Prezentáció "természetes számok jelölése". Egész számok
Helyezze a nullát
A megállapításnak két megközelítése van természetes számok:
- számolás (számozás) tételek ( első, második, harmadik, negyedik, ötödik…);
- a természetes számok olyan számok, amelyek akkor keletkeznek mennyiség megjelölése tételek ( 0 elem, 1 elem, 2 elem, 3 elem, 4 elem, 5 elem…).
Az első esetben a természetes számok sorozata egytől kezdődik, a másodikban - nullától. A legtöbb matematikus között nincs konszenzus abban, hogy az első vagy a második megközelítés előnyösebb (vagyis a nullát természetes számnak kell-e tekinteni vagy sem). Az orosz források túlnyomó többsége hagyományosan az első megközelítést alkalmazza. A második megközelítést például Nicolas Bourbaki műveiben alkalmazzák, ahol a természetes számokat véges halmazok kardinalitásaiként határozzák meg. A nulla jelenléte megkönnyíti számos tétel megfogalmazását és bizonyítását a természetesszám-aritmetikában, így az első megközelítés bevezeti a hasznos fogalmat kiterjesztett természetes tartomány beleértve a nullát.
Az összes természetes szám halmazát általában a szimbólum jelöli. Az ISO 31-11 (1992) és az ISO 80000-2 (2009) nemzetközi szabványok a következő elnevezéseket határozzák meg:
Az orosz forrásokban ezt a szabványt még nem tartják be - bennük a szimbólumot N (\displaystyle \mathbb (N) ) jelöli a természetes számokat nulla nélkül, és a kiterjesztett természetes sorozatot jelöli N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0)) stb.
Axiómák, amelyek lehetővé teszik a természetes számok halmazának meghatározását
Peano-axiómák természetes számokra
Egy csomó N (\displaystyle \mathbb (N) ) természetes számok halmazának nevezzük, ha valamilyen elem rögzített 1 (egység), függvény S (\displaystyle S) definíciós tartománnyal N (\displaystyle \mathbb (N) ), az úgynevezett Follow függvény ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), és a következő feltételek teljesülnek:
- 1 elem ebbe a halmazba tartozik ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), azaz természetes szám;
- a természetes számot követő szám is természetes szám (ha , akkor S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) ) vagy rövidebb jelöléssel S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
- az egyik nem követ semmilyen természetes számot ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
- ha természetes szám a (\displaystyle a) közvetlenül természetes számként következik b (\displaystyle b), és természetes szám esetén c (\displaystyle c), Azt b (\displaystyle b)És c (\displaystyle c) ugyanaz a szám (ha S (b) = a (\displaystyle S(b)=a)És S (c) = a (\displaystyle S(c)=a), Azt b = c (\displaystyle b=c));
- (indukció axiómája), ha van mondat (állítás) P (\displaystyle P) természetes számokra bizonyított n = 1 (\displaystyle n=1) (indukciós alap) és ha abból a feltételezésből, hogy igaz egy másik természetes számra n (\displaystyle n), ebből az következik, hogy igaz a következőkre n (\displaystyle n) természetes szám ( induktív hipotézis), akkor ez a mondat minden természetes számra igaz (let P(n) (\displaystyle P(n))- valamilyen egyhelyű (egyetlen) predikátum, amelynek paramétere természetes szám n (\displaystyle n). Aztán ha P (1) (\displaystyle P(1))És ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\jobbra P(S(n)))), Azt ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).
A felsorolt axiómák a természetes sorozatok és a számegyenes intuitív megértését tükrözik.
Az alapvető tény az, hogy ezek az axiómák lényegében egyedileg határozzák meg a természetes számokat (a Peano axiómarendszer kategorikus jellege). Ugyanis bizonyítható (lásd, valamint egy rövid bizonyítás), hogy ha (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S))És (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S))))- két modell a Peano axiómarendszerhez, akkor ezek szükségszerűen izomorfak, azaz van invertálható leképezés (bijekció) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) oly módon, hogy f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))És f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x))) mindenkinek x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).
Ezért elég rögzíteni as N (\displaystyle \mathbb (N) ) a természetes számok halmazának bármely konkrét modellje.
Néha, különösen a külföldi és a fordított irodalomban, az első és a harmadik Peano-axiómában az egyiket nulla helyettesíti. Ebben az esetben a nullát természetes számnak tekintjük. Ha equipower halmazok osztályain keresztül határozzuk meg, a nulla definíció szerint természetes szám. Természetellenes lenne szándékosan elutasítani. Ráadásul ez jelentősen megnehezítené az elmélet további felépítését és alkalmazását, hiszen a legtöbb konstrukcióban a nulla, akárcsak az üres halmaz, nem valami különálló dolog. A nulla természetes számként való kezelésének másik előnye, hogy az N (\displaystyle \mathbb (N) ) monoidot alkot. Mint már említettük, az orosz irodalomban hagyományosan a nullát kizárják a természetes számok listájából.
