விளக்கக்காட்சி "இயற்கை எண்களின் குறிப்பு". முழு எண்கள்

பூஜ்ஜியத்தை வைக்கவும்

தீர்மானிக்க இரண்டு அணுகுமுறைகள் உள்ளன இயற்கை எண்கள்:

எண்ணுதல் (எண்ணிடுதல்)பொருட்களை ( முதலில், இரண்டாவது, மூன்றாவது, நான்காவது, ஐந்தாவது…);
இயற்கை எண்கள் எப்போது எழும் எண்கள் அளவு பதவிபொருட்களை ( 0 உருப்படிகள், 1 உருப்படி, 2 பொருட்கள், 3 பொருட்கள், 4 பொருட்கள், 5 பொருட்கள்…).

முதல் வழக்கில், இயற்கை எண்களின் தொடர் ஒன்றிலிருந்து தொடங்குகிறது, இரண்டாவது - பூஜ்ஜியத்திலிருந்து. முதல் அல்லது இரண்டாவது அணுகுமுறை விரும்பத்தக்கதா என்பதில் பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்களிடையே ஒருமித்த கருத்து இல்லை (அதாவது, பூஜ்ஜியத்தை இயற்கை எண்ணாகக் கருத வேண்டுமா இல்லையா). பெரும்பான்மையான ரஷ்ய ஆதாரங்கள் பாரம்பரியமாக முதல் அணுகுமுறையை பின்பற்றுகின்றன. இரண்டாவது அணுகுமுறை, எடுத்துக்காட்டாக, நிக்கோலஸ் போர்பாகியின் படைப்புகளில் எடுக்கப்பட்டது, அங்கு இயற்கை எண்கள் வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்புகளின் கார்டினாலிட்டிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. பூஜ்ஜியத்தின் இருப்பு இயற்கை எண் எண்கணிதத்தில் பல கோட்பாடுகளை உருவாக்கி நிரூபிப்பதை எளிதாக்குகிறது, எனவே முதல் அணுகுமுறை பயனுள்ள கருத்தை அறிமுகப்படுத்துகிறது. நீட்டிக்கப்பட்ட இயற்கை வரம்புபூஜ்யம் உட்பட.

அனைத்து இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு பொதுவாக குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. சர்வதேச தரநிலைகள் ISO 31-11 (1992) மற்றும் ISO 80000-2 (2009) ஆகியவை பின்வரும் பெயர்களை நிறுவுகின்றன:

ரஷ்ய ஆதாரங்களில் இந்த தரநிலை இன்னும் கவனிக்கப்படவில்லை - அவற்றில் சின்னம் N (\displaystyle \mathbb (N) )பூஜ்ஜியம் இல்லாமல் இயற்கை எண்களைக் குறிக்கிறது, மேலும் நீட்டிக்கப்பட்ட இயற்கைத் தொடர் குறிக்கப்படுகிறது N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))முதலியன

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கும் கோட்பாடுகள்

இயற்கை எண்களுக்கான பீனோவின் கோட்பாடுகள்

ஒரு கொத்து N (\displaystyle \mathbb (N) )சில உறுப்புகள் நிலையானதாக இருந்தால் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு எனப்படும் 1 (அலகு), செயல்பாடு எஸ் (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் எஸ்)வரையறையின் களத்துடன் N (\displaystyle \mathbb (N) ), பின்வரும் செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது ( S: N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் S\colon \mathbb (N) )), மற்றும் பின்வரும் நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன:

