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प्रस्तुति "प्राकृतिक संख्याओं का अंकन"। पूर्णांकों

शून्य रखें

निर्धारण के दो दृष्टिकोण हैं प्राकृतिक संख्या:

  • गिनती (नंबरिंग)सामान ( पहला, दूसरा, तीसरा, चौथी, पांचवां…);
  • प्राकृत संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जो तब उत्पन्न होती हैं मात्रा पदनामसामान ( 0 आइटम, 1 समान, 2 आइटम, 3 आइटम, 4 आइटम, 5 आइटम…).

पहले मामले में, प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला एक से शुरू होती है, दूसरे में - शून्य से। अधिकांश गणितज्ञों के बीच इस बात पर कोई सहमति नहीं है कि पहला या दूसरा दृष्टिकोण बेहतर है या नहीं (अर्थात शून्य को एक प्राकृतिक संख्या माना जाना चाहिए या नहीं)। रूसी स्रोतों का भारी बहुमत परंपरागत रूप से पहला दृष्टिकोण अपनाता है। उदाहरण के लिए, दूसरा दृष्टिकोण निकोलस बॉर्बकी के कार्यों में लिया गया है, जहां प्राकृतिक संख्याओं को परिमित सेटों की कार्डिनैलिटी के रूप में परिभाषित किया गया है। शून्य की उपस्थिति प्राकृतिक संख्या अंकगणित में कई प्रमेयों को तैयार करना और सिद्ध करना आसान बनाती है, इसलिए पहला दृष्टिकोण उपयोगी अवधारणा का परिचय देता है विस्तारित प्राकृतिक सीमाशून्य सहित.

सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को आमतौर पर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है। अंतर्राष्ट्रीय मानक ISO 31-11 (1992) और ISO 80000-2 (2009) निम्नलिखित पदनाम स्थापित करते हैं:

रूसी स्रोतों में यह मानक अभी तक नहीं देखा गया है - उनमें प्रतीक है एन (\displaystyle \mathbb (एन) )शून्य के बिना प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाता है, और विस्तारित प्राकृतिक श्रृंखला को दर्शाता है N 0 , Z + , Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0),\mathbb (Z) _(+),\mathbb (Z) _(\geqslant 0))वगैरह।

अभिगृहीत जो हमें प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को निर्धारित करने की अनुमति देते हैं

प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो के अभिगृहीत

गुच्छा एन (\displaystyle \mathbb (एन) )यदि कोई तत्व निश्चित हो तो इसे प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय कहा जाएगा 1 (इकाई), कार्य एस (\डिस्प्लेस्टाइल एस)परिभाषा के क्षेत्र के साथ एन (\displaystyle \mathbb (एन) ), जिसे फ़ॉलो फ़ंक्शन कहा जाता है ( S: N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) )), और निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

  1. तत्व एक इस सेट से संबंधित है ( 1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), यानी, एक प्राकृतिक संख्या है;
  2. प्राकृत संख्या के बाद आने वाली संख्या भी प्राकृत संख्या है (यदि, तो) S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )या, संक्षिप्त संकेतन में, S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) ));
  3. कोई किसी प्राकृत संख्या का अनुसरण नहीं करता ( ∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \मौजूद x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
  4. यदि एक प्राकृतिक संख्या ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)तुरंत एक प्राकृतिक संख्या के रूप में अनुसरण करता है बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी), और एक प्राकृतिक संख्या के लिए सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी), वह बी (\डिस्प्लेस्टाइल बी)और सी (\डिस्प्लेस्टाइल सी)वही संख्या है (यदि एस (बी) = ए (\displaystyle एस(बी)=ए)और एस (सी) = ए (\displaystyle एस(सी)=ए), वह बी = सी (\डिस्प्लेस्टाइल बी=सी));
  5. (प्रेरण का अभिगृहीत) यदि कोई वाक्य (कथन) पी (\डिस्प्लेस्टाइल पी)प्राकृतिक संख्याओं के लिए सिद्ध n = 1 (\displaystyle n=1) (प्रेरण आधार) और यदि इस धारणा से कि यह किसी अन्य प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन), इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह निम्नलिखित के लिए सत्य है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)प्राकृतिक संख्या ( आगमनात्मक परिकल्पना), तो यह वाक्य सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है (मान लीजिए पी(एन) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एन))- कुछ एक-स्थान (एकात्मक) विधेय जिसका पैरामीटर एक प्राकृतिक संख्या है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन). तो अगर पी (1) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(1))और ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))), वह ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