Természetes számok halmazelméleti definíciója (Frege-Russell definíció)
Így a természetes számokat is a halmaz fogalma alapján vezetjük be, két szabály szerint:
Az így meghatározott számokat ordinálisnak nevezzük.
Írjuk le az első néhány sorszámot és a megfelelő természetes számokat:
A természetes számok halmazának nagysága
A végtelen halmaz méretét a „halmaz számossága” fogalma jellemzi, amely a véges halmaz elemeinek számának végtelen halmazokra történő általánosítása. Nagyságrendben (vagyis számosságban) a természetes számok halmaza nagyobb bármely véges halmaznál, de kisebb bármely intervallumnál, például az intervallum (0 , 1) (\displaystyle (0,1)). A természetes számok halmaza kardinalitásában megegyezik a halmazzal racionális számok. A természetes számok halmazával azonos számosságú halmazt megszámlálható halmaznak nevezzük. Így bármely sorozat taghalmaza megszámlálható. Ugyanakkor van egy sorozat, amelyben minden természetes szám végtelen számú alkalommal jelenik meg, mivel a természetes számok halmaza diszjunkt megszámlálható halmazok megszámlálható uniójaként ábrázolható (pl. N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\jobbra))).
Műveletek természetes számokkal
A természetes számokra vonatkozó zárt műveletek (olyan műveletek, amelyek nem a természetes számok halmazából származnak) a következő számtani műveleteket tartalmazzák:
Ezenkívül két további műveletet is figyelembe veszünk (formális szempontból ezek nem természetes számokra vonatkozó műveletek, mivel nincsenek meghatározva mindenki számpárok (néha létezik, néha nem):
Meg kell jegyezni, hogy az összeadás és a szorzás műveletei alapvetőek. Az egész számok gyűrűjét pontosan az összeadás és szorzás bináris műveletei határozzák meg.
Alaptulajdonságok
- Összeadás kommutativitása:
- A szorzás kommutativitása:
- Összeadás asszociativitás:
- Szorzás asszociativitás:
- A szorzás eloszlása az összeadáshoz viszonyítva:
Algebrai szerkezet
Az összeadás a természetes számok halmazát egységnyi félcsoporttá alakítja, az egység szerepét az adja 0 . A szorzás a természetes számok halmazát is identitású félcsoporttá alakítja, ahol az azonosságelem az 1 . Az összeadás-kivonás és szorzás-osztás műveletekre vonatkozó lezárásokat használva egész számok csoportjait kapjuk Z (\displaystyle \mathbb (Z) )és racionális pozitív számok Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*)) illetőleg.
A természetes számok története a kezdetleges időkben kezdődött.Ősidők óta az emberek számolják a tárgyakat. Például a kereskedelemben áruelszámolásra, az építőiparban pedig az anyagszámlára volt szüksége. Igen, a hétköznapokban is számolnom kellett dolgokat, élelmet, állatállományt. A számokat eleinte csak számolásra használták az életben, a gyakorlatban, de később, a matematika fejlődésével a tudomány részévé váltak.
Egész számok- ezeket a számokat használjuk az objektumok számlálásakor.
Például: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ….
A nulla nem természetes szám.
Minden természetes számot, vagy mondjuk a természetes számok halmazát N jellel jelöljük.
Természetes számok táblázata.
Természetes sorozat.
Egy sorba írt természetes számok növekvő sorrendben természetes sorozat vagy természetes számok sorozata.
A természetes sorozat tulajdonságai:
- A legkisebb természetes szám egy.
- A természetes sorozatban a következő szám egyenként nagyobb, mint az előző. (1, 2, 3, ...) Három pont vagy ellipszis kerül elhelyezésre, ha a számsort lehetetlen befejezni.
- A természetes sorozatnak nincs legnagyobb száma, hanem végtelen.
1. példa:
Írd fel az első 5 természetes számot!
Megoldás:
A természetes számok egytől indulnak.
1, 2, 3, 4, 5
2. példa:
A nulla természetes szám?
Válasz: nem.
3. példa:
Mi az első szám természetes sorozat?
Válasz: A természetes sorozat egytől indul.
4. példa:
Mi az utolsó szám a természetes sorozatban? Mi a legnagyobb természetes szám?
Válasz: A természetes sorozat eggyel kezdődik. Minden következő szám egyenként nagyobb, mint az előző, így az utolsó szám nem létezik. Nincs legnagyobb szám.
5. példa:
A természetes sorozat egysége rendelkezik előző szám?