உறுப்பு ஒன்று இந்த தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), அதாவது, ஒரு இயற்கை எண்;
இயல் எண்ணைத் தொடர்ந்து வரும் எண்ணும் இயற்கை எண்ணாகும் (என்றால், பின்னர் S (x) ∈ N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் S(x)\in \mathbb (N) )அல்லது, குறுகிய குறியீட்டில், S: N → N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
ஒருவர் எந்த இயற்கை எண்ணையும் பின்பற்றுவதில்லை ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் \nx\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
இயற்கை எண் என்றால் a (\டிஸ்ப்ளேஸ்டைல் a)உடனடியாக இயற்கை எண்ணாகப் பின்தொடர்கிறது b (\ displaystyle b), மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணுக்கு c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் சி), அந்த b (\ displaystyle b)மற்றும் c (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் சி)அதே எண் (என்றால் S (b) = a (\displaystyle S(b)=a)மற்றும் S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), அந்த b = c (\displaystyle b=c));
(தூண்டலின் கோட்பாடு) ஏதேனும் வாக்கியம் இருந்தால் (அறிக்கை) பி (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் பி)இயற்கை எண்களுக்கு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது n = 1 (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் n=1) (தூண்டல் அடிப்படை) மற்றும் மற்றொரு இயற்கை எண்ணுக்கு அது உண்மையாக இருந்தால் n (\displaystyle n), பின்வருவனவற்றிற்கு இது உண்மை என்று பின்வருகிறது n (\displaystyle n)இயற்கை எண் ( தூண்டல் கருதுகோள்), பின்னர் இந்த வாக்கியம் அனைத்து இயற்கை எண்களுக்கும் உண்மையாக இருக்கும் P(n) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் பி(n))- சில ஒரு இடம் (unary) அதன் அளவுரு இயற்கை எண்ணாக இருக்கும் n (\displaystyle n). பின்னர் என்றால் பி (1) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் பி(1))மற்றும் ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), அந்த ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

பட்டியலிடப்பட்ட கோட்பாடுகள் இயற்கையான தொடர் மற்றும் எண் கோடு பற்றிய நமது உள்ளுணர்வு புரிதலை பிரதிபலிக்கின்றன.

அடிப்படை உண்மை என்னவென்றால், இந்த கோட்பாடுகள் இயற்கை எண்களை தனித்துவமாக வரையறுக்கின்றன (பீனோ ஆக்சியோம் அமைப்பின் வகைப்படுத்தப்பட்ட தன்மை). அதாவது, அதை நிரூபிக்க முடியும் (பார்க்க, அத்துடன் ஒரு சுருக்கமான ஆதாரம்) என்றால் (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))மற்றும் (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N))),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- பீனோ ஆக்சியோம் அமைப்புக்கான இரண்டு மாதிரிகள், பின்னர் அவை ஐசோமார்பிக் அவசியம், அதாவது தலைகீழான மேப்பிங் (பைஜெக்ஷன்) உள்ளது f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))அதுபோல் f (1) = 1 ~ (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் f(1)=(\tilde (1)))மற்றும் f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))எல்லோருக்கும் x ∈ N (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் x\in \mathbb (N) ).

எனவே, என சரிசெய்தால் போதும் N (\displaystyle \mathbb (N) )இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாதிரி.

சில நேரங்களில், குறிப்பாக வெளிநாட்டு மற்றும் மொழிபெயர்க்கப்பட்ட இலக்கியங்களில், முதல் மற்றும் மூன்றாவது பீனோ கோட்பாடுகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்தால் மாற்றப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண்ணாக கருதப்படுகிறது. ஈக்விபவர் செட் வகுப்புகள் மூலம் வரையறுக்கப்படும் போது, பூஜ்ஜியம் என்பது வரையறையின்படி ஒரு இயற்கை எண். அதை வேண்டுமென்றே நிராகரிப்பது இயற்கைக்கு மாறானது. கூடுதலாக, இது கோட்பாட்டின் மேலும் கட்டுமானம் மற்றும் பயன்பாட்டை கணிசமாக சிக்கலாக்கும், ஏனெனில் பெரும்பாலான கட்டுமானங்களில் பூஜ்ஜியம், வெற்று தொகுப்பு போன்றது, தனித்தனியாக இல்லை. பூஜ்ஜியத்தை இயற்கை எண்ணாகக் கருதுவதன் மற்றொரு நன்மை அது N (\displaystyle \mathbb (N) )ஒரு மோனாய்டை உருவாக்குகிறது. ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, ரஷ்ய இலக்கியத்தில் பாரம்பரியமாக பூஜ்ஜியம் இயற்கை எண்களின் பட்டியலிலிருந்து விலக்கப்பட்டுள்ளது.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு-கோட்பாட்டு வரையறை (ஃப்ரீஜ்-ரஸ்ஸல் வரையறை)