सूचीबद्ध सिद्धांत प्राकृतिक श्रृंखला और संख्या रेखा के बारे में हमारी सहज समझ को दर्शाते हैं।

मूलभूत तथ्य यह है कि ये स्वयंसिद्ध अनिवार्य रूप से प्राकृतिक संख्याओं (पीनो स्वयंसिद्ध प्रणाली की स्पष्ट प्रकृति) को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं। अर्थात्, यह सिद्ध किया जा सकता है (देखें, साथ ही एक संक्षिप्त प्रमाण भी) कि यदि (एन, 1, एस) (\displaystyle (\mathbb (एन),1,एस))और (एन ~, 1 ~, एस ~) (\displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))- पीनो एक्सिओम सिस्टम के लिए दो मॉडल, फिर वे आवश्यक रूप से आइसोमोर्फिक हैं, यानी, एक उलटा मैपिंग (आक्षेप) है f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) )))ऐसा है कि f (1) = 1 ~ (\displaystyle f(1)=(\tilde (1)))और f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)))सभी के लिए x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ).

इसलिए, यह ठीक करने के लिए पर्याप्त है एन (\displaystyle \mathbb (एन) )प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का कोई एक विशिष्ट मॉडल।

कभी-कभी, विशेष रूप से विदेशी और अनुवादित साहित्य में, पहले और तीसरे पीनो स्वयंसिद्धों में एक को शून्य से बदल दिया जाता है। इस स्थिति में, शून्य को एक प्राकृतिक संख्या माना जाता है। जब समशक्ति सेटों के वर्गों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तो परिभाषा के अनुसार शून्य एक प्राकृतिक संख्या है। इसे जानबूझकर अस्वीकार करना अप्राकृतिक होगा। इसके अलावा, यह सिद्धांत के आगे के निर्माण और अनुप्रयोग को काफी जटिल बना देगा, क्योंकि अधिकांश निर्माणों में शून्य, खाली सेट की तरह, कुछ अलग नहीं है। शून्य को प्राकृतिक संख्या मानने का एक और फायदा यह है एन (\displaystyle \mathbb (एन) )एक मोनोइड बनाता है. जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, रूसी साहित्य में परंपरागत रूप से शून्य को प्राकृतिक संख्याओं की सूची से बाहर रखा गया है।

प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषा (फ़्रीज़-रसेल परिभाषा)

इस प्रकार, दो नियमों के अनुसार, सेट की अवधारणा के आधार पर प्राकृतिक संख्याएँ भी पेश की जाती हैं:

इस प्रकार परिभाषित संख्याएँ क्रमवाचक कहलाती हैं।

आइए पहले कुछ क्रमसूचक संख्याओं और संगत प्राकृतिक संख्याओं का वर्णन करें:

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का परिमाण

एक अनंत समुच्चय का आकार "एक समुच्चय की प्रमुखता" की अवधारणा से पहचाना जाता है, जो एक परिमित समुच्चय के तत्वों की संख्या का अनंत समुच्चयों में सामान्यीकरण है। परिमाण (अर्थात्, प्रमुखता) में, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय किसी भी परिमित समुच्चय से बड़ा होता है, लेकिन किसी भी अंतराल से छोटा होता है, उदाहरण के लिए, अंतराल (0 , 1) (\डिस्प्लेस्टाइल (0,1)). प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय प्रमुखता में समुच्चय के समान है भिन्नात्मक संख्याएं. प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के समान प्रमुखता वाले समुच्चय को गणनीय समुच्चय कहा जाता है। इस प्रकार, किसी भी अनुक्रम के पदों का समुच्चय गणनीय होता है। साथ ही, एक अनुक्रम होता है जिसमें प्रत्येक प्राकृतिक संख्या अनंत बार दिखाई देती है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं के सेट को असंयुक्त गणनीय सेटों के गणनीय संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है (उदाहरण के लिए, N = ⋃ k = 0 ∞ (⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\ bigcup \limits _(n=0)^(\infty )(2n+1)2^(k)\right))).