Válasz: nem, mert az egyik a természetes sorozat első száma.
6. példa:
Nevezd meg a természetes sorozat következő számát: a)5, b)67, c)9998!
Válasz: a)6, b)68, c)9999.
7. példa:
Hány szám van a természetes sorozatban a következő számok között: a) 1 és 5, b) 14 és 19.
Megoldás:
a) 1, 2, 3, 4, 5 – három szám van az 1 és 5 között.
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 – négy szám van a 14 és 19 között.
8. példa:
Mondja ki az előző számot 11 után.
Válasz: 10.
9. példa:
Milyen számokat használunk az objektumok számlálásakor?
Válasz: természetes számok.
A legegyszerűbb szám az természetes szám. ben használatosak Mindennapi élet a számoláshoz tárgyak, azaz. számuk és sorrendjük kiszámításához.
Mi a természetes szám: természetes számok nevezd meg a megszokott számokat tételek számlálása vagy bármely tétel sorszámának feltüntetése az összes homogénből tételeket.
Egész számok- ezek egytől kezdődő számok. Számláláskor természetes módon keletkeznek.Például 1,2,3,4,5... -első természetes számok.
A legkisebb természetes szám- egy. Nincs legnagyobb természetes szám. A szám számolásánál A nullát nem használjuk, így a nulla természetes szám.
Természetes számsorok az összes természetes szám sorozata. Természetes számok írása:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...
A természetes sorozatban minden szám egyenként nagyobb, mint az előző.
Hány szám van a természetes sorozatban? A természetes sorozat végtelen, a legnagyobb természetes szám nem létezik.
Tizedes, mivel bármely számjegy 10 egysége a legmagasabb számjegy 1 egységét alkotja. Pozicionálisan úgy hogyan függ egy számjegy jelentése a számban elfoglalt helyétől, azaz. abból a kategóriából, ahol írva van.
Természetes számok osztályai.
Bármely természetes szám felírható 10 arab számmal:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
A természetes számok olvasásához jobbról kezdődően 3 számjegyű csoportokra osztjuk őket. 3 először a jobb oldali számok az egységek osztályai, a következő 3 az ezres osztályok, majd a milliók, milliárdok ésstb. Az osztály minden számjegyét annak nevezzükkisülés.
Természetes számok összehasonlítása.
2 természetes szám közül a kisebb az a szám, amelyet korábban hívunk a számlálás során. Például, szám 7 Kevésbé 11 (így írva:7 < 11 ). Ha egy szám nagyobb, mint a második, akkor a következőképpen írjuk:386 > 99 .
Számjegyek és számosztályok táblázata.
|
1. osztályú egység |
Az egység 1. számjegye 2. számjegy tízes 3. hely százas |
|
2. osztályú ezer |
Az ezres egység 1. számjegye 2. számjegy tízezrek 3. kategória százezres |
|
3. osztályú milliók |
A milliós egység 1. számjegye 2. kategória tízmilliós 3. kategória százmilliók |
|
4. osztályú milliárdok |
A milliárdok egységének 1. számjegye 2. kategória tízmilliárdok 3. kategória százmilliárdok |
|
Az 5. osztálytól és afölötti számok nagy számoknak számítanak. Az 5. osztály egységei billiók, a 6. osztály - kvadrilliók, 7. osztály - ötmilliárd, 8. osztály - szexmilliárd, 9. osztály - eptilionok. A természetes számok alapvető tulajdonságai.
Műveletek természetes számokkal. 4. A természetes számok osztása a szorzás fordított művelete. Ha b ∙ c = a, Azt
Felosztási képletek: a: 1 = a a: a = 1, a ≠ 0 0: a = 0, a ≠ 0 (A∙ b) : c = (a:c) ∙ b (A∙ b) : c = (b:c) ∙ a Numerikus kifejezések és numerikus egyenlőségek. Az a jelölés, ahol a számokat cselekvésjelek kötik össze numerikus kifejezés. Például 10∙3+4; (60-2∙5):10. Azok a rekordok, ahol 2 numerikus kifejezés egyenlőségjellel van kombinálva számszerű egyenlőségeket. Az egyenlőségnek bal és jobb oldala van. Az aritmetikai műveletek végrehajtásának sorrendje. A számok összeadása és kivonása elsőfokú, míg a szorzás és osztás másodfokú műveletek. Ha egy numerikus kifejezés csak egyfokú műveletekből áll, akkor azokat egymás után hajtják végre balról jobbra. Ha a kifejezések csak első és másodfokú cselekvésekből állnak, akkor először a cselekvések kerülnek végrehajtásra második fokú, majd - az első fokú akciók. Ha egy kifejezésben zárójelek vannak, akkor először a zárójelben lévő műveletek kerülnek végrehajtásra. Például 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21. |
A tárgyak megszámlálására és a „hány” kérdés megválaszolására szolgáló számok. ("Mennyi
labdák?", "Hány alma?", "Hány katona?"), természetesnek nevezik.