எனவே, இரண்டு விதிகளின்படி, ஒரு தொகுப்பின் கருத்தின் அடிப்படையில் இயற்கை எண்களும் அறிமுகப்படுத்தப்படுகின்றன:

இவ்வாறு வரையறுக்கப்பட்ட எண்கள் ஆர்டினல் எனப்படும்.

முதல் சில ஆர்டினல் எண்கள் மற்றும் தொடர்புடைய இயற்கை எண்களை விவரிப்போம்:

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் அளவு

ஒரு எல்லையற்ற தொகுப்பின் அளவு "ஒரு தொகுப்பின் கார்டினாலிட்டி" என்ற கருத்து மூலம் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது ஒரு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையை எல்லையற்ற தொகுப்புகளுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். அளவில் (அதாவது, கார்டினாலிட்டி), இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு எந்த வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பையும் விட பெரியது, ஆனால் எந்த இடைவெளியையும் விட சிறியது, எடுத்துக்காட்டாக, இடைவெளி (0, 1) (\டிஸ்ப்ளே ஸ்டைல் (0,1)). இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு கார்டினாலிட்டியில் தொகுப்பைப் போலவே இருக்கும் விகிதமுறு எண்கள். இயற்கை எண்களின் தொகுப்பின் அதே கார்டினாலிட்டியின் தொகுப்பு கணக்கிடக்கூடிய தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது. எனவே, எந்தவொரு வரிசையின் விதிமுறைகளின் தொகுப்பு கணக்கிடத்தக்கது. அதே நேரத்தில், ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் எண்ணற்ற முறை தோன்றும் ஒரு வரிசை உள்ளது, ஏனெனில் இயல் எண்களின் தொகுப்பை எண்ணக்கூடிய எண்ணக்கூடிய கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் (உதாரணமாக, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ பெரிய கப் \ வரம்புகள் _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\வலது))).

இயற்கை எண்களின் செயல்பாடுகள்

இயற்கை எண்களில் மூடப்பட்ட செயல்பாடுகள் (இயற்கை எண்களின் தொகுப்பிலிருந்து பெறாத செயல்பாடுகள்) பின்வரும் எண்கணித செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது:

கூடுதலாக, மேலும் இரண்டு செயல்பாடுகள் கருதப்படுகின்றன (முறையான பார்வையில், அவை இயற்கை எண்களின் செயல்பாடுகள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வரையறுக்கப்படவில்லை. அனைவரும்ஜோடி எண்கள் (சில நேரங்களில் இருக்கும், சில நேரங்களில் இல்லை)):

கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் செயல்பாடுகள் அடிப்படையானவை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். குறிப்பாக, முழு எண்களின் வளையம் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் பைனரி செயல்பாடுகள் மூலம் துல்லியமாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

அடிப்படை பண்புகள்

கூட்டல் பரிமாற்றம்:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).

பெருக்கத்தின் பரிமாற்றம்:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).

கூட்டல் கூட்டமைப்பு:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)).

