< 5 читается как «один меньше пяти».

Matematikadagi “teng” so‘zi “=” belgisi bilan almashtiriladi:

Raqamlar katta bo'lsa, tabiiy qatorda qaysi biri o'ngda ekanligini darhol aytish qiyin.

Raqamlari har xil bo'lgan ikkita natural sonni solishtirganda, eng ko'p raqamga ega bo'lgan raqam kattaroqdir.

Masalan, 233 000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.

Raqamlari bir xil bo'lgan ko'p xonali natural sonlar eng muhim raqamdan boshlab bit bo'yicha taqqoslanadi.

Birinchidan, eng muhim raqamning birliklari taqqoslanadi, keyin keyingi, keyingi va hokazo. Masalan, 5401 va 5430 raqamlarini solishtiramiz:

5401 = 5 ming 4 yuzlik 0 o'nlik 1 birlik;

5430 = 5 ming 4 yuz 3 o'n 0 birlik.

Minglik birliklarni solishtirish. 5401 sonining minglik birliklari o‘rnida 5 birlik, 5430 sonining minglik birliklari o‘rnida 5 birlik mavjud. Minglik birliklarni taqqoslab, qaysi raqam kattaroq ekanligini aytish hali ham mumkin emas.

Yuzlablarni solishtirish. 5401 sonining yuzliklar o‘rtasida 4 birlik, yuzliklar qatorida 5430 soni ham 4 birlikdan iborat. Taqqoslashni davom ettirishimiz kerak.

O'nlablarni solishtirish. 5401 sonining o'nlik joyida 0 birlik, 5430 sonining o'nligida 3 birlik.

Taqqoslashda biz 0 ni olamiz< 3, поэтому 5401 < 5430.

Raqamlarni kamayish yoki o'sish tartibida joylashtirish mumkin.

Agar bir nechta natural sonlar yozuvida har bir keyingi son oldingisidan kichik bo'lsa, u holda raqamlar kamayish tartibida yoziladi.

5, 22, 13, 800 sonlarini kamayish tartibida yozamiz.

Keling, topamiz kattaroq raqam. 5 soni bir xonali son, 13 va 22 ikki xonali sonlar, 800 uch xonali son va shuning uchun eng katta. Biz birinchi navbatda 800 ni yozamiz.

Ikki xonali 13 va 22 raqamlardan kattasi 22. 800 raqamidan keyin 22 raqamini, keyin esa 13 ni yozamiz.

Eng kichik raqam bir xonali raqam 5. Biz uni oxirgi yozamiz.

800, 22, 13, 5 - bu raqamlarni kamayish tartibida yozish.

Agar bir nechta natural sonlar yozuvida har bir keyingi son oldingisidan katta bo'lsa, u holda raqamlar o'sish tartibida yoziladi.

15, 2, 31, 278, 298 raqamlari o‘sish tartibida qanday yoziladi?

15, 2, 31, 278, 298 raqamlari orasidan kichigini topamiz.

Bu bir xonali raqam 2. Keling, uni birinchi navbatda yozamiz.

Ikki xonali 15 va 31 raqamlardan kichikroqini tanlang - 15, uni ikkinchi o'ringa yozing va undan keyin - 31.

Uch xonali sonlarning eng kichigi 278, uni 31 raqamidan keyin yozamiz, oxirgisi esa 298 raqamini yozamiz.

2, 15, 21, 278, 298 - bu raqamlarni o'sish tartibida yozish