प्राकृतिक संख्याओं पर संचालन

प्राकृतिक संख्याओं पर बंद संक्रियाएं (ऐसे संक्रियाएं जो प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय से परिणाम प्राप्त नहीं करती हैं) में निम्नलिखित अंकगणितीय संक्रियाएं शामिल हैं:

इसके अतिरिक्त, दो और ऑपरेशनों पर विचार किया जाता है (औपचारिक दृष्टिकोण से, वे प्राकृतिक संख्याओं पर ऑपरेशन नहीं हैं, क्योंकि उन्हें इसके लिए परिभाषित नहीं किया गया है) सब लोगसंख्याओं के जोड़े (कभी-कभी मौजूद होते हैं, कभी-कभी नहीं)):

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जोड़ और गुणा की संक्रियाएँ मौलिक हैं। विशेष रूप से, पूर्णांकों के वलय को जोड़ और गुणा के द्विआधारी संचालन के माध्यम से सटीक रूप से परिभाषित किया जाता है।

बुनियादी गुण

  • जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता:
a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a).
  • गुणन की क्रमविनिमेयता:
a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a).
  • अतिरिक्त संबद्धता:
(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (\displaystyle (ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)).
  • गुणन साहचर्य:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)).
  • जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता:
( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))).

बीजगणितीय संरचना

योग प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को इकाई के साथ एक अर्धसमूह में बदल देता है, इकाई की भूमिका किसके द्वारा निभाई जाती है 0 . गुणन प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को पहचान तत्व के साथ, पहचान वाले अर्धसमूह में बदल देता है 1 . जोड़-घटाव और गुणा-भाग की संक्रियाओं के संबंध में क्लोजर का उपयोग करके पूर्णांकों के समूह प्राप्त किए जाते हैं Z (\displaystyle \mathbb (Z) )और तर्कसंगत सकारात्मक संख्याएँ Q + * (\displaystyle \mathbb (Q)_(+)^(*))क्रमश।

प्राकृतिक संख्याओं का इतिहास आदिम काल में शुरू हुआ।प्राचीन काल से ही लोग वस्तुओं की गिनती करते आये हैं। उदाहरण के लिए, व्यापार में आपको माल के खाते की आवश्यकता होती है या निर्माण में सामग्री के खाते की आवश्यकता होती है। हां, रोजमर्रा की जिंदगी में भी मुझे चीजें, भोजन, पशुधन गिनना पड़ता था। पहले जीवन में, व्यवहार में संख्याओं का उपयोग केवल गिनती के लिए किया जाता था, लेकिन बाद में गणित के विकास के साथ, वे विज्ञान का हिस्सा बन गए।

पूर्णांकों- ये वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनते समय करते हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,…।

शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है.

सभी प्राकृतिक संख्याएँ, या मान लें कि प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, प्रतीक N द्वारा दर्शाया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं की तालिका.

प्राकृतिक शृंखला.

प्राकृतिक संख्याएँ आरोही क्रम में एक पंक्ति में लिखी जाती हैं प्राकृतिक श्रृंखलाया प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला.

प्राकृतिक श्रृंखला के गुण:

  • सबसे छोटी प्राकृत संख्या एक है।
  • प्राकृतिक श्रृंखला में अगली संख्या पिछली संख्या से एक-एक करके बड़ी होती है। (1, 2, 3,...) यदि संख्याओं का क्रम पूरा करना असंभव हो तो तीन बिंदु या दीर्घवृत्त रखे जाते हैं।
  • प्राकृतिक श्रृंखला में कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है, यह अनंत है।

उदाहरण 1:
प्रथम 5 प्राकृतिक संख्याएँ लिखिए।
समाधान:
प्राकृतिक संख्याएँ एक से प्रारंभ होती हैं।
1, 2, 3, 4, 5

उदाहरण #2:
क्या शून्य एक प्राकृतिक संख्या है?
उत्तर: नहीं.

उदाहरण #3:
इसमें पहला नंबर कौन सा है? प्राकृतिक श्रृंखला?
उत्तर: प्राकृतिक शृंखला एक से शुरू होती है।

उदाहरण #4:
प्राकृतिक श्रृंखला में अंतिम संख्या क्या है? सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
उत्तर: प्राकृतिक शृंखला एक से शुरू होती है। प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से एक-एक करके बड़ी है, इसलिए अंतिम संख्या मौजूद नहीं है। कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है.