பெருக்கல் தொடர்பு:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோகம்:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

இயற்கணித அமைப்பு

கூட்டல் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை அலகுடன் அரைகுழுவாக மாற்றுகிறது, அலகு பங்கு வகிக்கிறது 0 . பெருக்கல் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பை அடையாளத்துடன் அரைகுழுவாக மாற்றுகிறது, அடையாள உறுப்புடன் 1 . கூட்டல்-கழித்தல் மற்றும் பெருக்கல்-வகுப்பு ஆகியவற்றின் செயல்பாடுகள் தொடர்பான மூடல்களைப் பயன்படுத்தி, முழு எண்களின் குழுக்கள் பெறப்படுகின்றன. Z (\displaystyle \mathbb (Z) )மற்றும் பகுத்தறிவு நேர்மறை எண்கள் Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*))முறையே.

இயற்கை எண்களின் வரலாறு பழமையான காலங்களில் தொடங்கியது.பண்டைய காலங்களிலிருந்து, மக்கள் பொருட்களை எண்ணினர். எடுத்துக்காட்டாக, வர்த்தகத்தில் உங்களுக்கு பொருட்களின் கணக்கு அல்லது கட்டுமானத்தில் பொருட்களின் கணக்கு தேவை. ஆம், அன்றாட வாழ்க்கையில் கூட நான் பொருட்களை, உணவு, கால்நடைகளை எண்ண வேண்டியிருந்தது. முதலில், எண்கள் வாழ்க்கையில், நடைமுறையில் எண்ணுவதற்கு மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டன, ஆனால் பின்னர், கணிதத்தின் வளர்ச்சியுடன், அவை அறிவியலின் ஒரு பகுதியாக மாறியது.

முழு எண்கள்- இவை பொருட்களை எண்ணும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள்.

உதாரணமாக: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ....

பூஜ்ஜியம் என்பது இயற்கை எண் அல்ல.

அனைத்து இயற்கை எண்களும், அல்லது இயற்கை எண்களின் தொகுப்பைக் கூறுவோம், N குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகின்றன.

இயற்கை எண்களின் அட்டவணை.

இயற்கை தொடர்.

ஏறுவரிசை வடிவத்தில் ஒரு வரிசையில் எழுதப்பட்ட இயற்கை எண்கள் இயற்கை தொடர்அல்லது இயற்கை எண்களின் தொடர்.

இயற்கைத் தொடரின் பண்புகள்:

மிகச்சிறிய இயற்கை எண் ஒன்று.
இயற்கையான தொடரில், அடுத்த எண் முந்தையதை விட அதிகமாக இருக்கும். (1, 2, 3, ...) எண்களின் வரிசையை முடிக்க முடியாவிட்டால் மூன்று புள்ளிகள் அல்லது நீள்வட்டங்கள் வைக்கப்படும்.
இயற்கைத் தொடரில் மிகப்பெரிய எண் இல்லை, அது எல்லையற்றது.

எடுத்துக்காட்டு #1:
முதல் 5 இயல் எண்களை எழுதவும்.
தீர்வு:
இயற்கை எண்கள் ஒன்றிலிருந்து தொடங்கும்.
1, 2, 3, 4, 5

எடுத்துக்காட்டு #2:
பூஜ்ஜியம் இயற்கை எண்ணா?
பதில்: இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு #3:
இதில் முதல் எண் என்ன இயற்கை தொடர்?
பதில்: இயற்கை தொடர் ஒன்றிலிருந்து தொடங்குகிறது.

எடுத்துக்காட்டு #4:
இயற்கை தொடரின் கடைசி எண் என்ன? மிகப்பெரிய இயற்கை எண் எது?
பதில்: இயற்கை தொடர் ஒன்றிலிருந்து தொடங்குகிறது. ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட ஒவ்வொன்றாக அதிகமாக உள்ளது, எனவே கடைசி எண் இல்லை. பெரிய எண் எதுவும் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு #5:
இயற்கை தொடரில் அலகு உள்ளது முந்தைய எண்?
பதில்: இல்லை, ஏனெனில் ஒன்று இயற்கை தொடரின் முதல் எண்.