Ha sorba írja őket, a legkisebb számtól a legnagyobbig, akkor természetes számsort kap:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …
A természetes számsor 1-gyel kezdődik.
Minden következő természetes szám 1-gyel nagyobb, mint az előző.
A természetes számsor végtelen.
A számok lehetnek párosak vagy páratlanok. A páros számok oszthatók kettővel, és Nem páros számok nem oszthatók kettővel.
Páratlan számok sorozata:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …
Páros számok sorozata:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …
A természetes sorozatban páratlan és páros számok váltakoznak:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …
Hogyan hasonlítsuk össze a természetes számokat
Két természetes szám összehasonlításakor a természetes sorozatban jobbra eső nagyobb:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …
Tehát hét több mint három, és öt több mint egy.
A matematikában a „kevesebb” szót a „jellel írják”<», а для записи слова «больше» - знак « > ».
A nagyobb mint és a kisebb szimbólum éles sarka mindig a két szám közül a kisebbik felé mutat.
A 7 > 3 bejegyzés „hét több mint három”-nak felel meg.
3. bejegyzés< 7 читается как «три меньше семи».
Az 5 > 1 bejegyzés „öt egy felett” lesz.
1. bejegyzés< 5 читается как «один меньше пяти».
Az „egyenlő” szót a matematikában a „=” jel váltja fel:
Ha nagyok a számok, nehéz azonnal megmondani, hogy melyik áll jobbra a természetes sorozatban.
Ha két különböző számjegyű természetes számot hasonlít össze, a legtöbb számjegyű a nagyobb.
Például 233 000< 1 000 000, потому что в первом числе шесть цифр, а во втором - семь.
Az azonos számú számjegyből álló többjegyű természetes számokat a rendszer bitenként hasonlítja össze, a legjelentősebb számjegytől kezdve.
Először a legjelentősebb számjegy egységeit hasonlítják össze, majd a következőt, a következőt és így tovább. Hasonlítsuk össze például az 5401-es és az 5430-as számokat:
5401 = 5 ezer 4 száz 0 tíz 1 egység;
5430 = 5 ezer 4 száz 3 tíz 0 egység.
Ezres mértékegységek összehasonlítása. Az 5401-es szám ezres egységeinek helyén 5 egység, az 5430-as szám ezres egységeinek helyén 5 egység található. Ezres mértékegységek összehasonlításával még mindig lehetetlen megmondani, melyik szám nagyobb.
Százakat összehasonlítani. Az 5401-es szám százas helyén 4 egység, a százas helyén az 5430-as szám is 4 egység található. Folytatnunk kell az összehasonlítást.
A tízesek összehasonlítása. Az 5401-es szám tízes helyén 0 egység, az 5430-as szám tízes helyén 3 egység található.
Összehasonlítva 0-t kapunk< 3, поэтому 5401 < 5430.
A számok csökkenő vagy növekvő sorrendbe rendezhetők.
Ha egy több természetes számból álló rekordban minden következő szám kisebb, mint az előző, akkor a számokat csökkenő sorrendben kell felírni.
Írjuk fel csökkenő sorrendben az 5, 22, 13, 800 számokat.
Keressük nagyobb szám. Az 5-ös egyjegyű szám, a 13 és a 22 kétjegyű szám, a 800 egy háromjegyű szám, ezért a legnagyobb. Első helyen 800-at írunk.
A kétjegyű 13 és 22 számok közül a nagyobb a 22. A 800-as szám után írjuk a 22-t, majd a 13-at.
A legkisebb szám az egyjegyű szám 5. Utoljára írjuk.
800, 22, 13, 5 - ezeknek a számoknak a rögzítése csökkenő sorrendben.
Ha egy több természetes számból álló rekordban minden következő szám nagyobb, mint az előző, akkor a számokat növekvő sorrendben kell felírni.
Hogyan írjuk fel a 15, 2, 31, 278, 298 számokat növekvő sorrendben?
A 15, 2, 31, 278, 298 számok között megtaláljuk a kisebbet.
Ez egy egyjegyű szám 2. Írjuk fel az első helyre.
A kétjegyű 15 és 31 számok közül válassza ki a kisebbet - 15, írja be a második helyre, és utána - 31.
A háromjegyű számok közül a 278 a legkisebb, ezt a 31-es szám mögé írjuk, az utolsóba pedig a 298-at.
2, 15, 21, 278, 298 - ezeket a számokat növekvő sorrendben írva