उदाहरण #5:
प्राकृतिक श्रृंखला में इकाई है पिछला नंबर?
उत्तर: नहीं, क्योंकि प्राकृतिक श्रृंखला में एक पहली संख्या है।

उदाहरण #6:
प्राकृतिक श्रृंखला में अगली संख्या को नाम दें: a)5, b)67, c)9998।
उत्तर: ए)6, बी)68, सी)9999।

उदाहरण #7:
संख्याओं के बीच प्राकृतिक श्रृंखला में कितनी संख्याएँ हैं: a) 1 और 5, b) 14 और 19।
समाधान:
a) 1, 2, 3, 4, 5 - संख्या 1 और 5 के बीच तीन संख्याएँ हैं।
बी) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - चार संख्याएँ संख्या 14 और 19 के बीच हैं।

उदाहरण #8:
11 के बाद पिछला नंबर बोलें.
उत्तर: 10.

उदाहरण #9:
वस्तुओं की गिनती करते समय किन संख्याओं का उपयोग किया जाता है?
उत्तर: प्राकृतिक संख्याएँ।

सबसे सरल संख्या है प्राकृतिक संख्या. इनका उपयोग किया जाता है रोजमर्रा की जिंदगीगिनती के लिए वस्तुएं, अर्थात् उनकी संख्या और क्रम की गणना करने के लिए।

प्राकृतिक संख्या क्या है: प्राकृतिक संख्याउन संख्याओं के नाम बताएं जिनका उपयोग किया जाता है वस्तुओं की गिनती करना या सभी सजातीय वस्तुओं में से किसी भी वस्तु की क्रम संख्या इंगित करनासामान।

पूर्णांकों- ये एक से शुरू होने वाली संख्याएँ हैं। गिनती करते समय ये स्वाभाविक रूप से बनते हैं।उदाहरण के लिए, 1,2,3,4,5... -पहली प्राकृतिक संख्याएँ.

सबसे छोटी प्राकृत संख्या- एक। कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है. संख्या गिनते समय शून्य का प्रयोग नहीं किया जाता, इसलिए शून्य एक प्राकृतिक संख्या है।

प्राकृतिक संख्या श्रृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का क्रम है। प्राकृतिक संख्याएँ लिखना:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

प्राकृतिक श्रृंखला में, प्रत्येक संख्या पिछली से एक-एक करके बड़ी होती है।

प्राकृतिक श्रृंखला में कितनी संख्याएँ होती हैं? प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है; सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या मौजूद नहीं है।

दशमलव क्योंकि किसी भी अंक की 10 इकाइयाँ उच्चतम अंक की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितिगत रूप से ऐसा किसी अंक का अर्थ संख्या में उसके स्थान पर कैसे निर्भर करता है, अर्थात उस श्रेणी से जहां यह लिखा गया है.

प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग.

किसी भी प्राकृतिक संख्या को 10 अरबी अंकों का उपयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए, उन्हें दाईं ओर से शुरू करके 3 अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। 3 प्रथम दाहिनी ओर की संख्याएँ इकाइयों का वर्ग हैं, अगली 3 संख्याएँ हज़ारों का वर्ग हैं, फिर लाखों, अरबों और का वर्ग हैंवगैरह। प्रत्येक वर्ग अंक को उसका कहा जाता हैस्राव होना.

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना.

2 प्राकृतिक संख्याओं में से, वह संख्या छोटी होती है जिसे गिनती करते समय पहले कहा जाता है। उदाहरण के लिए, संख्या 7 कम 11 (इस तरह लिखा गया है:7 < 11 ). जब एक संख्या दूसरी से बड़ी हो तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:386 > 99 .

अंकों की तालिका और संख्याओं के वर्ग।

प्रथम श्रेणी इकाई

इकाई का पहला अंक

दूसरा अंक दहाई

तीसरा स्थान शतक

द्वितीय श्रेणी हजार

हजारों की इकाई का पहला अंक

दूसरा अंक दसियों हज़ार

तीसरी श्रेणी सैकड़ों हजारों

तीसरी श्रेणी के लाखों

लाखों की इकाई का पहला अंक

दूसरी श्रेणी दसियों लाख

तीसरी श्रेणी सैकड़ों करोड़

चतुर्थ श्रेणी अरबों

अरबों की इकाई का पहला अंक

दूसरी श्रेणी दसियों अरब

तीसरी श्रेणी सैकड़ों अरब

5वीं कक्षा और उससे ऊपर की संख्याएँ बड़ी संख्याएँ मानी जाती हैं। 5वीं कक्षा की इकाइयाँ खरबों, 6वीं हैं कक्षा - क्वाड्रिलियन्स, 7वीं कक्षा - क्विंटिलियन्स, 8वीं कक्षा - सेक्स्टिलियन्स, 9वीं कक्षा - eptillions.