எடுத்துக்காட்டு #6:
இயற்கை தொடரின் அடுத்த எண்ணுக்கு பெயரிடவும்: a)5, b)67, c)9998.
பதில்: a)6, b)68, c)9999.

எடுத்துக்காட்டு #7:
எண்களுக்கு இடையே உள்ள இயற்கைத் தொடரில் எத்தனை எண்கள் உள்ளன: a) 1 மற்றும் 5, b) 14 மற்றும் 19.
தீர்வு:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - மூன்று எண்கள் 1 மற்றும் 5 எண்களுக்கு இடையில் உள்ளன.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - நான்கு எண்கள் 14 மற்றும் 19 எண்களுக்கு இடையில் உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டு #8:
முந்தைய எண்ணை 11க்குப் பிறகு சொல்லுங்கள்.
பதில்: 10.

எடுத்துக்காட்டு #9:
பொருட்களை எண்ணும்போது என்ன எண்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன?
பதில்: இயற்கை எண்கள்.

எளிமையான எண் இயற்கை எண். அவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன அன்றாட வாழ்க்கைஎண்ணுவதற்கு பொருள்கள், அதாவது. அவர்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் வரிசையை கணக்கிட.

இயற்கை எண் என்றால் என்ன: இயற்கை எண்கள்பயன்படுத்தப்படும் எண்களுக்கு பெயரிடுங்கள் பொருட்களை எண்ணுதல் அல்லது அனைத்து ஒரே மாதிரியான பொருளின் வரிசை எண்ணைக் குறிக்கவும்பொருட்களை.

முழு எண்கள்- இவை ஒன்றிலிருந்து தொடங்கும் எண்கள். எண்ணும் போது அவை இயற்கையாகவே உருவாகின்றன.உதாரணமாக, 1,2,3,4,5... -முதல் இயற்கை எண்கள்.

மிகச் சிறிய இயற்கை எண்- ஒன்று. மிகப்பெரிய இயற்கை எண் எதுவும் இல்லை. எண்ணை எண்ணும் போது பூஜ்ஜியம் பயன்படுத்தப்படவில்லை, எனவே பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண்.

இயற்கை எண் தொடர்அனைத்து இயற்கை எண்களின் வரிசை. இயற்கை எண்களை எழுதுதல்:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

இயற்கை தொடரில், ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தையதை விட ஒவ்வொன்றாக அதிகமாக இருக்கும்.

இயற்கை தொடரில் எத்தனை எண்கள் உள்ளன? இயற்கைத் தொடர் எல்லையற்றது; மிகப்பெரிய இயற்கை எண் இல்லை.

எந்த இலக்கத்தின் 10 அலகுகள் அதிகபட்ச இலக்கத்தின் 1 அலகு ஆகும். நிலையாக அப்படி ஒரு இலக்கத்தின் அர்த்தம் எண்ணில் அதன் இடத்தைப் பொறுத்தது, அதாவது. அது எழுதப்பட்ட வகையிலிருந்து.

இயற்கை எண்களின் வகுப்புகள்.

எந்த இயற்கை எண்ணையும் 10 அரபு எண்களைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

இயற்கை எண்களைப் படிக்க, அவை வலமிருந்து தொடங்கி, ஒவ்வொன்றும் 3 இலக்கங்களைக் கொண்ட குழுக்களாகப் பிரிக்கப்படுகின்றன. 3 முதலில் வலதுபுறத்தில் உள்ள எண்கள் அலகுகளின் வர்க்கம், அடுத்த 3 ஆயிரக்கணக்கான வகுப்புகள், பின்னர் மில்லியன்கள், பில்லியன்கள் மற்றும்முதலியன வகுப்பு இலக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் அதன் எனப்படும்வெளியேற்றம்.

இயற்கை எண்களின் ஒப்பீடு.

2 இயற்கை எண்களில், சிறியது எண்ணும் போது முன்பு அழைக்கப்படும் எண்ணாகும். உதாரணத்திற்கு, எண் 7 குறைவாக 11 (இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:7 < 11 ) ஒரு எண் இரண்டாவது எண்ணை விட அதிகமாக இருந்தால், அது இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது:386 > 99 .

இலக்கங்களின் அட்டவணை மற்றும் எண்களின் வகுப்புகள்.


1 ஆம் வகுப்பு அலகு	அலகின் 1வது இலக்கம் 2வது இலக்கம் பத்துகள் 3வது இடம் சதம்
2ம் வகுப்பு ஆயிரம்	ஆயிரங்களின் அலகின் 1வது இலக்கம் 2வது இலக்கம் பத்தாயிரங்கள் 3வது வகை நூறாயிரக்கணக்கானோர்
3 ஆம் வகுப்பு மில்லியன்கள்	மில்லியன் யூனிட்டின் 1வது இலக்கம் 2வது வகை பத்து மில்லியன்கள் 3வது வகை நூற்றுக்கணக்கான மில்லியன்கள்
4 ஆம் வகுப்பு பில்லியன்கள்	பில்லியன்களின் யூனிட்டின் 1வது இலக்கம் 2வது வகை பத்து பில்லியன்கள் 3வது வகை நூற்றுக்கணக்கான பில்லியன்கள்

5 ஆம் வகுப்பு மற்றும் அதற்கு மேல் உள்ள எண்கள் பெரிய எண்களாகக் கருதப்படுகின்றன. 5 ஆம் வகுப்பின் அலகுகள் டிரில்லியன்கள், 6 வது வகுப்பு - குவாட்ரில்லியன்கள், 7 ஆம் வகுப்பு - குயின்டில்லியன்கள், 8 ஆம் வகுப்பு - செக்ஸ்டில்லியன்கள், 9 ஆம் வகுப்பு -எப்டில்லியன்ஸ்.

இயற்கை எண்களின் அடிப்படை பண்புகள்.

கூட்டல் பரிமாற்றம் . a + b = b + a
பெருக்கத்தின் பரிமாற்றம். ab = ba
கூட்டல் தொடர்பு. (a + b) + c = a + (b + c)
பெருக்கத்தின் தொடர்பு.
கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோகம்:

இயற்கை எண்களின் செயல்பாடுகள்.

4. இயற்கை எண்களின் வகுத்தல் என்பது பெருக்கத்தின் தலைகீழ் செயல்பாடாகும்.

என்றால் b ∙ c = a, அந்த

பிரிவுக்கான சூத்திரங்கள்:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(ஏ∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(ஏ∙ b) : c = (b:c) ∙ a

எண் வெளிப்பாடுகள் மற்றும் எண் சமத்துவங்கள்.

செயல் குறிகளால் எண்கள் இணைக்கப்பட்டிருக்கும் குறியீடாகும் எண் வெளிப்பாடு.

உதாரணமாக, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

2 எண் வெளிப்பாடுகள் சம அடையாளத்துடன் இணைக்கப்பட்ட பதிவுகள் எண் சமத்துவங்கள். சமத்துவம் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது.

எண்கணித செயல்பாடுகளைச் செய்யும் வரிசை.

எண்களைக் கூட்டுவதும் கழிப்பதும் முதல் பட்டத்தின் செயல்பாடுகள், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகியவை இரண்டாம் நிலையின் செயல்பாடுகள்.

ஒரு எண் வெளிப்பாடு ஒரே ஒரு டிகிரி செயல்களைக் கொண்டிருக்கும் போது, அவை தொடர்ச்சியாக நிகழ்த்தப்படுகின்றனஇடமிருந்து வலம்.

வெளிப்பாடுகள் முதல் மற்றும் இரண்டாவது டிகிரிகளின் செயல்களைக் கொண்டிருக்கும் போது, செயல்கள் முதலில் செய்யப்படுகின்றன இரண்டாவது பட்டம், பின்னர் - முதல் பட்டத்தின் செயல்கள்.