प्राकृतिक संख्याओं के मूल गुण।

  • जोड़ की क्रमविनिमेयता . ए + बी = बी + ए
  • गुणन की क्रमविनिमेयता. अब = बा
  • जोड़ की संबद्धता. (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी)
  • गुणन की साहचर्यता.
  • जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता:

प्राकृतिक संख्याओं पर संचालन.

4. प्राकृत संख्याओं का विभाजन गुणन की विपरीत क्रिया है।

अगर बी ∙ सी = ए, वह

विभाजन के सूत्र:

ए: 1 = ए

ए: ए = 1, ए ≠ 0

0: ए = 0, ए ≠ 0

(ए∙ बी) : सी = (ए:सी) ∙ बी

(ए∙ बी) : सी = (बी:सी) ∙ ए

संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ और संख्यात्मक समानताएँ।

एक संकेतन जहां संख्याएं क्रिया चिह्नों से जुड़ी होती हैं, वह है संख्यात्मक अभिव्यक्ति.

उदाहरण के लिए, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

ऐसे अभिलेख जहां 2 संख्यात्मक भावों को एक समान चिह्न के साथ जोड़ा जाता है संख्यात्मक समानताएँ. समानता के बाएँ और दाएँ पक्ष होते हैं।

अंकगणितीय संक्रियाएँ करने का क्रम।

संख्याओं को जोड़ना और घटाना पहली डिग्री की संक्रियाएँ हैं, जबकि गुणा और भाग दूसरी डिग्री की संक्रियाएँ हैं।

जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में केवल एक डिग्री की क्रियाएं होती हैं, तो उन्हें क्रमिक रूप से निष्पादित किया जाता हैबाएं से दाएं।

जब अभिव्यक्ति में केवल प्रथम और द्वितीय श्रेणी की क्रियाएं शामिल होती हैं, तो क्रियाएं पहले की जाती हैं दूसरी डिग्री, और फिर - पहली डिग्री की क्रियाएं।

जब किसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक होते हैं, तो कोष्ठक में क्रियाएँ पहले की जाती हैं।

उदाहरण के लिए, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

वस्तुओं को गिनने और "कितने?" प्रश्न का उत्तर देने के लिए संख्याएँ अभिप्रेत हैं। ("कितने

गेंदें?", "कितने सेब?", "कितने सैनिक?"), प्राकृतिक कहलाते हैं।

यदि आप उन्हें सबसे छोटी संख्या से लेकर सबसे बड़ी संख्या तक क्रम में लिखते हैं, तो आपको संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला मिलती है:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 99, 100, 101, …, 999, 1000, 1001 …

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला संख्या 1 से शुरू होती है।

प्रत्येक अगली प्राकृत संख्या पिछली प्राकृत संख्या से 1 अधिक है।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला अनंत है।

संख्याएँ सम या विषम हो सकती हैं।सम संख्याएँ दो से विभाज्य होती हैं, और नहीं सम संख्यादो से विभाज्य नहीं हैं.

विषम संख्याओं की श्रृंखला:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 99, 101, …, 999, 1001, 1003 …

सम संख्याओं की श्रृंखला:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 98, 100, …, 998, 1000, 1002 …

प्राकृतिक श्रृंखला में, विषम और सम संख्याएँ वैकल्पिक होती हैं:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …, 99, 100, …, 999, 1000 …

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना कैसे करें

दो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करते समय, प्राकृतिक श्रृंखला में दाईं ओर वाला बड़ा होता है:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

तो, सात तीन से अधिक है, और पाँच एक से अधिक है।

गणित में, "कम" शब्द को "चिह्न" का उपयोग करके लिखा जाता है।<», а для записи слова «больше» - знак « > ».

इससे अधिक और उससे कम प्रतीकों का नुकीला कोना हमेशा दो संख्याओं में से छोटी संख्या की ओर इंगित करता है।

प्रविष्टि 7 > 3 को "सात बटे तीन" के रूप में पढ़ा जाता है।

प्रविष्टि 3< 7 читается как «три меньше семи».