ஒரு வெளிப்பாட்டில் அடைப்புக்குறிகள் இருக்கும்போது, அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள செயல்கள் முதலில் செய்யப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

பொருள்களை எண்ணுவதற்கும், "எத்தனை?" என்ற கேள்விக்கு பதிலளிப்பதற்கும் நோக்கம் கொண்ட எண்கள் ("எத்தனை

பந்துகள்?", "எத்தனை ஆப்பிள்கள்?", "எத்தனை வீரர்கள்?"), இயற்கை என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

நீங்கள் அவற்றை வரிசையாக எழுதினால், சிறிய எண்ணிலிருந்து பெரியது வரை, இயற்கையான எண்களின் தொடர்களைப் பெறுவீர்கள்:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

எண்களின் இயல்பான தொடர் எண் 1 உடன் தொடங்குகிறது.

ஒவ்வொரு அடுத்த இயற்கை எண்ணும் முந்தையதை விட 1 அதிகமாகும்.

எண்களின் இயற்கையான தொடர் எல்லையற்றது.

எண்கள் சமமாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இருக்கலாம்.சம எண்கள் இரண்டால் வகுபடும், மற்றும் இல்லை இரட்டை எண்கள்இரண்டால் வகுபடாது.

ஒற்றைப்படை எண்களின் தொடர்:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

இரட்டை எண்களின் தொடர்:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

இயற்கைத் தொடரில், ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டை எண்கள் மாறி மாறி வரும்:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

இயற்கை எண்களை எவ்வாறு ஒப்பிடுவது

இரண்டு இயல் எண்களை ஒப்பிடும் போது, இயற்கைத் தொடரில் வலதுபுறம் உள்ள ஒன்று அதிகமாக உள்ளது:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

ஆக, ஏழு என்பது மூன்றை விட அதிகம், ஐந்து என்பது ஒன்றுக்கு மேல்.

கணிதத்தில், "குறைவு" என்ற வார்த்தை "" என்ற அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படுகிறது.<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

பெரிய மற்றும் குறைவான சின்னங்களின் கூர்மையான மூலை எப்போதும் இரண்டு எண்களில் சிறியதை நோக்கிச் செல்கிறது.

நுழைவு 7 > 3 "மூன்றுக்கு ஏழு" என்று படிக்கப்படுகிறது.

நுழைவு 3< 7 читается как «три меньше семи».

உள்ளீடு 5 > 1 "ஐந்து ஓவர் ஒன்" என்று படிக்கப்படுகிறது.

நுழைவு 1< 5 читается как «один меньше пяти».

கணிதத்தில் "சமம்" என்ற வார்த்தை "=" என்ற அடையாளத்துடன் மாற்றப்படுகிறது:

எண்கள் பெரியதாக இருக்கும்போது, இயற்கைத் தொடரில் எது வலதுபுறம் என்று உடனடியாகக் கூறுவது கடினம்.

இரண்டு இயல் எண்களை வெவ்வேறு இலக்க எண்களுடன் ஒப்பிடும் போது, அதிக இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் அதிகமாக இருக்கும்.

உதாரணமாக, 233,000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.

அதே எண்ணிக்கையிலான இலக்கங்களைக் கொண்ட பல-இலக்க இயற்கை எண்கள் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்துடன் தொடங்கி பிட்வைஸ் உடன் ஒப்பிடப்படுகின்றன.

முதலில், மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்தின் அலகுகள் ஒப்பிடப்படுகின்றன, பின்னர் அடுத்தது, அடுத்தது, மற்றும் பல. எடுத்துக்காட்டாக, 5401 மற்றும் 5430 எண்களை ஒப்பிடலாம்:

5401 = 5 ஆயிரத்து 4 நூறுகள் 0 பத்துகள் 1 அலகு;

5430 = 5 ஆயிரத்து 4 நூறுகள் 3 பத்துகள் 0 அலகுகள்.