प्रविष्टि 5 > 1 को "एक के ऊपर पाँच" के रूप में पढ़ा जाता है।

प्रविष्टि 1< 5 читается как «один меньше пяти».

गणित में "बराबर" शब्द को "=" चिह्न से बदल दिया गया है:

जब संख्याएँ बड़ी होती हैं, तो तुरंत यह कहना मुश्किल होता है कि प्राकृतिक श्रृंखला में दाईं ओर कौन सा है।

जब दो प्राकृतिक संख्याओं की तुलना विभिन्न अंकों वाली संख्याओं से की जाती है, तो सबसे अधिक अंकों वाली संख्या बड़ी होती है।

उदाहरण के लिए, 233,000< 1 000 000, потому что в пер­вом числе шесть цифр, а во втором - семь.

समान अंकों वाली बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं की तुलना बिटवाइज़ से की जाती है, जो सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू होती है।

सबसे पहले, सबसे महत्वपूर्ण अंक की इकाइयों की तुलना की जाती है, फिर अगले एक, अगले एक, और इसी तरह। उदाहरण के लिए, आइए संख्या 5401 और 5430 की तुलना करें:

5401 = 5 हजार 4 सैकड़ा 0 दहाई 1 इकाई;

5430 = 5 हजार 4 सैकड़ा 3 दहाई 0 इकाई।

हजारों की इकाइयों की तुलना करना. संख्या 5401 के हजारों की इकाइयों के स्थान पर 5 इकाइयाँ हैं, संख्या 5430 की हजारों की इकाइयों के स्थान पर 5 इकाइयाँ हैं। हज़ारों की इकाइयों की तुलना करके, यह कहना अभी भी असंभव है कि कौन सी संख्या बड़ी है।

सैकड़ों की तुलना. संख्या 5401 के सैकड़े के स्थान पर 4 इकाइयाँ हैं, संख्या 5430 के सैकड़े के स्थान पर भी 4 इकाइयाँ हैं। हमें तुलना जारी रखनी चाहिए.

दसियों की तुलना करना. संख्या 5401 के दहाई के स्थान पर 0 इकाइयाँ हैं, संख्या 5430 के दहाई के स्थान पर 3 इकाइयाँ हैं।

तुलना करने पर हमें 0 मिलता है< 3, поэтому 5401 < 5430.

संख्याओं को अवरोही या आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है।

यदि कई प्राकृतिक संख्याओं के रिकॉर्ड में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से कम है, तो संख्याओं को घटते क्रम में लिखा हुआ कहा जाता है।

आइए संख्याओं 5, 22, 13, 800 को घटते क्रम में लिखें।

पता लगाते हैं बड़ी संख्या. संख्या 5 एक अंकीय संख्या है, 13 और 22 दो अंकों की संख्या है, 800 तीन अंकों की संख्या है और इसलिए सबसे बड़ी है। हम पहले स्थान पर 800 लिखते हैं।

दो अंकों की संख्या 13 और 22 में से बड़ी संख्या 22 है। संख्या 800 के बाद हम संख्या 22 लिखते हैं, और फिर 13।

सबसे छोटी संख्या एक अंक वाली संख्या 5 है। हम इसे सबसे अंत में लिखते हैं।

800, 22, 13, 5 - इन संख्याओं को घटते क्रम में लिखना।

यदि कई प्राकृतिक संख्याओं के रिकॉर्ड में प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से बड़ी है, तो संख्याओं को आरोही क्रम में लिखा हुआ कहा जाता है।

संख्याओं 15, 2, 31, 278, 298 को आरोही क्रम में कैसे लिखें?

संख्याओं 15, 2, 31, 278, 298 में से हम छोटी संख्या पाएंगे।

यह एक अंकीय संख्या 2 है। आइए इसे पहले स्थान पर लिखें।

दो अंकों की संख्या 15 और 31 में से छोटी संख्या - 15 चुनें, इसे दूसरे स्थान पर लिखें और इसके बाद - 31 लिखें।

तीन अंकों की संख्याओं में से 278 सबसे छोटी है, इसे हम संख्या 31 के बाद लिखते हैं और अंतिम संख्या 298 लिखते हैं।

2, 15, 21, 278, 298 - इन संख्याओं को आरोही क्रम में लिखना



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