ஆயிரக்கணக்கான அலகுகளை ஒப்பிடுதல். 5401 என்ற எண்ணின் ஆயிரக்கணக்கான அலகுகளின் இடத்தில் 5 அலகுகள் உள்ளன, 5430 எண்ணின் ஆயிரக்கணக்கான அலகுகளின் இடத்தில் 5 அலகுகள் உள்ளன. ஆயிரக்கணக்கான அலகுகளை ஒப்பிடுவதன் மூலம், எந்த எண் பெரியது என்று இன்னும் சொல்ல முடியாது.

நூற்றுக்கணக்கானவற்றை ஒப்பிடுதல். 5401 என்ற எண்ணின் நூற்றுக்கணக்கான இடத்தில் 4 அலகுகள் உள்ளன, நூற்றுக்கணக்கான இடத்தில் 5430 என்ற எண்ணும் 4 அலகுகள். நாம் ஒப்பீடு தொடர வேண்டும்.

பத்துகளை ஒப்பிடுதல். 5401 என்ற எண்ணின் பத்து இடத்தில் 0 அலகுகள் உள்ளன, 5430 என்ற எண்ணின் பத்து இடத்தில் 3 அலகுகள் உள்ளன.

ஒப்பிடுகையில், நமக்கு 0 கிடைக்கிறது< 3, поэтому 5401 < 5430.

எண்களை இறங்கு அல்லது ஏறுவரிசையில் வரிசைப்படுத்தலாம்.

பல இயற்கை எண்களின் பதிவில் ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட குறைவாக இருந்தால், எண்கள் இறங்கு வரிசையில் எழுதப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது.

5, 22, 13, 800 எண்களை இறங்கு வரிசையில் எழுதுவோம்.

கண்டுபிடிப்போம் பெரிய எண். எண் 5 என்பது ஒற்றை இலக்க எண், 13 மற்றும் 22 இரண்டு இலக்க எண்கள், 800 என்பது மூன்று இலக்க எண், எனவே மிகப்பெரியது. முதலில் 800 என்று எழுதுகிறோம்.

இரண்டு இலக்க எண்கள் 13 மற்றும் 22 இல், பெரியது 22 ஆகும். எண் 800 க்குப் பிறகு நாம் எண் 22 ஐ எழுதுகிறோம், பின்னர் 13.

சிறிய எண் ஒற்றை இலக்க எண் 5. நாங்கள் அதை கடைசியாக எழுதுகிறோம்.

800, 22, 13, 5 - இந்த எண்களை இறங்கு வரிசையில் பதிவு செய்தல்.

பல இயற்கை எண்களின் பதிவில் ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணும் முந்தையதை விட அதிகமாக இருந்தால், எண்கள் ஏறுவரிசையில் எழுதப்பட்டதாகக் கூறப்படுகிறது.

15, 2, 31, 278, 298 ஆகிய எண்களை ஏறுவரிசையில் எழுதுவது எப்படி?

15, 2, 31, 278, 298 எண்களில் சிறியதைக் காண்போம்.

இது ஒற்றை இலக்க எண் 2. இதை முதலில் எழுதுவோம்.

இரண்டு இலக்க எண்கள் 15 மற்றும் 31 இலிருந்து, சிறிய ஒன்றைத் தேர்வு செய்யவும் - 15, அதை இரண்டாவது இடத்தில் எழுதவும், அதன் பிறகு - 31.

மூன்று இலக்க எண்களில், 278 மிகச் சிறியது, அதை 31 என்ற எண்ணுக்குப் பிறகு எழுதுகிறோம், கடைசியாக 298 எண்ணை எழுதுகிறோம்.

2, 15, 21, 278, 298 - இந்த எண்களை ஏறுவரிசையில் எழுதுதல்